SEQNCIA DE FIBONACCI Ccero Thiago B. Magalhes

Nvel Avanado INTRODUO O nome seqncia de Fibonacci, foi dado pelo matemtico francs Edouard Lucas no sculo XIX. Porm, a seqncia surgiu de um problema que estava proposto na obra "Liber Abaci" de Leonardo de Pisa (1180 1250), conhecido como Fibonacci. O problema era o seguinte: "Um homem pe um casal de coelhos dentro de um cercado. Quantos pares de coelhos sero produzidos em um ano, se a natureza desses coelhos tal que a cada ms um casal gera um novo casal, que se torna frtil a partir do segundo ms?" Depois de sculos de trabalho, possvel hoje citar uma quantidade enorme de propriedades da seqncia do nmero de coelhos existentes aps n meses. O objetivo deste trabalho apresentar algumas propriedades bsicas desta seqncia. Definio A seqncia de Fibonacci definida da seguinte maneira:

1 2 1f f= = e 1 2n n nf f f = + , 2.n > Por convenincia, algumas vezes usaremos 0 0.f = Propriedades bsicas (I) Para todo 1 2 21 : ... 1n nn f f f f + + + + = Prova: 1 31 : 1n f f= = Vamos supor 1q e 1 2 2... 1q qf f f f ++ + + =

1 2 1 2 1 31 : ... 1 1q q q q qn q f f f f f f f+ + + += + + + + + = + = (II) Se 1m e 1,n > ento 1 1n m n m n mf f f f f+ += + Prova: Vamos fazer induo sobre m:

1 1 1 2 11 : n n n n nm f f f f f f f+ = = + = + (verdadeira) 2 1 2 3 1 1 12 : 2 ( )n n n n n n n n n nm f f f f f f f f f f f f+ += = + = + = + + = + (verdadeira)

Seja q > 2 e suponhamos a propriedade vlida para todo , 2 ,k k q < e para todo n > 1. Esta suposio, mais o fato de que a propriedade vale tambm para k = 1, nos garante:

( 2) 1 2 1n q n q n qf f f f f+ = + ( 1) 1 1n q n q n qf f f f f+ = +

Somando membro a membro essas igualdades e levando em considerao a frmula recursiva que define ( ) :nf

1 1n q n q n qf f f f f+ += + Ou seja, a frmula vale tambm para q, sempre que n > 1. O princpio da induo nos garante ento que vale para todo 1m e qualquer n > 1. (III) Dois nmeros de Fibonacci consecutivos nf e 1nf + so primos entre si. A prova fica como exerccio.

(IV) Se | ,m n ento | .m nf f Prova: Por hiptese n = mq, para algum .q` Usaremos induo sobre r. Se q = 1, ento m = n e fcil ver que | .m nf f Seja 1q e admitamos que | .m mqf f Ento, usando a propriedade (II):

( 1) 1 1m q mq m mq m mq mf f f f f f+ + += = + Como 1|m mq mf f f e 1|m mq mf f f + (pois, pela hiptese de induo, fm divide ),mqf ento mf divide a soma desses dois produtos. Ou seja: ( 1)| .m m qf f + (V) Seja d = mdc(m, n), ento mdc ( , ) .m n df f f= Prova: Induo em m + n. Se m = 1, mdc(m, n) = 1 e mdc(fm, fn) = mdc(1, fn) = 1 = f1. Se m + n = 2 trivial. Se m = n no h o que provar. Se 2 ,m n < ( ) 1 1 ( , )n m n m m n m m n m m nf f f f f f mdc f f+ += = + =

( III )

1( , ) ( , ),m m n m m n mmdc f f f mdc f f = que igual, por hiptese de induo a ( , ) ( , ) .mdc m n m mdc m nf f =

Veja tambm a soluo do problema proposto No. 92 na Eureka! 20, pp 55 57. (VI) Seja 2 1,x x= + ento, para n = 2, 3, ns temos que

1.n

n nx f x f = + Prova: trivial o caso n = 2. E se 1

nn nx f x f = + para algum 2,n ento

11( )

n nn nx x x f x f x

+= = +

21n nf x f x= +

1( 1)n nf x f x= + + 1( )n n nf f x f= + +

1 ,n nf x f+= + como desejado!

Vejamos que as razes de 2 1x x= + so os nmeros 1 52+ = e 1 5 .2

= Ento, para todo n = 2, 3, ns temos

1n

n nf f = + e

1.n

n nf f = + Subtraindo as duas ltimas equaes temos que ( ),n n nf = e notando que 5 = , ns encontramos a frmula de Binet

.n n

nf =

Problema 1

Seja 1 5 .

2+ = Determine todos os n` tais que 2n n seja inteiro.

Soluo: Note que raiz do polinmio 2( ) 1,p x x x= com isso e usando a expresso da propriedade (V) temos que:

2 2 21 1( ) .

nn n n nn f f n f n f = + = +

Uma vez que irracional, segue da igualdade acima que 2n n s ser inteiro quando 2 0,nf n = e nosso problema equivale a determinar todos os n` tais que 2 .nf n= Para tanto,

observe que: 1 2 3 4 5 6 71, 1, 2, 3, 5, 8, 13,f f f f f f f= = = = = = =

8 9 10 11 12 13 1421, 34, 55, 89, 144, 233, 377.f f f f f f f= = = = = = = Assim, 2 2 212 13 1412 e 13 , 14 .f f f= > > Por outro lado, se 2nf n> e 21 ( 1) ,nf n+ > + ento

2 2 22 1 ( 1) ( 2) ,n n nf f f n n n+ += + > + + > + desde que 3,n >

donde segue por induo que 2nf n> para 13.n > Assim, as nicas solues so n = 1 e n = 12. Problema 2: Sejam n e k dois inteiros positivos quaisquer. Ento entre duas potncias consecutivas kn e 1kn + no podemos ter mais que n nmeros de Finonacci. Sugesto: use a propriedade (I) Problema 3: Seja nf a seqncia de Fibonacci 1 2 1 1( 1, 1, ).n n nf f f f f+ = = = + Calcule a srie

2 1 1

.nn n n

ff f

= + Problema 4: Ache a, se a e b so nmeros inteiros tais que 2 1x x um fator de 17 16 1.ax bx+ + Fortemente ligada seqncia de Fibonacci, e to interessante quanto, a seqncia de Lucas que definida da seguinte maneira:

1 1n n nL f f += + 1 2 31, 3, 4,...L L L= = =

Obs: fcil perceber que de acordo com a definio da seqncia de Lucas temos que 0 2.L = Usando a frmula de Binet temos que:

1 1 1 1

1 1

n n n n

n n nL f f + +

+ = + = +

1 1 1 .n n = + +

Como 1 5

2+ = e 1 5 ,

2 = ento 1 5+ = e

1 5.+ = Portanto, .n n

nL = + Problema 5: Prove que 2 .n n nf f L=

Problema 6: Sejam 0 12, 1,L L= = e 2 1 ,n n nL L L+ += + para 0,n a seqncia de Lucas. Prove que, para todo 1,m

12 21

,k mm

kL f +

==

onde nf a seqncia de Fibonacci. Problema 7: Achar o termo geral np se 0 1p = e 31 5 3 ,n n np p p+ = para 0.n Problema 8: Todo natural pode ser unicamente escrito como soma de nmeros de Fibonacci distintos, de ndices no consecutivos e maiores que 1. (Teorema de Zeckendorff). Problema 9: Sejam a e b inteiros positivos tais que 93b divisvel por 19a e 93a divisvel por 19 .b Prove que

14 8( ) nfa b ++ divisvel por ( ) nfab para todo n > 1. Problema 10: Prove que nenhum nmero de Fibonacci potncia de 7. Problema 11:

Sejam ( )nf a seqncia de Fibonacci e, para todo inteiro positivo n, 2 2

2 .n n nV f f += + Prove que, para todo inteiro positivo n, ,nV 1 ,nV + 2nV + so lados de um tringulo de rea 1 .2

REFERNCIAS: [1] Ross Honsberger, Mathematical Gems III, MAA, 1985. [2] Hygino H. Domingues, Fundamentos da Aritmtica, Atual, 1991.