Post on 24-Jun-2015
Estática
Prof. Jorge Formiga
jorge.formiga@etep.edu.br
Seção 3 – Momento de Força
1
Objetivo: O aluno deverá aplicar o
momento de força nos
problemas de equilíbrio do corpo
rígido.
2
Corpo Rígido Sistema de forças equivalentes
Forças externas e internas
Princípio da transmissibilidade
Momento de força em relação a um
ponto
0.875m
C
B
A
E
D
0.2m d C
riação: D
I -
CE
TE
C
3
F 1 2
P1
1 2 F F12 F21
N2 N1
P2
Forças externas e internas
(exemplo 1/3)
Forças externas
F N1 N2 mg1 mg2
Forças internas
Par ação e reação
F12 = - F21
4
N1 N2
F
mg Fx12
N1
mg
1
N2
F
Fx21
2
M12 M21
Fy12 Fy21
Forças externas e internas (exemplo 1/3)
Forças externas
F mg N1 N2
Forças e Momentos internos
Par ação e reação
F12 = - F21 M12 = - M21
5
q
Momento de Força em
Relação a um ponto Produto vetorial
Direção: perpendicular ao
plano definido por
Sentido: regra da mão
direita
Módulo do produto vetorial
6
FrM
0
0M
r
F
Fer
qsenFrM
0
F
0M
r
)braço(dsenr q
q
d
0
A
q
d
Nm
m N
)braço(dsenr q
7
FdM 0
F
0M
r
r
d = L
x
y
90o
d
0 A
L
d 0
A
L
q d = Lsenq
Exemplo 1
kFLjFiLM
jFFiLr
FrM
)(
;
0
0
kFLsenM
jFFjLiLsenr
FrM
q
0
0
;cos
8
q FLsenM0
FLM0
F
r
F
r
i
j
x
y z
0
A
X
Y
Z
Fx
Fy
Fz
kzjyixr
kFjFiFF zyx
FrM
0
k)yFxF(j)xFzF(i)zFyF(
FFF
zyx
kji
M xyzxyz
zyx
0
kMjMiMM z0y0x00
yFxFM
xFzFM
zFyFM
xyz
zxy
yzx
0
0
0
Momento de força com relação a origem do sistema de referência OXYZ
x
y z
0
A
X
Y
Z
Fx
Fy
Fz
FrM
0
9
r
F
r
F
Exemplo 2
)Nm(k1300j100i1000
100300100
314
kji
M0
Nm13001)100(4300yFxFM
Nm1004)100(3)100(xFzFM
Nm100033001)100(zFyFM
xyz0
zxy0
yzx0
10
X M0
M0z
M0y M0x
Z
Y
q
0 A
x
y z
0
A
Y
Z
Fx
Fy
Fz
X q
)N(k100j300i100F
)m(k3j1i4r
)Nm(k1300j100i1000M0
M0 = 1643 Nm dFsenFrM0 q
d = 4,95 m F = 332 N q = 103,90
11
r
F
0M
r
F
12
A B C SI
F 300 N
d 5 m
M0 1500 Nm
FA = 300N
FB = 200N
FC = 100N
Exemplo 3: Calcular o torque em
relação a origem
FdM 0
12
3 m
1m 4m
0
A
X
Y
Z
C
AFBF
CF
Momento de força com relação a um ponto
qualquer (ponto B)
x
y z
0
A
X
Y
Z
FA
x
FAy
FA
z B
Y
’
X
’ Z’ AB/AB FrM
kzjyixr B/A
kFjFiFF AzAyAxA
BAB/A rrr
BA xxx BA yyy
BA zzz
k)yFxF(j)xFzF(i)zFyF(
FFF
zyx
kji
M AxAyAzAxAyAz
AzAyAx
B
kMjMiMM BzByBxB
yFxFM
xFzFM
zFyFM
AxAyBz
AzAxBy
AyAzBx
13
Ar
AF
B/Ar
Br
FA = 300N
FB = 200N
FC = 100N
Exemplo 4
3 m
1m 4
m
0
A
X
Y
Z
C
B
Y’
X’
Z’
FdMB )Nm(FrM B/AB
A B C SI
F 300 200 N
d 4 0 m
MB 1200 0 120 Nm
A
B
C
-1200 0 0 1200
0 0 0 0
0 120 0 120 14
BM
i
k
j
0M
AFBF
CF
3
4
53o
53o
FC
FCX
FCY
C
1,5 B
2
FCX = FCcos(53º) = 80 N
FCY = FCsen(53º) = 60 N
FC = 100 N 2,5
FCX = FCcos(53º) = 60 N
FCY = FCsen(53º) = 80 N
FC = 100 N
15
Forças externas e internas
Princípio da transmissibilidade
Momento de força em relação a um
ponto
Corpo Rígido Sistema de forças equivalentes
Teorema de Varignon
Binário ou Par conjugado
Representação de uma dada força em
uma força atuando num ponto O e em um
binário
Redução de um sistemas de forças em
uma força e um binário
history.mcs.st-and.ac.uk 0.875m
C
B
A
E
D
0.2m d C
riação: D
I -
CE
TE
C
16
Teorema de Varignon
history.mcs.st-and.ac.uk
0
A
X
Y
Z
...FrFr...)FF(r 2121
...FFF 21
forçasdastetansulRe:F
17
1F
2F
3F
r
)m(k4j1i3r
i)N400(F
j)N300(F
2
1
A
a
3 m
1m
0
Y
Z
4m
A
X
+
Exemplo 5
18
kjiFr
kjiFr
FrFrM
40016000
90001200
2
1
210
k500j1600i1200M0
1F
2F
F
r
2F
1F F
N5000300400FF
k0j300i400F
222
Exemplo 5
k500j1600i1200M
)j300i400()k4j1i3(M
FrM
0
0
0
(cont.)
19
20
B
50o
A
240 mm
180 mm
1000 N
Uma força de 1000 N atua na extremidade A da
estrutura da figura abaixo. Determinar o momento de
força com relação ao ponto B, a) da força de 1000N e b)
de suas componentes nas direções horizontal e vertical.
Exercício 1
20
Reposta:
a)M=292,3 Nm
b)Mx=137,9Nm e My=154,3Nm
BBA
BA
BA
MFrM
FrrM
FrFrM
/0
0
0
)(
)(
FdMMM
senrFMM
B0
B/AB0
q
d B
A
F
d
F
0 X
Y
Z
B
A
Ar
Br
B/Ar
q
M
Binário ou Par conjugado
0)(
FFFdM 21
B/Ar
X
Y
B
A A
B
M = Fd M = Fd
0)(
FF
(cont.)
22
F
F
M
F
F
M
Binário ou Par conjugado
Binários Equivalentes Binário 1
M = F1d1
Y
Z
X
5cm 12N 12N
M
Y
Z
X
d1
23
1M
1F
1F
Binários Equivalentes
M = F2d2
Y
Z
X
4cm
15N
15N
M Y
Z
X
d2
Binário 2
24
2M
2F
2F
Binários Equivalentes
21 MM
Direção
Sentido
Intensidade
M = F1d1 = F2d2
25
Binários Equivalentes Binário 1 Binário 2
M = F1d1 M = F2d2
Y
Z
X
5c
m
12N 12N
M
Y
Z
X
4cm
15N
15N
M
Y
Z
X
d2
Y
Z
X
d1
21 MM
Direção
Sentido
Intensidade
M = F1d1 = F2d2
26
1M
1F
1F
2M
2F
2F
Soma de Binários
X
Y
Z d1
1F
1F
2F
1M
2M
A B
2F
R
R
B/Ar Y
0 X
Z
21B
2B/A1B/AB
21B/AB
B/AB
MMM
FrFrM
)FF(rM
RrM
27
1M
2M
BM
1 0 0 -100 100
2 0 0 300 300
3 -200 200 0 283
-200 200 200 346
1
2
3
X
Y
Z
Z
X
Y
N100
N100
N300A
B N300
N200
N200
1m
1
2
3
cubo
(Nm)
Soma de Binários
28
1M
k
j
nM
i
nM
RM
Representação de uma dada força em uma
força atuando num ponto O e em um binário
0M
F
= =
FrM0
29
F
r
F
F
F
r
30
90o
d
0 A
L
90o
d
0 A
L
90o
d
0 A
L
0M
30
FLM0
F
r
F
r
F
F
F
r
Na estrutura da figura abaixo determinar a) os momentos
dos binários 1 e 2; b) o momento resultante dos dois
binários; c) a soma dos momentos de cada uma das forças
com relação ao ponto O; OBS: Dimensões da estrutura em
centímetro. (Sugestão: livro Beer pag 159 5ª edição)
100N
X
Y
Z 20
50
50
20
200N
200N 100N
0
A
B
C
D 1
2
Exercício 1
31
30 cm
F
A
200
300
B
2- Para satisfazer limitações de projeto é necessário determinar o efeito da
força trativa F= 2 kN atuando no cabo, sobre o cisalhamento, tração e flexão
da viga em I engastada. Com esse propósito substitua a força por seu
equivalente em duas forças em A perpendicular e paralela a viga. Calcule o
torque exercido por F no ponto A.
Exercícios
Respota: Ft=1,286 KN e
Fn=1,532 KN
T=459,6 Nm
33
03- Um pé-de-cabra é usado para remover um prego, como mostra a
figura abaixo. Determine o momento da força de 240 N em relação ao
ponto O, de contato entre o pé-de-cabra e o pequeno bloco de
suporte.
Exercícios
Reposta: Mo=84N.m
34
04- O elemento estrutural rígido está
submetido a um binário composto de um
par de forças de 100N. Substitua esse
binário equivalente, consistindo nas duas
forças P e –P, cada uma com módulo de
400N. Determine o ângulo θ apropriado.
Exercícios
Reposta: Mo=10N.m e θ=51,3°
35
05- Uma força F=50N é exercida sobre a alavanca do freio de mão
de mão de um automóvel onde x=250mm. Substitua a força por um
sistema força-binário equivalente no ponto O.
Exercícios
Reposta: Mo=17N.m
36
05- A figura representa duas engrenagens maciças submetidas às
forças de contato mostradas. Substitua as duas forças por um única
força equivalente R no eixo de rotação O e por um binário M
correspondente. Especifique os módulos de R e M.
Exercícios
Reposta:
R=3,56 kN , Mo=12N.m
37
06-Um força trativa T de módulo 10 kN é aplicada ao cabo preso no
topo do mastro rígido, em A e preso ao chão em B. Determine o
momento Mz de T em relação ao eixo z que passa pela base O.
Exercícios
Reposta:
Mz=-84,9 kN.m
38
07-Uma força de 40N é aplicada em
A na manivela da alavanca de
controle que está conectada ao eixo
rígido OB. Ao determinar o efeito da
força sobre o eixo em um a seção
transversal, como aquela em O,
podemos substituir a força por uma
força equivalente em O e por um
momento. Descreva esse momento
como um vetor M e a direção do
vetor no plano y-z.
Exercícios
Reposta:
M=-50j+80k N.m e θ=32º