7/25/2019 Sequncias-Primeira Lista- Perguntas

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7/25/2019 Sequncias-Primeira Lista- Perguntas

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35. Sabendo-se que 1,2! 1 kk k , mostre que a sequncia

n

k k0 !

1 convergente.

36. Sejam )( na uma sequncia que converge para um limite a e f uma funo contnua em a ,

ta l que, para cada n , na um elemento do domnio de f. Mostre que ))(( naf converge

para )(af .

37. Considere a sequncia definida por ka 1 e )(1 nn afa , para 1n , onde f uma

funo contnua em seu domnio. Se )( na , mostre que (f ) = .

38. Considere a sequncia cujo termo geral

n..n..

an2642

12531

.

Exprima 1na em funo de na , verifique se a sequncia montona e decida sobre sua

convergncia.

39. Se uma sequncia definida por 11a e 121 nn aa , use o mtodo de induo para mostrar

12 nna . Essa sequncia converge?

40. Verifique que a sequncia ( ,222,22,2 ) convergente .

41. Mostre que a sequncia definida por 11a e nn aa 11 , para 1n , convergente ecalcule seu l imite .

42. Verifique que a sequncia )32( n nn converge para 3.

43. Se )( na a sequncia definida por 41 a e

6

52

1

n

n

aa , verifique que ,51 na para

todo n na tura l . )( na convergente?

44. D-se o nome de Mtod o de N ewton -R aph son ao procedimento que aplicado a uma funo

diferencivel gera uma sequncia que, sob determinadas condies, converge a um zero de. O mtodo definido pela relao de recorrncia

=

.

Se = 2, verifique que o mtodo de Newton-Raphson dado pela relao

)2

(2

1

1

1

n

nna

aa . (*)

45. Considerando-se, a inda, = 2e a relao (*) , com 11 a ,a) Calcule os termos , , e 5.

b) A partir do clculo realizado no i tem anterior, previs vel a convergncia da sequncia

para a lgum limi te l ?

c) Admitindo-se a convergncia, comprove que a previso anunciada foi , de fato, correta .

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46. Sejam , = 4 4 2 e = 2, 3 . Considerando-se a frmula de recorrncia

+ = , = 2, 3, ,

onde, para cada n , 0 ponto de mnimo da funo = e denotao vetor gradiente,

a) Calcule os termos , , e 5.b) Faa um grfico que apresente os termos encontrados no i tem anterior l igados atravs de

segmentos de reta .

c) Calcule o ponto de mnimo de pelo procedimento estudado no Clculo II e analise ocomportamento dos termos da sequncia com relao a esse ponto.

(A sequncia cujos cinco primeiros termos foram gerados acima recebe o nome de

Sequnci a da D esci da M ai s ngr eme e , satisfei tas determinadas hipteses, leva a um

mnimo da funo , .)

47. Considere a funo :f R R , definida por 1)( 4 xxf .

a) Escreva os cin co termos in iciais da sequ ncia dada por 21 a e)(

)(1

n

nnn

af

afaa

, 1n .

b ) possvel determinar-se uma frmula no recursiva para a definio dessa sequncia?

c) Verifique que essa sequncia montona, l imitada e converge a zero.

48. O conjunto de todas as sequncias de nmeros reais convergentes um espao vetorial .

Denotando-se por Vesse espao, para cada sequncia e m V, definamos a funo : ,escrevendo () = , 1 ,onde converge para . Dessa forma, verifique quea) T um operador l inear.

b) = 0e = 1so os autovalores de T.

49. Supondo-se que a sequncia + converge a zero, onde um nmero real , prove queconverge para a .

50. A sequncia1

1 +

converge?