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SECRETARIA DO ESTADO DE EDUCAÇÃO - SEED
Superintendência da Educação - SUED
Diretoria da Política e Programas Educacionais - DPPE
Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE
O ESTUDO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES A PARTIR DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E MÍDIAS TECNOLÓGICAS: UMA
APLICAÇÃO.
TURVO - PR
2008
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MARINÊS JOSEFINA SCHIMITH DA SILVEIRA
O ESTUDO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES A PARTIR DA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E MÍDIAS TECNOLÓGICAS: UMA APLICAÇÃO.
Unidade Didática para desenvolver no C. E. Edite Cordeiro Marques – EFM, Turvo PR, realizado pela professora Marinês Josefina Schimith da Silveira, como requisito previsto pelo programa PDE - 2008 Orientador: Márcio André Martins
TURVO-PR
2008
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I. PROBLEMAS DO PRIMEIRO GRAU A matemática que conhecemos hoje foi desenvolvida ao longo da história
da humanidade, ela surgiu das necessidades e desafios enfrentados pelo homem.
Assim, pode-se dizer que os conhecimentos matemáticos são resultantes da
interação do ser humano com a natureza.
A matemática “nunca esta pronta, acabada; nenhuma formalização fica
estabelecida de uma vez por todos. Uma definição, um conceito serão enunciados
cada vez mais precisamente, à medida que forem necessários à resolução de
problemas mais e mais complexos” (PAVANELLO,1993)
Inúmeras são as situações do nosso dia a dia que obtemos contato com o
mundo da matemática, ou seja, são muitas as situações do nosso cotidiano em
que é possível se representar questões através de símbolos matemáticos.
Nesse sentido Paulo Freire diz: Quando a gente desperta, já caminhando para o banheiro, a
gente já começa a fazer cálculos matemáticos. Quando a gente olha o relógio, por exemplo, a gente já estabelece a quantidade de minutos que a gente tem para, se acordou mais cedo, se acordou mais tarde, para saber exatamente a hora de que vai chegar à cozinha, que vai tomar o café da manhã, a hora que vai chegar o carro que vai nos levar ao seminário, para chegar às oito. Quer dizer, ao despertar os primeiros movimentos, lá dentro do quarto, são movimentos matematicizados. (apud D’ Ambrósio, 2004).
Ao resolver um problema prático considera-se a transformação da
linguagem corrente para linguagem matemática podendo ser modelada através de
uma Equação, visto que “o termo equação é evocado quando existe a intenção,
por parte de alguém, de se resolver certo tipo de problema” (ROGALSKI, 2001).
Nesta perspectiva a equação é considerada como um modelo matemático. Para
Bassanezi (2002), Modelo Matemático é um conjunto de símbolos e relações
matemáticas que representa de alguma forma o objeto estudado e sua
importância consiste em ser uma linguagem concisa que expressa nossas idéias
de maneira clara e sem ambigüidades: Os elementos desconhecidos uma
equação são chamados de variáveis ou incógnitas. Como exemplo de resolução de problemas utilizando equação do primeiro
grau, observe o que diz o epitáfio do sepulcro de Diofante (notável matemático
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Epitáfio“Caminhante!Aqui jazem os restos de Diofante.Os números podem mostrar, oh maravilha, a duração da sua vida, cuja sexta parte constou da encantadora infância.Tinha passado mais uma duodécima parte da sua vida quando lhe apareceu a barba.A partir daí, a sétima parte da sua existência passou-a num matrimônio sem filhos.Passou um qüinqüênio mais quando o fez feliz o nascimento do seu primogênito.Este entregou o seu corpo e a sua encantadora existência à terra, tendo vivido metade do que seu pai viveu.Quanto a Diofante desceu à sepultura com profunda mágoa, tendo sobrevivido apenas quatro anos a seu filho.Diz-me, caminhante, quantos anos viveu Diofante até que a morte lhe chegou.”
grego nascido em Alexandria) provavelmente gravado por Hipatia, primeira mulher
matemática da história
Para saber mais de Diofante acesse:
http://www.geocities.com/g10ap/matematicos/mat11.htm
Pergunta-se:
Quantos anos viveu Diofante? Com quantos anos se casou? Quantos anos tinha
quando foi pai? Quantos anos tinha quando perdeu o filho?
Resolução:
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1.1 Resolver os Problemas
São quatro as principais etapas para resolver um
problema (POLYA, 2006):
Compreender o problema;
Elaborar um plano;
Executar o plano;
Fazer o retrospecto ou verificação.
Seguindo a sugestão de resolução acima, construa em duplas a equação que
representa cada um dos problemas a seguir. Após ter construído todos os
modelos, verifique com os demais colegas suas formulações. Caso haja diferença
entre as equações utilizem o quadro de giz para exposição, argumentação e
então, validação do modelo mais adequado.
a) Karine comprou três blusas e pagou R$ 100,00. Recebeu de troco R$ 4,00.
Qual o preço de cada blusa se o preço era único?
b) Em dois anos de festa junina, foram vendidos 1980 pastéis, sabendo-se que
este ano foi vendido 1/5 a mais que no ano
passado Qual o número de pastéis vendido em
cada ano?
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c) O perímetro do um retângulo é 46 cm. Sabendo-se que a largura é 9 cm a mais
que o comprimento, quanto mede cada lado desse retângulo?
d) Três amigos foram medir as suas alturas. No total mediram 4,85 m. Sabendo
que Ricardo mede 5 cm a mais que Vítor e que Mateus mede 5
a mais que Ricardo, quanto mede cada um dos amigos?
e) Rafael iniciou exercícios físicos, através de caminhadas. Em uma semana
percorreu o equivalente a 32 km. No segundo e no terceiro dia ele percorreu 1 km
a mais que no primeiro. No quarto e no quinto dia ele percorreu dois km a mais
que no primeiro. No sexto e no sétimo dia ele percorreu um km a
Menos que no primeiro. Quantos km ele percorreu em cada dia
da semana?
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"Pense-se na vida como um imenso problema, uma
equação ou, melhor ainda, uma família de equações em parte
dependentes mas também parcialmente independentes
umas das outras... subentendendo-se que tais
equações são bastante complexas e cheias de
surpresas e que muitas vezes somos incapazes de lhes
descobrir as ‘raízes’."(Fernando Braudel)
1.2 Encontrar a raiz
A solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, é
chamado, pela Matemática, de raiz da equação.
a) Verifique se 2 é raiz da equação: 3 (x + 4) + 6 = 24
Justifique sua resposta:
b) Verifique se 5 é raiz da equação 12x – 4(2x – 5 ) = 3x + 28
Justifique sua resposta:
c) Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da
equação: 2x - 3 = 16
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1.3 Identificar o modelo: Situação 1: Marina e Isabel foram colher maçãs. Ao todo colheram 148 kg de
maçãs, tendo a Marina colhido o triplo da quantidade de maçãs que a Isabel
colheu.
Supondo que x representa a quantidade,
em kg, de maçãs colhidas pela Marina.
Qual das seguintes equações resolve o
problema enunciado?
( ) 3x + 148 = x
( ) 3x = 148
( ) x + 148 = 3x
( ) x + 3x = 148
Quantos quilogramas de maçãs colheu cada uma das amigas?
Situação 2: Uma estudante ganha mensalmente uma quantia de dinheiro. Na
primeira semana ele gastou 2/3 da sua mesada, na
segunda e terceira semana 1/4 e ainda sobrou R$
25,00.
Supondo que x representa a
quantidade em dinheiro que a
estudante recebeu. Qual das seguintes
equações resolve o problema enunciado.
( ) 2/3x + 25,00 + x = 1/4x
( ) 1/4x + 2/3x + x = 25,00
( ) 2/3x + 1/4x + 25,00 = x
( ) 3/7x + x = 25,00
Ao todo, quanto ela recebeu de mesada?
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II. Sistemas de Equações Lineares Nesta seção serão apresentados problemas onde
existe mais de uma variável. Estes problemas podem ser
resolvidos através de Sistemas de Equações Lineares. As
soluções de um sistema de equações são os valores das
variáveis que satisfazem, em simultâneo, todas as
equações do sistema, ou seja, tornam verdadeira, ao
mesmo tempo, essas equações.
Exemplo 1
A soma de dois números é 12 e sua diferença é 2. Que números são
esses?
Traduzindo a situação apresentada para a linguagem matemática para
resolver o problema, utiliza-se o seguinte sistema de equações.
x + y =12
x - y = 2
Resolva o sistema acima pelo método de tentativa.
Verifique se:
a) (4,-2) é uma solução do sistema
2x + y = 6
2x + 3y = 2
b) ( 2,5) é uma solução do sistema
x + y = 4
2x - 3y = 3
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Escreva um sistema que corresponda á seguinte situação.
Uma saia custa o triplo de uma blusa. As duas juntas custam R$ 108,00. Qual o
valor da saia e da blusa?
Exemplo 2
Nos primeiros problemas apresentados foi fácil encontrar a solução, mas
podem ocorrer situações que a solução é um número decimal e corre-se o risco de
ficar horas tentando.
No próximo problema veremos três métodos de resolução que permitem
chegar à solução sem precisar ficar testando valores para as variáveis
A 2ª série do ensino médio do Colégio Edite Cordeiro Marques tem 40
alunos entre meninos e meninas. Eles resolveram
comprar um presente para a professora e arrecadaram
R$ 93,00. As meninas contribuíram com R$2,00 e os
meninos contribuíram com R$3,00. Qual o número de
meninas e meninos da sala?
Para resolver esse problema, vamos chamar de x a quantidade de meninas e y a
quantidade de meninos. Dessa forma, temos:
x + y = 40.
Como as meninas contribuíram com R$ 2,00 e os meninos com R$ 3,00,
temos que:
2 x + 3 y = 93 (reais)
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Esta última sentença matemática corresponde a uma equação do primeiro
grau com duas variáveis. Esse é um caso particular de um sistema de equações
do primeiro grau com várias variáveis.
Uma equação do primeiro grau nas variáveis x1, x2,..., xn é uma
expressão da forma
a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b = 0 Equação 1
onde os números a1, a2, ..., são diferentes de zero.
Dize-se que os números (r1, r2,..., rn) formam uma solução da equação,
se substituindo r1, r2, ..., rn em x1, x2, ... , xn temos que a equação acima é
satisfeita, isto é, a1 r1 + a2r2+...+anrn + b = 0.
Um sistema de equações do primeiro grau em n variáveis x1, x2,..., xn é
um conjunto de equações do primeiro grau nas variáveis x1, x2,..., xn. Dizemos
que os números (r1, r2,..., rn) formam, uma solução para o sistema de equações,
se (r1,r2,...,rn) é solução para todos as equações simultaneamente.
2.1 Resoluções de Sistemas de Equações Lineares
Para resolver o problema proposto pode-se aplicar um dos métodos de
resolução em Sistemas de Equações Lineares de ordem 2.
Existem três métodos diretos básicos, para resolver um sistema de
equações com duas incógnitas:
Adição Substituição Comparação
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x + y = 40 2x + 3 y = 93
-2x +-2 y = -80 2x + 3 y = 93
y = 13
x + y = 40 2x + 3 y = 93
-3 x - 3y = -120 2x + 3 y = 93
-x = -27 . (-1)x = 27
Método da Adição
Basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.
Multiplicando-se a primeira equação por (-2) e somando-se com a segunda equação, tem-se:
Multiplicando-se a primeira equação por (-3) e somando-se com a segunda
equação, tem-se:
O par ordenado de valores (x, y) = (27, 13) é a solução do sistema.
Para verificar se a solução está correta, basta substituir os valores
encontrados em ambas as equações:
27 + 13 = 40
2. 27 + 3. 13 = 93
Portanto, a solução está correta!
A resposta do problema fica sendo: O número de meninas na sala é 27 e o
número de meninos é 13.
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Método da substituição
Consiste em eliminar uma das variáveis isolando seu valor numa das
equações do sistema, para em seguida substituí-la na outra. Considerando-se a
resolução do mesmo exemplo:
x + y = 40.
2 x + 3 y = 93
Deve-se escolher uma das variáveis na primeira equação, para determinar
o seu valor:
x + y = 40 y = 40 – x
2x + 3(40-x) = 93 2x + 120 – 3x = 93
-x = -27 x=27
Substituindo o valor encontrado em uma das equações:
27 + y = 40 y = 40 – 27 y = 13
Logo a solução do sistema seria: S = (27, 13)
A resposta do problema fica sendo: O número de meninas na sala é 27 e o
número de meninos é 13.
Sempre substituir a solução encontrada em todas as equações do sistema!
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40 – y = 93 - 3 y 2
80 – 2y = 93 – 3y3y – 2y = 93 – 80
y = 13
Método da comparação:
Consiste em comparar as duas equações do sistema, após o isolamento
da mesma variável (x ou y) nas duas equações:
Ex: x + y = 40z
2 x + 3 y = 93
x = 40 - y
2 x = 93 - 3 y x = 93 - 3 y
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Comparando as duas equações:
Substituindo o valor de y encontrado:
x + 13 = 40
x = 40 - 13
x = 27
Portando S= (27, 13)
A resposta do problema fica sendo: O número de meninas na sala é 27 e
o número de meninos é 13.
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a) x + y = 2 3997x + 10y = 284
b) x + y = 284 7x + 10y = 2 399
c) x + y = 284 10x + 7y = 2 399
Resolva os Problemas
P.1. Em uma festa compareceram 284 pessoas. O preço de ingresso para os
homens era R$ 10,00 e para as mulheres era de R$
7,00. O total arrecadado foi R$ 2.399,00.
Supondo que x represente a quantidade de
mulheres e y o de homens. Qual dos seguintes
sistemas descreve o problema enunciado?
Questão: Quantos homens e quantas mulheres estavam presentes?.
P. 2. Escreva um sistema que corresponda à seguinte situação: Um armário custa
o triplo de uma mesa. Os dois juntos custam R$ 120,00
P.3. Em uma partida de basquete as duas equipes fizeram um total de 86 pontos.
A equipe A fez o dobro de pontos, menos 4, que a equipe B. Então, a equipe A
marcou:
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P.4. Uma casa possui 98m2 de área construída, sendo que três quartos têm o
mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da
casa ocupam 80m2?
P.5. Uma cadeira custa um terço o preço de uma estante. Qual o preço da
estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00?
P.6. Duas amigas foram à feira. Em uma mesma barraca, Luana comprou 8 peras
e 5 maçãs por R$ 6,70 e Bianca comprou 6 peras e 4
maçãs por R$ 5,20. Qual era o preço de cada fruta?
P.7. Em uma indústria, o número de homens é o dobro do número de mulheres,
mais 34. O total de funcionários da
indústria é 160 pessoas. Quantos
são homens? Quantas são as
mulheres?
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III. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Segundo Iezzi (2005) equação do tipo 2x + 3y = 93 é denominada
equação linear a duas variáveis.
3.1 Equação linear a duas incógnitas
Equação linear nas incógnitas x e y é toda a equação da forma ax + by = c
em que a, b e c são números reais conhecidos, com a e b nulos
simultaneamente.
Pode-se obter vários pares ordenados que sejam as soluções para uma
equação:
Exemplo:
2x + 3y = 12 (3, 2), (0, 4), (6, 0)
Com apenas dois pares ordenados é possível representar o gráfico dessa
equação:
y
(0,4)
(4,2)
x
Figura 01: reta determinada por dois pontos
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3.2 Sistema de duas equações lineares a duas variáveis
A solução gráfica linear do sistema linear consiste na representação de
ambas as retas (cada equação) em um único plano cartesiano.
Exemplo
x + y =12 (4, 8), (7, 5),...
x - y = 2 (5, 3), (8, 6), ...
y
(4,8)
(6,6) (8,6)
(7,5)
(5,3)
x
Figura 02: Representação da Solução de um Sistema Linear Sistema de Equação Linear
Classificação de um sistema de Equação linear quanto ao número de soluções
Um sistema linear recebe o nome de:
Possível (ou compatível) e determinado, se apresenta uma única solução;
Possível (ou compatível) e indeterminado se possui mais de uma solução;
Impossível (ou incompatível), se não admite solução.
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Interpretação Geométrica dos Sistemas Lineares
Um sistema linear pode ser representado geometricamente considerando-se o
gráfico de cada uma de suas equações. Como as equações apresentam
características lineares (grau 1, não há produto de variáveis ou de termos
transcendentes) as representações são dadas por retas e as soluções do sistema
pelos pontos de intersecção entre estas retas.
Possível (ou compatível) e determinado, se apresenta única solução;
y
(4,8)
(6,6) (8,6)
(7,5)
(5,3)
x
Figura 03: Retas Concorrentes
Obs.: único ponto de intersecção.
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Possível e indeterminado se possui mais de uma solução
y
x
Figura 04: Retas Paralelas e Coincidentes
Obs.: Infinitos pontos comuns (pontos de intersecção).
Impossível (ou incompatível), se não admite solução.
y
x
Figura 05: Retas Paralelas e Disjuntas
Obs.: Não há ponto comum a ambas as retas.
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2 y – y = 1
d) x + y = 8
e) x + y = 8
2x + 2 y = 1 6
f) x + y = 8-x – y = 1 0
a) 3 x - y = 10 2 x + 5y = 1
b) x – 2 y = 5 2 x – 4y = 2
c) 2 x – 6y = 8 3 x – 9y = 12
Represente graficamente a solução de cada um dos sistemas de equações
lineares a seguir:
Sugestão: a representação gráfica da solução de um sistema de equações
lineares de duas variáveis pode ser obtida com a utilização de um software de
Geometria Dinâmica.
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Software Régua e compasso
O aplicativo “Régua e Compasso” (C.a.R.), desenvolvido pelo professor René
Grothmann da Universidade Católica de
Berlim, na Alemanha, é um software de
Geometria Dinâmica plana gratuito. Ele
está escrito na linguagem Java, tem
código aberto e roda em qualquer
plataforma (Microsoft Windows©, Linux,
Macintosh©, etc).
As construções feitas com o “Régua e
Compasso” são dinâmicas e interativas,
o que faz do programa um excelente laboratório de aprendizagem da Geometria.
Tutorial: Representação Gráfica de Equação do 1º Grau.
a) Determine dois pontos de cada reta (utilize a ferramenta “ponto” ).
b) Construa uma reta nos pontos criados (utilize a ferramenta “reta” ).
c) Marque um ponto na intersecção das retas (utilize a ferramenta “ponto” ).
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IV. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BASSANEZI R. C.. Ensino- aprendizagem com modelagem matemática: uma
nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
D’ AMBRÓSIO, U. Por que se ensina matemática? Texto de curso a distância,
promovido pela SBEM. Disponível em: WWW.sbem.com.br. acesso em: 24
mar. 2004.
IEZZI, G.; DOLCE, O. ; MACHADO, A.; Matemática e Realidade: 7ª série. 5ª ed.
São Paulo: Atual, 2005.
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E., MORGADO, A. C.; A Matemática do Ensino Médio. V. 1. Coleção Professor de Matemática. Rio de
Janeiro: IMPA, 2001.
PAVANELLO, R. M. Matemática e educação matemática. Boletim da SBEM- SP,
n. 1, p.4-14, 1993.
POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas: um novo aspecto do método
matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro:
Interciência, 2006.
ROGALSKI, M. Carrefours entre Analyse, Algèbre et Géomètrie.
Paris:Ellipse,2001.