Post on 08-May-2020
SIMULAÇÕES SOB INCERTEZAS EM PROBLEMAS DE TRANSFERÊNCIA DE
CALOR E MASSA
Ana Cláudia Magalhães Pimentel
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-
graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do título de
Doutor em Engenharia Mecânica.
Orientador(es): Helcio Rangel Barreto Orlande
Marcelo José Colaço
Rio de Janeiro
Abril de 2014
SIMULAÇÕES SOB INCERTEZAS EM PROBLEMAS DE TRANSFERÊNCIA DE
CALOR E MASSA
Ana Cláudia Magalhães Pimentel
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ
COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM
CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Examinada por:
____________________________________
Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, PhD
____________________________________
Prof. Marcelo José Colaço, D.Sc.
____________________________________
Prof. Fernando Alves Rochinha, D.Sc.
____________________________________
Prof. Nilson Costa Roberty, D.Sc.
____________________________________
Prof. Carlos Frederico Trotta Matt, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
ABRIL DE 2014
iii
Pimentel, Ana Cláudia Magalhães
Simulações sob incertezas em problemas de transferência de
calor e massa/Ana Cláudia Magalhães Pimentel. – Rio de
Janeiro: UFRJ/COPPE, 2014.
IX, 115 p.: il.; 29,7cm.
Orientadores: Helcio Rangel Barreto Orlande
Marcelo José Colaço
Tese (doutorado) – UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia
Mecânica, 2014.
Referências Bibliográficas: p. 107-113.
1. Polinômio caos. 2. Método de colocação estocástica. 3.
Função de base radial. I. Orlande, Helcio Rangel Barreto et al.
II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa
de Engenharia Mecânica. III. Título.
iv
Aos meus pais, marido e afilhado.
v
Agradecimentos
A Deus por ter chegado aqui!
Aos meus queridos orientadores, Helcio Rangel Barreto Orlande e Marcelo José
Colaço por me orientarem em todos os passos desta tese, por disponibilizarem seu
tempo quando precisei. Agradeço pela atenção, paciência e amizade!
Aos meus pais e irmã por me incentivar a ampliar os meus estudos.
Ao meu marido, Thiago Pimentel, pelo companheirismo e incentivo.
Aos amigos que conquistei na COPPE/UFRJ, em especial aos amigos
Wellington Betencurte da Silva, Camila Lacerda, Karolina Lopes, Marcus Costa e
Gabriel Guerra (por sua ajuda).
Aos professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação da Engenharia
Mecânica da COPPE, em especial aos funcionários do LTTC e LMT.
Ao CNPQ pela ajuda financeira, através da bolsa de doutorado.
As minhas amigas Aurelina Maria Medeiros e Maria das Graças Cerqueira por
me apoiar nesta jornada.
A todos que de alguma forma me ajudaram para a conclusão deste trabalho.
vi
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
SIMULAÇÕES SOB INCERTEZAS EM PROBLEMAS DE TRANSFERÊNCIA DE
CALOR E MASSA
Ana Cláudia Magalhães Pimentel
Abril/2014
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande
Marcelo José Colaço
Programa: Engenharia Mecânica
Esta tese tem como objetivo aplicar técnicas de soluções estocásticas a
problemas de transferência de calor e massa. Em particular foram estudadas aplicações
do método de polinômio caos com projeção de Galerkin e com colocação através de
funções de interpolação de Lagrange. Inicialmente estes métodos foram aplicados a dois
casos particulares, envolvendo uma equação diferencial ordinária e, em seguida, uma
equação diferencial parcial representativa de um fenômeno de condução de calor
unidimensional transiente. Depois, um novo problema que trata da liberação controlada
de fertilizantes em uma esfera, contendo incertezas em alguns parâmetros, cuja solução
sob incertezas não foi encontrada na literatura, foi apresentado. A equação do balanço
de massa foi resolvida e foram estudados casos com um e dois parâmetros com
incertezas. Ao final, um problema de Magnetohidrodinâmica foi abordado, também
contendo incertezas em alguns parâmetros. Este problema acopla a abordagem do
método de colocação estocástica já referenciado à casos anteriores junto ao método de
colocação baseado na função de base radial.
vii
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
SIMULATIONS UNDER UNCERTAINTY IN PROBLEMS OF HEAT AND MASS
TRANSFER
Ana Cláudia Magalhães Pimentel
April/2014
Advisors: Helcio Rangel Barreto Orlande
Marcelo José Colaço
Department: Mechanical Engineering
This thesis aims to apply techniques of stochastic solutions to problems of heat
and mass transfer. In particular, applications of the polynomial chaos method with
Galerkin projection and collocation through functions of Lagrange interpolation were
studied. Initially these methods were applied to two particular cases involving an
ordinary differential equation, and then a partial differential equation representing a
phenomenon one-dimensional transient heat conduction. Then a new problem that
comes from controlled release of fertilizer in a sphere, containing uncertainty in some
parameters, whose solution under uncertainty was not found in the literature, was
presented. The mass balance equation was solved and cases with one and two
parameters with uncertainties were studied. At the end, a Magnetohydrodynamics
problem was approached, also containing uncertainty in some parameters. This problem
couples the stochastic collocation method already applied to the earlier cases with the
collocation method based on the radial basis function.
viii
Sumário
1. Introdução 1
2. Revisão Bibliográfica 4
3. Fundamentação Teórica 19
3.1 Polinômios Caos 19
3.1.1 Polinômios Caos Generalizado................................................ 20
3.2 Aplicações de Polinômio Caos a equações diferenciais 22
3.3 Método de Colocação Estocástica 24
3.3.1 Colocação via Interpolação de Lagrange................................. 25
3.3.2 Cálculo dos pontos da quadratura de Gauss e seus
respectivos pesos......................................................................
26
3.4 Método de Colocação Estocástica para variáveis estocásticas
multidimensionais
29
3.4.1 Método de Colocação com malhas esparsas (Algoritmo de
Smolyak)..................................................................................
30
3.4.2 Seleção dos pontos de colocação............................................ 31
3.5 Função de Base Radial (RBF) 34
3.5.1 Parâmetro de forma (c) e distribuição de centros no domínio 35
3.5.2 Expansão com RBF.................................................................. 36
3.5.3 Aplicação do Método de colocação por RBF à equações
diferenciais............................................................................... 36
4 Problemas Abordados 38
4.1 Problema 1: Modelagem da liberação controlada de fertilizantes 39
4.1.1 Método de Colocação aplicado à equação de balanço de
massa (Dimensão estocástica 1N )....................................... 41
ix
4.1.2 Método de Colocação aplicado à equação de balanço de
massa (Dimensão estocástica 2N )...................................... 43
4.2 Problema 2: Problema de Magnetohidrodinâmica 46
4.2.1 Método de Colocação estocástica aplicado ao problema de
Magnetohidrodinâmica (Dimensão estocástica 1N )............ 50
4.2.2 Método de Colocação estocástica aplicado ao problema de
Magnetohidrodinâmica (Dimensão estocástica 2N ).......... 53
4.2.3 Método quasi-Newton.............................................................. 56
5 Resultados 57
5.1 Modelagem da liberação controlada de fertilizantes 59
5.1.1 Variável estocástica Unidimensional....................................... 62
5.1.2 Variável estocástica Bidimensional......................................... 68
5.2 Problema de Magnetohidrodinâmica 76
5.2.1 Variável estocástica Unidimensional....................................... 77
5.2.1.1 Análise de convergência do método de Monte
Carlo.......................................................................... 78
5.2.1.2 Análise de convergência do método de Colocação
Estocástica.................................................................... 83
5.2.1.3 Perfil da velocidade e temperatura............................. 86
5.2.1.4 Linhas de corrente e isotermas.................................. 88
5.2.2 Variável estocástica Bidimensional......................................... 91
5.2.2.1 Análise de convergência do método de Monte
Carlo.......................................................................... 91
5.2.2.2 Análise de convergência do método de Colocação
Estocástica.................................................................... 96
5.2.2.3 Perfil da velocidade e temperatura............................. 100
5.2.2.4 Linhas de corrente e isotermas.................................. 101
6 Conclusões 105
Referências Bibliográficas 107
Apêndice 114
1
Capítulo 1
Introdução
Em engenharia, a análise de modelos matemáticos determinísticos, sem
considerar incertezas nos dados de entrada, é muito comum. Entretanto, na prática, essas
situações ideais são raramente encontradas, deparando-se com a necessidade de
enfrentar incertezas nesses dados. Essas incertezas podem ser caracterizadas como
propriedades do material, condição inicial, variação nos dados experimentais e
dificuldade em descrever o sistema físico, podendo causar erros na geometria e
variações nas condições de contorno. As incertezas também podem ocorrer devido à
representação matemática do sistema físico como, por exemplo, erros em aproximações
matemáticas e nas discretizações.
Para calcular com precisão o desempenho do sistema é essencial incluir o efeito
dessas incertezas no modelo analisado e entender como elas se propagam e alteram a
solução final. A presença de incertezas pode ser modelada no sistema através da
reformulação das equações governantes como, por exemplo, equações diferenciais
parciais estocásticas. Para resolver essas equações, os métodos probabilísticos vêm
sendo desenvolvidos [1, 2].
Os métodos probabilísticos podem ser divididos em duas classes: estatísticos e
não-estatísticos. A primeira classe abrange simulações de Monte Carlo [3, 4],
amostragem estratificada, amostragem por “Latin Hypercube”, etc. Estes métodos
envolvem amostragem que, na maioria dos casos, são de fácil aplicação. No entanto, a
precisão depende do tamanho da amostra que pode tornar o método caro,
principalmente para problemas onde o caso determinístico já é complicado. Entre os
métodos não-estatísticos, o mais popular é o método da perturbação [5, 6], onde o
campo aleatório é expandido através de séries de Taylor em torno de sua média e
2
truncado na ordem certa. É empregado normalmente em sistemas de equações de
segunda ordem, pois para além da segunda ordem, torna-se extremamente complicado.
Uma limitação desse método está na magnitude das incertezas, não podendo ser muito
grandes em relação ao seu valor médio (em torno de 10%). Outra abordagem é baseada
na manipulação dos operadores estocásticos nas equações governantes, que inclui a
expansão de Neumann [7, 8] e método de ponderação integral que também são restritos
a pequenas incertezas.
Outra metodologia não estatística desenvolvida recentemente é o método de
Galerkin baseado em polinômios caos generalizado [9-16], uma generalização dos
polinômios caos clássico, onde a solução estocástica é expressa como polinômios
ortogonais dos parâmetros aleatórios de entrada. Esses polinômios podem ser
escolhidos, de acordo com a distribuição adotada para as incertezas em parâmetros de
entrada, para se chegar a uma boa convergência. Dentro dessa metodologia,
fundamentada em polinômios caos, o método de colocação [17-23], também se destaca
por apresentar bom desempenho. Este método utiliza polinômios caos baseado na
interpolação de Lagrange entre os pontos de colocação, e esses pontos coincidem com
os pontos da quadratura de Gauss, que resulta em um conjunto de equações
desacopladas.
Em um dos problemas analisados, o problema de Magnetohidrodinâmica, será
utilizado também um método sem malha baseado na função de base radial para a
solução do problema determinístico. O parâmetro contendo incerteza será expandido
por polinômio caos por interpolação de Lagrange e a solução das equações será
expandida por funções de base radial. Aplicando-se a função de base radial nas
equações governantes e condições de contorno obtem-se um sistema algébrico não
linear que é resolvido através de um método quasi-Newton.
Neste trabalho, a classe não-estatística será aplicada através de métodos
baseados em polinômios ortogonais, mais precisamente, polinômios caos.
De início, na fase de qualificação foi analisada uma equação diferencial
ordinária estocástica para algumas distribuições de um parâmetro de entrada e um
problema de condução de calor unidimensional transiente em que algumas variáveis
foram consideradas estocásticas. Como continuidade, a metodologia será utilizada na
modelagem da liberação controlada de fertilizantes e também no problema de
magnetohidrodinâmica configurando-se como problemas inéditos. A presente tese de
doutorado está estruturada da seguinte maneira:
3
No Capítulo 2 é realizada uma revisão bibliográfica, na qual métodos não
estatísticos foram empregados e trabalhos referentes a temas abordados nesta tese foram
utilizados. Também referente ao método sem malha baseado em função de base radial
serão apresentadas referências que darão o embasamento a sua aplicação.
O Capítulo 3 aborda os métodos baseados em polinômios ortogonais
(unidimensionais e multidimensionais), métodos gPC (polinômios caos generalizado),
método de colocação, método de colocação com malhas esparsas, métodos para resolver
o sistema gerado por esses polinômios e o método baseado em funções de base radial.
No Capítulo 4 descrevem-se os problemas propostos e suas formulações
matemáticas.
No Capítulo 5 são apresentados os resultados obtidos e a comparação com
aqueles da literatura e aqueles obtidos pelo método de Monte Carlo.
No Capítulo 6 apresentam-se conclusões e possíveis trabalhos de continuação
desta tese.
A contribuição inédita deste trabalho se configura na aplicação de variáveis
estocásticas ao problema de magnetohidrodinâmica, que caracteriza incertezas quanto
aos valores de certas propriedades termofísicas. Também a modelagem da liberação
controlada de fertilizantes é inovadora, visto que a abordagem estocástica deste
problema não foi encontrada na literatura.
4
Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
Uma revisão bibliográfica foi feita sobre os métodos e problemas abordados nesta
tese. De início, apresenta-se uma revisão de trabalhos que abordam os métodos baseados
em polinômios caos generalizados e suas aplicações, a fim de aprimorar o conhecimento de
tais métodos. Um dos métodos baseado em polinômios caos, a colocação estocástica por
interpolação de Lagrange que utiliza polinômios ortogonais, tem apresentado boas soluções
em muitos problemas. Além disso, em problemas com variáveis estocásticas
multidimensionais, o método de colocação estocástica com malhas esparsas ofereceu bons
resultados.
GHANEM e SPANOS [1] consideraram sistemas de engenharia com parâmetros
randômicos, os quais foram modelados como processos estocásticos de segunda ordem,
definidos por sua média e funções de covariância. Eles foram os primeiros a combinar os
polinômios caos de Wiener com o método de elementos finitos modelando incertezas em
aplicações de mecânica dos sólidos.
XIU e KARNIADAKIS [10] definiram um algoritmo formado pela expansão de
polinômios caos generalizado para a solução de equações diferenciais parciais elípticas
estocásticas em regime permanente sujeitas a entradas com incertezas (equação de Poisson
com condições de contorno, termo fonte e difusividade randômica). A projeção de Galerkin
foi aplicada a fim gerar um conjunto de equações determinísticas resolvidas por técnicas
5
iterativas (método de Gauss-Seidel). Distribuições randômicas discretas e contínuas foram
consideradas e a convergência foi verificada no problema modelo e por simulações de
Monte Carlo. A decomposição Karhunen-Loève (uma maneira de representar um processo
aleatório, baseada na expansão espectral da função de correlação do referido processo e que
proporciona uma redução da dimensão do espaço aleatório) foi usada para reduzir a
dimensionalidade do espaço randômico. A escolha adequada de uma expansão de
polinômios caos de acordo com a entrada randômica gerou soluções com convergência
exponencial.
XIU e KARNIADAKIS [11] apresentaram um novo método para resolver equações
diferenciais estocásticas baseado na projeção de Galerkin e em extensões de polinômios
caos de Wiener. Os processos estocásticos foram representados por uma base da família
Askey de polinômios ortogonais que reduz a dimensionalidade do sistema e leva à
convergência exponencial do erro. Vários processos contínuos e discretos foram tratados.
Uma equação diferencial ordinária estocástica específica com diferentes tipos de entradas
aleatórias foi resolvida e as taxas de convergência para as expansões foram mostradas,
comparando os resultados numéricos com a solução exata correspondente.
XIU e KARNIADAKIS [12] apresentaram um algoritmo de polinômios caos
generalizado para a solução de condução de calor transiente sujeita a propriedades com
incertezas, ou seja, condutividade e capacidade térmicas randômicas. Tais propriedades e a
solução estocástica foram representadas espectralmente pelas funções polinomiais
ortogonais do esquema Askey, como uma generalização da idéia do polinômio caos
original de Wiener. O conjunto resultante de equações determinísticas foi posteriormente
discretizado pelo método do elemento espectral no espaço físico e integrado no tempo.
Exemplos numéricos foram apresentados, mostrando que, quando a expansão caos
apropriada é escolhida de acordo com a entrada aleatória, a solução do polinômios caos
generalizado converge exponencialmente para o problema modelo.
XIU e KARNIADAKIS [13] desenvolveram um algoritmo para modelar incertezas
nos dados de entrada e sua propagação em simulações de escoamento incompressível.
Exemplos numéricos foram apresentados para condições de contorno com incerteza. O
método também pode ser aplicado a modelos com incerteza no domínio da fronteira, como
por exemplo uma superfície rugosa, no coeficiente de transporte (viscosidade turbulenta e
6
outros modelos de transporte) ou em forças de interação para os problemas acoplados. A
entrada estocástica foi representada espectralmente empregando o polinômio ortogonal do
esquema Askey como base para representar o espaço randômico. A projeção de Galerkin
foi aplicada na dimensão randômica para obter as equações resultantes. O sistema de
equações determinísticas foi então resolvido com métodos padrão a fim de se obter a
solução para cada modo randômico. A eficiência e a convergência foram estudadas por
comparação com soluções exatas, bem como soluções numéricas obtidas por simulações de
Monte Carlo. Foi mostrado que o método de polinômio caos generalizado consegue uma
boa aceleração em comparação com o método de Monte Carlo. A utilização de diferentes
tipos de polinômios ortogonais do esquema Askey também fornece uma maneira mais
eficiente de representar processos gerais não Gaussianos em comparação com as expansões
originais Wiener-Hermite.
WAN et al. [14] resolveram uma equação de advecção-difusão bidimensional com
velocidade de transporte randômica. Diferentes tipos de distribuições randômicas foram
consideradas, onde a taxa de convergência foi examinada tomando como base a solução
exata. Nas várias distribuições utilizadas, através da expansão por polinômios caos, foi
observado que os erros para a média e para a variância diminuíram à medida que o grau do
polinômio aumentou. Outro problema também foi tratado onde a velocidade de transporte
randômica foi considerada bidimensional.
WAN et al. [15] apresentaram o método ME-gPC (polinômios caos generalizado
multi-elemento). A principal idéia do ME-gPC é decompor o espaço de entradas
randômicas quando o erro relativo para a variância se torna maior que um valor limite
estipulado. Primeiro o espaço de entradas randômicas é decomposto em pequenos
elementos. Em cada elemento é gerada uma nova variável randômica e o gPC (Polinômios
caos generalizado) é aplicado novamente. O grau de perturbação em cada elemento é
reduzido proporcionalmente ao tamanho do elemento randômico, obtendo-se um polinômio
(gPC) de baixa ordem em cada elemento. Vários problemas foram resolvidos pelos
métodos gPC e ME-gPC e comparados com o método Monte Carlo, onde foi observado o
melhor desempenho para o ME-gPC. O ME-gPC com polinômio de grau 3 apresentou
melhor desempenho se comparado com o gPC de grau 10 quando aumentou-se a
decomposição do espaço em elementos disjuntos.
7
GAUTSCHI [16] mostrou um conjunto de programas no Matlab (parte do seu livro
"Polinômios Ortogonais: Computação e Aproximação”, Universidade de Oxford, Oxford,
2004). O pacote contém rotinas para geração de polinômios ortogonais, bem como rotinas
com aplicações. O objetivo desse trabalho foi apresentar vários procedimentos para gerar os
coeficientes da relação de recorrência de três termos para polinômios ortogonais e mais
relações de recorrência gerais de polinômios ortogonais de Sobolev. Os métodos baseados
no momento e os métodos de discretização, bem como sua implementação em Matlab,
estão entre os principais temas discutidos.
LOEVEN et al. [17] mostraram que a eficiência da quantificação de incerteza para
múltiplos parâmetros é aumentada quando se segue uma abordagem de dois passos com
colocação caos. No primeiro passo, uma análise de sensibilidade é utilizada para identificar
o parâmetro mais importante do problema. No segundo, a solução estocástica da solução é
obtida para o parâmetro mais importante usando o método de colocação caos. A eficiência
do método de colocação caos foi comparada com o método de Monte Carlo, o método
polinômios caos e o método de colocação estocástica. A eficiência dos métodos foi
comparada pela convergência do erro com respeito ao esforço computacional. A abordagem
de 2 passos com colocação caos é demonstrada para um pistão linear com condições de
contorno instáveis.
GANAPATHYSUBRAMANIAN e ZABARAS [18] investigaram os efeitos de
incertezas nos dados de entrada em problemas de convecção natural. Os seguintes
problemas foram analisados: convecção natural com condição de contorno randômica,
convecção natural com topologia de contorno randômico (através da variação da ondulação
e rugosidade) e convecção em meios porosos heterogêneos. Tais problemas foram
resolvidos por meio de malhas adaptativas e malhas convencionais (para o método de
colocação), pelos polinômios caos e pelo método Monte de Carlo. Para altas dimensões foi
mostrado que malhas adaptativas têm uma redução de erro maior do que malhas
convencionais.
FOO et al. [19] investigaram problemas tridimensionais em mecânica dos sólidos,
com incertezas nas propriedades do material ou com cargas estocásticas. Através dos
métodos baseados em polinômios caos generalizado e colocação estocástica, tais problemas
foram reduzidos a um sistema de EDPs determinísticas de alta dimensão, formuladas e
8
resolvidas numericamente usando o método de elementos finitos para a discretização
espacial. Foi demonstrado que o método gPC para sistemas de elasticidade linear fornece
resultados precisos e eficientes bem mais rápido se comparado ao tradicional método de
Monte-Carlo. O método de colocação estocástica foi aplicado a problemas lineares e não
lineares. Para o problema linear de elasticidade com carga de pressão estocástica, os
métodos de colocação estocástica e gPC mostraram-se comparáveis em termos de
eficiência.
WAN e KARNIADAKIS [20] estudaram um problema elíptico com coeficientes
randômicos não-Gaussianos (um modelo estocástico típico em física envolvendo meios
porosos). Em particular, re-analisaram os métodos com polinômios caos acoplados com a
expansão K-L (Karhunen-Loève) em que, dada uma função de correlação, a expansão K-L
é empregada para reduzir a dimensionalidade das entradas aleatórias. A idéia central é
baseada na observação de que o método do polinômio caos proporciona um modelo
aproximado de EDP estocástica, onde sua solução é utilizada no método de Monte Carlo.
No modelo preditor-corretor gPC, foi usado o método de Monte Carlo para aperfeiçoar as
estatísticas dadas pelo modelo preditor gPC, onde a solução do polinômio caos serviu como
uma variável de controle para redução da variância, acelerando eficientemente a
convergência do método de Monte Carlo.
BABUSKA et al. [21] aplicaram o método de colocação estocástica na solução de
equações diferenciais parciais elípticas com coeficientes aleatórios. O método consiste
numa aproximação de Galerkin junto à colocação com pontos de Gauss o que leva a
solução de problemas determinísticos desacoplados.
XIU e HESTHAVEN [22] aplicaram o método de colocação e o método de Monte
Carlo a uma equação elíptica com entrada aleatória. Para o método de colocação é
conhecido que a escolha de seus pontos interfere no custo computacional e para isso várias
opções de conjuntos de pontos de colocação foram investigadas. Para altas dimensões
estocásticas, verificou-se que a malha esparsa baseada no algoritmo Smolyak ofereceu alta
precisão e rápida convergência, com uma fraca dependência do número de dimensões
aleatórias. Experimentos numéricos demonstraram que a estimativa do erro pode ser
separada em duas partes: o erro de discretização espacial e o erro na interpolação espacial
9
aleatória. Constatou-se também que para dimensões aleatórias próximas a 50 os métodos de
colocação estocásticos são mais eficientes do que o método de Monte Carlo.
PEDIRODA et al. [24] utilizaram uma técnica de modelagem estocástica baseada
no método de colocação caos para medir a média e o desvio padrão para incertezas nos
parâmetros. Para uma dada precisão, o método de colocação caos requer menos amostras a
serem avaliadas em relação ao MC (Monte Carlo). A boa avaliação da média e do desvio
padrão pelo método de colocação caos torna-o bastante atrativo para ser usado com
métodos RDO (Robust Design Optimization). A RDO de um projeto de motores
automotivos foi realizada empregando o método de colocação caos. A estratégia de solução
foi implementada na integração de processo comercial e otimização de projeto com o
software modeFRONTIER.
XIU [25] apresentou alguns tipos de métodos estocásticos, mostrando comparações
entre eles. A metodologia do polinômio caos generalizado foi analisada. Ao utilizar os
polinômios caos, estratégias para estimar os coeficientes da expansão são necessárias, e
duas alternativas foram discutidas: o método de Galerkin e o método de colocação. Para
ilustrar os métodos, exemplos foram resolvidos e comparados com simulações Monte
Carlo.
ELDRED e BURKARDT [26] compararam o desempenho de uma abordagem não-
intrusiva do método baseado em polinômios caos e do método por colocação estocástica
com um problema clássico de soluções conhecidas e analisaram as diferenças encontradas
nas soluções a partir da utilização desses métodos. A principal diferença encontrada é que
os polinômios caos definem uma formulação de expansão e uma estimação do coeficiente
correspondente e a colocação estocástica requer somente uma definição dos pontos de
colocação a partir dos quais a expansão polinomial é derivada com base na interpolação de
Lagrange, seguida pela estimação dos coeficientes. Nos experimentos computacionais
analisados foram obtidos resultados bem próximos para ambos os métodos. Quando uma
diferença foi observada entre eles, a colocação estocástica apresentou uma precisão mais
elevada. Essa diferença pode ser em grande parte atribuída à expansão ou questões de
integração do polinômio caos, o que motivaram o estudo de abordagens para adaptação das
expansões por polinômios caos. Os resultados foram comparados com o método de Monte
Carlo. Para o caso da quadratura pelo produto tensorial, a utilização dos polinômios caos
10
tem execuções idênticas à colocação estocástica, com suas diferenças completamente
eliminadas. Ambos os métodos superaram consistentemente o polinômios caos tradicional.
No entanto, as abordagens da quadratura pelo produto tensorial apenas superam abordagens
de malhas esparsas para problemas unidimensionais. Para problemas com mais de duas
dimensões, as abordagens de malhas esparsas mostraram-se superiores às abordagens da
quadratura pelo produto tensorial.
PREMPRANEERACH et al. [27] apresentaram diversos algoritmos para resolver
equações diferenciais ordinárias estocásticas, com aplicações em sistemas de energia
eletromecânica. O conceito de polinômios caos foi aplicado através da projeção de Galerkin
e do método de colocação se mostrando eficaz para problemas de baixas dimensões. Para
problemas de grandes dimensões ou na presença de descontinuidades, tanto a projeção de
Galerkin quanto o método de colocação perdem a convergência exponencial. Para isso, a
decomposição do espaço randômico proporcionou bons resultados, especialmente quando
foi combinada com a decomposição do domínio adaptativa.
PARUSSINI et al. [28] utilizaram o TeCC (Tensorial-expanded Chaos Collocation
Method) juntamente com o método de domínios fictícios para resolver problemas de
mecânica dos fluidos com incertezas geométricas. Este método de domínios fictícios é
baseado no LSqSEM (Least Squares Spectral Element Method), onde problemas
formulados em um domínio complexo podem ser resolvidos em um domínio fictício de
forma simples contendo o problema original. Desta forma, o domínio computacional, ou
seja, o domínio fictício, não é influenciado por pequenas variações nos contornos do
domínio original (sujeito a incertezas), que agora estão concentradas no domínio
computacional.
ONORATO et al. [29] compararam o método polinômios caos intrusivo (método
onde há modificação do código computacional) e o método colocação probabilística não-
intrusivo através de dois problemas contendo incertezas no número de Mach e no ângulo de
ataque. O método intrusivo apresentou uma característica importante: para cada incerteza
na formulação do modelo matemático uma nova dimensão foi introduzida na solução,
sendo essa incerteza considerada dependente da dimensão. A expansão convergente ao
longo destas novas dimensões foi buscada em termos de funções de base ortogonais, cujos
coeficientes foram usados para quantificar as incertezas da solução. Já no método não-
11
intrusivo, a adição de uma nova variável com incerteza influenciou a solução através do
cálculo dos pontos de colocação, que foram obtidos pela quadratura de Gauss através do
produto tensorial.
WAN e KARNIADAKIS [30] utilizaram os métodos ME-gPC e gPC em equações
diferenciais parciais com coeficientes estocásticos (equação de advecção unidimensional
com velocidade de transporte randômica uniforme e um escoamento com “ruído” passando
por um cilindro circular estacionário, com duas condições de contorno diferentes na
entrada). Os resultados mostraram que o erro para o ME-gPC aumentou na mesma
velocidade que para o gPC. No entanto, o ME-gPC foi muito mais preciso. Também foi
observado que os erros para o ME-gPC são sempre delimitados pelo erro do gPC. O ME-
gPC pode melhorar o desempenho do gPC para problemas relacionados à freqüência
randômica, mas não tende a um valor assintótico. Para isso, uma opção é aumentar
adaptativamente o número de elementos do ME-gPC para manter uma precisão razoável em
um intervalo de tempo de integração desejável. No entanto, para entradas randômicas de
grande dimensão a eficácia do ME-gPC será enfraquecida desde que o número de
elementos aumente rapidamente.
MA e ZABARAS [31] analisaram o efeito de incertezas em dados de entrada na
solução de equações diferenciais ordinárias e parciais. Neste trabalho, o método de
colocação estocástica com malhas esparsas se mostrou uma boa alternativa para o método
dos elementos finitos estocásticos espectrais, por usar a interpolação polinomial de
Lagrange que acarreta em uma característica não intrusiva. Mas, apesar deste fato atrativo,
problemas que apresentem descontinuidades no espaço estocástico podem gerar soluções
não convergentes. Para isso, foi utilizada uma estratégia de colocação com malhas esparsas
adaptativas que detecta automaticamente a região de descontinuidade no espaço estocástico
e adaptativamente refina pontos de colocação nessa região.
GANDER e KARP [32] estudaram um problema padrão de radiação térmica, onde a
equação de transferência de calor por radiação foi resolvida utilizando a regra da quadratura
de Gauss. Para isso, foram apresentados dois algoritmos clássicos para calcular a regra da
quadratura de Gauss desejada, o algoritmo Stieltjes e o método usando momentos, que são
neste caso instáveis. Em seu lugar, para superar as instabilidades numéricas desses
12
métodos, foi apresentado um método numericamente estável para a regra da quadratura de
alta ordem arbitrária.
BUNGARTZ e GRIEBEL [33] fizeram um levantamento dos fundamentos,
propriedades e aplicações de malhas esparsas, com foco na solução de equações
diferenciais parciais. Mostraram que o método de colocação com malhas esparsas é
bastante adequado para os problemas de alta dimensionalidade, podendo ser estendido a
malhas esparsas adaptativas para problemas mais complexos que, por exemplo, tenham
descontinuidades.
GERSTNER e GRIEBEL [34] apresentaram algoritmos novos e revisões sobre a
integração numérica de funções multivariadas usando vários tipos de malhas esparsas
aplicadas ao método de colocação introduzido pela primeira vez por Smolyak. Nesta
abordagem, as fórmulas de quadratura multidimensional foram construídas utilizando
combinações adequadas do produto tensorial de fórmulas unidimensionais. Foram exibidas
várias construções para as fórmulas de quadratura multivariada com malhas esparsas com
base em Newton- Cotes, Clenshaw -Curtis, Gauss e fórmulas estendidas de Gauss.
Resultados relativos aos custos de computação e ao erro indicaram uma implementação
numericamente estável mostrando a confiabilidade das fórmulas de malhas esparsas.
NOBILE et al. [35] analisaram equações diferenciais parciais com coeficientes
randômicos e termo fonte através do método de colocação estocástica com malhas esparsas
do tipo Smolyak. O método utilizou soluções aproximadas obtidas por elementos finitos,
correspondendo a um conjunto de equações determinísticas desacopladas. Em se tratando
de muitas variáveis aleatórias, o algoritmo de Smolyak utiliza abscissas de Clenshaw-Curtis
ou Gaussianas. Os resultados encontrados foram comparados com o método de colocação
com produto tensorial completo e com o método de Monte Carlo, mostrando ser bastante
eficaz.
XIU [36] combinou o método de colocação estocástica de mais alta ordem com a
expansão de polinômios caos generalizado, resultando em uma abordagem do tipo pseudo-
espectral. Os parâmetros de incerteza foram modelados como variáveis aleatórias e as
equações governantes foram tratadas como estocásticas. As soluções foram expressas como
séries convergentes de expansões polinomiais ortogonais em termos dos parâmetros
randômicos de entrada. Uma estimativa de erro foi apresentada, juntamente com exemplos
13
numéricos para problemas com formas relativamente complicadas de equações
governantes. Várias opções de pontos de integração foram abordadas e a construção de
malhas esparsas mostrou ser uma escolha razoável para os problemas com grande número
de variáveis aleatórias.
BUNGARTZ e DIRNSTORFER [37] estudaram as malhas esparsas adaptativas
para variáveis aleatórias com mais de três dimensões. Os métodos convencionais
normalmente sofrem com o aumento da dimensão do problema ou apresentam precisão
insatisfatória. Para isso, uma estratégia de adaptação foi utilizada, a qual foi capaz de
detectar diferenças na importância das dimensões automaticamente. O algoritmo
apresentado foi aplicado a alguns problemas testes e comparados com outros métodos
existentes, revelando ser um método promissor em cenários que podem usar um esquema
de refinamento adaptativo.
ELDRED [38] investigou o desempenho relativo ao polinômio caos generalizado
não intrusivo e o método de colocação estocástica baseado na interpolação de Lagrange
aplicados a vários problemas com soluções conhecidas. A principal distinção entre esses
métodos é que o polinômio caos generalizado deve estimar os coeficientes para uma base
conhecida de polinômios ortogonais (por amostragem, regressão linear, produto tensorial,
ou malhas esparsas Smolyak) enquanto que a colocação estocástica deve formar uma
interpolação para os pontos conhecidos (usando quadratura ou malhas esparsas). O
desempenho desses métodos mostra-se muito semelhante e ambos demonstram boa
eficiência em relação aos métodos de amostragem de Monte Carlo, com boa precisão em
relação a outros métodos encontrados na literatura.
HOSDER et al. [39] abordaram a precisão e a eficiência computacional do ponto de
colocação no método não intrusivo de polinômio caos (NIPC) aplicado a vários problemas
estocásticos com múltiplas incertezas nas variáveis de entrada. Dois problemas estocásticos
com múltiplas variáveis aleatórias uniformes foram estudados para determinar o efeito de
diferentes métodos de amostragem (Randômico, “Latin Hipercube”, e Hammersley) para a
seleção dos pontos de colocação. O primeiro problema estocástico teve duas variáveis
aleatórias uniformes e o segundo problema incluiu quatro variáveis aleatórias uniformes. O
efeito do número de pontos de colocação na precisão das expansões polinomiais também
foi investigado. Os resultados dos problemas estocásticos mostraram que todos os três
14
métodos de amostragem apresentam um desempenho semelhante em termos de exatidão e
eficiência computacional das expansões polinomiais.
A modelagem de liberação controlada de fertilizantes foi analisada através de
trabalhos encontrados na literatura e nenhum resultado com estudos estocásticos de
abordagem não intrusiva do problema foi encontrado.
AL-ZAHRANI [40] desenvolveu modelos matemáticos que podem descrever a taxa
de liberação de fertilizantes através de uma membrana polimérica esférica em diferentes
condições operacionais. A espessura da membrana polimérica desempenha um papel
importante para retardar a transferência de fertilizantes, controlando a transferência destes
no solo. Soluções detalhadas e aproximadas foram desenvolvidas e comparadas com a
solução numérica para a taxa de liberação de fertilizantes, sendo capaz de determinar o
perfil de concentração de fertilizantes ao longo da membrana polimérica a qualquer
momento. Com estas soluções é possível quantificar o papel desempenhado pelos diversos
parâmetros que caracterizam o fertilizante e a membrana polimérica, tendo grande
importância na seleção do polímero necessário para preparar tal membrana.
SHAVIV et al. [41] construíram um modelo estatístico para a liberação de uma
pluralidade de grânulos CRFs (fertilizantes de liberação controlada) com base em um
mecanismo de difusão. Uma análise de sensibilidade para os principais fatores que afetam a
liberação de uma população de grânulos (influência da permeabilidade do soluto e da água)
e características estatísticas como valor médio, desvio padrão e tipo de distribuição foram
feitas. As variações do raio e da espessura do revestimento afetam a liberação de
fertilizantes quando apresentam desvio padrão elevado ou quando a permeabilidade à água
é reduzida sem afetar a permeabilidade de solutos. O modelo forneceu uma ferramenta
eficaz para projetar e melhorar a eficácia agronômica e ambiental de CRFs revestidos de
polímeros.
TONG et al. [42] testaram o efeito de hidrogéis superabsorventes como portadores
de uréia com liberação controlada para reduzir a perda de lixiviação e aumentar o efeito de
fertilização por uréia. Também foi determinada a relação entre a taxa de liberação de uréia
e propriedades aparentes de hidrogel, além de desenvolver um modelo matemático com
15
parâmetros facilmente obtidos, que poderiam ajudar a preparar formulações de liberação
controlada de uréia, cujo lançamento fosse sincronizado com as exigências de absorção das
plantas. Os métodos experimentais e de modelagem utilizado nesse estudo puderam
fornecer um método conveniente para a concepção e preparação de hidrogéis
superabsorventes com taxas de liberação adequadas para atender às necessidades práticas
das plantas, e assim produzir benefícios econômicos e ambientais.
BASU et al. [43] estudaram o tempo de saturação e de liberação de nutrientes a
partir de um grânulo esférico de fertilizante revestido com diferentes áreas de contato com
o solo, usando técnicas de modelagem matemática e simulações determinísticas. Vários
fatores que interferem nessa liberação foram estudados: o efeito do raio do grânulo, o
coeficiente de difusão, a área de contato no tempo de saturação, o tempo de liberação dos
nutrientes e o efeito da perda por evaporação no tempo de saturação. O estudo sobre esses
parâmetros que interferem na liberação de nutrientes foi bastante útil para determinar o raio
e a largura do revestimento do grânulo em sua fabricação. As condições do solo para os
grânulos de fertilizantes devem ser tal que a quantidade máxima de nutrientes liberados a
partir dos grânulos atinga as raízes das plantas vizinhas.
BASU et al. [44] estudaram a liberação de três tipos de nutrientes (Cloreto de
Potássio, Fosfato de Diamônio e Uréia) utilizados normalmente em fertilizantes comerciais,
contidos em um grânulo de fertilizante esférico. A liberação de cada nutriente é diferente
devido às suas características (um eletrólito forte, um eletrólito fraco e um não eletrólito).
Para a liberação controlada dos nutrientes foram estudados dois tipos de superfícies de
contato com o solo: um ponto e o hemisfério inferior da esfera. Foram ainda verificadas a
influência do raio do grânulo, a taxa de liberação dos nutrientes, a constante de associação,
o pH e a temperatura no tempo de liberação de nutrientes. Tais estudos são úteis na
fabricação de grânulos esféricos revestidos de acordo com as condições variáveis do solo e
também para informar os agricultores sobre o uso ideal dos grânulos, podendo definir a
forma de aplicação de nutrientes de acordo com a necessidade.
16
O método sem malha baseado nas funções de base radial será aplicado ao problema
de magnetohidrodinâmica, para a solução do problema determinístico, junto com o método
de colocação estocástica. Para trabalhar com tal método foi feita uma revisão da literatura
desta técnica. Também, sobre o problema de magnetohidrodinâmica, foi elaborada uma
revisão.
COLAÇO et al. [45] empregaram o método sem malha baseado nas funções de base
radial para resolver um problema magnetohidrodinâmico bidimensional em uma cavidade
quadrada com escoamento incompressível, laminar, estacionário e com campo magnético
constante. O sistema de equações resultante foi resolvido utilizando um método quasi-
Newton e seus resultados foram comparados ao método dos Volumes Finitos. Os resultados
foram obtidos para vários tipos de distribuição de pontos no domínio. As funções de base
radial apresentaram resultados bem próximos aos da referência com tempos de computação
inferiores.
AL-NAJEM et al. [46] analisaram a influência do campo magnético no processo de
transferência de calor em uma cavidade quadrada inclinada e diferentes números de
Grashof. O método dos volumes de controle foi aplicado para resolver o problema e os
resultados obtidos para a vorticidade, temperatura e função corrente puderam ser
comparados com resultados encontrados na literatura. A análise dos resultados mostrou que
a característica do escoamento depende fortemente do ângulo de inclinação como também
do campo magnético aplicado na cavidade.
RUDRAIAH et al. [47] apresentaram um estudo numérico para a convecção
natural de um fluido eletricamente condutor em uma cavidade retangular bidimensional na
presença de um campo magnético vertical. As duas paredes verticais da cavidade eram
sujeitas a diferenças de temperatura e as paredes horizontais eram adiabáticas. Um esquema
de diferenças finitas que consiste no método modificado ADI (Alternating Direction
Implicit) e no método SLOR (Successive Line Over Relaxation) foi usado para resolver a
formulação função corrente-vorticidade do problema. Os resultados numéricos mostraram
que o campo magnético reduz a taxa de transferência de calor por convecção e o número de
Nusselt médio diminui com o aumento de número de Hartmann. Para estes resultados,
17
diferentes números de Grashof e Hartmann foram empregados mantendo o número de
Prandtl fixo.
MAGALHÃES et al. [48] descreveram a solução das equações de Navier-Stokes e
da energia bidimensionais pelo método baseado nas funções de base radial (RBF). A
aproximação por funções de base radial foi utilizada nas equações governantes, resultando
num sistema não linear, o qual foi resolvido por um método quasi-Newton. A aplicação de
RBF elimina a tarefa de discretizar as equações e possíveis dificuldades na utilização de
uma malha co-localizada. O problema estudado refere-se a uma cavidade com convecção
natural, onde foram encontrados bons resultados com apenas poucos pontos de colocação.
COLAÇO et al. [49] aplicaram o método de Kansa, também conhecido como
método de colocação de funções de base radial para resolver problemas de difusão, como
transferência de calor em regime permanente e também problemas de convecção-difusão,
como o de regime permanente incompressível das equações de Navier-Stokes. No primeiro
caso, as multiquádricas renderam melhores resultados e as soluções apresentadas foram
obtidas após uma boa escolha do parâmetro de forma c. No caso das equações de Navier-
Stokes, os resultados mais significativos foram encontrados com a aplicação das funções de
Wendland.
CHINCHAPATNAM et al. [50] apresentaram um método sem malha baseado nas
funções de base radial para resolver as equações de Navier-Stokes. Utilizaram a formulação
função corrente-vorticidade chegando a uma equação bi-harmônica não linear. O sistema
não-linear foi resolvido pelo método de Levenberg Marquardt. Problemas com condições
de contorno foram solucionados com a estratégia de “centros fantasmas”. O método foi
aplicado para a cavidade quadrada e retangular com tampa deslizante para vários números
de Reynolds. Foram obtidos bons resultados com apenas poucos pontos, os quais foram
comparados com resultados benchmark.
Da revisão da literatura, identificou-se que o método de polinômio caos tem sido
usado em vários problemas, em especial problemas de condução de calor unidimensional
em regime permanente ou transiente, bem como em alguns problemas de convecção
natural. A proposta desta tese é a aplicação deste método a problemas mais complexos,
como aquele envolvendo a convecção natural na presença de forças de corpo externas,
18
como por exemplo um problema de magnetohidrodinâmica. Neste tipo de problema, podem
existir incertezas quanto aos valores de certas propriedades termofísicas, o que justifica sua
aplicação. Inicialmente, na qualificação, foi apresentada a aplicação do método de
polinômios caos a dois problemas já encontrados na literatura, que teve como objetivo o
aprendizado do método e a validação dos resultados frente a outros já existentes. Agora, a
metodologia será utilizada na modelagem da liberação controlada de fertilizantes e no
problema de magnetohidrodinâmica. A modelagem da liberação controlada de fertilizantes
envolvendo a abordagem estocástica é inovadora visto que os trabalhos encontrados na
literatura abordam somente o problema determinístico.
19
Capítulo 3
Fundamentação Teórica
Neste capítulo será apresentada a teoria geral dos polinômios caos, tanto para a
formulação de Galerkin, quanto para o uso com pontos de colocação estocástica. Junto a
isto, o método de colocação utilizando a interpolação com funções de base radial (RBF)
será estudado a fim de aplicá-lo a problemas onde exista a necessidade de utilizar
métodos sem malha. Suas aplicações serão apresentadas no capítulo seguinte.
3.1 Polinômios Caos
Dentre os métodos não estatísticos, o polinômio caos generalizado baseia-se na
teoria do caos de Wiener [9] e tive seu início com o PC (polinômios caos clássico) por
Ghanem e Spanos em muitos trabalhos, especialmente em [1] onde foi combinada a
expansão de Hermite com o método de elementos finitos para modelar incertezas
encontradas em vários problemas de mecânica dos sólidos. Karniadakis e outros
aplicaram uma expansão de polinômios caos generalizados para modelar incertezas em
difusão e problemas de condução de calor [10-12], [26- 28].
Historicamente, uma expansão com base em polinômios ortogonais de Hermite
em termos de variáveis aleatórias Gaussianas foi empregada. Depois, um esquema geral,
chamado Polinômios Caos Generalizado [10-16] (gPC) ou Esquema Askey de
polinômios foi introduzido. Este esquema geral inclui uma família de polinômios
ortogonais que satisfaz o tipo de equação diferencial analisada. Isto significa que o tipo
de polinômio ortogonal e a função de ponderação são escolhidos de acordo com a
20
entrada estocástica, o que determina o tipo de polinômio ortogonal que será usado como
base [11]. Isso permite ao método alcançar uma convergência ótima por escolher uma
base adequada. Neste esquema de Askey, as variáveis aleatórias não se restringem a
variáveis aleatórias Gaussianas, sendo os polinômios de Hermite um subconjunto deste
esquema.
O esquema de Askey, também chamado de Wiener-Askey, é apresentado mais a
frente (Tabela 1). Nele encontram-se a função densidade de probabilidade e o polinômio
ortogonal referente a cada tipo de variável aleatória. A seleção ótima da base polinomial
deriva da sua ortogonalidade com respeito às funções de ponderação que correspondem
às funções densidade de probabilidade (PDFs).
3.1.1 Polinômios Caos Generalizado
Os polinômios caos generalizado aproximam uma processo estocástico através
de polinômios ortogonais de variáveis aleatórias, sendo um meio de representar
processos estocásticos de segunda ordem ( , ; )X t x , é um evento randômico e t é o
tempo e x o espaço. De acordo com esta metodologia, pode-se escrever ( , ; )X t x
como [11]:
1 1
1
1
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 3 1 2 3
1 2 3
0 0 1
1
2
1 1
3
1 1 1
( , ; ) ( , ) ( , ) ( ( ))
( , ) ( ( ), ( ))
( , ) ( ( ), ( ), ( )) ...,
i i
i
i
i i i i
i i
i i
i i i i i i
i i i
X t a t a t
a t
a t
x x x
x
x
(3.1)
onde 1
( ,..., )nn i i denota o polinômio caos generalizado de grau n nas variáveis
1( ,..., )
ni i . Tais polinômios são ortogonais em termos da variável aleatória
multidimensional 1
( ,..., )ni i ξ , com 0 1 . Por conveniência, reescreve-se a equação
(3.1) da seguinte forma
0
ˆ( , ; ) ( , ) ( )i i
i
X t a t
x x ξ
(3.2)
21
onde existe uma correspondência unívoca entre as funções 1
( ,..., )nn i i e ( )i ξ , bem
como entre seus respectivos coeficientes 1 2 3 ...i i ia e ˆ
ia . Os polinômios ortogonais
satisfazem a relação de ortogonalidade
2
i j i ij (3.3)
onde ij é a função delta de Kronecker e é o produto interno entre eles. Por
definição, o produto interno entre polinômios ortogonais é dado por
( ), ( ) ( ) ( ) ( )f g f g w d ξ ξ ξ ξ ξ ξ
(Caso contínuo)
(3.4)
( ), ( ) ( ) ( ) ( )f g f g w
ξ ξ ξ ξ ξ
(Caso discreto)
(3.5)
onde ( )w ξ denota a função densidade de probabilidade e o intervalo de integração ou
do somatório é o domínio onde a variável aleatória é definida.
O polinômio ortogonal é escolhido de acordo com a função densidade de
probabilidade da variável aleatória em análise. Junto a isso, também é escolhida a
função de ponderação, que é empregada na relação de ortogonalidade.
A equivalência entre polinômios e variáveis aleatórias é obtida na Tabela 1.
Em termos práticos, a equação (3.2) divide o campo estocástico ( , ; )X t x em
uma parte determinística, o coeficiente ˆ ( , )ia tx , e a parte estocástica, o polinômio caos
( )i ξ . As expansões (3.1) ou (3.2) são truncadas em um número finito de termos, por
exemplo P termos, onde a variável aleatória é um vetor aleatório n -dimensional.
0
ˆ( , ; ) ( , ) ( )P
i i
i
X t a t
x x ξ (3.6)
22
Tabela 1: Correspondência de polinômios ortogonais e funções densidade de
probabilidade de diferentes variáveis aleatórias (N≥0 inteiro finito) [11]
Variáveis
Aleatórias
Função densidade
( )w
Polinômios
Ortogonais ( )
Domínio
Contí
nua
Gaussiana
2 2
2
xe
Hermite ( , )
Gamma ( 1)
xe x
Laguerre 0,
Beta 1
(1 ) (1 )
2 ( 1, 1)
x x
B
Jacobi 1,1
Uniforme 1
2 Legendre 1,1
Dis
cret
a
Poisson !
xe
x
Charlier 0,1,2,...
Binomial (1 )x N xN
p px
Krawtchouk 0,1,..., N
Binomial
negativa
(1 )
!
x
xc c
x
Meixner 0,1,2,...
Hipergeométrica x N x
N
Hahn 0,1,..., N
O número total de termos de uma expansão de polinômios caos é 1P (quando o
somatório se iniciar em zero), obtido pela dimensionalidade da variável aleatória ( n )
e pela ordem da expansão polinomial desejada ( p ), dada por [4]
( )!1
! !
n pP
n p
(3.7)
3.2 Aplicações de Polinômios caos a equações diferenciais
O método de polinômio caos, descrito brevemente na seção anterior, pode ser
aplicado à solução de equações diferenciais, tal como foi objeto deste trabalho. Apenas
a título ilustrativo, considere a equação diferencial estocástica com condição de
contorno:
23
( , , ; ) ( , ; )L t u f t x x
(3.8.a)
( , , ; ) ( , ; )B t u g t x x
(3.8.b)
onde é o parâmetro randômico, ( , ; )u t x é a solução, ( , ; )f t x e ( , ; )g t x são
termos fontes, L é o operador diferencial no espaço/tempo definido no domínio, que
pode ser não linear e B é o operador diferencial definido no contorno. Considerando a
solução ( , ; )u t x como um processo aleatório, pode-se expandi-la por polinômios caos
0
( , , ) ( , ) ( ( ))P
i i
i
u t u t
x x ξ (3.9)
onde o coeficiente ( , )iu tx é determinístico e a base polinomial ( ( ))i ξ absorve o
parâmetro randômico, isto é, a aleatoriedade é transferida para ela. A expansão para
( , ; )u t x pode ser truncada em um número finito de termos como dado em (3.6).
Substituindo a expansão polinômios caos (3.9) na equação diferencial (3.8),
obtém-se:
0
, , ; ( , ; )P
i i
i
L t u f t
x x
(3.10)
A projeção de Galerkin da equação (3.10) para cada base polinomial i é
realizada pelo produto interno da equação com cada base. Usando a ortogonalidade da
base polinomial, pode-se obter um conjunto de 1P equações acopladas para cada
coeficiente determinístico ( , )iu x t onde {0,1,..., }i P .
0
, , ; , ( , ; ),P
i i l l
i
L t u f t
x x
0,1,...,l P .
(3.11)
Assim, as equações governantes para os coeficientes da expansão de ( , , )u t x
resultantes da equação (3.11) são determinísticas.
24
As discretizações no espaço e no tempo podem ser feitas por qualquer técnica
determinística usual.
A expansão por polinômios caos fornece uma boa estrutura para problemas
estocásticos. Uma abordagem peculiar para resolver os coeficientes determinísticos da
expansão por esses polinômios é a realização de uma projeção de Galerkin, já obtida
pela expressão (3.11).
A aplicação do método de Galerkin resulta em um conjunto acoplado
(característica intrusiva) de equações determinísticas, em que todos os coeficientes da
expansão por polinômios caos são calculados simultaneamente e técnicas numéricas
padrões podem ser aplicadas. Esta abordagem de Galerkin tem sido aplicada desde os
primeiros trabalhos com polinômios caos clássico demonstrando resultados eficazes.
Entretanto, quando as equações estocásticas do problema admitem formas complexas
este método torna-se um desafio. Além disso, por ser um método intrusivo, a
modificação do código computacional torna-se necessária quando se modifica a
expansão de polinômios caos em um problema.
3.3 Método de Colocação Estocástica
O método de colocação estocástica [17-23] consiste em obter uma função de
interpolação multidimensional que representa a solução do sistema em função das
variáveis randômicas. Essas funções de interpolação são mutuamente ortogonais
tornando o sistema resultante desacoplado.
Nesta abordagem, a solução determinística é avaliada em vários pontos do
espaço estocástico e, em seguida, constrói-se uma função de interpolação que melhor
aproxima a solução.
Na análise de problemas, primeiramente define-se uma formulação de expansão
por polinômio de Lagrange para cada variável estocástica, depois substituem-se essas
aproximações na equação governante e resolve-se o problema para cada ponto de
colocação, estimando-se os coeficientes determinísticos de suas variáveis estocásticas
correspondentes. Esses pontos de colocação, para o caso de variável estocástica
unidimensional, correspondem aos pontos da quadratura de Gauss [51].
A escolha da função de ponderação para a regra da quadratura de Gauss é muito
importante. Para garantir a convergência, a função de ponderação é igual à função
densidade de probabilidade do parâmetro de incerteza.
25
Este método se aproxima do método de Galerkin à medida que também utiliza
um polinômio ortogonal como base, com o diferencial inerente ao método de colocação
que aplica polinômios de Lagrange, gerando um sistema desacoplado. Este fato
determina a característica não intrusiva do método, necessitando apenas de realizações
repetitivas do código computacional para obter soluções.
A garantia de convergência está ligada à escolha de um bom conjunto de pontos
de colocação para obter uma convergência rápida e uma alta precisão do método de
colocação.
O método de colocação, ao contrário do método de Galerkin, requer um número
maior de equações a serem resolvidas, pois cada equação será resolvida para cada ponto
de colocação. Por isso, sua aplicabilidade é restrita ao menor número de variáveis
aleatórias, pois o número de pontos de colocação cresce exponencialmente à medida
que a dimensão estocástica aumenta.
Neste caso, uma técnica utilizada para o problema do crescimento exponencial
dos pontos necessários à solução é servir-se de malhas esparsas, a qual reduz o número
de pontos de colocação. Esses seriam pontos “ótimos” da solução. Esta técnica será
vista mais a frente.
Em resumo, o método de colocação é baseado na construção de polinômios de
interpolação em um espaço aleatório multidimensional. Esse método exige apenas a
resolução de um conjunto de equações determinísticas em cada ponto pré-determinado
no espaço aleatório. Usando esses resultados obtidos em cada ponto, a interpolação é
construída, fornecendo uma aproximação para a solução estocástica.
Ao empregar os polinômios de Lagrange é necessário que os pontos de
colocação sejam escolhidos de tal maneira que as integrais a serem aproximadas
possuam o menor erro possível. Este fato para apenas uma variável estocástica ( 1N )
pode ser obtido pelo uso dos pontos da quadratura de Gauss.
3.3.1 Colocação via Interpolação de Lagrange
Nesta abordagem, a solução do problema e cada variável dependente do
parâmetro de incerteza são expandidas como:
1
( , , ) ( , ) ( )PN
i i
i
u t x u x t h
(3.12)
26
onde o coeficiente ( , )iu x t é a solução ( , ; )u t x para cada ponto de colocação i , com
1,..., Pi N e ( )ih é o polinômio caos por interpolação de Lagrange correspondente ao
ponto de colocação i . PN é o número de pontos de colocação. O polinômio por
interpolação de Lagrange é uma função em termos da variável aleatória i , a qual é
escolhida tal que o parâmetro de incerteza do problema seja uma transformação linear
dessa variável. Os polinômios caos por interpolação de Lagrange são polinômios ( )h
de ordem P que passam por 1PN P pontos de colocação, com ( )i j ijh ( ij é o
delta de Kronecker), onde:
0
( )P
ki
k i kk i
h
(3.13)
Os pontos de colocação correspondem aos pontos da quadratura de Gauss,
usados para integrar a função ( , ; )u t x no domínio da variável aleatória. A solução é
então integrada a fim de se obter sua média e variância.
Quando múltiplos parâmetros de incerteza estão envolvidos, os pontos de
colocação são obtidos pelo produto tensorial dos pontos unidimensionais. O número de
pontos de colocação é então dado por ( 1)N
PN P , onde P é a ordem do polinômio e
N é a dimensão do problema estocástico (número de parâmetros de incertezas).
Para se obter os pontos da quadratura de Gauss e os pesos adequados à solução
se estabelece o procedimento descrito na seção a seguir.
3.3.2 Cálculo dos pontos da quadratura de Gauss e seus respectivos pesos
Um algoritmo para gerar a regra da quadratura Gaussiana definida pela função
peso é dada pela relação de recorrência de três termos. Essa relação é definida para uma
sequência de polinômios que são ortogonais com respeito à função peso em um
intervalo de integração (algoritmo de Golub-Welsch [51]). Os coeficientes de
recorrência são calculados utilizando um método clássico para medidas contínuas da
função peso, o procedimento de discretização de Stieltjes [32], que consiste em uma
sequência de cálculos de coeficientes i e i iniciados com 1i indo até Pi N , onde
27
PN é o número de pontos de colocação. Esse método usa o fato de que os coeficientes
de recorrência podem ser expressos em termos de polinômios ortogonais. Essa
discretização pela função peso leva a um algoritmo estável como pode ser visto em [26].
A Relação de Recorrência de Três Termos é dada por:
1 1( ) ( ) ( ) ( )i i i i i
1,2,..., Pi N
(3.14)
0( ) 0 1( ) 1
onde i e i são coeficientes de recorrência determinados por (fórmula de Darboux
[9]):
( ), ( )
( ), ( )
i i
i
i i
1,2,..., Pi N
(3.15)
1 1
( ), ( )
( ), ( )
i i
i
i i
2,3,..., Pi N
(3.16)
onde .,. denota o produto interno e o primeiro coeficiente 1 é obtido por
1 1( ), ( ) . O produto interno entre duas funções p e q é definido como:
1
( )
( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N
N j j j
jD w
p q p q d p q
(3.17)
onde 1
( ) ( )N
N j j
j
com 0j , D é o domínio do parâmetro de incerteza
, é a função delta Dirac e ( )w é a função de ponderação dada pela função
densidade de probabilidade.
A partir dos coeficientes de recorrência i e i , 1,2,..., Pi N , os pontos de
colocação i e seus correspondentes pesos iw são calculados usando o algoritmo de
Golub-Welsch. A matriz Jacobiana J que é obtida pela relação de recorrência de três
termos conforme mostrado no Apêndice A pode ser construída como:
28
1 2
2 2 3
3 3
1
1 1
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
P
P P P
P P
N
N N N
N N
J
(3.18)
Os autovalores de J são os pontos de colocação i , 1,2,..., Pi N , os quais são
raízes dos polinômios de ordem PN de um conjunto de polinômios ortogonais. A
distribuição de é usada para mapear os pontos de colocação dos parâmetros de
entrada. Os pesos são calculados por 2
1 1,i iw v , 1,2,..., Pi N , onde 1,iv é o primeiro
componente do autovetor normalizado correspondente ao autovalor i .
A média e a variância da solução são calculadas por:
1
( , )PN
u i i
i
u x t w
(3.19)
2
2 2
1 1
( ( , )) ( , )P PN N
u i i i i
i i
u x t w u x t w
(3.20)
onde ui(x,t) é a solução obtida no ponto de colocação i com o respectivo peso wi.
Em resumo, distribuições específicas de entradas para todos os parâmetros
incertos são determinadas por sua função densidade de probabilidade, através da qual
podem ser determinados seus pontos de colocação e seus pesos correspondentes.
Com os pontos de colocação obtidos, a equação diferencial governante do
problema analisado pode ser resolvida. Primeiramente, cada variável aleatória presente
na equação governante é substituída pela expansão dada por (3.12). Depois, essa nova
equação é calculada para cada ponto de colocação, o que torna a equação governante
um sistema de equações desacopladas.
29
3.4 Método de Colocação Estocástica para variáveis estocásticas
multidimensionais
No caso de mais de uma variável aleatória, uma metodologia empregada é a
construção de pontos de colocação e funções de interpolação pelo produto tensorial dos
pontos de colocação e funções de interpolação unidimensionais. O produto tensorial dos
nós unidimensionais generaliza as propriedades da interpolação unidimensional. Então,
na equação de expansão unidimensional (3.12), o coeficiente ( , )iu x t será substituído
pelo coeficiente ( , )i
ju x t e o polinômio de Lagrange ( )ih será representado pelo termo
( )i
jh , onde o índice i denota o nível de interpolação (corresponde a quantidade de
pontos de colocação) e o índice j denota a quantidade de pontos no determinado nível
i . Logo, a solução ( , ; )iu t x para cada ponto de colocação i
j , com 1,..., Pj N ( PN é o
número de pontos de colocação) em cada nível i pode ser expressa por:
1
( , , ) ( , ) ( )PN
i i i
j j
j
u t x u x t h
(3.21)
a fim de poder empregá-la como base do produto tensorial. A expansão (3.21) denota
somente o caso de uma variável estocástica ( 1N ) como também a expansão (3.12).
Para o caso multidimensional, a expansão (3.21) pode ser estendida a partir do produto
tensorial das funções de interpolação como:
1
1
1 1
1 1
1 1 1
( ( , , ) ... ( , , ))
... ( , ),..., ( , ) . ( ) ... ( )
N
PP N
N N
N N
N
ii
NN
i ii i
j j j j
j j
u t x u t x
u x t u x t h h
(3.22)
A desvantagem desta técnica é que o número de pontos necessários para uma
boa solução cresce rapidamente com altas dimensões do espaço estocástico. Por
exemplo, se são utilizados “ q ” pontos em cada dimensão, então o número total de
pontos em um espaço N-dimensional é NQ q . Para uma aproximação com apenas três
pontos ( 3q ) em cada dimensão, 3NQ para 1N (por exemplo, para 10N ,
10 43 ~ 6 10 ), tornando a técnica do produto tensorial pouco empregada.
30
Malhas esparsas têm sido estudadas no contexto de interpolação e integração
multivariada. As malhas esparsas, baseadas no algoritmo de Smolyak, são um
subconjunto do produto tensorial da malha. O subconjunto é escolhido estrategicamente
de tal forma que a aproximação das propriedades para 1N são preservados para
1N , tanto quanto possível.
3.4.1 Método de Colocação com malhas esparsas (Algoritmo de Smolyak)
O algoritmo de Smolyak [33-35] fornece uma maneira de construir funções de
interpolação com base em uma quantidade mínima de pontos no espaço
multidimensional estendendo as funções de interpolação unidimensionais para o caso
multidimensional através de uma forma particular do produto tensorial. Esse algoritmo
é uma combinação linear da fórmula do produto (3.22) com a propriedade característica
de usar somente o produto com um número relativamente pequeno de pontos.
Pode-se então definir o interpolante esparso ,q NA com produtos de funções
unidimensionais da seguinte forma [33]:
1i
,
1 i
1( , , ) ( 1) . ...
iN
q ii
q N
q N q
NA t x u u
q
(3.23)
onde N é o número de dimensões estocásticas, q N é a ordem de interpolação e ki
representa o nível de interpolação na k -ésima dimensão com 1,..., Nk N .
O algoritmo de Smolyak constrói a função de interpolação adicionando uma
combinação de funções unidimensionais de ordem ki com a restrição de que i esteja
entre 1q N e q ( 1i ... Ni i ).
O método de colocação com malhas esparsas apresenta uma boa escolha de
pontos, pois o erro obtido na interpolação é da mesma ordem que o alcançado pelo
produto tensorial completo em um mesmo nível de interpolação com a vantagem de
utilizar um número mínimo de pontos [33].
Podemos também definir o interpolante esparso (3.23) de outra forma
considerando i como a diferença entre duas interpolações aproximadas como:
31
1i i iu u , 0 0u (3.24)
Utilizando a interpolação incremental (3.24) no interpolante esparso (3.23),
temos:
1
1
,
1,
( , , ) ( ... )( , , )
( , , ) ( ... )( , , )
N
N
ii
q N
i q
ii
q N
i q
A t x x t
A t x x t
(3.25)
Para calcular a interpolação ,q NA é necessário avaliar a função em cada ponto da
malha esparsa ,q NH onde iY é o conjunto de pontos em cada nível de interpolação i :
1
,
1 i
( ... )Nii
q N
q N q
H Y Y
(3.26)
A construção do algoritmo permite utilizar todos os resultados gerados
anteriormente para melhorar a interpolação. Ao escolher pontos apropriados por
interpolação da função unidimensional, pode-se garantir que o conjunto de pontos
iY está contido no conjunto de pontos 1iY ( 1i iY Y ). Logo, para calcular a função em
um nível superior ( 1i ), somente deve-se avaliá-la nos pontos da malha exclusivos
daquele nível. Para expressar a malha esparsa através de pontos da malha exclusivos de
cada nível de interpolação (iY ):
1
,
i
( ... )Nii
q N
q
H Y Y
(3.27)
3.4.2 Seleção dos pontos de colocação
Esta seção abordará o principal elemento do método de colocação: a
localização de seus pontos. Como já foi falado, quando utilizamos a interpolação por
polinômios de Lagrange é necessário que os pontos de colocação sejam escolhidos de
tal maneira que as integrais a serem aproximadas possuam o menor erro possível. Para o
caso de variável estocástica unidimensional, isso pode ser obtido pelo uso dos pontos da
32
quadratura de Gauss. Para o caso de variáveis estocásticas multidimensionais pode-se
aplicar abscissas de Clenshaw-Curtis [33-34], [52] entre outras, pois apresentam as
melhores propriedades para o polinômio de Lagrange.
Tomando o suporte da variável aleatória unidimensional i no intervalo [0,1]
para 1,...,i N , pode-se expressar, sem perda da generalidade, que para o caso de
variável aleatória multidimensional, o conjunto de pontos iY terá suporte no intervalo
[0,1]N (um hipercubo), no qual as variáveis aleatórias definidas em qualquer intervalo
[a, b] podem sempre ser mapeadas para o intervalo [0,1].
As abscissas de Clenshaw-Curtis são obtidas a partir dos extremos dos
polinômios de Chebyshev e para qualquer 1im , são dadas por:
i
jY
( 1)cos 0.5, 1,..., 1
2( 1)i i
i
jpara j m se m
m
0.5, 1 1ipara j se m
(3.28)
em que o número de abscissas im em cada nível é encontrado pela expressão:
1
1 1 2 1 1i
im e m para i
Esta escolha de distribuição de pontos de forma pré-determinada verifica a
propriedade ( 1i iY Y ) em que aproveita a vantagem da recorrência dos pontos de
colocação para níveis de interpolação superiores.
Abaixo são apresentados exemplos da distribuição de pontos obtidos pela
abscissa Clenshaw-Curtis para 2N , malha esparsa bidimensional, nos oito primeiros
níveis no intervalo [ 1,1] . O código para a geração dessas malhas esparsas e os
respectivos conjuntos de pesos referentes aos pontos de tais malhas foi obtido da página
pessoal do professor John Burkardt da Universidade Estadual da Flórida nos Estados
Unidos [67].
33
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1-0.500.51-1
-0.5
0
0.5
1
(a) Nível 0. (b) Nível 1.
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1
(c) Nível 2. (d) Nível 3.
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1
(e) Nível 4. (f) Nível 5.
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1
(g) Nível 6. (h) Nível 7.
Figura 3.1: Malhas esparsas 2D para abscissas de Clenshaw-Curtis. (a) Nível 0, (b)
Nível 1, (c) Nível 2, (d) Nível 3, (e) Nível 4, (f) Nível 5, (g) Nível 6 e (h) Nível 7.
34
3.5 Funções de Base Radial (RBF)
Os métodos sem malha emergiram como técnicas numéricas eficazes para
resolver problemas da ciência e da engenharia. O número de métodos que têm sido
propostos recentemente é uma evidência do interesse crescente da engenharia nestes
tipos de técnicas numéricas. Apesar de métodos clássicos para solução numérica de
equações diferenciais, como o método dos Elementos Finitos, das Diferenças Finitas, ou
dos Volumes Finitos se mostrarem eficazes, algumas etapas podem gerar
inconvenientes, como a geração das malhas e a utilização de esquemas de acoplamento
pressão-velocidade em problemas incompressíveis. O problema do acoplamento
pressão-velocidade pode, em problemas bidimensionais, ser eliminado usando-se a
formulação função corrente-vorticidade. Contudo, tal transformação de variáveis produz
equações cuja solução por métodos numéricos tradicionais requer discretizações de alta
ordem a fim de minimizar erros de truncamento [53]. Pela característica de não requerer
nenhuma estrutura de malhas, métodos sem malha se destacam sobre os métodos
tradicionais.
Inseridas nesta abordagem, a técnica que faz uso das funções de base radial
capazes de construir um esquema de interpolação de boa qualidade para a resolução de
equações diferenciais parciais [54] é a mais utilizada. O conceito de função de base
radial (RBF) foi empregado inicialmente em aproximações multidimensionais por
Hardy [55] e depois em trabalhos baseados em RBFs do tipo multiquádrica, aplicadas à
derivadas parciais e a equações diferenciais parciais por Kansa [56, 57].
As funções de base radial podem ser definidas da seguinte forma:
Seja : R+ R uma função contínua que depende apenas da distância entre o
centro jx e um ponto qualquer x . Se cada centro jx pertence ao domínio, então
( )j jx x x , onde é a norma Euclidiana e j é chamada de função de base
radial.
As RBFs se dividem em funções locais e globais. As funções locais fornecem
uma resposta significativa apenas na vizinhança do centro e são definidas em uma parte
do domínio (suporte compacto), já as funções globais são definidas em todo o domínio
(suporte global) [58].
35
Neste trabalho será utilizada a RBF de suporte global multiquádrica definida
como:
2
2
1
( )N
j j j
j
x x x c
(3.29)
onde c é chamado de parâmetro de forma.
3.5.1 Parâmetro de forma (c) e distribuição de centros no domínio
Será discutido aqui um aspecto importante para a implementação das RBFs.
Chamada de parâmetro de forma, a constante c determina a região de influência da
RBF de suporte global (GSRBF). A precisão da solução numérica depende do valor
escolhido para o parâmetro da forma. Neste trabalho, o parâmetro é estimado através da
expressão:
c d (3.30)
onde é um inteiro positivo e d é a menor distância entre dois pontos quaisquer do
domínio. Logo o parâmetro c é definido inicialmente como a menor distância entre dois
centros no domínio. A partir daí, aumenta-se o valor do parâmetro de acordo com
(3.30).
O valor da constante se inicia por 1 e vai aumentando discretamente. O valor
de d é sempre o mesmo para cada malha utilizando o mesmo critério regular de
distribuição de centros [50]. Neste trabalho, os sistemas não lineares, resultantes da
aplicação das funções de base radial nas equações diferenciais parciais, foram
resolvidos pelo método Broyden [70], que é um método quasi-Newton. Assim, o melhor
valor do fator de forma “ c ” foi aquele que gerou o menor resíduo na solução dos
sistemas não lineares. Em geral, quanto maior o parâmetro c , melhor a solução. Porém,
isso implica no fato do sistema ficar muito mal condicionado [50]. Assim, em geral o
melhor c é aquele que seja grande o suficiente para gerar uma boa aproximação para a
solução, porém não tão grande a ponto de tornar a solução do sistema de equações não
lineares inviável. Portanto, quanto mais próximo do mal condicionamento estiver a
matriz, melhor a solução, até o ponto em que qualquer novo aumento no valor de c
resultar em um sistema tão mal condicionado que nenhuma resposta significativa será
encontrada. Foi utilizado a variação da constante de 1 até 5, obtendo-se cinco valores
36
para o parâmetro de forma. Destes cinco valores o que resultar no menor erro residual
do sistema resolvido será o melhor valor de c .
Quanto à distribuição de pontos, no presente trabalho foram usadas distribuições
regulares de centros, em que os centros foram uniformemente espaçados no domínio de
interesse.
3.5.2 Expansão com RBF
Seja 1 2, ,..., n
Nx x x um conjunto de centros. A função de base radial é a
função j , definida anteriormente. Cada função j é radialmente simétrica sobre o
centro jx . Dado ( )i if f x , 1,...,i N , a aproximação de interpolação com RBF é:
2
2
1 1
( ) ( )N N
i j j j i j j
j j
s x s x s x x c
(3.31)
onde N é o número de centros. Os coeficientes da expansão js , são escolhidos de modo
que ( ) ( )i is x f x . Esses coeficientes js , são obtidos pela resolução do sistema de N
equações lineares:
Hs f
(3.32)
onde 1 ,...,i i N ix x x x H é a matriz conhecida das RBFs,
1,...,T
Ns ss é o vetor de parâmetros desconhecidos, 1,...,T
Nf ff é o vetor de
termos independentes e 1,...,i N .
3.5.3 Aplicação do método de colocação por RBF à equações diferenciais
Utilizando a expansão em termos de funções de base radial, é possível
solucionar um sistema de equações diferenciais parciais. Assim como o método de
colocação estocástica já visto, basta aplicar os operadores diferenciais correspondentes à
função de base radial e depois usar colocação em um conjunto de centros no domínio e
no contorno. Em resumo, a colocação é a aplicação dos operadores diferenciais do
37
domínio ( L ) e do contorno ( B ) a um conjunto de N M centros no domínio ( ) e
M centros no contorno ( ), respectivamente. Assim, pode-se obter o seguinte sistema
de equações lineares:
1
( )N
i j i j
j
Lu x s L x x
1,...,i N M
(3.33)
1
( )N
i j i j
j
Bu x s B x x
1,...,i N M N
(3.34)
38
Capítulo 4
Problemas abordados
Neste capítulo descrevem-se os problemas analisados, as formulações
matemáticas, a implementação do método baseado em polinômio caos e colocação
estocástica, bem como uma extensão para variáveis aleatórias bidimensionais utilizando
malhas esparsas. Também será apresentada a implementação do método baseado em
função de base radial para o problema determinístico de magnetohidrodinâmica.
De início, na etapa de qualificação, foi estudada uma equação diferencial
ordinária estocástica encontrada na referência [11] e depois um problema
unidimensional transiente de transferência de calor encontrado em [12]. Os problemas
ora em análise foram escolhidos para validar a implementação de alguns métodos
abordados no capítulo anterior. Como continuidade, a modelagem da liberação
controlada de fertilizantes abordada em [40] foi estudada, alocando incertezas no
coeficiente de distribuição de fertilizantes e depois no coeficiente de difusão. No
problema de Magnetohidrodinâmica [45] foram consideradas incertezas no número de
Grashof e no número de Hartmann.
39
4.1. Problema 1: Modelagem da liberação controlada de fertilizantes
A utilização de fertilizantes com liberação controlada (CRFs) é uma tentativa
para melhorar a sua eficácia de utilização, pois estima-se que a porcentagem de
fertilizantes recuperados pelas plantas quando aplicados nas formas convencionais
limita-se a 30-50%. Esse uso também satisfaz as necessidades do plantio, reduzindo
significativamente a poluição do meio ambiente. A liberação controlada de fertilizantes
é proposta desde 1962, ano em que o primeiro estudo sobre a aplicação dessa tecnologia
foi apresentada. O controle da liberação de fertilizantes mantém as suas concentrações
em níveis eficazes no solo e os libera quando a planta mais necessita dele. Essa
tecnologia resulta no controle máximo do uso de fertilizantes, diminuindo a quantidade
de fertilizantes empregados e reduzindo as perdas pelos efeitos da volatilização e
lixiviação [40-44].
A maioria dos CRFs são grânulos com nutrientes solúveis em água, os quais
são encapsulados (fertilizantes revestidos por uma membrana polimérica) e essa
liberação controlada se dá por difusão através do revestimento, ou seja, a liberação de
fertilizantes ocorre por toda a superfície da esfera. O estudo de CRFs é útil na
fabricação de grânulos esféricos revestidos de acordo com as condições variáveis de
solo e também para informar os agricultores sobre o uso ideal dos grânulos, podendo
definir a forma de aplicação de nutrientes de acordo com a necessidade.
Figura 4.1: Grânulo de fertilizante com recorte da membrana polimérica [72]
O processo de liberação de fertilizantes é mostrado na Figura 4.2. Primeiro
mostra o grânulo coberto pela membrana polimérica (1), em seguida ocorre a
penetração da água pela membrana (2). Em (3) acontece a dissolução dos nutrientes
formando uma solução concentrada e em (4) ocorre a liberação controlada dos
nutrientes. [72]
40
(1) (2) (3) (4)
Figura 4.2: Mecanismo de liberação de fertilizantes [72].
O modelo matemático para a liberação controlada de um fertilizante é expresso
pela equação de balanço de massa em uma partícula esférica:
2 **
2
2C C D CD
t r r r
(4.1)
onde C é a concentração do fertilizante no grânulo e *D é o coeficiente de difusão. A
condição de contorno e as condições iniciais são dadas por:
2 *4s
r R
V C Cr R R D
k t r
em 0t
(4.2)
0 0C
rr
em 0t
(4.3)
0r R C C (4.4)
0r R C (4.5)
onde sV é o volume da solução dentro da esfera que se mistura com a concentração, k é
o coeficiente de distribuição de fertilizante e 0C é a concentração inicial. A condição de
contorno representa a taxa de perda de fertilizantes pela área da esfera.
As equações podem ser escritas na forma adimensional utilizando-se as
seguintes variáveis adimensionais:
0
C C
C C
(4.6)
41
*
2
D t
R
(4.7)
r
R
(4.8)
3
0
4
3 s
C R k
C C V
(4.9)
Substituindo as variáveis adimensionais (4.6)-(4.9) na equação governante (4.1),
na condição de contorno (4.2) e nas condições iniciais (4.3)-(4.5), obtém-se:
2
2
2
(4.10)
1 3
em 0 (4.11)
0 0
em 0
(4.12)
1 1 (4.13)
1 (4.14)
4.1.1. Método de Colocação aplicado à equação de balanço de massa (Dimensão
estocástica 1N )
O parâmetro de incerteza inicialmente considerado é a variável k (coeficiente
de distribuição de fertilizantes). Considerando 34
13
e
s s
VR
V V
(volume da esfera eV
igual ao volume da solução sV ) na equação (4.9), tornamos o parâmetro de incerteza,
logo:
1 0( ) ( )k (4.15)
em que 1 é a variável estocástica com coeficiente de dispersão ( ) e 0 é a variável
de referência.
42
Aplicando a expansão de colocação por interpolação de Lagrange na variável
( ) e na concentração adimensional , podemos escrever:
1
( ) ( )PN
i i
i
h
(4.16)
1
( , ; ) ( , ) ( )PN
i i
i
h
(4.17)
onde ( )ih é o polinômio de Lagrange.
Aplicando essas expansões na equação diferencial e nas condições de contorno e
iniciais, obtêm-se:
2
21 1 1
( , ) ( , ) ( , )2( ) ( ) ( )
P P PN N N
i i ii i i
i i i
h h h
(4.18)
1 1 1
( ,1) ( ,1)( ) 3 ( ) ( )
P P PN N N
i ii i i i
i i i
h h h
(4.19)
1
( ,0)( ) 0
PN
ii
i
h
(4.20)
1
( , 1) ( ) 1PN
i i
i
h
(4.21)
1 1
(0,1) ( ) ( )P PN N
i i i i
i i
h h
(4.22)
Usando a propriedade do polinômio de Lagrange ( ( )i j ijh ) e aplicando essa
propriedade nas equações (4.18)-(4.22), obtém-se:
43
2
2
( , ) ( , ) ( , )2i i i
(4.23)
( ,1) ( ,1)3i i
i
(4.24)
( ,0)
0i
(4.25)
( , 1) 1i
(4.26)
(0,1)i i
(4.27)
para 1,..., Pi N , onde pN é o número de pontos de colocação. Com a aplicação das
expansões (4.16)-(4.17) nas equações (4.10)-(4.14), a solução do problema será dada
para cada ponto ( i ). A média e a variância da solução serão calculadas usando as
soluções obtidas em cada ponto de colocação.
4.1.2. Método de Colocação aplicado à equação de balanço de massa (Dimensão
estocástica 2N )
Neste caso, além do coeficiente de distribuição, trata-se o coeficiente de difusão
*D como sendo uma variável aleatória, ou seja,
2 0*( ) DD D (4.28)
em que o parâmetro *D que representa o coeficiente de difusão contém incertezas, 0D
é o coeficiente de difusão de referência e 2 é a variável estocástica com coeficiente de
dispersão ( D ). Neste caso, a expressão de adimensionalização que define a variável
independente adimensional é redefinida da seguinte maneira:
44
0
2
D t
R
(4.29)
Substituindo as variáveis adimensionais (4.6), (4.8)-(4.9) e (4.29) na equação
governante (4.1), na condição de contorno (4.2) e nas condições iniciais (4.3)-(4.5),
obtem-se:
2
2
2D
(4.30)
1 3 D
em 0 (4.31)
0 0
em 0
(4.32)
1 1 (4.33)
1 (4.34)
Aplicando a expansão de colocação por interpolação de Lagrange nas variáveis
( ) , ( )D e na concentração adimensional , podemos escrever:
1
( ) ( )PN
i i
i
h
(4.35)
1
( ) ( )PN
i i
i
D D h
(4.36)
1
( , ; ) ( , ) ( )PN
i i
i
h
(4.37)
Aplicando essas expansões na equação diferencial e nas condições de contorno
e iniciais, obtém-se:
45
2
21 1 1 1
( , ) ( , ) ( , )2( ) ( ) ( ) ( )
P P P PN N N N
i i ii i i i i
i i i i
h D h h h
(4.38)
1 1 1 1
( ,1) ( ,1)( ) 3 ( ) ( ) ( )
P P P PN N N N
i ii i i i i i
i i i i
h h D h h
(4.39)
1
( ,0)( ) 0
PN
ii
i
h
(4.40)
1
( , 1) ( ) 1PN
i i
i
h
(4.41)
1 1
(0,1) ( ) ( )P PN N
i i i i
i i
h h
(4.42)
Também como no caso de variável estocástica unidimensional, admite-se a
propriedade do polinômio de Lagrange ( ( )i j ijh ) e aplica-se essa propriedade nas
equações (4.38)-(4.42), obtendo-se:
2
2
( , ) ( , ) ( , )2i i iiD
(4.43)
( ,1) ( ,1)3i i
i iD
(4.44)
( ,0)
0i
(4.45)
( , 1) 1i
(4.46)
(0,1)i i
(4.47)
46
para 1,..., Pi N , onde pN é o número de pontos de colocação. Com a aplicação das
expansões (4.35)-(4.37) nas equações, a solução do problema será dada para cada ponto
(i ). A média e a variância da solução serão calculadas usando as soluções obtidas em
cada ponto de colocação.
4.2. Problema 2: Problema de Magnetohidrodinâmica
O problema de Magnetohidrodinâmica bidimensional, incompressível, em
regime permanente, com escoamento laminar e campo magnético constante aplicado em
uma cavidade quadrada será estudado aqui. Nessa cavidade, as paredes superior e
inferior são isoladas e as paredes da esquerda e da direita estão submetidas a diferentes
temperaturas. Com essa diferença de temperatura passa a existir uma força de empuxo,
que é modelada pela hipótese de Boussinesq. O fluido é permeado por um campo
magnético constante que leva a uma força de empuxo adicional [45].
Figura 4.3: Problema de magnetohidrodinâmica
47
O escoamento convectivo é regido pela combinação da força de empuxo e da
força eletromagnética. Neste trabalho, o número de Reynolds magnético é assumido
pequeno de maneira que o campo magnético induzido causado pelo movimento do
fluido eletricamente condutor pode ser desprezado em comparação com o campo
magnético 0B [46]. Além disso, podemos desprezar o aquecimento por efeito Joule e
dissipação viscosa por ser supostamente muito pequenos.
O problema é modelado pelas equações de conservação de massa, conservação
da quantidade de movimento em x e em y e conservação de energia, dadas
respectivamente por [45]:
0u v
x y
(4.48)
2 2
2 2
1u u p u uu v
x y x x y
(4.49)
22 2
0
2 2
1( ) E
T c
Bv v p v vu v g T T
x y y x y
(4.50)
2 2
2 2T
T T T Tu v
x y x y
(4.51)
Nestas equações, u e v são as componentes de velocidade nas direções x e y ,
respectivamente, p é a pressão, T é a temperatura, é a viscosidade cinemática do
fluido, é a massa específica do fluido, g é a aceleração da gravidade, T é o
coeficiente de expansão térmica, T é a difusividade térmica do fluido, E é a
condutividade elétrica, 0B é o campo magnético constante e cT é a temperatura da
parede da direita que é menor do que a temperatura da parede da esquerda.
As condições de contorno da cavidade, como já foram citadas, correspondem às
temperaturas prescritas em ambas as paredes verticais, sendo a temperatura da parede da
esquerda maior do que a temperatura da parede da direita. As paredes horizontais são
48
termicamente isoladas. Todas as condições de contorno para a velocidade incluem a
condição de não deslizamento, bem como o seu valor prescrito igual à zero em todos os
contornos. Além disso, um campo magnético constante é aplicado na direção x (da
esquerda para a direita).
0 vu 0
y
T
0y (4.52)
0 vu HTT 0x (4.53)
0 vu 0
y
T
Dy (4.54)
0 vu CTT Dx (4.55)
As equações governantes são reescritas em termos de função corrente e
combinadas em uma equação bi-harmônica, a fim de eliminar o gradiente de pressão e a
necessidade de um esquema de acoplamento pressão-velocidade, além de reduzir o
número de equações a serem resolvidas. Dessa forma, pode-se definir a função corrente
como:
uy
(4.56)
vx
(4.57)
As equações (4.48)-(4.51) juntamente com a aplicação da formulação (4.56)-
(4.57) podem ainda ser escritas na forma adimensional utilizando-se as seguintes
variáveis adimensionais:
D
xx
(4.58)
D
yy
(4.59)
49
(4.60)
CH
C
TT
TTT
(4.61)
onde D é a largura da cavidade, HT é a temperatura da parece da esquerda, CT é a
temperatura da parede direita e ,, yx e T são variáveis dimensionais.
As variáveis Ha é o número de Hartmann, Gr é o número de Grashof e Pr é o
número de Prandtl, definidos por:
0Ha=B ED
3
T
2
g ( - )Gr= h cT T D
T
Pr
(4.62)-(4.64)
O número de Hartmann ( Ha ) é a relação entre a força eletromagnética e as
forças viscosas e é usado para controlar a intensidade do campo magnético. O número
de Grashof ( Gr ) é a relação entre o empuxo e as forças viscosas e é usado para
controlar a intensidade de convecção natural. O número de Prandtl ( Pr ) é uma
propriedade do fluido, representando a relação entre a difusão de quantidade de
movimento e a difusão térmica.
Substituindo as variáveis adimensionais (4.58)-(4.64) e a definição de função
corrente (4.56)-(4.57) nas equações governantes (4.48)-(4.51) e nas condições de
contorno (4.52)-(4.55), obtemos:
3 3 3 3
2 3 2 3
4 4 4 22
4 2 2 4 22 Ha Gr
y x y x x y x y
T
x x y y x x
(4.65) (4.4.2.e)
2 2
2 2
1
Pr
T T T T
y x x y x y
(4.66) (4.4.2.f)
50
0 0
x
1T em 0x (4.67)
0 0
x
0T em 1x (4.68)
0 0
y
0
T
y
em 0y (4.69)
0 0
y
0
T
y
em 1y (4.70)
A combinação das equações de conservação de massa e conservação das
quantidades de movimento origina uma equação bi-harmônica a qual necessita de duas
condições de contorno para cada parede.
Os números de Hartmann e Grashof podem ser assumidos como variáveis
estocásticas devido a incertezas nas propriedades físicas como, por exemplo,
condutividade elétrica ( E ) e coeficiente de expansão térmica ( T ), dentre outras que
as compõem.
4.2.1 Método de Colocação estocástica aplicado ao problema de
Magnetohidrodinâmica (Dimensão estocástica 1N )
O parâmetro de incerteza inicialmente considerado estocástico é o número de
Grashof ( Gr ):
0 1Gr( ) Gr (1 )Gr (4.71)
em que 1 é a variável estocástica com coeficiente de dispersão dos dados ( Gr ) e 0Gr é
o Grashof de referência.
Aplicando a expansão de colocação estocástica por interpolação de Lagrange à
variável estocástica Grashof ( Gr ), temos:
1
Gr( ) Gr ( )PN
k k
k
h
(4.72)
51
em que ( )kh é o polinômio de Lagrange.
Aplicando essa expansão (4.72) na equação (4.65) obtêm-se:
3 3 3 3
2 3 2 3
4 4 4 22
4 2 2 4 21
2 Ha Gr ( )PN
k k
k
y x y x x y x y
Th
x x y y x x
(4.73) (4.4.2.e)
Admitindo a propriedade do polinômio de Lagrange ( ( )k j kjh ) e aplicando
essa propriedade na equação (4.73), obtem-se:
3 3 3 3
2 3 2 3
4 4 4 22
4 2 2 4 22 Ha Gr
k k k k k k
k k k k kk
y x y x x y x y
T
x x y y x x
1,..., pk N
(4.74) (4.4.2.e)
onde pN é o número de pontos de colocação.
A equação (4.74) será resolvida para cada ponto de colocação e junto à equação
(4.66) resulta em um sistema não-linear. Neste sistema será aplicada a expansão em
RBF à solução para T e :
,
1
( , ) ( )M
k j k j
j
T x y T r
(4.75)
,
1
( , ) ( )N
k i k i
i
x y r
(4.76)
em que ,Tj k e ,i k são coeficientes desconhecidos, é o mesmo para as duas
expansões, M e N são os números de centros utilizados em cada expansão por RBF.
Substituindo as expansões (4.75)-(4.76) nas equações governantes (4.74) e
(4.65) e nas condições de contorno (4.67)-(4.70), obtêm-se o sistema:
52
3 3
, , ,2 31 1 1
3 3
, , ,2 31 1 1
4 4
, ,4 2 21 1
42
, ,41
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )2
( )Ha
N N Ni i i
i k i k i k
i i i
N N Ni i i
i k i k i k
i i i
N Ni i
i k i k
i i
Ni
i k i
i
r r r
y x y x
r r r
x y x y
r r
x x y
r
y
2
,21 1
( )( )Gr
N Mji
k k j k
i j
rrT
x x
(4.77)
, , , ,
1 1 1 1
2 2
, ,2 21 1
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )1
Pr
N M N Mj ji i
i k j k i k j k
i j i j
M Mj j
j k j k
j j
r rr rT T
y x x y
r rT T
x y
(4.78)
,
1
( ) 0N
i k i
i
r
,
1
( )0
Ni
i k
i
r
x
,
1
( ) 1M
j k j
j
T r
em 0x (4.79)
,
1
( ) 0N
i k i
i
r
,
1
( )0
Ni
i k
i
r
x
,
1
( ) 0M
j k j
j
T r
em 1x (4.80)
,
1
( ) 0N
i k i
i
r
,
1
( )0
Ni
i k
i
r
y
,
1
( )0
Mj
j k
j
rT
y
em 0y (4.81)
,
1
( ) 0N
i k i
i
r
,
1
( )0
Ni
i k
i
r
y
,
1
( )0
Mj
j k
j
rT
y
em 1y (4.82)
que será resolvido k vezes com 1,..., pk N . Estes sistemas de equações algébricas
serão resolvidos pelo método de Broyden [70]. Logo, para cada ponto de colocação
estocástica ( k ) será solucionado um sistema não-linear, para se achar a solução do
problema determinístico associado.
No problema determinístico, as equações (4.77)-(4.78) devem ser escritas para
cada centro dentro do domínio, e as equações (4.79)-(4.82) para cada centro da
53
fronteira. Assim, para L centros no domínio tem-se L equações (4.77) e L equações
(4.78). Para P centros na fronteira tem-se 2P equações de fronteira para a equação bi-
harmônica, por ser tratar de uma equação de 4a ordem. Já para a equação da energia
tem-se P equações de fronteira. Logo, a equação bi-harmônica (4.77) tem L P
variáveis e 2L P equações e a equação da energia (4.78) tem L P variáveis e L P
equações.
Nota-se que para a equação bi-harmônica, o número de equações é superior ao
número de variáveis. Para igualar esses números, faltam P centros nas fronteiras.
Assim, para resolver esse problema, foi empregada a estratégia de “centros fantasmas”
[50] em que P centros extras são colocados fora do domínio e perto das condições de
contorno, igualando o número de equações e de variáveis, obtendo 2N L P e
M L P .
4.2.2 Método de Colocação estocástica aplicado ao problema de
Magnetohidrodinâmica (Dimensão estocástica 2N )
Neste caso, os números de Grashof ( Gr ) e Hartmann ( Ha ) serão considerados
variáveis aleatórias assumidas como:
0 1Gr( ) Gr (1 )Gr (4.83)
0 2Ha( ) Ha (1 )Ha (4.84)
onde Gr e Ha são os coeficientes de dispersão das variáveis aleatórias 1 e 2
respectivamente e 0Ha e 0Gr são números de Hartmann e Grashof de referência.
Aplicando a expansão de colocação estocástica por interpolação de Lagrange nas
variáveis estocásticas Grashof ( Gr ) e Hartmann ( Ha ), podemos escrever:
1
Gr( ) Gr ( )PN
k k
k
h
(4.85)
(4.86)
54
1
Ha( ) Ha ( )PN
k k
k
h
Aplicando as expansões (4.85)-(4.86) na equação (4.62) obtêm-se:
3 3 3 3
2 3 2 3
24 4 4 2
4 2 2 4 21 1
2 ( ) Gr ( )P PN N
k k k k
k k
y x y x x y x y
THa h h
x x y y x x
(4.87) (4.4.2.e)
Admitindo a propriedade do polinômio de Lagrange ( ( )k j kjh ) e aplicando
essa propriedade na equação (4.87), obtem-se:
3 3 3 3
2 3 2 3
4 4 4 22
4 2 2 4 22 Gr
k k k k k k
k k k k kk k
y x y x x y x y
THa
x x y y x x
1,..., pk N
(4.88) (4.4.2.e)
onde pN é o número de pontos de colocação.
A equação (4.88) será resolvida para cada ponto de colocação e junto à equação
(4.66) resulta em um sistema não-linear. Neste sistema, e também nas condições de
contorno (4.67)-(4.70), serão aplicadas as expansões em RBF (4.75)-(4.76) à solução
para T e resultando no sistema de equações abaixo:
3 3
, , ,2 31 1 1
3 3
, , ,2 31 1 1
4 4
, ,4 2 21 1
42
, 41
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )2
( )Ha
N N Ni i i
i k i k i k
i i i
N N Ni i i
i k i k i k
i i i
N Ni i
i k i k
i i
Ni
i k k i
i
r r r
y x y x
r r r
x y x y
r r
x x y
r
y
2
, ,21 1
( )( )Gr
N Mji
k k j k
i j
rrT
x x
(4.89)
55
, , , ,
1 1 1 1
2 2
, ,2 21 1
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )1
Pr
N M N Mj ji i
i k j k i k j k
i j i j
M Mj j
j k j k
j j
r rr rT T
y x x y
r rT T
x y
(4.90)
,
1
( ) 0N
i k i
i
r
,
1
( )0
Ni
i k
i
r
x
,
1
( ) 1M
j k j
j
T r
em 0x (4.91)
,
1
( ) 0N
i k i
i
r
,
1
( )0
Ni
i k
i
r
x
,
1
( ) 0M
j k j
j
T r
em 1x (4.92)
,
1
( ) 0N
i k i
i
r
,
1
( )0
Ni
i k
i
r
y
,
1
( )0
Mj
j k
j
rT
y
em 0y (4.93)
,
1
( ) 0N
i k i
i
r
,
1
( )0
Ni
i k
i
r
y
,
1
( )0
Mj
j k
j
rT
y
em 1y (4.94)
que será resolvido k vezes com 1,..., pk N . Estes sistemas de equações algébricas
serão resolvidos pelo método de Broyden [70]. Logo, para cada ponto de colocação
estocástica ( k ) será solucionado um sistema não-linear, encontrando a solução do
problema determinístico associado. Analogamente, assim como na seção 4.2.1, será
utilizada a estratégia de “centros fantasmas” para que o sistema não-linear seja possível
e determinado.
56
4.2.3 Método quasi-Newton
O problema de magnetohidrodinâmica resulta em um sistema não linear de
equações algébricas que pode ser muito mal condicionado, dependendo do valor do
fator de forma c . Para a solução deste sistema existem vários métodos numéricos. Um
deles, o método Broyden [70], se mostrou mais robusto. Tal método é classificado como
um método quasi-Newton. No método de Newton tradicional, o cálculo da inversa da
matriz Hessiana pode ser custoso podendo demandar elevado tempo computacional,
dependendo do problema. Assim, o método quasi-Newton fornece uma aproximação da
inversa da matriz Hessiana, usando apenas informações do gradiente. A matriz
aproximação é atualizada em cada iteração usando a informação das derivadas
(gradiente) da iteração anterior. Dessa forma, o método torna-se rápido, mas não muito
custoso.
57
Capítulo 5
Resultados
Nesta seção são apresentados resultados numéricos para os dois problemas
encontrados no capítulo 4. Anteriormente, no trabalho de qualificação, uma equação
diferencial ordinária estocástica aproximada pela expansão de polinômio caos foi
resolvida para quatro tipos de distribuições do parâmetro k (Gaussiana, Beta, Gamma e
Poisson). A EDO foi reproduzida a fim de ampliar o conhecimento dos métodos
baseados em polinômio caos. O problema de condução de calor unidimensional
transiente foi resolvido para a distribuição uniforme da variável aleatória. As variáveis
do problema foram aproximadas pela expansão de Legendre do conjunto de polinômio
caos Wiener-Askey. O problema unidimensional foi resolvido para polinômio caos nos
graus 1, 2, 3 e 4 e também através do método de colocação estocástica. Através destes
dois primeiros problemas pode-se constatar que o método de Galerkin gerou resultados
pouco satisfatórios quando comparados ao método de colocação estocástica, devido sua
característica inerente de obter resultados através de equações acopladas. Com os
problemas anteriores pude ampliar a confiabilidade na metodologia de colocação frente
à de Galerkin. Sendo assim, nos problemas enunciados no capítulo 4 será somente
aplicado o método de colocação estocástica que será verificado pelo método de Monte
Carlo.
A modelagem da liberação controlada de fertilizantes em uma esfera, que se
expressa por uma equação de balanço de massa, foi determinada para a distribuição
uniforme do parâmetro estocástico. Neste caso foi imposto que o coeficiente de
distribuição de fertilizante ( k ) e o coeficiente de difusão ( *D ) contêm incertezas.
58
Primeiramente, a solução determinística da taxa de liberação para vários valores de
(variável relacionada ao coeficiente de distribuição de fertilizantes) foi obtida e
comparada ao artigo de referência [40]. Também uma análise de convergência de
pontos do domínio foi feita, mostrando uma convergência da solução média com 1000
pontos. Num segundo momento, adotando parâmetros estocásticos, as variáveis do
problema foram aproximadas pelo método de colocação estocástica por interpolação de
Lagrange utilizando 3, 5, 10 e 20 pontos de colocação (no caso unidimensional) e 5, 13
e 29 pontos de colocação ou níveis de interpolação 1, 2 e 3, respectivamente, no caso
bidimensional, utilizando as abscissas de Clenshaw-Curtis. Suas soluções, para a taxa
de liberação e concentração, foram comparadas com o método de Monte Carlo. As
soluções foram obtidas para três valores do coeficiente de dispersão (0.1, 0.5 e 0.9) a
fim de mostrar a influência da amplitude da incerteza na solução. Além disso, a média e
o desvio padrão da solução podem ser avaliados em conjunto, identificando a dispersão
da solução.
O segundo problema, de Magnetohidrodinâmica, exprime um caráter estocástico
por apresentar o número de Grashof e o número de Hartman, como variáveis aleatórias.
As incertezas associadas a estas variáveis, por sua vez, foram adotadas com
distribuições uniformes. Para o problema estocástico, com variáveis estocásticas
unidimensional e bidimensional, nos resultados obtidos pelo método de colocação
estocástica utilizou-se a regra de Clenshaw-Curtis para alguns níveis de interpolação.
Para comparação, foi utilizado o método de Monte Carlo em que a análise de
convergência da solução foi verificada pela variância do número de Nusselt nas paredes
verticais da cavidade. As soluções foram obtidas para dois valores do coeficiente de
dispersão (0.2 e 0.7), a fim de mostrar a influência da amplitude da incerteza na solução.
Nos resultados obtidos em cada problema com a distribuição uniforme, não é
possível definir um intervalo de confiança da mesma forma como definido na
distribuição Gaussiana. Assim, será definido um intervalo de credibilidade como sendo
uma variação de 2.576em torno da média, onde é dado pela equação (3.20) e a
média pela equação (3.19).
59
5.1 Modelagem da liberação controlada de fertilizantes
Nesta seção serão mostrados resultados do problema de liberação controlada de
fertilizantes, apresentado nas equações (4.23)-(4.27). Para a verificação de alguns dos
resultados foi utilizado o artigo de Al-Zahrani [40]. Neste trabalho, o autor desenvolveu
modelos matemáticos para descrever a taxa de liberação de fertilizantes na membrana
polimérica de uma esfera de fertilizantes. A taxa de liberação de fertilizantes é obtida
pela equação:
( ,1)1T
(5.1)
onde a taxa de liberação de fertilizantes (T ) depende da concentração ( ) na casca da
esfera ao passar do tempo e do coeficiente de distribuição ( k ), que está relacionado à
variável ( ).
A Figura 5.1 apresenta a solução da concentração de fertilizantes na casca da
esfera pelo tempo para cada conjunto de pontos de discretização por diferenças finitas
(50, 100, 200, 500, 1000, 10000 pontos) distribuídos no domínio sem incerteza no
parâmetro , exibindo uma análise de convergência. Através dela, adotamos um
conjunto de 1000 pontos no domínio, o que já se pode garantir resultados confiáveis
quanto à discretização espacial.
Figura 5.1: Análise da convergência para um conjunto de pontos ( p ) no domínio.
t
Co
nce
ntr
açã
o
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
60
A Figura 5.2 apresenta a taxa de liberação obtida por Al-Zahrani [40] e no
presente trabalho, obtida por diferenças finitas. As taxas foram comparadas para
diversos valores de . Neste resultado não foram consideradas incertezas, apenas
verificou-se o programa computacional em estudo com um resultado da literatura, visto
que o artigo para verificação apenas disponibiliza o resultado para a variável taxa de
liberação.
Figura 5.2: Comparação da taxa de liberação de fertilizantes com resultado da literatura.
A Figura 5.3(a) mostra a concentração de fertilizantes pelo tempo para três
valores de (que é diretamente proporcional ao coeficiente de distribuição k )
diferentes. Pode-se constatar que aumentando-se o valor , ocorre a diminuição da
concentração em qualquer instante de tempo. Este comportamento exibe a concentração
de fertilizantes dentro da esfera que, com o tempo, libera o fertilizante tornando sua
concentração interna igual à zero. Analogamente, a Figura 5.3(b) mostra a taxa de
liberação pela raiz quadrada do tempo para três valores de diferentes, em que
aumentando-se o valor de ocorre o aumento da taxa de liberação.
t
Ta
xa
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
alfa 0.1,Al-Zahrani
alfa 0.5,Al-Zahrani
alfa 1.0,Al-Zahrani
alfa 0.1,presente trabalho
alfa 0.5,presente trabalho
alfa 1.0,presente trabalho
61
(a) (b)
Figura 5.3: (a) Concentração x tempo para três valores de . (b) Taxa de liberação x
raiz quadrada do tempo para três valores de .
A modelagem da liberação controlada de fertilizantes abordada em [40] será
estudada na referida tese, alocando incertezas no coeficiente de distribuição ( k ) e
depois também no coeficiente de difusão ( *D ). Para solucionar o problema, foram
adotados os seguintes valores de referência: 0 1 e 0 1D . A incerteza com variável
estocástica bidimensional necessita do produto tensorial dos pontos de colocação
unidimensionais, o que pode acarretar no crescimento exagerado do número de pontos
para se obter uma boa solução. Neste caso, uma malha esparsa será empregada a fim de
se garantir soluções ótimas com apenas poucos pontos.
As soluções do presente trabalho por colocação, para uma variável estocástica,
foram obtidas para 3, 5, 10 e 20 pontos de colocação gerados pela quadratura de Gauss.
O sistema de equações diferenciais parciais determinístico resultante da aplicação do
método de colocação estocástica foi resolvido pelo método de diferenças finitas. Para o
caso de duas variáveis aleatórias (dimensão estocástica N=2), foram utilizados 5, 13 e
29 pontos de colocação gerados pela abscissa Clenshaw-Curtis [34]. As soluções foram
obtidas para três valores do coeficiente de dispersão (0.1, 0.5 e 0.9) da variável
aleatória, a fim de avaliar a solução frente à dispersão dos dados de entrada. Para a
verificação do método foi utilizado o método de Monte Carlo.
t
Co
nce
ntr
açã
o
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
t
Ta
xa
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
62
5.1.1 Variável estocástica Unidimensional – Coeficiente de distribuição ( k )
O parâmetro contendo incerteza é dado pela equação (4.15). A distribuição de
é uniforme no intervalo [ 1,1] e para o coeficiente de dispersão de dados ( ) foram
utilizados os seguintes valores: 0.1 , 0.5 e 0.9 . A concentração ( C ) e a
taxa de liberação (T ) são dadas pelas expansões:
1
( , ; ) ( , )PN
i i
i
C w
(5.2)
1
( ,1)
( , ; ) 1
PN
i i
i
w
T
(5.3)
Para verificar os resultados obtidos pelo método de colocação foi utilizado o
método de Monte Carlo, em que foi aplicado um conjunto de 100, 500, 1000 e 5000
amostras, a fim de se observar a convergência do número adequado de amostras para
variável estocástica com 10% de dispersão (Figura 5.4(a)-(b)). Com pequena
incerteza nesta variável de entrada, o gráfico da variância da solução para a
concentração e taxa de liberação, obtidos para vários conjuntos de amostras, mostrou-se
com pequenas alterações. Pode-se considerar com isso a convergência da variância com
o método de Monte Carlo com um conjunto de 5000 amostras, a qual será considerada
na comparação abaixo.
(a) (b)
Figura 5.4: Convergência da variância com o método de Monte Carlo para 5000
amostras. (a) Concentração (b) Taxa de liberação.
t
0.2 0.4 0.6 0.8 1
10-24
10-19
10-14
10-9
10-4
MC 100
MC 500
MC 1000
MC 5000
2
t
0.2 0.4 0.6 0.8 1
10-13
10-11
10-9
10-7
10-5
10-3
MC 100
MC 500
MC 1000
MC 5000
2
63
Para o método de colocação utilizou-se 3, 5 e 10 pontos para 0.1 . Um
desvio MC entre a solução média obtida por colocação e a solução média obtida pelo
método de Monte Carlo foi utilizada, para verificar a convergência da solução por
colocação.
( ) ( )( )
( )
coloc MCMC
MC
sol t sol tt
sol t
(5.4)
em que colocsol é a solução média obtida pelo método de colocação e MCsol é a solução
média obtida pelo método de Monte Carlo com um número de amostras convergentes.
A Figura 5.5(a)-(b) apresenta o desvio entre a solução média obtida pelo método
de Monte Carlo e a solução média obtida pelo método de colocação para diferentes
valores de NP (número de pontos de colocação). Pode-se verificar que não houve
mudança neste desvio, portanto pode-se dizer que o método de colocação converge com
3 pontos.
(a) (b)
Figura 5.5: (a) Desvio entre soluções para a concentração em alguns valores de tempo.
(b) Desvio entre soluções para a taxa de liberação em alguns valores de tempo.
A Figura 5.6(a)-(b) exibe a comparação entre as soluções obtidas pelo método de
Monte Carlo com 5000 amostras e pelo método de colocação com 3 pontos, ambas
convergidas com seus respectivos intervalos de credibilidade (IC). Nele pode-se
t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-4
10-3
10-2
coloc3
coloc5
coloc10
t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.610
-6
10-5
10-4
10-3
coloc3
coloc5
coloc10
64
verificar a influência do parâmetro de incerteza.
(a) (b)
Figura 5.6: Comparação do método de colocação com o método de Monte Carlo: (a)
Concentração. (b) Taxa de liberação.
Observou-se que para a dispersão da variável estocástica de 10% , com um
conjunto de 3 pontos de colocação, foi alcançada a convergência da solução.
Depois, a variável estocástica foi admitida com 50% ( 0.5 ) de dispersão.
Novamente para verificar os resultados obtidos pelo método de colocação foi utilizado o
método de Monte Carlo, em que foi aplicado um conjunto de 500, 1000, 5000 e 10000
amostras a fim de se observar a convergência do número adequado de amostras para
este caso (Figura 5.7(a)-(b)). Aumentando a variabilidade na incerteza, o gráfico para a
variância da solução para a concentração e taxa de liberação obtida para vários
conjuntos de amostras é possível notar uma pequena discrepância. Através da análise
gráfica pode-se garantir que, para um conjunto de 10000 amostras, uma convergência
foi alcançada.
t
Co
nce
ntr
açã
o
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
coloc 3
coloc 3-IC
MC 5000
MC 5000-IC
t
Ta
xa
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
coloc 3
coloc 3-IC
MC 5000
MC 5000-IC
65
(a) (b)
Figura 5.7: Convergência da variância com o método de Monte Carlo para 10000
amostras. (a) Concentração (b) Taxa de liberação.
Para o método de colocação utilizou-se 3, 5, 10 e 20 pontos de colocação para
0.5 . A Figura 5.8(a)-(b) exibe o desvio MC entre as soluções obtidas por Monte
Carlo e por colocação. Com este desvio verifica-se a convergência da solução por
colocação com 3 pontos.
(a) (b)
Figura 5.8: (a) Desvio entre soluções para a concentração em alguns valores de tempo.
(b) Desvio entre soluções para a taxa de liberação em alguns valores de tempo.
A Figura 5.9(a)-(b) apresenta a comparação dos métodos em análise com seus
respectivos intervalos de credibilidade. Pode-se notar a convergência da solução através
de seus intervalos de credibilidade que se apresentam idênticos. Também é possível
t
0.2 0.4 0.6 0.8 1
10-23
10-18
10-13
10-8
10-3
MC 500
MC 1000
MC 5000
MC 100002
t
0.2 0.4 0.6 0.8 1
10-11
10-9
10-7
10-5
10-3
10-1
MC 500
MC 1000
MC 5000
MC 10000
2
t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-4
10-3
10-2
coloc 3
coloc 5
coloc 10
coloc 20
t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.610
-5
10-4
10-3
10-2
coloc 3
coloc 5
coloc 10
coloc 20
66
notar que uma maior dispersão na variável estocástica leva ao aumento do intervalo de
credibilidade. Conclui-se, que para a dispersão de dados da variável estocástica de
50%, com um conjunto de 3 pontos de colocação, foi alcançada a convergência da
solução.
(a) (b)
Figura 5.9: Comparação do método de colocação com o método de Monte Carlo: (a)
Concentração. (b) Taxa de liberação.
Por fim, a variável estocástica foi admitida com 90% ( 0.9 ) de dispersão.
A verificação dos resultados obtidos pelo método de colocação foi feita pelo método de
Monte Carlo em que foi aplicado um conjunto de 500, 1000, 5000 e 10000 amostras a
fim de se observar a convergência do número adequado de amostras para este caso
(Figura 5.10(a)-(b)). Com uma variabilidade na incerteza de entrada de quase 100% , é
possível observar uma leve discrepância no gráfico para resultados obtidos para vários
conjuntos de amostras, em se tratando da variância das soluções obtidas por Monte
Carlo. Com isso, para uma convergência aceitável pode-se adotar um conjunto de 10000
amostras.
t
Co
nce
ntr
açã
o
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
coloc 3
coloc 3-IC
coloc 5
coloc 5-IC
coloc 10
coloc 10-IC
MC 10000
MC 10000-IC
t
Ta
xa
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
coloc 3
coloc 3-IC
coloc 5
coloc 5-IC
coloc 10
coloc 10-IC
MC 10000
MC 10000-IC
67
(a) (b)
Figura 5.10: Convergência da variância com o método de Monte Carlo para 10000
amostras. (a) Concentração (b) Taxa de liberação.
Para o método de colocação utilizou-se 3, 5, 10 e 20 pontos de colocação para
0.9 . Através da Figura 5.11(a)-(b) pode-se perceber a convergência do método de
colocação com 5 pontos, já que a partir deste conjunto de pontos o desvio entre soluções
não se modifica.
(a) (b)
Figura 5.11: (a) Desvio entre soluções para a concentração em alguns valores de tempo.
(b) Desvio entre soluções para a taxa de liberação em alguns valores de tempo.
Na Figura 5.12(a)-(b) que apresenta uma comparação com o método de Monte
Carlo, observa-se que, para a dispersão de dados da variável estocástica de 90% ,
com um conjunto de 5 pontos de colocação, foi alcançada a convergência da solução.
t
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002 MC 500
MC 1000
MC 5000
MC 10000
2
t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
MC 500
MC 1000
MC 5000
MC 10000
2
t
0.2 0.4 0.6 0.810
-4
10-3
10-2
coloc 3
coloc 5
coloc 10
coloc 20
t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.610
-6
10-5
10-4
10-3
coloc 3
coloc 5
coloc 10
coloc 20
68
(a) (b)
Figura 5.12: Comparação do método de colocação com o método de Monte Carlo: (a)
Concentração. (b) Taxa de liberação.
Pode-se notar nos resultados apresentados acima que, para uma variabilidade na
variável estocástica de quase 100%, apenas poucos pontos de colocação foram
necessários para uma boa solução.
5.1.2 Variável estocástica Bidimensional – Coeficiente de distribuição ( k ) e
Coeficiente de difusão ( *D )
Os parâmetros contendo incertezas são dados pela equação (4.15) para o
coeficiente de distribuição e pela equação (4.28) para o coeficiente de difusão. A
distribuição da variável estocástica é uniforme no intervalo [ 1,1] e para o coeficiente
de dispersão de dados ( ) foram utilizados os seguintes valores: 0.1 , 0.5 e
0.9 . A concentração ( C ) e taxa de liberação (T ) são dadas pelas expansões (5.2)-
(5.3).
Inicialmente, apresenta-se o gráfico com a média da solução estocástica obtida
pelo método de colocação para 5, 13 e 29 pontos de colocação, para a concentração de
fertilizantes e para a taxa de liberação, obtida por (5.2)-(5.3) juntamente com os
intervalos de credibilidade (IC) gerado pela variância (3.20), associados a essa média
(Figura 5.13(a)-(b)). Ambos, média e variância, são funções dependentes do tempo. As
variáveis estocásticas e *D foram admitidas com 10% ( 0.1 ) de dispersão.
t
Co
nce
ntr
açã
o
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sem_incerteza
coloc 5
coloc 5-IC
MC 10000
MC 10000-IC
t
Ta
xa
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sem_incerteza
coloc 5
coloc 5-IC
MC 10000
MC 10000-IC
69
Pode-se verificar a diminuição do intervalo de credibilidade com o aumento de pontos
de colocação.
(a) (b)
Figura 5.13: (a) Concentração x tempo para 0.1 . (b) Taxa de liberação x raiz
quadrada do tempo para 0.1 .
Para validar os resultados obtidos pelo método de colocação foi utilizado o
método de Monte Carlo em que foi aplicado um conjunto de 1000, 3000 e 5000
amostras a fim de se observar a convergência para este caso (Figura 5.14(a)-(b)). Os
gráficos apresentam resultados para a variância da solução para a concentração e taxa de
liberação e pode-se verificar a convergência da variância com o método de Monte Carlo
com um conjunto de 5000 amostras.
(a) (b)
Figura 5.14: Convergência da variância com o método de Monte Carlo para 5000
amostras. (a) Concentração (b) Taxa de liberação.
t
Co
nce
ntr
açã
o
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
coloc 5
coloc 5-IC
coloc 13
coloc 13-IC
coloc 29
coloc 29-IC
t
Ta
xa
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
coloc 5
coloc 5-IC
coloc 13
coloc 13-IC
coloc 29
coloc 29-IC
t
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
MC 1000
MC 3000
MC 5000
2
t
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5E-05
0.0001
0.00015
0.0002
MC 1000
MC 3000
MC 5000
2
70
Para o método de colocação utilizaram-se 5, 13 e 29 pontos de colocação para
0.1 . Na Figura 5.15(a)-(b) verifica-se a convergência da solução média pelo
método de colocação com 13 pontos, quando nenhuma mudança significante no desvio
MC foi constatada em relação à solução com 29 pontos.
(a) (b)
Figura 5.15: (a) Desvio entre soluções para a concentração em alguns valores de tempo.
(b) Desvio entre soluções para a taxa de liberação em alguns valores de tempo.
A Figura 5.16(a)-(b) exibe a comparação entre os métodos de colocação e de
Monte Carlo em que é possível verificar a convergência através do intervalo de
credibilidade. Observou-se que para a dispersão de dados das variáveis estocásticas e
*D de 10%, com um conjunto de 13 pontos de colocação, foi alcançada a convergência
da solução.
t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-4
10-3
10-2
10-1
100
101
coloc 5
coloc 13
coloc 29
t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.610
-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
coloc 5
coloc 13
coloc 29
71
(a) (b)
Figura 5.16: Comparação do método de colocação com o método de Monte Carlo: (a)
Concentração. (b) Taxa de liberação.
A Figura 5.17(a)-(b) apresenta o gráfico com a média da solução estocástica
alcançada pelo método de colocação para 5, 13 e 29 pontos de colocação, para a
concentração de fertilizantes e para a taxa de liberação respectivamente, obtida por
(5.2)-(5.3) juntamente com o intervalo de credibilidade (IC) gerado pela variância
(3.20), associado a essa média. As variáveis estocásticas e *D foram admitidas com
50% ( 0.5 ) de dispersão. Verifica-se que o aumento da dispersão dos dados
estocásticos influencia a solução, o que é claramente notado no intervalo de
credibilidade em comparação à Figura 5.13 para 0.1 .
(a) (b)
Figura 5.17: (a) Concentração x tempo para 0.5 . (b) Taxa de liberação x raiz
quadrada do tempo para 0.5 .
t
Co
nce
ntr
açã
o
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
coloc 13
coloc 13-IC
coloc 29
coloc 29-IC
MC 10000
MC 10000-IC
t
Ta
xa
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
coloc 13
coloc 13-IC
coloc 29
coloc 29-IC
MC 10000
MC 10000-IC
t
C
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
coloc 5
coloc 5-IC
coloc 13
coloc 13-IC
coloc 29
coloc 29-IC
t
Ta
xa
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
coloc 5
coloc 5-IC
coloc 13
coloc 13-IC
coloc 29
coloc 29-IC
72
Para verificar os resultados obtidos pelo método de colocação foi utilizado o
método de Monte Carlo em que foi aplicado um conjunto de 1000, 3000, 5000 e 10000
amostras (Figura 5.18(a)-(b)). Aumentando o grau de incerteza, não é verificado
discrepâncias acentuadas no gráfico para a variância da solução para a concentração e
taxa de liberação obtida para vários conjuntos de amostras. O que se pode concluir que
para estes conjuntos de amostras houve convergência da solução média obtida por
Monte Carlo. Para comparação com o método de colocação, considerando incertezas
com coeficientes de dispersão de dados de 50%, será adotada a solução com o método
de Monte Carlo obtida com 10000 amostras.
(a) (b)
Figura 5.18: Convergência da variância com o método de Monte Carlo para 10000
amostras. (a) Concentração (b) Taxa de liberação.
Para o método de colocação utilizou-se 5, 13 e 29 pontos de colocação para
0.5 , resultados já vistos na Figura 5.17(a)-(b).
A Figura 5.19(a)-(b) mostra o desvio MC entre as soluções obtidas com alguns
conjuntos de pontos de colocação, comparadas com o método de Monte Carlo com
10000 amostras. Pode-se constatar uma diminuição no desvio para um conjunto de 29
pontos de colocação para a concentração. Por outro lado, não se observa um
comportamento característico do desvio MC para a taxa de liberação.
t
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
MC 1000
MC 3000
MC 5000
MC 10000
2
t
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
MC 1000
MC 3000
MC 5000
MC 10000
2
73
(a) (b)
Figura 5.19: (a) Desvio entre soluções para a concentração em alguns valores de tempo.
(b) Desvio entre soluções para a taxa de liberação em alguns valores de tempo.
A Figura 5.20(a)-(b) apresenta a comparação entre os métodos utilizados em que
se pode verificar uma tendente convergência entre os métodos. Essa convergência para
o método de colocação foi alcançada com 29 pontos.
(a) (b)
Figura 5.20: Comparação do método de colocação com o método de Monte Carlo: (a)
Concentração. (b) Taxa de liberação.
Por último, as variáveis estocásticas e *D foram admitidas com 90%(
0.9 ) de dispersão. A Figura 5.21(a)-(b) apresenta o gráfico com a média da solução
estocástica alcançada pelo método de colocação para 5, 13 e 29 pontos de colocação,
para a concentração de fertilizantes e para a taxa de liberação, obtida por (5.2)-(5.3)
t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-4
10-3
10-2
10-1
100
coloc 5
coloc 13
coloc 29
t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.610
-5
10-4
10-3
10-2
coloc 5
coloc 13
coloc 29
t
Co
nce
ntr
açã
o
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
coloc 13
coloc 13-IC
coloc 29
coloc 29-IC
MC 10000
MC 10000-IC
t
Ta
xa
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
coloc 13
coloc 13-IC
coloc 29
coloc 29-IC
MC 10000
MC 10000-IC
74
juntamente com o intervalo de credibilidade (IC) gerado pela variância (3.20), associado
a essa média. Podemos observar a influência da dispersão das variáveis estocásticas nos
intervalos de credibilidade, em que é visível a discrepância entre estes intervalos para
vários conjuntos de pontos de colocação.
(a) (b)
Figura 5.21: (a) Concentração x tempo para 0.9 . (b) Taxa de liberação x raiz
quadrada do tempo para 0.9 .
A verificação dos resultados obtidos pelo método de colocação foi feita pelo
método de Monte Carlo em que foi aplicado um conjunto de 1000, 3000, 5000 e 10000
amostras (Figura 5.22(a)-(b)). Estes resultados mostram a convergência da variância da
solução para a concentração e taxa de liberação. Com isso pode-se adotar um conjunto
de 10000 amostras para a comparação que se segue.
(a) (b)
Figura 5.22: Convergência da variância com o método de Monte Carlo para 10000
amostras. (a) Concentração (b) Taxa de liberação.
t
Co
nce
ntr
açã
o
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
coloc 5
coloc 5-IC
coloc 13
coloc 13-IC
coloc 29
coloc 29-IC
t
Ta
xa
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
coloc 5
coloc 5-IC
coloc 13
coloc 13-IC
coloc 29
coloc 29-IC
t
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
MC 1000
MC 3000
MC 5000
MC 10000
2
t
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.005
0.01
0.015
0.02
MC 1000
MC 3000
MC 5000
MC 10000
2
75
Para o método de colocação foi aplicado 5, 13 e 29 pontos para 0.9 . A
Figura 5.23(a)-(b) exibe estes desvios. Pode-se verificar o seu declínio para 29 pontos
de colocação. Este declínio garante a convergência da solução obtida pelo método de
colocação com 29 pontos como pode ser vista na Figura 5.24(a)-(b).
(a) (b)
Figura 5.23: (a) Desvio entre soluções para a concentração em alguns valores de tempo.
(b) Desvio entre soluções para a taxa de liberação em alguns valores de tempo.
(a) (b)
Figura 5.24: Comparação do método de colocação com o método de Monte Carlo: (a)
Concentração. (b) Taxa de liberação.
Os resultados obtidos quando duas variáveis de entrada são aleatórias indicam
que as incertezas na solução final podem ser significativas.
t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
coloc 5
coloc 13
coloc 29
t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.610
-5
10-4
10-3
10-2
10-1
coloc 5
coloc 13
coloc 29
t
Co
nce
ntr
açã
o
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
coloc 13
coloc 13-IC
coloc 29
coloc 29-IC
MC10000
MC 10000-IC
t
Ta
xa
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
coloc 13
coloc 13-IC
coloc 29
coloc 29-IC
MC 10000
MC 10000-IC
76
5.2 Problema de Magnetohidrodinâmica
Nesta seção serão mostrados resultados do problema estocástico de
magnetohidrodinâmica, apresentado nas equações (4.62)-(4.67). O problema
determinístico foi estudado por Colaço et al [45], onde os autores empregaram o
método sem malha baseado nas funções de base radial para resolver um problema de
magnetohidrodinâmica (MHD) bidimensional em uma cavidade quadrada com
escoamento incompressível, laminar, estacionário e com campo magnético constante. O
sistema de equações resultante foi resolvido utilizando um método quasi-Newton e seus
resultados foram comparados ao método dos Volumes Finitos.
No presente trabalho, o método sem malha baseado nas funções de base radial,
juntamente com o método de colocação estocástica, foi aplicado ao mesmo problema. A
aplicação do método de colocação estocástica se dá pelo emprego de incertezas em
alguns parâmetros de entrada.
O problema de magnetohidrodinâmica abordado em [45] será estudado na
referida tese, alocando incertezas no número de Grashof ( Gr ) e depois também no
número de Hartman ( Ha ). Para solucionar o problema, foram adotados os seguintes
valores de referência: 4
0Gr 10 e 0Ha 25 [45]. No caso de variável estocástica
unidimensional, para obter os pontos de colocação, foi testada a regra da quadratura de
Gauss e a regra de Clenshaw-Curtis [34]. Devido à necessidade de gerar muitos pontos
para alcançar boa precisão na solução do problema de magnetohidrodinâmica, com a
utilização da primeira regra não foi possível gerar pontos suficientes, pois a sua
composição necessitaria construir uma matriz Jacobiana (3.18) de coeficientes de
recorrência muito grande, o que dificultaria a sua aplicação. Neste caso, o uso da regra
de Clenshaw-Curtis gerou resultados mais rápidos e sem esta dificuldade de geração de
pontos. Tanto para variável estocástica unidimensional como para variável estocástica
bidimensional, a malha esparsa, gerada pela regra de Clenshaw-Curtis, será empregada
a fim de garantir boas soluções com menos pontos do que uma malha completa.
As soluções do presente trabalho por colocação estocástica, para uma e duas
variáveis estocásticas, foram obtidas para quatro níveis diferentes das abscissas de
Clenshaw-Curtis, em que pelo menos em um dos níveis utilizados foi verificada a
convergência da solução. Os níveis de interpolação utilizados em cada dimensão
estocástica são apresentados na Tabela 5.1. O sistema de equações diferenciais parciais
77
obtido pelo método utilizado foi resolvido pelo método baseado nas funções de base
radial. As soluções foram obtidas para dois valores do coeficiente de dispersão (0.2 e
0.7) da variável aleatória a fim de avaliar a solução frente à dispersão dos dados de
entrada. Para verificação do método de colocação foi utilizado o método de Monte
Carlo.
Tabela 5.1: Número de pontos de colocação de acordo com o nível de interpolação e
dimensão estocástica.
Dimensão
estocástica
( )N
Nível de interpolação ( i ) Número de pontos de colocação ( PN )
1
7 129
8 257
9 513
10 1025
2
6 321
7 705
8 1537
9 3329
5.2.1 Variável estocástica Unidimensional – Número de Grashof ( Gr )
O parâmetro contendo incerteza é dado pela equação (4.71). A distribuição de
é uniforme no intervalo [ 1,1] e para o coeficiente de dispersão de dados ( ) foram
utilizados os seguintes valores: 0.2 e 0.7 .
Na solução do problema determinístico, para cada ponto de colocação
estocástica, foi aplicada a técnica das funções de base radial com 15x15 centros
uniformemente espaçados. O número de Prandlt é uma variável adimensional do
problema e seu valor foi tomado como 0.71. O número de Hartman foi escolhido como
zero, ou seja, a solução do problema será obtida sem considerar campo magnético.
Como este trabalho faz referência principalmente ao método de colocação estocástica, a
quantidade de centros empregados na expansão por RBF será mantida fixa a fim de
78
investigar primordialmente os efeitos do método de colocação estocástica através de
cada conjunto de pontos de colocação (níveis de interpolação).
A fim de ponderar a dispersão da variável estocástica na solução do problema
de magnetohidrodinâmica serão apresentados os resultados para os dois graus de
dispersão ( 0.2 e 0.7 ) em conjunto para cada variável analisada.
5.2.1.1 Análise de convergência do método de Monte Carlo
Inicialmente, foi realizada uma análise de convergência do método de Monte
Carlo. Esta análise foi feita através da comparação da média e da variância do número
de Nusselt nas paredes verticais da cavidade, por exprimir a taxa de transferência de
calor.
A Figura 5.25(a) apresenta a média da solução do número de Nusselt em 0x ,
ao longo da parede vertical, obtida por simulações de Monte Carlo com vários
conjuntos de amostras para um coeficiente de dispersão da variável estocástica de 20%.
Da mesma forma, a Figura 5.25(b) apresenta resultados análogos para um coeficiente de
dispersão da variável estocástica de 70%. As Figuras 5.25(a)-(b) não aparentam
discrepâncias da média da solução do número de Nusselt para o número de amostras
utilizadas, mas o aumento da dispersão da variável estocástica gera uma leve alteração
na média do número de Nusselt, como é possível verificar para 0.2 , Nu0=3.23 e
para 0.7 , Nu0=3.17 em 0y .
79
(a) (b)
Figura 5.25: Média do número de Nusselt em 0x ao longo do domínio, obtida por
Monte Carlo. (a) 0.2 e (b) 0.7
A Figura 5.26(a) apresenta a média da solução do número de Nusselt em 1x ,
ao longo da parede vertical, obtida por simulações de Monte Carlo com vários
conjuntos de amostras para um coeficiente de dispersão da variável estocástica de 20%
e a Figura 5.26(b) para um coeficiente de dispersão da variável estocástica de 70%.
Novamente, em conformidade com o número de Nusselt em 0x , a média da solução
para o número de Nusselt não é modificada para o conjunto de amostras usadas, mas
uma leve discrepância (em 1y ) pode ser verificada quando se aumenta o grau de
incerteza do parâmetro estocástico.
(a) (b)
Figura 5.26: Média do número de Nusselt em 1x ao longo do domínio, obtida por
Monte Carlo. (a) 0.2 e (b) 0.7
+ + + + + ++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
+ + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
+ + + ++
++
++
+
+
++
++
+
+
++
++
+ +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
+ + + ++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
+ + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
+ + ++
++
+
+
+
++
++
+
++
++
++
+ + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
80
A Figura 5.27(a) apresenta a variância do número de Nusselt em 0x , ao longo
do eixo vertical, obtida por simulações de Monte Carlo com vários conjuntos de
amostras para um coeficiente de dispersão da variável estocástica de 20% e a Figura
5.27(b) para um coeficiente de dispersão da variável estocástica de 70%. Para a
variância do número de Nusselt é possível verificar a alteração de acordo com o número
de amostras. Também com o aumento do grau de incerteza no número de Grashof é
visível a amplitude da variância. Na Figura 5.27 verifica-se o intervalo onde ela está
definida, com o coeficiente de dispersão de 20%, 20 0.02 e com o coeficiente de
dispersão de 70%, 20 0.25 .
(a) (b)
Figura 5.27: Variância do número de Nusselt em 0x ao longo do domínio, obtida por
Monte Carlo. (a) 0.2 e (b) 0.7
A Figura 5.28(a) apresenta a variância do número de Nusselt em 1x , ao longo
do eixo vertical, obtida por simulações de Monte Carlo com vários conjuntos de
amostras para um coeficiente de dispersão da variável estocástica de 20% e a Figura
5.28(b) para um coeficiente de dispersão da variável estocástica de 70%. Do mesmo
modo, as características percebidas para variância do número de Nusselt em 0x são
encontradas em 1x .
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
+ + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.005
0.01
0.015
0.02
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
2
++
++
++
++
++
++
++
++
+
++
++
++ + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
2
81
(a) (b)
Figura 5.28: Variância do número de Nusselt em 1x ao longo do domínio, obtida por
Monte Carlo. (a) 0.2 e (b) 0.7
Nas Figuras 5.27(b) e 5.28(b) percebe-se uma discrepância da variância obtida
com 600 amostras em relação aos outros conjuntos de amostras, indicando a
necessidade de maiores amostras para se realizar a convergência desta medida.
A fim de verificar com mais clareza o número de amostras que define uma
convergência aceitável, foi realizada uma análise dada pela diferença ( ) entre a
variância do número de Nusselt nas paredes verticais da cavidade obtida pelo método de
Monte Carlo para o conjunto de amostras próximas, por exemplo, a diferença entre a
variância obtida com 1200 amostras e 600 amostras ( 1200 600 ). A Figura 5.29 mostra
esta diferença para o coeficiente de dispersão de dados de 20% e a Figura 5.30 mostra
esta diferença para o coeficiente de dispersão de dados de 70%.
+ + + ++
++
++
++
+
+
+
++
++
++
++
+
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.005
0.01
0.015
0.02
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
2
+ + + ++
++
+
+
++
++
++
++
++
+
++
++
+
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
2
82
(a) (b)
Figura 5.29: Diferença entre a variância do número de Nusselt em 0x (a) e em 1x
(b) ao longo do domínio, obtida por Monte Carlo para coeficiente de dispersão de 20%.
(a) (b)
Figura 5.30: Diferença entre a variância do número de Nusselt em 0x (a) e em 1x
(b) ao longo do domínio, obtida por Monte Carlo para coeficiente de dispersão de 70%.
Pode-se concluir que, apresentando pequenas variações nas amostras utilizadas,
pode-se considerar um conjunto de 7200 amostras do método de Monte Carlo, tanto
para o coeficiente de dispersão de 20% quanto para o coeficiente de dispersão de 70%,
como convergida.
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
10-6
10-5
10-4
10-3
1200 - 600
3600 - 1200
7200 - 3600
8400 - 7200
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
1200 - 600
3600 - 1200
7200 - 3600
8400 - 7200
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
10-5
10-4
10-3
10-2
1200 - 600
3600 - 1200
7200 - 3600
8400 - 7200
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
1200 - 600
3600 - 1200
7200 - 3600
8400 - 7200
83
5.2.1.2 Análise de convergência do método de Colocação Estocástica
Com os resultados obtidos pelo método de Monte Carlo, pode-se verificar como
se comporta o problema de MHD quando se aplica o método de colocação para
diferentes níveis de interpolação. Assim como no método de Monte Carlo, foi analisada
a média e variância do número de Nusselt nas paredes verticais da cavidade, com o
método de colocação estocástica. Inicialmente será apresentada a média da solução do
número de Nusselt para vários níveis de interpolação, juntamente com a solução obtida
pelo método de Monte Carlo com o número de amostras convergentes.
A Figura 5.31(a) mostra a média da solução do número de Nusselt em 0x , ao
longo da parede vertical, obtida pelo método de colocação em vários níveis de
interpolação e obtida pelo método de Monte Carlo para um coeficiente de dispersão da
variável estocástica de 20% e a Figura 5.31(b) para um coeficiente de dispersão da
variável estocástica de 70%. Para o coeficiente de dispersão de 20%, a média da solução
do número de Nusselt com nível de interpolação 7 apresenta diferenças observáveis em
comparação com outros níveis, indicando a necessidade de um nível de interpolação
maior. Em níveis de interpolação superiores, o resultado para a média do número de
Nusselt se mostrou convergente nos dois tipos de graus de incerteza.
(a) (b)
Figura 5.31: Média do número de Nusselt em 0x ao longo do domínio, obtida por
colocação. (a) 0.2 e (b) 0.7
Da mesma forma, a Figura 5.32(a)-(b) apresenta a média da solução para o
número de Nusselt em 1x com 20% e 70% de dispersão da variável estocástica.
+ + + + + ++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
+ + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Nível 7
Nível 8
Nível 9
Nível 10
MC 7200+
+ + + + + ++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
+ + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Nível 7
Nível 8
Nível 9
Nível 10
MC 7200+
84
Novamente, com o nível de interpolação 7, não foi possível obter um resultado
satisfatório com 0.2 . No entanto, para 0.7 não foi percebido discrepâncias da
solução entre os níveis.
(a) (b)
Figura 5.32: Média do número de Nusselt em 1x ao longo do domínio, obtida por
colocação. (a) 0.2 e (b) 0.7
A Figura 5.33 apresenta a variância do número de Nusselt em 0x , ao longo
do eixo vertical, obtida pelo método de colocação para vários níveis de interpolação em
comparação com o método de Monte Carlo, para coeficiente de dispersão da variável
estocástica de 20% (a) e para coeficiente de dispersão da variável estocástica de 70%
(b). Como já detectada pela média do número de Nusselt, o nível de interpolação 7
gerou resultados não convergidos, o que também foi detectado pela variância, de forma
tão significativa, que não foi possível inseri-la na figura 5.33(a). Pela variância do
número de Nusselt é possível identificar sua magnitude crescente quando se aumenta o
grau de incerteza, ou seja, para grau de incerteza de 20%, 20 0.02 e para grau de
incerteza de 70%, 20 0.25 .
+ + + ++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
+ + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Nível 7
Nível 8
Nível 9
Nível 10
MC 7200+
+ + + ++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
+ + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Nível 7
Nível 8
Nível 9
Nível 10
MC 7200+
85
(a) (b)
Figura 5.33: Variância do número de Nusselt em 0x ao longo do domínio, obtida por
colocação. (a) 0.2 e (b) 0.7
A Figura 5.34 apresenta a variância do número de Nusselt em 1x , ao longo do
eixo vertical, obtida pelo método de colocação para vários níveis de interpolação em
comparação com o método de Monte Carlo, para coeficiente de dispersão da variável
estocástica de 20% (a) e para coeficiente de dispersão da variável estocástica de 70%
(b).
(a) (b)
Figura 5.34: Variância do número de Nusselt em 1x ao longo do domínio, obtida por
colocação. (a) 0.2 e (b) 0.7
A tabela 5.2 apresenta o número de Nusselt médio em 0x para os dois graus
de incertezas aplicadas obtidos pelo método de colocação e pelo método de Monte
++++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
+ + + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.005
0.01
0.015
0.02
Nível 8
Nível 9
Nível 10
MC 7200+
2+ + + +
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++ + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Nível 7
Nível 8
Nível 9
Nível 10
MC 7200+
2
+ + + ++
++
++
++
+
+
+
++
++
++
++
+
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.005
0.01
0.015
0.02
Nível 8
Nível 9
Nível 10
MC 7200+
2
+ + + + + ++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
+ + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Nível 7
Nível 8
Nível 9
Nível 10
MC 7200+
2
86
Carlo. Percebe-se que a aplicação de 20% de dispersão na variável estocástica não
implica em mudanças aparentes no número de Nusselt médio, pois ele preserva o valor
do problema determinístico. Verifica-se que para 0.2 com o nível 8 de interpolação
o número de Nusselt médio foi capturado.
Tabela 5.2: Número de Nusselt médio em 0x
Nusselt Médio em 0x 410Gr Nível 7 Nível 8 Nível 9 Nível 10 Monte Carlo
0Ha
20% 1.94 2.01 2.01 2.01 2.01
70% 1.94 1.94 1.94 1.94 1.97
Determinístico 2.01
Assim como na Figura 5.33(a), a Figura 5.34(a) indica resultados convergentes
com nível de interpolação 8. Através da Figura 5.33(b) e da Figura 5.34(b) pode-se
verificar resultados bem próximos em todos os níveis de interpolação e pode-se admitir
a convergência a partir do nível 7.
5.2.1.3 Perfil da velocidade e temperatura
A Figura 5.35(a) mostra o perfil médio da velocidade para os pontos localizados
ao longo da direção vertical para 0.5x , com o coeficiente de dispersão da variável
estocástica de 20% e a Figura 5.35(b) mostra o mesmo perfil da velocidade para
coeficiente de dispersão da variável estocástica de 70%. Estas figuras apresentam
também o intervalo de credibilidade da solução de acordo com o nível de interpolação
utilizado no método de colocação. Percebe-se que com o aumento do nível de
interpolação ocorre a diminuição do intervalo de credibilidade. Também, à medida que
aumenta a dispersão da variável estocástica, este intervalo de credibilidade, no caso da
velocidade, foi levemente ampliado para um nível de interpolação convergente (Figura
5.35(c)-(d)).
87
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.35: Perfil da velocidade longo do eixo vertical para 0.5x . (a) 0.2 , (b)
0.7 , (c) Ampliação de 0.2 e (d) Ampliação de 0.7 .
A Figura 5.36(a) apresenta a média da temperatura para os pontos localizados ao
longo da direção horizontal quando 0.5y , para coeficiente de dispersão da variável
estocástica de 20% e a Figura 5.36(b) mostra a média da temperatura para coeficiente de
dispersão da variável estocástica de 70%. Também são apresentados os intervalos de
credibilidade associados com as soluções obtidas com diferentes números de pontos de
colocação. Nas Figuras 5.36(a)-(b) a dispersão da variável estocástica é evidente,
mostando que mesmo em um nível de interpolação convergente, ela se apresenta com
maior amplitude.
++
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++
+
y
U
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Nível 7Nível 7 - ICNível 8Nível 8 - ICNível 9Nível 9 - ICNível 10Nível 10 - ICMC 7200+
++
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++
y
U
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Nível 7Nível 7 - ICNível 8Nível 8 - ICNível 9Nível 9 - ICNível 10Nível 10 - ICMC 7200+
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
y
U
0.2 0.4
-0.5
0
0.5
Nível 7
Nível 7 - IC
Nível 8
Nível 8 - IC
Nível 9
Nível 9 - IC
Nível 10
Nível 10 - IC
MC 7200+
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
y
U
0.2 0.4
-1
-0.5
0
0.5
Nível 7Nível 7 - ICNível 8Nível 8 - ICNível 9Nível 9 - ICNível 10Nível 10 - ICMC 7200+
88
(a) (b)
Figura 5.36: Perfil da temperatura longo do eixo horizontal para 0.5y . (a) 0.2 e
(b) 0.7
Para 0.2 pode-se verificar a convergência para o nível de interpolação 9,
considerando soluções convergentes para o par velocidade e temperatura. Os resultados
para 0.7 são análogos. Para o perfil da velocidade é verificado a diminuição do
intervalo de credibilidade com o aumento do nível de interpolação ao contrário do perfil
de temperatura o qual não revela esta característica de convergência.
5.2.1.4 Linhas de corrente e isotermas
A Figura 5.37 apresenta as linhas de corrente médias obtidas pelo método de
colocação para alguns níveis de interpolação em comparação com o método de Monte
Carlo. As linhas de corrente obtidas para cada nível de interpolação aproximaram-se do
resultado obtido pelo método de Monte Carlo tanto para 20% como para 70% de
dispersão da variável estocástica. A Figura 5.38 mostra as isotermas médias obtidas
pelo método de colocação para alguns níveis de interpolação em comparação com o
método de Monte Carlo. As isotermas obtidas para cada nível de interpolação mostram
boa comparação com o método de Monte Carlo tanto para 20% como para 70% de
dispersão da variável estocástica. Para efeito de comparação, as soluções
determinísticas, obtidas com as simulações computacionais sem incertezas no
parâmetro, também são incluídas nas Figuras 5.37 e 5.38.
+
+
+
+
++
++
+
++
++
+ + + + + + + + ++
++
+
+
++
++
+
+
+
x
T
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1Nível 7
Nível 7 - IC
Nível 8
Nível 8 - IC
Nível 9
Nível 9 - IC
Nível 10
Nível 10 - IC
MC 7200+
+
+
+
++
++
+
++
++
++ + + + + + + + +
++
++
+
++
++
+
+
+
x
T
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nível 7
Nível 7 - IC
Nível 8
Nível 8 - IC
Nível 9
Nível 9 - IC
Nível 10
Nível 10 - IC
MC 7200+
89
Linhas de Corrente
0Ha 20% 70% M
on
te C
arlo
7200
Nív
el 7
Nív
el 8
Nív
el 9
Nív
el 1
0
Det
erm
inís
tico
Figura 5.37: Linhas de corrente para 20% e 70% de dispersão na variável estocástica
obtidas para diferentes níveis de interpolação do método de colocação e pelo método de
Monte Carlo.
90
Isotermas
0Ha 20% 70% M
on
te C
arlo
7200
Nív
el 7
Nív
el 8
Nív
el 9
Nív
el 1
0
Det
erm
inís
tico
Figura 5.38: Isolinhas para 20% e 70% de dispersão na variável estocástica obtidas para
diferentes níveis de interpolação do método de colocação e pelo método de Monte
Carlo.
91
Tanto para as linhas de corrente quanto para as isotermas não foram verificadas
diferenças entre os níveis de interpolação, mesmo para diferentes graus de dispersão da
variável estocástica. A incidência de incerteza no número de Grashof indica a
modificação do vórtice central expandindo-o (Figura 5.37) no caso das linhas de
corrente. Já para as isotermas foi identificada uma boa concordância dos resultados
médios e da simulação determinística.
Levando em consideração toda a análise feita para as variáveis do problema de
MHD para 1 parâmetro contendo incerteza, pode-se concluir que foi atingida a
convergência da solução para o nível de interpolação 9 tanto para 20% como para 70%
de incerteza.
O crescimento do grau de incerteza da variável estocástica não acarretou, de
maneira geral, no aumento do nível de interpolação. No caso desta análise, o método de
colocação estocástica mostrou acurácia equivalente ao método de Monte Carlo com
bem menos realizações do problema direto.
5.2.2 Variável estocástica Bidimensional – Número de Grashof ( Gr ) e
Número de Hartman ( Ha )
Agora os parâmetros contendo incertezas são os números de Grashof e de
Hartman, dados pelas equações (4.83) e (4.84). A distribuição de 1 e 2 são uniformes
no intervalo [ 1,1] e para os coeficientes de dispersão de dados ( Gr e Ha ) foram
utilizados os seguintes valores: 0.2Gr com 0.2Ha e 0.7Gr com 0.7Ha .
Considera-se novamente na solução do problema determinístico, para cada
ponto de colocação estocástica, 15 15 (centros) uniformemente espaçados no domínio
espacial e o número de Prandlt igual 0.71.
5.2.2.1 Análise de convergência do método de Monte Carlo
Também para o caso de variável estocástica bidimensional, foi realizada uma
análise de convergência do Método de Monte Carlo, utilizando-se os números de
Nusselt nas paredes verticais da cavidade.
A Figura 5.39(a) apresenta a média da solução do número de Nusselt em 0x ,
obtida por simulações de Monte Carlo com vários números de amostras, para um
92
coeficiente de dispersão das variáveis estocásticas de 20%. Da mesma forma, a Figura
5.39(b) apresenta a média da solução do número de Nusselt em 0x , obtida por
simulações de Monte Carlo com vários conjuntos de amostras para um coeficiente de
dispersão das variáveis estocásticas de 70%.
A Figura 5.39(a) não aparenta discrepância da média da solução do número de
Nusselt para o número de amostras analisadas, mas o aumento da dispersão das
variáveis estocásticas (Figura 5.39(b)) mostra a necessidade de mais amostras, como
pode-se perceber em 0 0.3y e também gera uma leve alteração na média da
solução do número de Nusselt, como é possível verificar em 0y .
(a) (b)
Figura 5.39: Média do número de Nusselt em 0x ao longo do domínio, obtida por
Monte Carlo. (a) 0.2 e (b) 0.7
A Figura 5.40(a) apresenta a média da solução do número de Nusselt em 1x ,
ao longo do eixo vertical, obtida por simulações de Monte Carlo com vários conjuntos
de amostras para um coeficiente de dispersão das variáveis estocásticas de 20% e a
Figura 5.40(b) para um coeficiente de dispersão das variáveis estocásticas de 70%.
Novamente, em conformidade com o número de Nusselt em 0x , percebe-se que a
medida que se aumenta o grau da incerteza nos parâmetros estocásticos ocorre à
necessidade de mais amostras. Também, o intervalo em que a média é definida se
amplia com o aumento da incerteza aplicada ao problema.
+ ++
++
+
++
++
++
+
+
+
++
++
++
++ +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
+ + + + ++
+++++++++++++++++++++++++++++++
++ + + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
93
(a) (b)
Figura 5.40: Média do número de Nusselt em 1x ao longo do domínio, obtida por
Monte Carlo. (a) 0.2 e (b) 0.7
A Figura 5.41(a) apresenta a variância do número de Nusselt em 0x , obtida
por simulações de Monte Carlo com vários conjuntos de amostras para um coeficiente
de dispersão das variáveis estocásticas de 20% e a Figura 5.41(b) para um coeficiente de
dispersão das variáveis estocásticas de 70%. Para variância do número de Nusselt é
possível verificar a alteração de acordo com o número de amostras. Também com o
aumento do grau de incerteza no número de Grashof e Hartman é visível a amplitude da
variância. Na Figura 5.41 verifica-se o intervalo onde ela está definida, com o
coeficiente de dispersão de 20%, 20 0.03 e com o coeficiente de dispersão de
70%, 20 0.42 .
+ + ++
++
++
++
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+ +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
+ + + + + ++
++++++++++++++++++++++++++++++++
+ + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
94
(a) (b)
Figura 5.41: Variância do número de Nusselt em 0x ao longo do domínio, obtida por
Monte Carlo. (a) 0.2 e (b) 0.7
A Figura 5.42(a) apresenta a variância do número de Nusselt em 1x , obtida
por simulações de Monte Carlo com vários conjuntos de amostras para um coeficiente
de dispersão das variáveis estocásticas de 20% e a Figura 5.42(b) para um coeficiente de
dispersão das variáveis estocásticas de 70%. Do mesmo modo, as características
percebidas para variância do número de Nusselt em 0x são encontradas em 1x .
(a) (b)
Figura 5.42: Variância do número de Nusselt em 1x ao longo do domínio, obtida por
Monte Carlo. (a) 0.2 e (b) 0.7
Nas Figuras 5.42(b) e 5.43(b) percebe-se uma significativa discrepância da
variância obtida com 600 amostras em relação aos outros conjuntos de amostras,
++
+
+
+
+
+++++++
+
+
++
++
+ + + + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
2+ + + +
+++++++++++++++++++++++++
+ + + + + + + + + + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
2
+ + + + + + ++
++
++
+
+
+
+++++
+
+
++
++
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
2
+ + + + + + + + + + + + + ++++++++++++++++++++++++++ + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
2
95
indicando a necessidade de maior número de amostras para se realizar a convergência
desta variável.
(a) (b)
Figura 5.43: Variância do número de Nusselt em 1x ao longo do domínio, obtida por
Monte Carlo. (a) 0.2 e (b) 0.7
A fim de avaliar a variação da variância entre amostras do método de Monte
Carlo, novamente será realizada uma análise dada pela diferença ( ) entre a variância
do número de Nusselt nas paredes verticais da cavidade. A Figura 5.44 mostra esta
diferença para o coeficiente de dispersão de dados de 20% e a Figura 5.45 mostra esta
diferença para o coeficiente de dispersão de dados de 70%.
(a) (b)
Figura 5.44: Diferença entre a variância do número de Nusselt em 0x (a) e em 1x
(b) ao longo do domínio, obtida por Monte Carlo para coeficiente de dispersão de 20%.
+ + + + + + ++
++
++
+
+
+
+++++
+
+
++
++
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
2
+ + + + + + + + + + + + + ++++++++++++++++++++++++++ + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
MC 600
MC 1200
MC 3600
MC 7200
MC 8400+
2
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
1200 - 600
3600 - 1200
7200 - 3600
8400 - 7200
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
1200 - 600
3600 - 1200
7200 - 3600
8400 - 7200
96
(a) (b)
Figura 5.45: Diferença entre a variância do número de Nusselt em 0x (a) e em 1x
(b) ao longo do domínio, obtida por Monte Carlo para coeficiente de dispersão de 70%.
A Figura 5.44 apresenta uma diferença entre a variância do número de Nusselt
obtida por 8400 amostras e a variância do número de Nusselt obtida por 7200 amostras
menores que 410, para grau de incerteza de 20%. Já a Figura 5.45 apresenta uma
diferença entre a variância do número de Nusselt obtida por 8400 amostras e a variância
do número de Nusselt obtida por 7200 amostras em torno de 410 para grau de incerteza
de 70%. Assim, também para o caso de variável estocástica bidimensional, pode-se
considerar a solução com um conjunto de 7200 amostras do método de Monte Carlo,
tanto para o coeficiente de dispersão de 20% quanto para o coeficiente de dispersão de
70%, como convergida.
5.2.2.2 Análise de convergência do método de Colocação Estocástica
O método de colocação estocástica será verificado utilizando-se a solução
convergida do método de Monte Carlo. Foi analisada a média e também a variância do
número de Nusselt nas paredes verticais da cavidade, obtidas com o método de
colocação estocástica para alguns níveis de interpolação.
A Figura 5.46(a) mostra a média da solução do número de Nusselt em 0x ,
obtida pelo método de colocação em vários níveis de interpolação e obtida pelo método
de Monte Carlo para um coeficiente de dispersão das variáveis estocásticas de 20% e, a
Figura 5.46(b) mostra resultados análogos para um coeficiente de dispersão das
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1200 - 600
3600 - 1200
7200 - 3600
8400 - 7200
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1200 - 600
3600 - 1200
7200 - 3600
8400 - 7200
97
variáveis estocásticas de 70%. Para os dois graus de incerteza nos parâmetros não foram
identificadas discrepâncias das soluções entre os diferentes níveis de interpolação,
apenas foi verificado que a amplitude da média do número de Nusselt.
(a) (b)
Figura 5.46: Média do número de Nusselt em 0x ao longo do domínio, obtida por
colocação. (a) 0.2 e (b) 0.7
Da mesma forma, a Figura 5.47(a)-(b) apresenta a média da solução para o
número de Nusselt em 1x com 20% e 70% de dispersão das variáveis estocásticas.
Outra vez, quando aumenta-se o coeficiente de dispersão, foi identificado o aumento do
intervalo da média.
(a) (b)
Figura 5.47: Média do número de Nusselt em 1x ao longo do domínio, obtida por
colocação. (a) 0.2 e (b) 0.7
+ + + + +++
+++++++++++++++++++++++++++++++
+ + + + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
Nível 6
Nível 7
Nível 8
Nível 9
MC 7200+
+ + + + ++
+++++++++++++++++++++++++++++++
++ + + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
Nível 6
Nível 7
Nível 8
Nível 9
MC 7200+
+ + + + + ++
+++++++++++++++++++++++++++++++++
+ + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
Nível 6
Nível 7
Nível 8
Nível 9
MC 7200+
+ + ++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
+ + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
Nível 6
Nível 7
Nível 8
Nível 9
MC 7200+
98
A Figura 5.48 apresenta a variância do número de Nusselt em 0x , obtida pelo
método de colocação para vários níveis de interpolação, em comparação com o método
de Monte Carlo, para coeficientes de dispersão das variáveis estocásticas de 20% (a) e
para coeficiente de dispersão das variáveis estocásticas de 70% (b). A Figura 5.48(b) já
detecta a necessidade de maiores níveis de interpolação, com o aumento do grau de
incerteza. Da mesma forma que para a média, amplia-se o intervalo da variância: com
20% de dispersão das variáveis estocásticas 20 0.03 e com 70% de dispersão das
variáveis estocásticas 20 0.4 , sinalizando alterações quando inclui ainda mais
incertezas.
(a) (b)
Figura 5.48: Variância do número de Nusselt em 0x ao longo do domínio, obtida por
colocação. (a) 0.2 e (b) 0.7
A Figura 5.49 apresenta a variância do número de Nusselt em 1x , obtida pelo
método de colocação para vários níveis de interpolação em comparação com o método
de Monte Carlo, para coeficiente de dispersão das variáveis estocásticas de 20% (a) e
para coeficiente de dispersão das variáveis estocásticas de 70% (b). As Figuras 5.49(a)-
(b) também apresentam comportamentos próximos a variância do número de Nusselt
em 0x , no que diz respeito ao grau de incerteza.
+ ++
+++++++++++++++++
++
++
+ + + + + + + + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Nível 6
Nível 7
Nível 8
Nível 9
MC 7200+
2
+ + ++
+++++++++++++++++
++
++
+ + + + + + + + + +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.1
0.2
0.3
0.4
Nível 6
Nível 7
Nível 8
Nível 9
MC 7200+
2
99
(a) (b)
Figura 5.49: Variância do número de Nusselt em 1x ao longo do domínio, obtida por
colocação. (a) 0.2 e (b) 0.7
A tabela 5.3 apresenta o número de Nusselt médio em 0x para os dois graus
de incertezas, obtidos pelo método de colocação e pelo método de Monte Carlo. O
resultado para o caso determinístico também é incluído nesta tabela. Percebe-se,
novamente, que a aplicação de 20% de dispersão nas variáveis estocásticas não implica
mudanças aparentes no número de Nusselt médio, pois ele mantém o valor do problema
sem incerteza.
Tabela 5.3: Número de Nusselt médio em 0x
Nusselt Médio em 0x 410Gr Nível 6 Nível 7 Nível 8 Nível 9 Monte Carlo
25Ha
20% 1.17 1.17 1.17 1.17 1.17
70% 1.28 1.28 1.28 1.28 1.25
Determinístico 1.17
Pelas Figuras analisadas nesta seção, pode-se verificar a convergência para o
coeficiente de dispersão de dados de 20% com o nível de interpolação 8 e para o
coeficiente de dispersão de 70% com o nível de interpolação 9. Mas, a fim de examinar
outras grandezas do problema, como por exemplo, o perfil de velocidade, será
apresentado nas seguintes seções como se apresentam todos os níveis de interpolação
utilizados neste caso de variável estocástica bidimensional.
+ + + + + + + + + + ++
++
+++++++++++++++++
++
+ +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Nível 6
Nível 7
Nível 8
Nível 9
MC 7200+
2
+ + + + + + + + + ++
++
+++++++++++++++++
++
++ +
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
Nível 6
Nível 7
Nível 8
Nível 9
MC 7200+
2
100
5.2.2.3 Perfil da velocidade e temperatura
A Figura 5.50(a) mostra o perfil da velocidade para os pontos localizados ao
longo do eixo vertical quando 0.5x para coeficiente de dispersão da variável
estocástica de 20% e a Figura 5.50(b) mostra o perfil da velocidade para os pontos
localizados ao longo do eixo vertical quando 0.5x para coeficiente de dispersão da
variável estocástica de 70%. Estas figuras também apresentam o intervalo de
credibilidade da solução de acordo com o nível de interpolação utilizado no método de
colocação. Percebe-se, novamente, que com o aumento do nível de interpolação ocorre
a diminuição do intervalo de credibilidade. Também, à medida que aumenta a dispersão
da variável estocástica, este intervalo de credibilidade, no caso da velocidade, foi
levemente ampliado para um nível de interpolação convergente.
(a) (b)
Figura 5.50: Perfil da velocidade longo do eixo vertical para 0.5x . (a) 0.2 e (b)
0.7
A Figura 5.51(a) apresenta a temperatura para os pontos localizados ao longo do
eixo horizontal quando 0.5y para coeficiente de dispersão da variável estocástica de
20% e a Figura 5.51(b) mostra a temperatura para os pontos localizados ao longo do
eixo horizontal quando 0.5y para coeficiente de dispersão da variável estocástica de
70%. Nas Figuras 5.51(a)-(b) a dispersão da variável estocástica é evidente, mostando
que mesmo em um nível de interpolação convergente, ela se apresenta com maior
amplitude para maiores níveis de incerteza nos números de Grashof e Hartman.
++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+
y
U
20 40 60 80 100-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8Nível 6
Nível 6 - IC
Nível 7
Nível 7 - IC
Nível 8
Nível 8 - IC
Nível 9
Nível 8 - IC
MC 7200+
++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+
y
U
20 40 60 80 100-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8Nível 6
Nível 6 - IC
Nível 7
Nível 7 - IC
Nível 8
Nível 8 - IC
Nível 9
Nível 9 - IC
MC 7200+
101
(a) (b)
Figura 5.51: Perfil da temperatura longo do eixo horizontal para 0.5y . (a) 0.2 e
(b) 0.7
Para 0.2 pode-se verificar a convergência para o nível de interpolação 8,
considerando soluções convergentes para o par velocidade e temperatura, assim como
para 0.7 . Para o perfil da velocidade é verificado que em todos os níveis de
interpolação utilizados foi chegado à convergência, visto que o intervalo de
credibilidade não foi modificado.
5.2.2.4 Linhas de corrente e isotermas
A Figura 5.52 apresenta as médias das linhas de corrente obtidas pelo método de
colocação para alguns níveis de interpolação em comparação com o método de Monte
Carlo. As linhas de corrente obtidas para cada nível de interpolação aproximou-se do
resultado obtido pelo método de Monte Carlo tanto para 20% como para 70% de
dispersão das variáveis estocásticas.
A Figura 5.53 mostra as médias das isotermas obtidas pelo método de colocação
para alguns níveis de interpolação em comparação com o método de Monte Carlo e com
a solução determinística.
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
+
x
T
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1Nível 6
Nível 6 - IC
Nível 7
Nível 7 - IC
Nível 8
Nível 8 - IC
Nível 9
Nível 9 - IC
MC 7200+
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
x
T
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nível 6
Nível 6 - IC
Nível 7
Nível 7 - IC
Nível 8
Nível 8 - IC
Nível 9
Nível 9 - IC
MC 7200+
102
Linhas de Corrente
25Ha 20% 70% M
on
te C
arlo
7200
Nív
el 6
Nív
el 7
Nív
el 8
Nív
el 9
Det
erm
inís
tico
Figura 5.52: Linhas de corrente para 20% e 70% de dispersão nas variáveis estocásticas
obtidas para diferentes níveis de interpolação do método de colocação e pelo método de
Monte Carlo.
103
Isotermas
25Ha 20% 70% M
on
te C
arlo
7200
Nív
el 6
Nív
el 7
Nív
el 8
Nív
el 9
Det
erm
inís
tico
Figura 5.53: Isolinhas para 20% e 70% de dispersão na variável estocástica obtidas para
diferentes níveis de interpolação do método de colocação e pelo método de Monte
Carlo.
104
As isotermas obtidas para cada nível de interpolação mostraram-se satisfatórias
em comparação com o método de Monte Carlo tanto para 20% como para 70% de
dispersão das variáveis estocásticas. Para ambas, linhas de corrente e isotermas, não foi
verificado diferenças entre cada nível de interpolação mesmo para diferentes graus de
dispersão da variável estocástica. A presença de campo magnético detecta nas linhas de
corrente uma modificação no vórtice central e diminui a distorção das isolinhas de
temperatura. A incidência de incerteza no Grashof e Hartman indica a modificação do
vórtice central expandindo-o, no caso das linhas de corrente. Novamente, para as
isotermas não foram verificadas diferenças significativas em relação ao caso
determinístico.
Analisando o problema de MHD para 2 parâmetros contendo incertezas, pode-se
considerar que aumentando o grau de dispersão das variáveis estocásticas necessitou de
um nível maior de interpolação (pontos de colocação). Em comparação com a variável
estocástica unidimensional, o acúmulo de incertezas (bidimensional) gera resultados
com maior variância.
Para o método de Monte Carlo, mesmo aplicando um maior grau de incerteza
em um parâmetro de entrada, ou em dois parâmetros de entrada não é verificada a
necessidade de mais amostras, no caso de convergência. Para o método de colocação
estocástica, em geral, isso também foi constatado, no caso do problema de MHD. O
método de colocação mostrou-se robusto, pois se compara de forma positiva com o
método de Monte Carlo com bem menos “amostras” (níveis de interpolação).
105
Capítulo 6
Conclusões e trabalhos futuros
O estudo atual aplicou um método não-intrusivo, baseado em polinômio caos,
para a modelagem de liberação controlada de fertilizantes em uma esfera e um problema
de magnetohidrodinâmica . Inicialmente, na fase de qualificação, dois problemas mais
simples foram examinados com o objetivo de se aprimorar o método em estudo.
Na modelagem de liberação controlada de fertilizantes em uma esfera, para
incerteza alocada no coeficiente de distribuição de fertilizantes, foi utilizada a
quadratura de Gauss apresentando bons resultados. Quando também se aplica incerteza
no coeficiente de difusão, o uso de malhas esparsas (no caso as abscissas de Clenshaw-
Curtis) é indicado, pois reduz significativamente o número de pontos necessários para
uma solução precisa. A robustez do método pode ser constatada quando se aplica ao
mesmo problema o método de Monte Carlo e notam-se soluções convergentes com
menos pontos de colocação, no caso do método de Monte Carlo, número de amostras.
No método de Monte Carlo, em geral, foram utilizadas 10000 amostras para uma
solução convergente enquanto que no método de colocação estocástica foi utilizado no
máximo 29 pontos de colocação, também chamado de nível de interpolação 3.
No problema de magnetohidrodinâmica, a incerteza analisada ocasionou
perturbações em todas as medidas avaliadas (número de Nusselt, temperatura,
velocidade, linhas de Corrente). Estas incertezas propagadas nas soluções do problema
permitem prever a realidade de sistemas experimentais, em que é importante considerar
perturbações que indicam indefinições em propriedades do material. Neste problema,
inicialmente, foi considerada incerteza no número de Grashof. Para obter resultados
para a variação neste parâmetro, o método de colocação estocástica foi aplicado com as
106
abscissas de Clenshaw-Curtis, por necessitar de muitos pontos de colocação devido à
dificuldade do problema e a regra da quadratura inibir este tipo de aplicação. A malha
esparsa, neste caso, gera menos pontos escolhidos estrategicamente. Além deste
parâmetro, também foi considerada incerteza no número de Hartman. Os resultados
apresentados para estes casos mostraram, para níveis baixos de interpolação
divergências em relação aos resultados obtidos pelo método de Monte Carlo,
necessitando-se de maiores níveis de interpolação para se obter bons resultados. Mesmo
assim, o método se mostrou robusto, pois necessitou de menos pontos do que o método
de Monte Carlo.
De modo geral, os resultados apresentados mostraram uma boa concordância em
relação aos obtidos através do método de Monte Carlo. Também, o método de
colocação estocástica com malhas esparsas ofereceu bons resultados e ainda reduziu o
custo computacional expressivamente se comparado com o produto tensorial completo
dos pontos de colocação.
Nos problemas analisados nesta tese não foi contemplada a adaptatividade com
relação a malhas esparsas, ou seja, todas as dimensões estocásticas foram tratadas de
forma semelhante, isto é, para cada dimensão o número de pontos de colocação foi o
mesmo. Para pesquisas futuras, como continuidade deste trabalho, podem-se tratar
problemas de alta dimensão, onde é interessante a aplicação de uma adaptatividade de
malhas esparsas. Neste tipo de abordagem é possível reduzir ainda mais o trabalho
computacional através de processos que identificam automaticamente as dimensões que
são mais ou menos importantes.
107
Referência Bibliográfica
[1] GHANEM, R.G., SPANOS, P. D. Stochastic Finite Elements: a Spectral
Approach, Springer-Verlag, 1991.
[2] BHARUCHA-REID, A. T. “Probabilistic methods in applied
mathematics”, Vol. 1, Academic Press, New York, 1968.
[3] WINKLER, R. “An Introduction to Bayesian Inference and Decision”,
Probabilistic Publishing, Gainsville, Florida, USA, 2003.
[4] LEE, P. M. “Bayesian Statistics”, Oxford University Press, London,
2004.
[5] NAYFEH, A. H. “Perturbation Methods”, John Wiley and Sons, New
York, 1973.
[6] JORDAN, D. W., SMITH, P. “Nonlinear Ordinary Differential
Equations”, Oxford University Press, Oxford, 1977.
[7] FREDHOLM, I. “Sur une class d’equations fonctionnelles”, Acta
Mathematica, Vol. 27, pp.365-390, 1903.
[8] MIKHLIN, S. G. “Integral Equations”, Pergamon Press, Oxford, 1957.
[9] WIENER, N. “The homogeneous chaos”, Amer. J. Math., 60 (1938), pp.
897-936.
[10] XIU, D., KARNIADAKIS, G.E. “Modeling uncertainty in steady state
diffusion problems via generalized polynomial chaos”, Comput. Methods Appl.
Mech. Engrg., vol. 191, pp. 4927-4948, 2002.
[11] XIU, D., KARNIADAKIS, G.E. “The Wiener-Askey Polynomial Chaos
for stochastic differential equations”, SIAM Journal of Scientific Computing, vol
24, no. 2, pp. 619-644, 2002.
108
[12] XIU, D., KARNIADAKIS, G.E. “A new stochastic approach to transient
heat conduction modeling with uncertainty”, Int. J. Heat & Mass Transfer, vol.
46, pp. 4681-4693, 2003.
[13] XIU, D., KARNIADAKIS, G.E. “Modeling uncertainty in flow
simulations via Generalized Polynomial Chaos”, J. Comp. Phys., vol. 187, pp.
137-167, 2003.
[14] WAN, X., XIU, D., KARNIADAKIS, G.E. “Stochastic solutions for the
two-dimensional advection-diffusion equation”, SIAM J. Sci. Comput., vol.
26(2), pp. 578-590, 2004.
[15] WAN, X., KARNIADAKIS, G. E. “An adaptive multi-element
generalized polynomial chaos method for stochastic differential equations”, J.
Comp. Phys., vol. 209(2), pp. 617-642, 2005.
[16] GAUTSCHI, W. “Orthogonal Polynomials (in Matlab)”, Journal of
Computational and Applied Mathematics, vol. 178, pp. 215-234, 2005.
[17] LOEVEN, A., WITTEVEEN, J., BIJL, H. “Efficient uncertainty
quantification using a two-step approach with chaos collocation”, European
Conference on Computational Fluid Dynamics, 2006.
[18] GANAPATHYSUBRAMANIAN, B., ZABARAS, N. “Sparse grid
collocation schemes for stochastic natural convection problems”, J. Comp. Phys.
225, pp. 652-685, 2007.
[19] FOO, J., YOSIBASH, Z., KARNIADAKIS, G. E. “Stochastic simulation
of riser-sections with uncertain measured pressure loads and/or uncertain
material properties”, Comput. Methods Appl. Mech. Engr., vol. 196, pp. 4250-
4271, 2007.
[20] WAN, X., KARNIADAKIS, G. E. “Solving elliptic problems with non-
Gaussian spatially-dependent random coefficients: algorithms, error analysis and
applications”, Comput. Methods Appl. Mech. Engr., invited, 2008.
[21] BABUSKA, M., NOBILE, F., TEMPONE, R. “A stochastic collocation
method for elliptic partial differential equations with random input data”. SIAM
J. Numer. Anal, 43(3):1005–1034, 2007.
[22] XIU, D., HESTHAVEN, J. S. “High-order collocation methods for
differential equations with random inputs”. SIAM J. Sci. Comput., 27(3):1118–
1139, 2005.
109
[23] MATHELIN, L., HUSSAINI, M. Y. “A Stochastic Collocation
Algorithm for Uncertainty Analysis”, NASA, 2003.
[24] PEDIRODA, V., PARUSSINI, L., POLONI, C., PARASHAR, S.,
FATEH, N., POIAN, M. “Efficient Stochastic Optimization using Chaos
Collocation Method with modeFRONTIER”, SAE International, 2008.
[25] XIU, D. “Fast Numerical Methods for Stochastic Computations: A
Review”, J. Comp. Phys., vol. 5,Nº 2-4, pp. 242-272, 2009.
[26] ELDRED, M. S., BURKARDT, J. “Comparison of Non-Intrusive
Polynomial Chaos and Stochastic Collocation Methods for Uncertaint
Quantification”, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2009.
[27] PREMPRANEERACH, P., HOVER, F. S., TRIANTAFYLLOU, M. S.,
KARNIADAKIS, G. E. “Uncertainty quantification in simulations of power
systems: Multi-element polynomial chaos methods”, Reliability Engineering
and System Safety 95, pp. 632–646, 2010.
[28] PARUSSINI, L., PEDIRODA, V., POLONI, C. “Effects of geometric
tolerance in fluid dynamics”, ECCOMAS CFD 2010.
[29] ONORATO, G., LOEVEN, G. J. A., GHORBANIASL, G., BIJL, H.,
LACOR, C. “Comparison of intrusive and non-intrusive polynomial chaos
methods for CFD applications in aeronautics”, ECCOMAS CFD 2010.
[30] WAN, X., KARNIADAKIS, G. E. “Long-term behavior of polynomial
chaos in stochastic flow simulations”, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.,
vol. 195, pp. 5528-5596, 2006.
[31] MA, X., ZABARAS, N. “An adaptive hierarchical sparse grid
collocation algorithm for the solution of stochastic differential equations”, J.
Comp.Phys., vol. 228, pp. 3084–3113, 2009.
[32] GANDER, M. J., KARP, A. H. “Stable Computation of High Order
Gauss Quadrature Rules using Discretization for Measures in Radiation
Transfer”, Journal of Quantitative Spectroscopy Radiative Transfer, vol. 68, pp.
213-223, 2001.
[33] BUNGARTZ, H., GRIEBEL, M. “Sparse grids”, Acta Numerica, v. 13,
pp. 147–270, 2004.
[34] GERSTNER, T., GRIEBEL, M. “Numerical integration using sparse
grids”, Numerical Algorithms, v. 18, pp. 209–232, 1998. ISSN: 1017-1398.
110
[35] NOBILE, F., TEMPONE, R., WEBSTER, C. G. “A Sparse Grid
Stochastic Collocation Method for Partial Differential Equations with Random
Input Data”, SIAM J. Numer. Anal., v. 46, pp. 2309–2345, May 2008.
[36] XIU, D. “Efficient Collocational Approach for Parametric Uncertainty
Analysis”, Commun. Comput. Phys., vol. 2, pp. 293-309,2007
[37] BUNGARTZ, H. J., DIRNSTORFER, S. “Multivariate quadrature on
adaptive sparse grids”, Computing, pp. 89-114, 2003.
[38] ELDRED, M. S. “Recent advances in non-intrusive polynomial chaos
and stochastic collocation methods for uncertainty analysis and design”,
Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, 2009.
[39] HOSDER. S., WALTERS, R. W., BALCH, M. “Efficient sampling for
non-intrusive polynomial chaos applications with multiple uncertain input
variables”, Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, 2007.
[40] AL-ZAHRANI, S. M. “Controlled-release of fertilizers: modelling and
simulation”, Int. J. of Eng. Science, vol. 37, pp.1299-1307, 1999.
[41] SHAVIV, A., RABAN, S., ZAIDEL, E. “Modeling Controlled Nutrient
Release from a Population of Polymer Coated Fertilizers: Statistically Based
Model for Diffusion Release”, Environ. Sci. Technol., vol.37, pp. 2257-2261,
2003.
[42] TONG, Z., YUHAI, L., SHIHUO, Y., ZHONGYI, H. “Superabsorbent
hydrogels as carriers for the controlled-release of urea: Experiments and a
mathematical model describing the release rate”, Biosystems Engineering,
pp.44-50, 2009.
[43] BASU, S. K., KUMAR, N. “Mathematical model and computer
simulation for release of nutrients from coated fertilizer granules”, Mathematics
and Computers in Simulation, vol. 79, pp. 634–646, 2008.
[44] BASU, S. K., KUMAR, N., SRIVASTAVA, J. P. “Modeling NPK
release from spherically coated fertilizer granules”, Simulation Modelling
Practice and Theory, vol. 18, pp.820-835, 2010.
[45] COLAÇO, M. J., DULIKRAVICH, G. S., ORLANDE, H. R. B.
“Magnetohydrodynamic Simulations Using Radial Basis Functions",
International Journal of Heat and Mass Transfer, v. 52, n. 25-26, pp. 5932-
5939,2009.
111
[46] AL-NAJEM, N., KHANAFER, K., EL-REFAEE, M. “Numerical Study
of Laminar Natural Convection in Tilted Enclosure with Transverse Magnetic
Field”, International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow, v.
8, n. 6, pp. 651-672, 1998.
[47] RUDRAIAH, N., BARRON, R. M., VENKATACHALAPPA, M.,
SUBBARAYA, C. K. “Effect of a magnetic field on free convection in a
rectangular enclosure”, Int. J. of Eng. Science, vol. 33, pp.1075-1084, 1995.
[48] MAGALHÃES, A. C., Métodos sem malha aplicados a problemas
difusivos-convectivos, Dissertação de M.Sc., IME, Rio de Janeiro, RJ, 2008.
[49] COLAÇO, M. J., DULIKRAVICH G. S. “A multilevel hybrid
optimization of magnetohydrodynamic problems in double-diffusive fluid flow”,
J. Phys.Chem. Solids, vol. 67, pp. 1965–1972, 2006.
[50] CHINCHAPATNAM, P. P., DJIDJELI, K., NAIR, P. B. “Meshless RBF
Collocation for Steady Incompressible Viscous Flows", 36th AIAA Fluid
Dynamics Conference and Exhibit, 2006.
[51] GOLUB, G. H., WELSCH, J. H. “Calculation of Gauss Quadrature
Rules”, Mathematics of Computation, vol. 23(106), pp. 221-230, 1969.
[52] TREFETHEN, L. N. “Is Gauss Quadrature better than Clenshaw-
Curtis?”, SIAM Rev., v. 50, pp. 67–87, February 2008.
[53] ANDERSON, D. A., TANNEHILL, J. C., PLETCHER, R. H.
“Computational fluid mechanics and heat transfer”, Hemisphere, 1984.
[54] COLAÇO, M. J., ORLANDE, H. R. B., ROBERTY, N. C., ALVES, C.,
LEITÃO, V. “On the solution of difusion-convection problems by means of
RBF Approximations", Proceedings of the 11th Brazilian Congress of Thermal
Sciences and Engineering - ENCIT, 2006.
[55] HARDY, R. “Multiquadric equations of topography and other irregular
surfaces”, J. Geophys. Res., v. 176, pp. 1905-1930, 1971.
[56] KANSA, E. J. “Multiquadrics, a scattered data approximation scheme
with applications to computational fluid-dynamics I - Surface approximations
and partial derivative estimates”, Computers Mathematics with Applications, v.
19, n. 8-9, pp. 127-145, 1990.
[57] KANSA, E. J. “Multiquadrics, a scattered data approximation scheme
with applications to computational fluid-dynamics II - Solutions to parabolic,
112
hyperbolic and elliptic partial differential equations”, Computers Mathematics
with Applications, v. 19, n. 8-9, pp. 147-161, 1990.
[58] BUHMANN, M. D. “Radial basis functions: Theory and
Implementations”, Cambridge University, 2004.
[59] SOBOL, I., LEVITAN, Y. L. “The Production of Points Uniformly
Distributed in a Multidimensional Cube", USSR Academy of Sciences, v. 40,
1976.
[60] DULIKRAVICH, G. S., LYNN, S. R. “Unified electro-magneto-fluid
dynamics (EMFD): a survey of mathematical models”, Int. J. Non-Linear Mech.
vol. 32, n. 5, pp. 923–932, 1997.
[61] GARANDET, J. P., ALBOUSSIERE, T., MOREAU, R. “Buoyancy
driven convection in a rectangular enclosure with a transverse magnetic field”,
Int. J. Heat Mass Transfer, v. 35,n. 4, pp. 741–748,1992.
[62] ASKEY, R., WILSON, J. “Some basic hypergeometric polynomials that
generalize Jacobi polynomials”, Memoirs Amer. Math. Soc., AMS, Providence
RI, 319 (1985).
[63] ALBUQUERQUE, E. C. M. C. “Preparação, caracterização de
Lipossomas e Microesferas para aplicação na terapia por dessensibilização de
reação alérgica.”, UNICAMP, 2005.
[64] BERNADÁ, G. M. G., Quantificação de incertezas em problemas de
interação fluido estrutura via método de colocação estocástica, Tese de D.Sc.,
COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, 2011.
[65] KLIMKE, A. Uncertainty Modeling using Fuzzy Arithmetic and Sparse
Grids, PhD Thesis, Universitt Stuttgart, Shaker Verlag, Aachen, 2006.
[66] LACERDA, C. R., Solução de problemas convectivos-difusivos na
presença de campos magnéticos usando métodos sem malha, Dissertação de
M.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, 2013.
[67] BURKARDT, J. “FORTRAN90 software”. http://people.sc.fsu.edu/
jburkardt/, 2000.
[68] NOBILE, F., TEMPONE, R., WEBSTER, C. G. “An Anisotropic Sparse
Grid Stochastic Collocation Method for Partial Differential Equations with
Random input Data”, SIAM J. Numer. Anal., v. 46, pp. 2411–2442, June 2008.
113
[69] BARTHELMANN, V., NOVAK, E., RITTER, K. “High dimensional
polynomial interpolation on sparse grids”, Adv. Compu. Math. 12 (2000) 273–
288.
[70] PRESS, W., FLANNERY, B., TEUKOLSKY, S. “Numerical Recipes
FORTRAN", Cambridge Universaty Press, 1992.
[71] FOO, J., KARNIADAKIS, G. E. “Multi-element probabilistic collocation
method in high dimensions”, J. Comp. Phys., vol. 229, pp. 1536-1557, 2010.
[72] COMPO, do Brasil Ltda. Disponível em:http://www.compo-expert.com/br.
Acesso em: 8 nov. 2011, 13:30.
[73] MAGALHÃES, A. C., COLAÇO, M. J., ORLANDE, H. R. B. “Radial
Basis Functions Applied to the Solution of the Natural Convection Problem in
Square Cavities", Proceedings of the 12th Brazilian Congress of Thermal
Sciences and Engineering - ENCIT, 2008.
[74] WERTZ, J., KANSA, E. J., LING, L. “The role of the multiquadric shape
parameters in solving elliptic partial differential equations", Computers and
Mathematics with Applications, v. 51, n. 8, pp. 1335-1348, 2006.
[75] FISHMAN, G. S. Monte Carlo: Concepts, Algorithms and Applications.
Third ed. Department of Operations Research, Stanford University, Stanford,
CA 94305, Springer-Verlag, 1999.
114
Apêndice A
Obtenção da matriz Jacobiana ( J )
Através da Relação de Recorrência de Três Termos (3.4.2.a) podemos descrever
o seguinte sistema de equações [51]:
1i 1 1 2( ) ( ) ( ) 0
2i 2 1 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 0
3i 3 2 3 3 4( ) ( ) ( ) ( ) 0
1Pi N 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0P P P P PN N N N N
Pi N 1( ) ( ) ( ) 0P P P PN N N N
Esse sistema pode ser escrito na forma matricial:
1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
( ) 1 0 0 0 0
( ) 1 0 0 0
0 ( ) 0 00
0 0 1 0
0 0 0 ( ) 1
0 0 0 0 ( )
P P P
P P P
N N N
N N N
115
Ou na forma:
1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1
A
1 0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
P P P P
P P P P
N N N N
N N N N
Logo, as raízes desses polinômios ortogonais são também os autovalores dessa
matriz. Aplicando a transformação diagonal de semelhança, a qual garante que a matriz
inicial A têm os mesmos autovalores que a matriz encontrada J (matriz jacobiana
simétrica) [23], encontramos:
1 2
2 2 3
3 3
1
1 1
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
P
P P P
P P
N
N N N
N N
J
Os pontos de colocação e os pesos da regra da quadratura podem ser calculados
através desse autosistema da matriz tridiagonal simétrica.