SEM0104 SEM0104 -- Aula 2Aula 2

Graus de Liberdade em Graus de Liberdade em Cadeias CinemáticasCadeias CinemáticasCadeias CinemáticasCadeias Cinemáticas

Prof. Dr. Marcelo Prof. Dr. Marcelo BeckerBeckerSEM - EESC - USP

•• IntroduçãoIntrodução

• Graus de Liberdade

• Cadeias Cinemáticas

Sumário da AulaSumário da Aula

• Cadeias Cinemáticas

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

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IntroduçãoIntrodução

• O que são mecanismos?

• O que são Máquinas?• O que são Máquinas?

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•• IntroduçãoIntrodução

•• Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

• Cadeias Cinemáticas

Sumário da AulaSumário da Aula

• Cadeias Cinemáticas

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

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Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

• GDL ou DOF (Degree Of Freedom)

• O que significa Grau de Liberdade?

Definição: é o número de parâmetros Definição: é o número de parâmetros independentes que são necessários para se definir a posição de um corpo no espaço em qualquer instante.

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Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

• No Plano: 3 GDL

P

x

yθ

P

O

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Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

• No Espaço: 6 GDL

P

xy

α

θ

zβ

O

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Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

• Corpo Rígido

Definição: Corpo que não sofre deformações em nenhuma de suas direçõesem nenhuma de suas direções

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Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

• Link

Definição: Corpo que une 2 juntas

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Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

• Tipos de Movimento

– Rotação Pura

PistãoBiela

– Translação Pura

– Movimento Complexo

• Rotação + Translação

Manivela

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Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

• Rotação Pura

– Todos os pontos do corpo descrevem trajetórias circulares

xO

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Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

• Translação Pura

– Todos os pontos do corpo descrevem trajetórias paralelas (curvas ou retas)

P1 P2P1 P2

Posição Inicial Posição Final

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Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

• Movimento Complexo

– Pode ser descrito como a combinação de rotação e translação

Início Fim Rotação Translação

P1

P1

P1 P1

P1

P2

P2P2

P2 P2

P2

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Graus de LiberdadeGraus de Liberdade• Juntas (Joints)

Definição: elemento que conecta 2 corpos e que permite a transmissão de força ou torque. Atuam como restrições geométricas. torque. Atuam como restrições geométricas.

Rotacional Prismática Cilíndrica Esférica

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Tipo Símbolo Esquema GDL ββββ

Helicoidal H 1 θθθθ

Rotação R 1 θθθθ

θ

s

θ

Juntas versus DOFJuntas versus DOF

s

Rotação R 1 θθθθ

Prismática P 1 s

Cilíndrica C 2 θ θ θ θ s

θ

s

θ

s

s

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Tipo Símbolo Esquema GDL ββββ

Universal T 2 θθθθ1111 θθθθ2222

Juntas versus DOFJuntas versus DOF

θ2θ2

θ1

Plana E 3 θθθθ s1 s2

Esférica S 3 θ ψ φθ ψ φθ ψ φθ ψ φ

s1

θs1

s2

θ2

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Juntas versus DOFJuntas versus DOFTipo Símbolo Esquema GDL ββββ

Contato Co 1

Rotação SEM

Escorrega-mento

Engrenagem Eng 2Rotação com Escorrega-

mento

Came -

SeguidorCS 2

Translação com

Escorrega-mento

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos PlanaresMecanismos Planares

• Critério de Kutzbach

N = 3.(B-1) – 2.nJ1 – nJ2

• Onde:

N: Número de GDLs

B: Número de Total de Corpos (incluindo o solo)

nJ1: Número de Juntas com 1 GDL

nJ2: Número de Juntas com 2 GDLs

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos PlanaresMecanismos Planares

• Critério de Kutzbach

N = 3.(B-1) – 2.nJ1 – nJ2

• Se:

N = 0 : Sistema Estático

N > 0 : Sistema com “N” graus de liberdade

N < 0 : Sistema Hiperestático

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares -- ExemplosExemplos

• Pêndulo Simples

B = 2 nJ1 = 1 nJ2 = 0

N = 3.(2-1) – 2.(1) – (0) = 1 GDLN = 3.(2-1) – 2.(1) – (0) = 1 GDL

• Pêndulo Duplo

B = 3 nJ1 = 2 nJ2 = 0

N = 3.(3-1) – 2.(2) – (0) = 2 GDL

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– Pêndulo SimplesPêndulo Simples

• Quais são os GDLs?

x

1 GDL

x

yθ

L

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– Pêndulo SimplesPêndulo Simples

• Equações de Posição:

1 GDL

P = L.e iθ

θL

P = L.e

P

P = L.(sin θ i + cos θ j)

O

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– Pêndulo DuploPêndulo Duplo

• Quais são os GDLs?

x1

2 GDL

x2

y2

y1 θ1

L1

L2

θ2

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– Pêndulo DuploPêndulo Duplo

• Equações de Posição:

2 GDL

P = L1.e iθ1 + L2.e iθ2

θ1

L1

L2

θ2

P = L1.e 1 + L2.e 2

P = L1.(sin θ1 i + cos θ1 j) +L2.(sin θ2 i + cos θ2 j)

P

O

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– ObservaçõesObservações

(1) Contagem do solo

OO2

O3

(2) Existem exceções ao Critério de Kutzbach

O1 O2 O3 O1 O2 O3

O1

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– ObservaçõesObservações

(3) Molas

OO2

O3

(4) Sistemas Hidráulicos e Pneumáticos

O1

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•• IntroduçãoIntrodução

•• Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

•• Cadeias CinemáticasCadeias Cinemáticas

Sumário da AulaSumário da Aula

•• Cadeias CinemáticasCadeias Cinemáticas

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

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Cadeias CinemáticasCadeias CinemáticasTopologiasTopologias

• Cadeias Abertas– A trajetória entre 2 corpos é única

– Excluindo o solo, o número de corpos é igual ao número de juntas

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Cadeias CinemáticasCadeias CinemáticasTopologiasTopologias

• Cadeias Fechadas– Loops

nL = nJ – nBnL = nJ – nB

• Onde:

nL: Número de Loops

nJ: Número de Juntas

nB: Número de Corpos (excluindo o solo)

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Cadeias CinemáticasCadeias CinemáticasTopologiasTopologias

• Cadeias Fechadas - Exemplos

nL = nJ – nB

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Cadeias CinemáticasCadeias CinemáticasTopologiasTopologias

• Cadeias Parcialmente Fechadas

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Cadeias CinemáticasCadeias CinemáticasGraus de LiberdadeGraus de Liberdade• Não considerando o solo:

N = 3.nB – Σ (3 - fi)

• Onde:

nJ

i = 1

• Onde:

N: Número de GDLs

nB: Número de Corpos (excluindo o solo)

nJ: Número de Juntas

nL: Número de Loops

fi: GDL da junta i

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– ExemplosExemplos

O1

O2

O3

O1

O2

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– ExemplosExemplos

EESC-USP © M. Becker 2010 34/48

Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– ExemplosExemplos

O1 O3

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– ExemplosExemplos

O1

O2

O3

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– ExemplosExemplos

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadePergunta da Aula PassadaPergunta da Aula Passada

Quantos GDLs possui uma mão?

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Tipo Símbolo Esquema GDL ββββ

Helicoidal H 1 θθθθ

Rotação R 1 θθθθ

θ

s

θ

Juntas versus DOFJuntas versus DOF

s

Rotação R 1 θθθθ

Prismática P 1 s

Cilíndrica C 2 θ θ θ θ s

θ

s

θ

s

s

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Tipo Símbolo Esquema GDL ββββ

Universal T 2 θθθθ1111 θθθθ2222

Juntas versus DOFJuntas versus DOF

θ2θ2

θ1

Plana E 3 θθθθ s1 s2

Esférica S 3 θ ψ φθ ψ φθ ψ φθ ψ φ

s1

θs1

s2

θ2

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadePergunta da Aula PassadaPergunta da Aula Passada

22 DOFs22 DOFs

Junta Universal

Junta Rotacional

xxx xx

xx

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Próxima AulaPróxima Aula

• Mecanismos Simples

• Mecanismos Complexos

• Pergunta:

E o conjunto

braço, ante-braço

e mão, quantos

GDLs possui?

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•• IntroduçãoIntrodução

•• Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

•• Cadeias CinemáticasCadeias Cinemáticas

Sumário da AulaSumário da Aula

•• Cadeias CinemáticasCadeias Cinemáticas

•• Exercícios Exercícios RecomendadosRecomendados

• Bibliografia Recomendada

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Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– ExercíciosExercícios

EESC-USP © M. Becker 2010 44/48

Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– ExercíciosExercícios

EESC-USP © M. Becker 2010 45/48

Graus de LiberdadeGraus de LiberdadeMecanismos Planares Mecanismos Planares –– ExercíciosExercícios

EESC-USP © M. Becker 2010 46/48

•• IntroduçãoIntrodução

•• Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

•• Cadeias CinemáticasCadeias Cinemáticas

Sumário da AulaSumário da Aula

•• Cadeias CinemáticasCadeias Cinemáticas

•• Exercícios Exercícios RecomendadosRecomendados

•• Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada

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Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada

• Shigley, JE. e Uicker, JJ., 1995, “Theory of Machines and Mechanisms”.

• MABIE, H.H., OCVIRK, F.W. “Mecanismos e dinâmica das máquinas”.

• MARTIN, G.H. “Cinematics and dynamics of

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• MARTIN, G.H. “Cinematics and dynamics of machines”.

• NORTON, R. “Machinery dynamics”.

• Notas de Aula