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UNIVERSIDADE DO ALGARVE
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
TEXTO DE APOIO ÀS AULAS TEÓRICAS DE
FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL
Rui Lança, Eq. Professor Adjunto
UNIVERSIDADE DO ALGARVE
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
TEXTO DE APOIO ÀS AULAS TEÓRICAS DE
APLICADA À ENGENHARIA CIVIL
Rui Lança, Eq. Professor Adjunto
SETEMBRO DE 2008
TEXTO DE APOIO ÀS AULAS TEÓRICAS DE
APLICADA À ENGENHARIA CIVIL
i
Índice de matérias
1 Introdução ........................................................................................................................................ 1
1.1 Sistema de unidades ................................................................................................................. 3
1.2 Semelhança ............................................................................................................................... 4
1.3 Cálculo vectorial....................................................................................................................... 6
1.4 Cálculo de determinantes ....................................................................................................... 11
1.5 Questões teóricas .................................................................................................................... 12
2 Cinemática ..................................................................................................................................... 13
2.1 Introdução ............................................................................................................................... 13
2.2 Movimento de uma partícula material .................................................................................... 13
2.3 Vector deslocamento .............................................................................................................. 14
2.4 Espaço Percorrido................................................................................................................... 14
2.5 Equação da trajectória ............................................................................................................ 14
2.6 Vector velocidade média e vector velocidade instantânea ..................................................... 15
2.7 Vector aceleração média e vector aceleração instantânea ...................................................... 16
2.8 Componente normal e tangencial do vector aceleração ......................................................... 16
2.9 Questões teóricas .................................................................................................................... 23
3 Cinemática – movimentos ............................................................................................................. 24
3.1 Movimento rectilíneo ............................................................................................................. 24
3.2 Movimento circular ................................................................................................................ 28
3.3 Projecteis ................................................................................................................................ 33
3.4 Questões teóricas .................................................................................................................... 33
4 Estática das partículas no plano ..................................................................................................... 35
4.1 Forças actuantes numa partícula ............................................................................................. 35
4.2 Resultante de sistemas de forças concorrentes ....................................................................... 35
4.3 Resultante de várias forças ..................................................................................................... 36
4.4 Decomposição de uma força em componentes ...................................................................... 37
4.5 Equilíbrio de uma partícula .................................................................................................... 38
4.6 Diagrama de corpo livre ......................................................................................................... 39
4.7 Questões teóricas .................................................................................................................... 42
5 Dinâmica de uma partícula ............................................................................................................ 44
5.1 As três leis do movimento de Newton .................................................................................... 44
5.2 Relação entre rF e
ra e sua aplicação aos vários tipos de movimento ................................... 46
5.3 Forças de ligação .................................................................................................................... 47
5.4 Movimento harmónico simples .............................................................................................. 53
ii
6 Quantidade de movimento de um sistema de partículas................................................................ 55
6.1 Impulso de uma força ............................................................................................................. 55
6.2 Momento linear de uma partícula e de um sistema discreto de partículas ............................. 56
6.3 Centro de massa de um sistema discreto de partículas ........................................................... 56
6.4 Momento linear do centro de massa ....................................................................................... 57
6.5 Lei do movimento do centro de massa ................................................................................... 58
6.6 Conservação do momento linear ............................................................................................ 59
6.7 Colisões perfeitamente elásticas ............................................................................................. 59
6.8 Colisões perfeitamente inelásticas .......................................................................................... 60
7 Trabalho e energia ......................................................................................................................... 61
7.1 Noção de trabalho ................................................................................................................... 61
7.2 Trabalho de uma força constante ............................................................................................ 61
7.3 Trabalho realizado por uma força variável ............................................................................. 61
7.4 Forças que não realizam trabalho ........................................................................................... 64
7.5 Trabalho de um sistema de forças .......................................................................................... 64
7.6 Energia cinética ...................................................................................................................... 64
7.7 Energia potencial .................................................................................................................... 65
7.8 Conservação da energia mecânica .......................................................................................... 66
7.9 Lei da conservação da energia ................................................................................................ 67
8 Mecânica dos fluidos ..................................................................................................................... 68
8.1 Propriedades dos fluidos ........................................................................................................ 68
8.2 Pressão .................................................................................................................................... 68
8.3 Distribuição hidrostática de pressões ..................................................................................... 69
8.4 Vasos comunicantes ............................................................................................................... 71
8.5 Prensa hidráulica .................................................................................................................... 72
8.6 Pressão atmosférica ................................................................................................................ 72
8.7 Lei de Arquimedes ................................................................................................................. 74
9 Centros de gravidade, momentos estáticos e estudo de forças distribuídas .................................. 75
9.1 Momento de uma força em relação a um ponto ..................................................................... 75
9.2 Centro de gravidade de um corpo bidimensional ................................................................... 76
9.3 Centro de massa de uma placa homogénea ............................................................................ 77
9.4 Momentos de primeira ordem ou momento estático .............................................................. 77
9.5 Baricentro de uma placa composta ......................................................................................... 79
9.6 Teorema de Pappus-Guldin .................................................................................................... 81
9.7 Cargas distribuídas sobre vigas .............................................................................................. 81
10 Eixos principais de inércia, inércias máximas e mínimas ........................................................... 84
10.1 Exemplos de aplicação ......................................................................................................... 84
iii
10.2 Momentos de inércia ............................................................................................................ 86
10.3 Momento polar de inércia ..................................................................................................... 88
10.4 Raio de giração de uma superfície........................................................................................ 89
10.5 Teorema dos eixos paralelos ................................................................................................ 90
10.6 Momento de inércia de superfícies planas compostas .......................................................... 91
10.7 Momentos de inércia de figuras geométricas comuns .......................................................... 94
11 Produto de inércia e círculo de Mohr .......................................................................................... 97
11.1 Produto de inércia ................................................................................................................. 97
11.2 Extensão do teorema dos eixos paralelos ............................................................................. 97
11.3 Eixos e momentos principais de inércia ............................................................................... 98
11.4 Círculo de Mohr para momentos e produtos de inércia...................................................... 101
Referencias Bibliográficas ............................................................................................................. 107
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1 Introdução
A física é a mais básica das ciências, aborta o comportamento e estrutura da matéria. Esta área tão
abrangente divide-se em áreas do conhecimento que estudam o movimento, os sólidos, os fluidos,
os gases, o calor, o som, a luz, a electricidade, o magnetismo, a relatividade, a estrutura atómica, a
radioactividade, a física de partículas e a astrofísica entre outros.
Na aplicação à engenharia civil abordamos apenas alguns tópicos relacionados com o movimento,
sólidos e fluidos, dos quais se destacam:
- Grandeza física e sistemas de unidades. Estas noções são fundamentais para quantificar as
variáveis envolvidas nos diversos problemas e resolver. Para o Engenheiro Civil é fundamental ter
uma noção das grandezas com que lida, saber o que significam e o que valem as unidade utilizadas
para as quantificar e com a experiência adquirir sensibilidade para os valores das unidade e associar
esses valores com a sua materialização na realidade.
- Cinemática. Neste capítulo aborta-se o estudo do movimento em 1D e 2D, esta análise permite
estabelecer cálculos sobre trajectórias, velocidade, tempos de viagem, tempos de queda de um
corpo em queda livre.
- Estáticas das partículas no plano. A estática é um caso particular do movimento (dinâmica),
situação em que as forças aplicadas se equilibram. Neste capítulo utiliza-se o cálculo vectorial para
o cálculo de situações de equilíbrio aplicado a casos reais com que o engenheiro civil se pode
debater.
- Centros de gravidade. O cálculo do centro de gravidade de uma superfície ou de um corpo é
muito utilizado na Engenharia Civil, basta pensar que se for necessário segurar um corpo por um
único ponto, esse ponto será o centro de gravidade.
- Conceito de momento. O momento de uma força em relação a um ponto traduz o efeito de
rotação que essa força causa num corpo que possa girar em torno do ponto. Em situações estáticas
o conceito de momento também é importante pois permite determinar as condições de equilíbrio à
rotação.
- Momentos estáticos de uma superfície. O momento estático ou o momento de primeira ordem
de uma superfície em relação a um eixo traduz o produto da área pela distância ao eixo
considerado. É uma propriedade geométrica que influencia a forma como os esforços internos se
distribuem numa secção de um elemento estrutural.
- Estudo de forças distribuídas. Na natureza todas as forças são distribuídas, mas na concepção
de um problema se a força actua numa área muito reduzida pode ser considerada como uma força
concentrada. Existem outras situações em que para efeito da resolução de um problema podemos
representar uma força distribuída como uma força concentrada desde esta abstracção não altere os
resultados obtidos na resolução do problema.
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- Momento de inércia de superfícies. O inércia ou o momento de segunda ordem de uma
superfície em relação a um eixo traduz o produto da área pelo quadrado distância ao eixo
considerado. É uma propriedade geométrica que influencia a forma como os esforços internos se
distribuem numa secção de um elemento estrutural. Não confundir momento de inércia de uma
superfície com inércia (propriedade de um corpo tem para oferecer resistência a alterações de
velocidade).
- Dinâmica de uma partícula. Neste capítulo introduzem-se as leis fundamentais da dinâmica
clássica, ou seja, as três leis de Newton. Estas leis são aplicadas em situações práticas do dia a dia
com ênfase para casos da engenharia civil. Também se aborda o movimento harmónico e a sua
utilização na analise dinâmica de estruturas.
- Trabalho e energia. O conceito de trabalho e energia permite resolver alguns problemas da
cinemática e da dinâmica de uma forma muito mais simples.
- Mecânica dos fluidos. Neste capítulo faz-se uma ligeira abordagem aos estados da matéria, às
propriedades dos fluidos e a alguns casos em que a acção hidrostática dos fluidos condiciona o
resultado de uma observação, como a força exercida por um fluido nas paredes do recipiente que o
contem, o funcionamento do barómetro de mercúrio, a prensa hidráulica e a aplicação do teorema
de Arquimedes a corpos totalmente ou parcialmente imersos.
A Física Aplicada à Engenharia Civil não deve ser vista como uma disciplina estanque, mas sim
como uma disciplina cujos conhecimentos são aprofundados e aplicados em outras disciplinas da
engenharia civil como estática, estruturas, betão, hidráulica e solos.
Este manual da disciplina de Física Aplicada à Engenharia Civil não pretende ser o único
elemento de consulta para apoio às aulas teóricas. Pretende ser uma referência para o
primeiro contacto do aluno com as matérias leccionadas, as quais serão alvo estudo mais
detalhado nas referências bibliográficas indicadas.
É recomendado que o estudante leve estes apontamentos para as aulas teóricas para
não ser forçado a passar toda a informação do quadro e desta forma poder seguir a
aula com tempo para raciocinar sobre os temas discutidos.
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1.1 Sistema de unidades
Uma medição de uma grandeza física é exprimida com base num valor padrão dessa grandeza. A
esse valor padrão chama-se a unidade de medida da grandeza.
Um sistema de unidades é um conjunto coerente de unidades, umas fixadas arbitrariamente por
comparação com valores padrão (unidades fundamentais) e outras obtidas com base nas primeiras
por meio de equações de definição (unidades derivadas).
Na física mecânica as grandezas físicas fundamentais são três:
M massa
L comprimento
T tempo
Formando o sistema MLT, o qual é a base do sistema internacional (SI).
As unidades de medida das grandezas físicas fundamentais no sistema internacional de pesos e
medidas (S.I.) são
Quilograma (kg) massa
Metro (m) comprimento
Segundo (s) tempo
Unidades padrão
A unidade padrão para a massa é o (kg). O (kg) padrão é um cilindro de platina guardado no
International Bureau of Weights and Measures próximo de Paris.
A unidade padrão para o tempo é o (s) e é definido como 9 192 631 770 períodos da radiação de
átomos de celcium.
A unidade padrão para o comprimento é o (m). O metro padrão é o comprimento percorrido pela
luz no vacum durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 (s).
Todas as unidades utilizadas para quantificar as grandezas físicas fundamentais foram definidas por
convenção e as medições são feitas por comparação do tamanho da grandeza física com a unidade
padrão dessa mesma grandeza física.
Grandeza física derivada
Uma grandeza física derivada é exprimida por uma equação de definição. Como exemplo de
equação de definição, pode-se considerar a equação da variação da posição num movimento
rectilíneo uniforme.
dtvrd ⋅= rr
dt
rdv
rr =
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Para determinar as grandezas físicas fundamentais envolvidas na grandeza física derivada
velocidade, substitui-se na equação os símbolos das grandezas físicas fundamentais, obtendo-se.
[ ]rv L T= ⋅ −1
Para a aceleração, que se define como a variação da velocidade em ordem ao tempo, obtém-se.
dt
vda
rr =
Substituindo na equação os símbolos das unidades fundamentais, vem.
[ ] [ ]rr
av
TL T= = ⋅ −2
A força é definida pela segunda lei de Newton. r rF m a= ⋅
E as respectivas grandezas físicas fundamentais são.
[ ]rF M L T= ⋅ ⋅ −2
De um modo geral as grandezas físicas fundamentais de uma grandeza derivada X são.
[ ]X M L T= ⋅ ⋅α β γ
Em que α , β e γ são as dimensões da grandeza. Quando α β γ= = = 0 a grandeza diz-se
adimensional, como por exemplo a densidade relativa e um ângulo.
O quadro seguinte apresenta as dimensões das grandezas mais correntes da Física Mecânica, no
sistema MLT.
Grandeza física [X] Dimensões Sistema α β γ SI
Comprimento 0 1 0 (m) Área 0 2 0 (m2) Volume 0 3 0 (m3) Tempo 0 0 1 (s) Velocidade 0 1 -1 (m/s) Aceleração 0 1 -2 (m/s2) Massa 1 0 0 (kg) Força 1 1 -2 (N)≡ (kg.m/s2) Pressão 1 -1 -2 (Pa)≡ (N/m2) Peso volúmico 1 -2 -2 (N/m3) Massa volúmica 1 -3 0 (kg/m3) Quantidade de movimento 1 1 -1 (kg.m/s) Trabalho 1 2 -2 (J)≡ (kg.m2/s2) Potência 1 2 -3 (W) ≡ (kg.m2/s3)
1.2 Semelhança
Na física e na engenharia civil utiliza-se modelos matemáticos que se baseiam em fórmulas e
processos matemáticos para obter os resultados. Algumas vezes lida-se com problemas cuja
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caracterização através de modelos matemáticos pode ser difícil pelo que se torna rentável utilizar
modelos físicos.
Os modelos físicos assentam na construção de uma maquete à escala com comportamento
semelhante à realidade. No modelo são colocados instrumentos que permitem obter leituras sobre
velocidades, posições, forças, deformações, etc.
A correlação entre as leituras obtidas no modelo e a realidade muitas vezes não são lineares.
Quando se constrói um modelo podem-se ter escalas diferentes para as grandezas físicas
comprimentos [L] segundo x, y e z (Lx), [Ly] e [Lz], para a massa [M] e para o tempo [T]. Ora veja-
se o seguinte exemplo:
Exemplo 1:
Num modelo físico à escala [L] = 1/10, [T] = 1/1 e [M] = 1/20 desloca-se uma partícula com massa
mModelo à velocidade Modelovr
.
Questão: Qual será a velocidade real?
Resposta: A grandeza física derivada velocidade define-se como:
dt
rdv
rr =
As grandezas físicas fundamentais envolvidas na grandeza física derivada velocidade são:
[ ] 1−⋅= TLvr
( ) ( ) 1Re 110 −⋅⋅⋅= ModeloModeloal trv
rr
Ou seja
Modeloal vvrr ⋅= 10Re
A velocidade será 10 vezes superior na realidade do que no modelo.
Nem sempre a relação de proporcionalidade é linear como se pode constatar neste exemplo para a
velocidade.
Questão: Qual será a energia cinética real?
Resposta: A equação de definição da energia cinética é dada por:
2
2
1vmEC
r⋅⋅=
Logo
( ) ( )2
Re 10202
1ModeloModeloal vmEr⋅⋅⋅⋅=
( ) 22Re 2
11020 ModeloModeloal vmE
r⋅⋅⋅=
Modeloal CC EE ⋅= 1000Re
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Exemplo 2:
Para testar o comportamento de um reservatório, desenvolveu-se um modelo físico à escala [L] =
1/20; [T] = 1/1; [M] = 1/1.7. Sabendo que a acção da água sobre uma parede vertical plana com
dimensões (H . L) é de ModeloFr
, qual é a força que actua sobre a parede na realidade. alFRe
r. A
equação de definição é:
LHgF ⋅⋅⋅⋅= 2
2
1 rrρ
Sendo:
ρ massa volúmica da água (kg/m3)
gr
aceleração da gravidade (m/s2)
H altura da parede (m)
L extensão da parede em planta (m)
( ) ( ) ( )ModeloModeloModeloal LHgF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 20207.12
1 2Re
rrρ
LHgF Modeloal ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 22Re 20207.1
2
1 rrρ
ModeloModeloModeloal LHgF ⋅⋅⋅⋅= 2Re 6800
rrρ
Nos exemplos anteriores mostrou-se como a partir de dados medidos em modelos reduzidos de
podem obter os valores reais. Nestes exemplos utilizaram-se casos em que por equações
matemáticas é fácil obter os resultados para a realidade pelo que não faz sentido construir modelos
físicos, nestes casos utilizam-se modelos matemáticos. Contudo existem situações, que saem fora
do programa desta cadeira, em que não existem modelos matemáticos correctos como por exemplo:
cálculo de forças aerodinâmicas exercidas pelo vento numa estrutura não convencional; calcular as
alterações no transporte de sedimentos que provocam a alteração da configuração do fundo de um
estuário devido à ampliação dos molhes de protecção de um porto; na construção de um novo
empreendimento turístico numa zona ventosa determinar as zonas abrigadas para colocar
esplanadas; etc.
1.3 Cálculo vectorial
Na física trabalha-se com grandezas escalares e grandezas vectoriais. Uma grandeza escalar é
definida por um número. Por exemplo a massa de um corpo é de x (kg). Significa que a massa deste
corpo é de x vezes a unidade padrão. Desta forma está definida qual é a massa do corpo. Contudo
ao dizer que a velocidade de um corpo é de y (m/s), esta grandeza não está definida. Sabe-se que o
corpo se desloca a y (m/s) mas em que direcção? E em que sentido? Para não deixar estas perguntas
em aberto, a velocidade define-se como uma grandeza vectorial. Ao escrever que a velocidade do
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corpo é de ry (m/s), está definido também a direcção e sentido da grandeza para além da sua
intensidade.
Um vector é um segmento de recta orientado. As componentes escalares de um vector são dadas
pelas diferenças entre as coordenadas do ponto apontado pelo vector (B) e o ponto onde o vector é
aplicado (A).
( ) ( )zzyyxxzyx ABABABuuuu −−−== , ,,,r
Vectores equivalentes têm o mesmo módulo, direcção e sentido. Porém podem ser aplicados em
pontos distintos.
1.3.1 Soma de vectores r r ra u v= +
( )zzyyxx vuvuvua +++= , ,r
1.3.2 Diferença de vectores
( )r r ra u v= + −
( )ra u v u v u vx x y y z z= − − −, ,
1.3.3 Módulo de um vector
O módulo de um vector é uma grandeza escalar e significa o comprimento do vector, ou seja a
distância em linha recta entre os pontos situados nas extremidades desse vector.
222zyx aaaa ++=r
B
θ
ur
ra
ru
rv
ra r
u
rv
− rv
ra
ra
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1.3.4 Ângulo formado entre um vector e o eixo xx
O ângulo formado entre um vector e o eixo dos xx é dado pelas seguintes funções trigonométricas.
( )u
uxr=αcos
( )u
uyr=αsin
( )x
y
u
u=αtan
( )y
x
u
ug =αcot
1.3.5 Produto de um vector por um escalar
O resultado do produto de um vector por um escalar é um vector com a mesma direcção e sentido,
mas com o seu módulo multiplicado pelo escalar. Se a variável escalar tiver um valor negativo, o
sentido do vector ra será contrário ao do vector
rv .
r ra k v= ⋅
( )ra k v k v k vx y z= ⋅ ⋅ ⋅, ,
1.3.6 Versores
Versores são vectores com módulo unitário que descrevem uma direcção e sentido no espaço.
Normalmente utilizam-se versores para definir o sistema de eixos de um referencial. Neste curso só
se trabalha com referenciais cartesianos ortonormados. Num sentido lato um referencial
ortonormado é um referencial em que os dois ou três eixos fazem entre si ângulos rectos.
( )αcos⋅= uux
r
( )αsin⋅= uuy
r
( )αtan⋅ur
( )αgu cot⋅r
α
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kjir ˆ3ˆ2ˆ3 ⋅+⋅+⋅=r
A notação recorrendo a versores é mais correcta do ponto de vista matemático e facilita os cálculos
que envolvam grandezas vectoriais.
O vector
( )rr r r rx y z= , ,
Passa a ser escrito na forma rr r i r j r kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $
Na realidade, um vector é definido como a soma dos produtos de escalares por versores que
indicam a direcção e sentido de cada um dos eixos.
1.3.7 Produto interno de 2 vectores
O produto interno de 2 vectores é uma grandeza escalar e é definido como o produto dos módulos
de dois vectores projectados sobre a direcção de um deles. O produto interno é comutativo.
( )[ ]r r r ra b a b⋅ = ⋅ ⋅cosα
( )[ ]r r r ra b a b⋅ = ⋅ ⋅cosα
O produto interno de dois vectores pode ser calculado recorrendo só às componentes escalares. Por
vezes é útil calcular o produto interno desta forma pois não se sabe qual é o ângulo formado entre
os dois vectores. Esta questão é mais pertinente se o problema for tridimensional.
Se estivermos num referencial ortonormado é válido afirmar.
i
j
k
y
x
z
rr
ra
rb
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( ) ( ) ( ) 10cos11ˆˆˆˆˆˆ =⋅⋅=⋅=⋅=⋅ kkjjii
( ) ( ) ( ) 0º90cos11ˆˆˆˆˆˆ =⋅⋅=⋅=⋅=⋅ jkkiji
Pelo que.
( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyxˆˆˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=⋅
rr
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅ kbiajbiaibiaba zxyxxxˆˆˆˆˆˆ
rr
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ kbjajbjaibja zyyyxyˆˆˆˆˆˆ
kbkajbkaibka zzyzxzˆˆˆˆˆˆ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
Simplificando, vem. r ra b a b a b a bx x y y z z⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
Conjugando as duas equações para o cálculo do produto interno resulta.
( )r r r ra b a b a b a b a bx x y y z z⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ cosα
Explicitando o termo desconhecido ( )cosα , obtém-se.
( )cosα =⋅ + ⋅ + ⋅
⋅
a b a b a b
a b
x x y y z z
r r
1.3.8 Produto externo de 2 vectores:
O produto externo de dois vectores é um vector que tem uma direcção perpendicular ao plano que
contém os dois vectores e cujo sentido é definido pela regra da mão direita ou do saca-rolhas. O
módulo é dado pelo produto do módulo do primeiro vector pelo segundo projectado numa direcção
normal à direcção do primeiro. Este conceito é importante para o cálculo do momento de uma força
em relação a um ponto por exemplo.
O produto externo não é comutativo.
( ) ( )r rr F r i r j r k F i F j F kx y z x y z× = ⋅ + ⋅ + ⋅ × ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ $ $ $ A
equação anterior traduz-se pela resolução do seguinte
determinante
r rr F
i j k
r r r
F F Fx y z
x y z
× =
$ $ $
ra
rb
( )rb ⋅ sin α
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Resolvendo o determinante, vem:
xzyzxyyxxzzy rjFiFrFrkFrkFrjFriFr ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=× ˆˆˆˆˆrrr
( ) ( ) ( ) kFrFrjrFFriFrFrFr xyyxxzxzyzzyˆˆˆ ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅=×
rr
1.4 Cálculo de determinantes
Cálculo de um determinante de 2ª ordem
Considere-se a matriz A quadrada de 2 x 2 e onde se pretende calcular o determinante:
=
2221
1211
aa
aaA 21122211det aaaaA ⋅−⋅=
Cálculo de um determinante de 3ª ordem
Considere-se a matriz A quadrada de 3 x 3 e onde se pretende calcular o determinante:
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Passos a seguir:
1. Multiplicar o elemento a11 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se
obtém eliminando a 1ª linha e a 1ª coluna:
333231
232221
1312
aaa
aaa
aa
M
M
KK11a
; ( )32233322113332
232211 aaaaa
aa
aaa ⋅−⋅=
2. Multiplicar o elemento a12 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se
obtém eliminando a 1ª linha e a 2ª coluna:
333231
232221
1311
aaa
aaa
aa
M
M
KK 12a
; ( )31233321123331
232112 aaaaa
aa
aaa ⋅−⋅=
3. Multiplicar o elemento a13 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se
obtém eliminando a 1ª linha e a 3ª coluna:
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333231
232221
1211
aaa
aaa
aa
M
M
KK 13a
; ( )31223221133231
222113 aaaaa
aa
aaa ⋅−⋅=
4. Em seguida fazer os três produtos obtidos anteriormente serem precedidos alternadamente sinais
+ e -, iniciando pelo +:
( ) ( ) ( )312232211331233321123223332211
333231
232221
131211a
Adet aaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aa
⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅==
ou simplificadamente:
3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211a
Adetaa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aa
+−==
1.5 Questões teóricas
Q1) Quais as grandezas físicas fundamentais envolvidas nas seguintes variáveis e respectivas
unidades no sistema (S.I.): força; velocidade; posição; aceleração.
Q2) Qual é diferença entre uma grandeza física fundamental e uma grandeza física derivada?
Q3) Qual é a diferença entre um produto interno e um produto externo de vectores?
Q4) Explique o que é e para que serve a teoria da semelhança?
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2 Cinemática
2.1 Introdução
A cinemática é o capítulo da física que estuda o movimento.
O repouso e o movimento são conceitos relativos pois dependem do referencial utilizado para
descrever o movimento. Por exemplo, uma árvore está em repouso em relação à terra mas em
movimento em relação ao Sol.
Assim para descrever o movimento, o observador deve definir o referencial que utiliza.
2.2 Movimento de uma partícula material
A posição de uma partícula pode ser definida relativamente a um referencial através de um vector
de posição rr .
Seja rr1 o vector de posição da partícula no instante t1 e
rr2 o vector de posição da partícula no
instante t2.
rr r i r j r kx y z1 1 1 1= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $
rr r i r j r kx y z2 2 2 2= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $
Como a posição da partícula altera-se com o tempo, o vector rr é função de t.
rr r i r j r kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $
Sendo.
( )r f tx x=
( )r f ty y=
( )r f tz z=
As equações ( )trx , ( )try e ( )trz são as equações paramétricas do movimento. Neste caso conclui-
se que o vector posição será uma função de t.
( )rr f t=
y
z
x
rr2
rr1
$i
$j
$k
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Em função do tempo, um ponto material, definido apenas pelas suas coordenadas, em movimento
vai ocupando sucessivas posições num determinado referencial, formando uma linha que se
designa trajectória.
2.3 Vector deslocamento
Considere-se uma partícula que descreve uma trajectória tal que a sua posição no instante t1 é rr1 e
no instante t2 é rr2 .
A diferença entre as posições final e inicial indica a mudança de posição do ponto material, chama-
se deslocamento e designa-se por ∆rr .
∆r r rr r r= −2 1
2.4 Espaço Percorrido
O espaço corresponde à distância total percorrida e é igual à soma dos módulos dos vários
deslocamentos elementares. O espaço é sempre um valor positivo.
s r r rn= + + +∆ ∆ ∆r r r1 2 ...
A um deslocamento nulo pode não corresponder um espaço nulo e a um mesmo deslocamento
podem corresponder espaços diferentes. O espaço percorrido só é idêntico ao módulo do vector
deslocamento se a trajectória for rectilínea e se não ocorrerem inversões de sentido.
2.5 Equação da trajectória
Considere-se um referencial tridimensional ortonormado xyz e vector posição rr dado por.
rr r i r j r kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $
Se a partícula estiver em movimento, rx, ry e rz são funções de t.
y
z
x
rr2
rr1
$i
$j
$k
∆rr
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As equações que traduzem a variação das coordenadas de posição com o tempo designam-se por
equações paramétricas do movimento.
( )x f tx= ; ( )y f ty= ; ( )z f tz=
Eliminando a variável t neste sistema obtém-se a equação da trajectória.
EXEMPLO:
Sendo o vector posição de uma partícula dado. rr t i t j= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅2 3 2$ $
As equações paramétricas do movimento são.
⋅=
⋅=23
2
tr
tr
y
x
A equação da trajectória será.
−−−
=2xrt
⇔
⋅=
−−−2
4
3xry
2.6 Vector velocidade média e vector velocidade ins tantânea
O vector velocidade média é a razão entre o vector deslocamento e o intervalo de tempo em que
esse deslocamento ocorre, ou seja:
rr
vr
tm =∆∆
O vector velocidade instantânea é dado pelo vector ∆rr sobre o intervalo ∆t quando este tende para
zero.
rr
vr
tt=
→lim∆
∆∆0
dt
rdv
vr =
A direcção de rv é tangente à trajectória no ponto onde se encontra a partícula no instante
considerado.
y
x
rv
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2.7 Vector aceleração média e vector aceleração ins tantânea
O vector aceleração média é dado por:
rr
av
tm =∆∆
A aceleração média tem a direcção e o sentido do vector ∆rv .
O vector aceleração instantânea é o limite para que tende o vector aceleração média quando o
intervalo de tempo tende para zero.
r rr
a av
ttm
t= =
→ →lim lim∆ ∆
∆∆0 0
2
2
dt
rd
dt
vda
rrr ==
2.8 Componente normal e tangencial do vector aceler ação
Se a trajectória for curvilínea, o vector aceleração está sempre dirigido para a concavidade da
trajectória.
2.8.1 Movimento acelerado
Num certo intervalo de tempo o movimento é acelerado se o módulo da velocidade aumentar.
y
x
rvi
rvf
rvf
∆rv
A
B
y
x
rvi
rvf
rvf
∆rv
A
B
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2.8.2 Movimento retardado
Num certo intervalo de tempo o movimento é retardado se o módulo da velocidade diminuir.
r r ra a an t= +
y
x
vat
ra ∆r
v
A
B
van
y
x
vat
ra
∆rv
A
B
van
y
x
rvi
rvf
rvf
∆rv A
B
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2.8.3 Movimento uniforme
Se num certo intervalo de tempo o módulo da velocidade for constante, o movimento diz-se
uniforme.
2.8.4 Componente normal e tangencial do vector aceleração
Considere-se uma partícula a descrever uma trajectória curvilínea no plano xy.
y
x
v ra ot ≡
∆rv
A
B
v ra an ≡
y
x
rvi
rvf
rvf
∆rv
A
B
P
rat r
an
ra
rv
$i
$j
x
y
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No instante t a partícula encontra-se no ponto P com velocidade com velocidade rv e aceleração
ra
.
Pode-se exprimir ra em função de duas componentes:
- uma segundo a direcção tangente à trajectória, aceleração tangencial rat ;
- uma segundo a direcção normal à trajectória, aceleração normal ran .
r r ra a an t= +
Considerando um versor tangente à trajectória $ut e outro normal à trajectória $un . O vector
aceleração pode escrever-se da seguinte forma. ra a u a un n t t= ⋅ + ⋅$ $
Em que as variáveis têm o seguinte significado: ran está relacionado com a variação da direcção de
rv ;
rat está relacionado com a variação do modulo de
rv .
Como rv é tangente à trajectória, pode-se escrever que:
rv v ut= ⋅ $
Sabendo que:
dt
vda
rr =
Pode-se escrever:
( )dt
udvu
dt
dv
dt
uvda t
tt ˆ
ˆˆ
⋅+⋅=⋅
=r
Numa trajectória curvilínea, a direcção do versor $ut varia e assim ∂∂$u
tt ≠ 0 . Considerando a
seguinte figura.
P α
αd
$i
$j
x
y
R
α
P'
$ut
$un
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Em que α é um ângulo que a tangente à curva faz no ponto P com o eixo dos xx.
Pode-se decompor $ut e $un segundo as direcções dos eixos x e y.
( ) ( )$ cos $ sin $u i jt = ⋅ + ⋅α α
jiunˆ
2sinˆ
2cosˆ ⋅
++⋅
+= παπα
( ) ( ) jiunˆcosˆsinˆ ⋅+⋅−= αα
A derivada de $ut em ordem ao tempo é dada pela seguinte equação.
( ) ( ) jdt
di
dt
d
dt
ud t ˆcosˆsinˆ
⋅⋅+⋅⋅−= αααα
Colocando dt
dαem evidência obtém-se.
( ) ( )[ ]dt
dji
dt
ud t ααα ⋅⋅+⋅−= ˆcosˆsinˆ
O que é igual a.
dt
du
dt
udn
t α⋅= ˆˆ
Com αd em radianos pode-se escrever:
RddS ⋅= α
O que pode ser escrito como.
RdS
d 1=α
Ou.
t
Sd
Sd
d
dt
d
∂αα ⋅=
R
vv
Rdt
d =⋅= 1α
Ou seja.
nt u
R
v
dt
udˆ
ˆ⋅=
Substituindo dt
ud tˆ na expressão de ra ,
( )
dt
udvu
dt
dv
dt
uvda t
tt ˆ
ˆˆ
⋅+⋅=⋅
=r
Vem.
R
R
αd
dS
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nt uR
vvu
dt
dva ˆˆ ⋅⋅+⋅=r
nt uR
vu
dt
dva ˆˆ
2
⋅+⋅=r
em que. r r ra a at n= +
ra
v
tut t= ⋅
∂∂
$
ra
v
Run n= ⋅
2
$
Se rv = constante →
r rat = 0
Se a trajectória for rectilínea (R = ∞ ) → r ran = 0
Se o ângulo formado entre os vectores rv e
ra for:
< →90º rat e
rv têm o mesmo sentido → movimento acelerado;
> →90º rat e
rv têm o sentido contrário → movimento retardado;
= →90º r rat = 0 , o movimento é uniforme.
EXEMPLO
Considere um canal rectangular, no qual o escoamento segue com velocidade v. Sabendo que o
canal descreve uma curva horizontal com raio R. Qual será a inclinação da superfície livre do
escoamento quando representada numa secção transversal do mesmo?
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Na massa de liquido actua a aceleração da gravidade e a aceleração centrifuga devido à curva
horizontal que o canal descreve. A inclinação da superfície livre do escoamento irá fazer um
ângulo com a horizontal por forma a equilibrar estas duas acelerações. Essa inclinação será dada
por:
=
g
anarctanθ
⋅=
gR
v2
arctanθ
( )θtan2
⋅
=∆ Lh
⋅⋅
=∆gR
vLh
2
2
Como a área da secção transversal do escoamento continua a ser a mesma, o aumento de
profundidade no exterior da curva é compensado pelo aumento de profundidade no exterior da
mesma.
Desta forma conclui-se que no dimensionamento de um canal é necessário considerar um aumento
da altura das paredes laterais quando existem curvas.
Refira a definição e a expressão que permite determinar as seguintes grandezas físicas: aceleração
normal, aceleração tangencial, velocidade média, velocidade instantânea, aceleração angular,
período, frequência.
gr
nar
θ
h
h∆
h∆
θ
L
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2.9 Questões teóricas
Q1) Refira a definição e a expressão que permite determinar as seguintes grandezas físicas:
aceleração normal, aceleração tangencial, velocidade média, velocidade instantânea,
aceleração angular, período, frequência.
Q2) Estabeleça a equação da posição angular para um movimento circular uniforme.
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3 Cinemática – movimentos
Na aula anterior foram analisadas as relações entre as variáveis cinemáticas (posição, velocidade e
aceleração) na situação mais geral. Agora vão ser analisados casos particulares para movimentos
rectilíneos uniformes, movimentos rectilíneos uniformemente acelerados, movimentos circulares
uniformes, movimentos circulares uniformemente acelerados, movimentos harmónicos simples e
movimento de projécteis sem considerar os efeitos da resistência aerodinâmica.
3.1 Movimento rectilíneo
Movimentos rectilíneos são todos os movimentos cuja trajectória é rectilínea.
Considere-se uma partícula a mover-se numa direcção associada à de um versor $i . Como o vector
é tangente à trajectória. rv v i= ⋅ $
Logo a aceleração será dada por.
rr
av
t
v
ti v
i
t= = ⋅ + ⋅
∂∂
∂∂
∂∂
$$
em que
i = Constante
O termo
0ˆ r
=⋅dt
idv
Logo podemos escrever.
idt
dva ˆ⋅=
Como foi visto.
tadt
dv =
Logo. ra a it= ⋅ $
Ou seja. r ra at=
$i
rv
x
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Isto quer dizer que nos movimentos rectilíneos só existe aceleração tangencial. Por isso de uma
forma geral fala-se simplesmente em aceleração sendo a aceleração e aceleração tangencial a
mesma coisa.
Quando se descreve uma variável vectorial num sistema com um único eixo, esta pode ser escrita
como uma variável escalar sem perda de informação. Se o vector estiver dirigido no mesmo sentido
do eixo a variável é positiva, caso contrário é negativa. O módulo do vector é dado pelo valor da
variável e a direcção é a única possível, a do eixo utilizado.
3.1.1 Movimento rectilíneo uniforme
Os movimentos rectilíneos uniformes (m.r.u.) são movimentos em que o módulo do vector
velocidade permanece constante. rv = Constante
Como nos movimentos rectilíneos a direcção do vector rv é constante.
rv = Constante
Foi visto que.
dt
vda
rr = e
rv = constante
Logo. r ra = 0
O vector velocidade instantânea é constante, pelo que coincide com o vector velocidade média. r rv vm=
rv r r
vr
t
r r
tm
f i= =−∆
∆ ∆
Neste tipo de movimento. r rv vm=
Pelo que se pode escrever.
rr r
vr r
tf i=
−∆
r r rr r v tf i= + ⋅ ∆
Como o movimento é rectilíneo, é possível escrever a equação do seguinte modo.
r i r i v i tf i⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅$ $ $ ∆
Dividindo a equação pelo versor, obtém-se a equação do movimento rectilíneo uniforme na forma
escalar.
r r v tf i= + ⋅ ∆
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Nos movimentos rectilíneos que são descritos com base num único eixo as variáveis vectoriais
posição, velocidade e aceleração são completamente definidas por um escalar uma vez que está
inerente à equação que têm a direcção do único eixo definido no problema e o sentido será dado
pelo respectivo sinal.
É possível chegar ao mesmo resultado com base no cálculo infinitesimal. Neste exemplo utilizamos
as equações na forma escalar, com conhecimento de que a posição, velocidade e aceleração se
desenvolvem segundo um único eixo.
dt
drv =
dtvdr ⋅=
∫ ⋅= dtvr
Como v é constante resulta
tvrr i ⋅+=
Se derivarmos v em ordem ao tempo, obtemos r. Se integrarmos r em ordem ao tempo obtemos v.
Podemos ver o significado destas operações em termos gráficos.
Neste gráfico foi considerado que ti=0 e r i=0 para a visualização ser mais fácil. Nesta situação a
posição r no instante ti é dada por v.t que representa a área sob a linha das velocidades até ao
instante tf .
O declive da linha que define a posição r é igual ao valor da velocidade v.
r
v
a
t
v
tf ti
r
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3.1.2 Movimento rectilíneo uniformemente variado
Os movimentos rectilíneos uniformemente variados são movimentos em que o escalar da
aceleração tangencial permanece constante rat , que se pode escrever de uma forma simplificada e
sem perda de rigor como at .
at = Constante
Como se trata de um movimento rectilíneo.
an = 0
Como a aceleração é constante o seu valor médio é igual ao valor instantâneo. r ra am=
rr r
av v
tm
f i=−
∆
Pode escrever-se.
rr r
av v
tf i=
−∆
Ou seja. r r rv v a tf i= + ⋅ ∆
tiaiviv if ∆⋅⋅+⋅=⋅ ˆˆˆ
Dividindo por i resulta.
v v a tf i= + ⋅
Pela definição de velocidade.
dt
rdv
rr =
Pode-se estabelecer a seguinte equação diferencial ordinária de 1ª ordem.
dtvrd ⋅= rr
( ) dttavrd i ⋅⋅+= rrr
Integrando a equação interior.
( ) dttavr i ⋅⋅+= ∫rrr
Da sua resolução resulta.
r r r rr r v t a tf i i= + ⋅ + ⋅ ⋅
1
22
Representação típica do comportamento da posição, velocidade e aceleração em função do tempo
num movimento rectilíneo uniformemente variado m.r.u.v.
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Para qualquer m.r.u. temos sempre a aceleração definida por uma recta horizontal a velocidade
definida por uma recta qualquer e a posição definida por uma parábola.
dt
drv =
dt
dva = = constante
3.2 Movimento circular
Designam-se por movimentos circulares aqueles em que a trajectória é circular ou seja o raio R é
constante.
Considerando uma partícula a descrever uma trajectória circular no plano xy em que R é o raio da
trajectória.
r, v, a
t
a
v
r
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Em que as variáveis representadas na figura anterior assumem os seguintes significados:
S comprimento do arco descrito pela partícula;
dt intervalo de tempo;
θ ângulo ao centro;
rRr= raio da trajectória.
Nestes movimentos podemos utilizar coordenadas polares para definir a posição. Como o raio é
constante, a posição fica definida pelo ângulo ao centro. Quando a partícula descreve um ângulo ao
centro θ a distância S percorrida pela partícula é dada por.
RS ⋅= θ
3.2.1 Velocidade angular
Como a posição é definida pela posição angular θ podemos definir a velocidade angular com o
ângulo ao centro varrido por unidade de tempo.
tmedio ∆∆= θωr
No limite quando 0→∆t temos:
tot ∆∆=
→∆
θω limr
dt
dθω =r
A velocidade angular é uma grandeza vectorial com direcção normal ao plano do movimento e
sentido dado pela regra da mão direita.
Podemos então escrever:
x
y
z
rv
rr θ
rω
S
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r rω ω= ⋅ $k
Em que $k é o versor que define a direcção e sentido do eixo z.
Como o espaço percorrido é definido por.
RS ⋅= θ
Derivando em ordem ao tempo obtém-se a relação entre velocidade ou velocidade linear e
velocidade angular.
dt
dRR
dt
d
dt
dS ⋅+⋅= θθ
Como o raio R é constante, resulta.
Rkuv t ⋅⋅=⋅ ˆˆ ω
3.2.2 Aceleração angular
Derivando o vector velocidade angular em ordem ao tempo, obtém-se a aceleração angular:
rv
α∂ω∂
=t
3.2.3 Movimento circular uniforme
Neste tipo de movimentos o módulo do vector velocidade é constante, mas a sua direcção altera-se
constantemente.
v= Constante rv ≠ Constante
Assim temos as seguintes relações.
00 =→= tadt
dv
00rr
r
≠→≠ adt
vd
O que nos leva a concluir que só existe aceleração normal à trajectória: r ra an=
Como.
v = Constante
v vm=
vS
t=
∆∆
O espaço S é dado pela seguinte expressão:
tvS ∆⋅=∆
tvSS ∆⋅=− 12
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tvSS ∆⋅+= 12
Neste movimento v e R são constantes.
v R= ⋅ω
ω =v
R e ω = constante
A aceleração angular:
0==dt
dωα
Como ω = constante, a partícula descreve ângulos ao centro iguais em iguais intervalos de tempo.
tmedio ∆∆== θωω
ωθ θ
=− 0
∆t
θ θ ω= + ⋅0 ∆t
No movimento circular uniforme, o vector aceleração é radial, centrípeto, portanto normal ao
vector velocidade em cada ponto e de módulo constante.
r r ra a aA B C= =
r r rv v vA B C= =
3.2.3.1 Período
O período (T) é o intervalo de tempo ao fim do qual as características posição, vector velocidade e
vector aceleração se repetem.
raA
raB
raC
A
B
C
rvA
rvB
rvC
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3.2.3.2 Frequência
A frequência de um movimento circular uniforme (m.c.u) é o número de voltas por unidade de
tempo que a partícula descreve.
Sendo R o raio da trajectória e T o período do movimento, vem.
vR
T=
⋅ ⋅2 π
Como.
v R= ⋅ω
ω =v
R
Podemos escrever que.
ωπ
π=⋅ ⋅
⋅= ⋅ ⋅
22
R
T Rf
3.2.4 Movimento circular uniformemente variado
Neste tipo de movimento, a aceleração angular é constante.
α =constante
Como.
dt
dωα =
dtd ⋅= αω
ω α ∂= ⋅∫ t
ω ω α= + ⋅0 t
E porque.
dt
dθω =
dtd ⋅= ωθ
Substituindo.
( ) dttd ⋅⋅+= αωθ 0
Integrando.
( ) dtt ⋅⋅+= ∫ αωθ 0
Obtém-se.
θ θ ω α= + ⋅ + ⋅ ⋅0 021
2t t
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3.3 Projecteis
O movimento efectuado por um projéctil descreve uma trajectória plana em forma de parábola.
Trata-se da soma de dois movimentos, um segundo a horizontal e outro segundo a vertical.
Um projéctil, se desprezarmos a resistência do ar, após ter sido lançado só está sujeito à acção da
gravidade rg . Este vector tem a direcção vertical e é dirigido de cima para baixo.
A componente horizontal do movimento é um movimento rectilíneo uniforme. A componente
vertical é um movimento rectilíneo uniformemente variado.
( )rr r v t i r v t g t jx x y y= + ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅
⋅0 0 0 0
21
2$ $
( )rv v i v g t jx oy= ⋅ + − ⋅ ⋅0
$ $
jga ˆ⋅−=r
3.4 Questões teóricas
Q1) Prove que a trajectória de um projéctil é parabólica.
Q2) Indique o conceito de período e de frequência
rv y0
rv x0
rv0
rr0
$i
$j
x
y
rr x0
rr y0
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Q3) Explique porque razão dois objectos em queda livre no vácuo, com massas e volumes
diferentes, partindo do repouso, percorrem a mesma distância no mesmo intervalo de tempo?
Apresente a equação que traduz o fenómeno.
Q4) Estabeleça a partir da equação da aceleração normal e aceleração tangencial a relação entre o
tempo e o ângulo formado entre o vector velocidade e o vector aceleração num movimento circular
uniformemente acelerado. Assuma que a partícula partiu do repouso.
Q5) Represente os gráficos posição/tempo, velocidade/tempo e aceleração/tempo para o
movimento rectilíneo uniformemente variado, nas variantes de ser acelerado e de ser acelerado.
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4 Estática das partículas no plano
Este capítulo estuda o efeito das forças que actuam em partículas.
Por partícula entende-se um corpo com dimensões desprezáveis, pelo que a sua forma e dimensão
não alteram significativamente os resultados do problema.
4.1 Forças actuantes numa partícula
Uma força representa a acção de um corpo sobre outro e é representada pela sua intensidade, ponto
de aplicação, direcção e sentido.
Forças actuantes numa partícula têm o mesmo ponto de aplicação.
Uma força representa-se por um segmento de recta orientado, o que se pode denominar por vector.
O módulo do vector representa a intensidade da força. No sistema internacional a unidade de força
é o Newton (N). Na engenharia civil é comum utilizar o quilo newton (kN), pois lida-se com forças
grandes e com a utilização de um múltiplo, evita o uso de números com muitos dígitos nos
cálculos.
4.2 Resultante de sistemas de forças concorrentes
Se actuam numa partícula várias forças, estas podem ser substituídas por uma única força chamada
resultante, a qual produz o mesmo efeito sobre a partícula. A resultante é calculada pela soma das
forças que actuam sobre a partícula.
21 FFRrrr
+=
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Regra do paralelogramo
4.3 Resultante de várias forças
Se uma partícula é actuada por várias forças, a resultante é dada pela sua soma vectorial
321 FFFRrrrr
++=
O que graficamente corresponde a.
Regra do polígono, a qual corresponde à repetição da regra do paralelogramo
1Fr
1Fr
2Fr
2Fr
3Fr
3Fr
Rr
Rr
1Fr
2Fr
Rr
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4.4 Decomposição de uma força em componentes
Tal como um conjunto de forças concorrentes, pode ser substituído por uma força resultante. Logo
esta resultante pode ser por várias forças concorrentes. O número de combinações de forças
concorrentes é infinito.
Por razões práticas é frequente decompor uma força nas suas componentes.
yx FFFrrr
+=
jFiFF yxˆˆ ⋅+⋅=
r
Em que as componentes escalares Fx e Fy são dadas por:
( )αcos⋅= FFx
( )αsin⋅= FFy
Porem o problema pode colocar-se de outra forma. É conhecida a força Rr
e uma das componentes.
21 FFRrrr
+=
12 FRFrrr
−=
Fr
yFr
xFr
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Neste caso, com base na regra do paralelogramo, constrói-se o seguinte esquema:
Regra do paralelogramo
Pela regra do polígono
)( 12 FRFrrr
−+=
Regra do polígono
4.5 Equilíbrio de uma partícula
Uma partícula diz-se em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que lhe são aplicadas é
nula.
Uma partícula sujeita à acção de duas forças, está em equilíbrio se essas forças tiverem a mesma
linha de acção, a mesma intensidade e sentidos opostos.
( ) 011
rrr=−+ FF
Rr
1Fr
Rr
1Fr
2Fr
1Fr
- 1Fr
Rr
2Fr
1Fr
− 1Fr
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0321
rrrr=++ FFF
Quando o conjunto de forças que actuam numa partícula forma um polígono fechado, essa partícula
encontra-se em equilíbrio. Nesta situação podemos escrever.
01
rrr==∑
=
n
iiFR
No final do século VXII, Sir Isaac Newton, formulou três leis fundamentais nas quais se baseia a
física mecânica também designada por física clássica ou física Newtoriana. A primeira dessas leis é
enunciada como:
1ª Lei de Newton “Se a força resultante actuando sobre uma partícula é nula, a partícula
permanecerá em repouso (se inicialmente estiver em repouso) ou mover-se-á com velocidade
constante e em linha recta (se estiver inicialmente em movimento) ”
Os princípios da estática de um ponto material assentam nesta lei e na definição de equilíbrio de
uma partícula.
4.6 Diagrama de corpo livre
Na prática, os problemas em Engenharia Civil derivam de situações físicas reais. Um esquema que
represente as condições físicas do problema chama-se diagrama espacial.
Existem muitos problemas reais que podem ser reduzidos a problemas referentes ao equilíbrio de
uma partícula.
1Fr
2Fr
3Fr
4Fr
1Fr
2Fr
3Fr
4Fr
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Exemplo 01 – Como calcular as forças de tracção aplicadas pelos cabos 1 e 2 no bloco?
Diagrama espacial
Diagrama espacial
Diagrama de corpo livre
O polígono formado pelas três forças aplicadas no corpo é fechado, logo a resultante é nula. Nesta
situação, o corpo está em equilíbrio.
As forças 1Fr
e 2Fr
podem ser calculadas através da condição de equilíbrio de uma partícula.
∑ = 0rr
F
Na prática é mais simples lidar com as componentes cartesianas das forças
2
1
2Fr
1Fr
gFr
2Fr
1Fr
gFr
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0=∑ xF
0=∑ yF
0=∑ xF ⇔ ( ) ( ) 0coscos 21 =⋅−⋅ βα FF
0=∑ yF ⇔ ( ) ( ) 0sinsin 21 =−⋅+⋅ gFFF βα
Estas equações são resolvidas simultaneamente para as incógnitas 1F e 2F .
Exemplo 02 – Cálculo da força aplicada por um cabo a segurar um bloco assente num plano
inclinado sem atrito.
gFr
nRr
α
Tr
α
β
x
y
2Fr
1Fr
gFr
α β
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gFr
peso do bloco
nRr
reacção normal do plano sobre o bloco
Tr
força exercida pelo cabo no bloco
Aplicando as equações de equilíbrio.
0=∑ xF
0=∑ yF
Resulta.
0=∑ yF
0)cos()sin( =⋅−⋅+ αβ gn FTR
Nesta equação temos duas variáveis cujo valor é desconhecido, logo não é possível calcular o valor
de T .
Analisando o equilíbrio de forças segundo x :
0=∑ xF
( ) ( ) 0cossin =⋅−⋅ βα TFg
( )( )β
αcos
sin⋅= gF
T
Este exemplo demonstra a necessidade de saber visualizar no diagrama de corpo livre qual ou quais
são as direcções mais convenientes para aplicar as condições de equilíbrio.
4.7 Questões teóricas
Q1) Estabeleça o diagrama de corpo livre para a seguinte situação. Represente as forças actuantes
no cabo e na barra.
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A figura representa uma barra inclinada com peso Fg segura por um cabo de massa desprezável.
Q2) Considerando a mesma situação, estabeleça a equação para o cálculo da força de tracção a que
o cabo AC está sujeito.
θ
β α
A
B C
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5 Dinâmica de uma partícula
A dinâmica estuda as relações entre as forças que actuam na partícula e os movimentos por ela
adquiridos.
A estática estuda as condições de equilíbrio de uma partícula.
5.1 As três leis do movimento de Newton
Newton estudou e desenvolveu as ideias de Galileu sobre o movimento e estabeleceu três leis que
têm hoje o seu nome.
1ª Lei de Newton
"Todos os corpos permanecem no seu estado de repouso ou de movimento rectilíneo uniforme a
não ser que sejam obrigados a modificar esse estado por acção de forças aplicadas."
Da 1ª lei de Newton podemos concluir que:
- Quando um corpo está em repouso, não actua nenhuma força, ou actua um sistema de forças cuja
resultante é nula;
- Quando um corpo tiver movimento rectilíneo uniforme não actua nele nenhuma força ou actua
um sistema de forças cuja resultante é nula.
Quando um corpo está numa situação de equilíbrio (r rFi∑ = 0 ), esse equilíbrio pode ser estático (
r rv = 0 ) ou dinâmico (
r ra = 0 e
rv = constante).
2ª Lei de Newton
"A aceleração de um corpo é directamente proporcional à intensidade da força resultante, tem a
mesma direcção e o mesmo sentido que esta e é inversamente proporcional à massa do corpo."
O enunciado desta lei é traduzido pela expressão:
rr
r ra
F
mF m a= ⇔ = ⋅
A unidade de força chama-se Newton (N) e corresponde a uma força constante com intensidade
igual a uma unidade que aplicada a uma massa de 1 kg, comunica-lhe uma aceleração de 1 m/s2.
Relação entre as direcções e sentidos de rv ,
ra e
rF :
1) Aplicando a um corpo em repouso uma força rF constante em direcção, sentido e intensidade,
ele adquire movimento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) com direcção e sentido da
força.
Nesta situação rv ,
ra e
rF têm a mesma direcção e sentido.
ra e
rF são constantes.
rF
r rv0 0=
rv1
rv2
rF
rF
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2) Aplicando a um corpo com velocidade rv0 uma força
rF constante na mesma direcção mas
sentido contrário do de rv0 , o corpo terá movimento rectilíneo uniformemente retardado (a
velocidade e a aceleração têm sentidos contrários).
3) Se rF tiver direcção diferente da de
rv , o corpo passa a ter uma trajectória curva, pelo que se
altera a direcção de rv .
Em todas as situações rF e
ra têm a mesma direcção e sentido.
3ª Lei de Newton
"A qualquer acção opõe-se sempre uma reacção igual, ou seja, as acções mutuas de dois corpos
um sobre o outro são sempre iguais e de sentidos opostos."
Esta lei exprime uma propriedade importante das forças: as forças nunca aparecem isoladas, mas
sempre aos pares como resultado da interacção entre dois corpos.
O par acção reacção tem as seguintes características:
- a mesma linha de acção;
- sentidos opostos;
- mesma intensidade,
- estão aplicados em corpos diferentes.
rF
rv0
rv1
rv2
rF
rF
ra
rF
ra r
v
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Em que: rFA B, Força aplicada no corpo A pelo corpo B
rFB A, Força aplicada no corpo B pelo corpo A
Estes dois vectores são simétricos: r rF FA B B A, ,= −
É totalmente errado somar estes dois vectores e dizer que o resultado é nulo pois estas forças são
aplicadas em corpos diferentes.
5.2 Relação entre rF e
ra e sua aplicação aos vários tipos de movimento
Como foi visto, a 2ª lei de Newton ou lei fundamental da dinâmica é: r rF m a= ⋅
Como: r r ra a an t= +
( )r r rF m a an t= ⋅ + r r rF m a m an t= ⋅ + ⋅
Logo: r r rF F Fn t= +
Em que:
rF m
v
Run n= ⋅ ⋅
2
$
rF m
v
tut t= ⋅ ⋅
∂∂
$
A componente da força normal à trajectória rFt é responsável pela variação da direcção da
velocidade e a componente tangente à trajectória causa a alteração do módulo da velocidade.
rFA B,
A B rFB A,
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Se relacionarmos os vectores rFn e
rFt com
ran e
rat nos vários tipos de movimentos, podemos
concluir que:
5.3 Forças de ligação
Forças de ligação são forças que condicionam o movimento de um determinado corpo, como por
exemplo:
- Tracções em cabos;
- Reacção normal de planos;
- Forças de atrito.
Considere-se o seguinte corpo suspenso. O dispositivo é constituído por um apoio A, um cabo C e
uma esfera E.
E
C
A
Movimentos
Rectilíneos r rFn = 0 r ran = 0
Curvilíneos r rFn ≠ 0 r ran ≠ 0
Uniformes r rFt = 0 r rat = 0
Variados r rFt ≠ 0 r rat ≠ 0
Uniformes r rFt = 0 r rat = 0
Variados r rFt ≠ 0 r rat ≠ 0
r rF Ft=
r rF = 0
r rF Fn=
r r rF F Fn t= +
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Na esfera actua a força gravítica rFg e a força de tracção aplicada pelo cabo
rFE C, . No cabo actua o
peso da esfera que tracciona o cabo e na outra extremidade actua a força aplicada pelo apoio no
cabo. No apoio actua a força aplicada pelo cabo rFA C, e um conjunto de forças não representadas
exercidas pela estrutura que suporta o apoio.
Como todos os elementos estão em equilíbrio estático, a resultante das forças aplicadas em cada um
destes elementos é nula r rFi∑ = 0 .
No esquema acima existem dois pares acção reacção, um na ligação entre a esfera e o cabo e outro
na ligação entre o cabo e o apoio.
5.3.1.Pendulos
Um pêndulo gravítico simples é um sistema constituído por um corpo, normalmente uma esfera,
com uma massa m e um fio inextensível e de massa desprezível.
A trajectória é circular com raio igual ao comprimento do fio l e centro no ponto de suspensão O.
rFE C,
E
C
A
rFC E,
rFC A,
rFA C,
rFg
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A figura acima representada é o diagrama de corpo livre da massa. Nela estão representadas todas
as forças aplicadas na esfera.
Consideram-se um sistema de eixos tn em que o eixo t é tangente e o eixo n é normal à trajectória.
Uma vez que o referencial é ortonormado, é possível fazer o somatório das forças segundo cada um
dos eixos de forma independente.
Uma vez que o sistema de eixos acompanha o movimento da massa do pêndulo, segundo n não há
variação da posição, a distancia à origem é constante, a velocidade é nula e a aceleração é nula e
consequentemente a resultante das forças que actuam segundo esta direcção também é nula.
Fn =∑ 0
( ) ng amFT ⋅=⋅− θcos
( )T m g mv
l= ⋅ ⋅ + ⋅cosθ
2
O somatório das forças segundo a tangente à trajectória é diferente de zero. Segundo esta direcção
existe variação da velocidade e aceleração não constante.
Fn ≠∑ 0
( )F Ft g= ⋅∑ sin θ
( )F m gt = ⋅ ⋅∑ sin θ
Como:
F m a= ⋅
Conclui-se que:
A
B
O
C
vFg
vT
vFgn
vFgt
n
t
θ
θ vFc
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( )a gt = ⋅ sin θ
A aceleração a que a massa está sujeita no pêndulo gravítico não é constante, mas sim uma função
sinusoidal do ângulo que o cabo faz com a vertical.
Desta expressão e das relações estudadas na cinemática pode-se concluir que a aceleração é sempre
tangente à trajectória, dirigida na direcção do ponto mais baixo. É máxima nas posições extremas e
nula quando o pêndulo passa pela vertical.
A velocidade é nula nas extremidades e máxima quando o pêndulo passa pela vertical.
5.3.2 Reacção de superfícies
Sempre que um corpo está apoiado numa superfície, exerce sobre ela uma força compressora à qual
se opõe uma reacção que a superfície aplica no corpo. Esta força rR subdivide-se em duas
componentes, uma normal à superfície rRn e outra tangencial à superfície
rRt . Esta última costuma
designar-se por força de atrito.
r r rR R Rn t= +
A força exercida pelo corpo na superfície Ar
e a reacção normal da superfície rRn formam um par
acção reacção. r rN Rn= −
Como o corpo está imóvel, o somatório das forças que lhe são aplicadas é nula, tal que: r r rF Rg n+ = 0
Se a um corpo em repouso assente sobre uma superfície horizontal aplicarmos uma força rF , a
superfície apresenta uma resistência ao movimento que se traduz por uma força tangente à
superfície com sentido contrário ao movimento. Essa força designa-se por força de atrito.
Ar
rRn
rFg
CM
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Existem forças de atrito estático e forças de atrito cinético. Se não existe movimento relativo entre
as duas superfícies o atrito é estático, se existe movimento relativo entre as duas superfícies, o
atrito é cinético.
A experiência demonstra que as forças de atrito estáticas são superiores às forças de atrito
dinâmicas para a maioria dos materiais.
Na situação acima referida podem acontecer duas situações:
1) a força rF é superior à força de atrito estático
rFae , o corpo entra em movimento e o atrito passa
a ser cinético rFak ;
2) a força rF é inferior à força de atrito estático
rFae e o corpo permanece em repouso.
A força de atrito é calculada por: r rF Ra n= ⋅µ
Para o cálculo do atrito estático, emprega-se o coeficiente de atrito estáticoµe e para o cálculo do
atrito cinético utiliza-se o coeficiente de atrito cinético µ k .
Considere-se um corpo colocado sobre um plano inclinado que faz um determinado ângulo θ com
a horizontal.
rN
rRn
rFg
CM rF
rFa
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Nesta situação, segundo o eixo n não se há movimento, este apenas ocorre segundo a tangente à
superfície definida pelo eixo t. Desta forma pode-se escrever que:
Fn =∑ 0
( )R Fn g− ⋅ =cosθ 0
( )R Fn g= ⋅ cosθ
Quanto à resultante segundo o eixo t:
( )F F Ft g a= ⋅ −∑ sin θ
( )F m g Rt n= ⋅ ⋅ − ⋅∑ sin θ µ
( ) ( )F m g m gt = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∑ sin cosθ µ θ
( ) ( )( )F m gt = ⋅ ⋅ − ⋅∑ sin cosθ µ θ
Os valores dos coeficientes de atrito dependem dos materiais das duas superfícies que tendem a
deslizar entre si. São referidos no quadro seguinte, a título de exemplo, os valores dos coeficientes
de atrito para alguns materiais.
θ
rFg
t
n
( )r rF Fgn g= ⋅cosθ
( )r rF Fgt g= ⋅ sin θ
r rF Ra n= ⋅µ
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MATERIAIS µe µ k
cobre / ferro 1.1 0.3
aço / aço 0.7 0.5
aço / madeira 0.4 0.2
aço / teflon 0.04 0.04
5.4 Movimento harmónico simples
Quando a força aplicada num corpo é proporcional ao afastamento do ponto de equilíbrio e no
sentido desse mesmo ponto, o movimento que se desenvolve é harmónico simples.
A força F será dada por:
F k x= − ⋅
F m a= ⋅
− ⋅ = ⋅k x m a
logo, explicitando a aceleração:
rF
rF
0rr
=F
x
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ak
mx= − ⋅
como a aceleração é a segunda derivada do deslocamento:
d x
dt
k
mx
2
2 = − ⋅
se substituir:
k
m= ω 2
d x
dtx
2
22= − ⋅ω
a solução da equação diferencial acima, é:
( )x A t= ⋅ ⋅ +sin ω φ
isto pode ser provado da seguinte forma:
a primeira derivada de x em ordem ao tempo é:
( )dx
dtA
d
dtt= ⋅ ⋅ +sin ω φ
( )dx
dtA t= ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω φcos
a segunda derivada será:
( )d x
dtA
d
dtt
2
2 = ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω φcos
( )d x
dtA t
2
22= − ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω φsin
logo prova-se que:
( )d x
dtx t
2
22= − ⋅ω
O movimento harmónico simples aplica-se a todos os corpos que oscilam em torno de uma posição
de equilíbrio (PE) e que estão sujeitos a uma força directamente proporcional ao afastamento da
(PE) dirigida no sentido da (PE). Aplica-se a pêndulos gravíticos com pequena amplitude de
movimentos e a osciladores de um ou mais graus de liberdade. Os osciladores têm aplicação na
Engenharia Civil por serem utilizados como modelos simplificados do comportamento dinâmico de
estruturas de edifícios.
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6 Quantidade de movimento de um sistema de partícul as
6.1 Impulso de uma força
Forças diferentes poderão originar acréscimos iguais de velocidade na mesma partícula, desde que
actuem de modo a ser constante o produto da força pelo seu tempo de actuação. r rJ F t= ⋅ ∆
r rJ F t
ni
i
n
= ⋅→∞ =∑lim ∆
1
r rJ F t
t
t
= ⋅∫1
2
∂
1t 2t
mF
J
t1 t2 t(s)
F(N)
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Na primeira figura a força Fr
é constante, na segunda é variável, contudo os impulsos são idênticos
se as áreas sob as curvas forem idênticas.
6.2 Momento linear de uma partícula e de um sistema discreto de partículas
A grandeza vectorial que se obtém multiplicando a velocidade rv pela sua massa m chama-se
momento linear ou quantidade de movimento da partícula. r rp m v= ⋅
Para um sistema constituído por n partículas r r r rp p p pn= + + +1 2 ...
r rp m vi i
i
n
= ⋅=∑
1
A forma geral da 2ª lei de Newton é dada por:
( )rr r
rr
Fp
t
m v
t
m
tv m
v
t= =
⋅= ⋅ + ⋅
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
Na situação de m = constante, vem a equação na sua forma particular: r rF m a= ⋅
tamtF ∆⋅⋅=∆⋅ rr
vmtFrr
∆⋅=∆⋅
( )12 vvmJrrr
−⋅=
12 ppJrrr
−=
pJrr
∆=
Se a força rF for constante no intervalo de tempo entre t1 e t2, pode-se escrever.
∆ ∆r r r r r r rp J F t p p m v m v= = ⋅ = − = ⋅ − ⋅2 1 2 1
Logo o impulso de uma força aplicada numa partícula é igual à variação da quantidade de
movimento dessa partícula.
6.3 Centro de massa de um sistema discreto de partí culas
Por definição o centro de massa de um sistema discreto de partículas, com base na dinâmica, é o
ponto que se desloca como se deslocaria uma partícula com a massa do corpo ou do sistema se na
qual se aplicassem as forças exteriores a que está submetido o corpo ou o sistema.
As coordenadas do centro de massa de um sistema constituído por n partículas são:
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xm x m x m x
m m m
m x
mCM
n n
n
i ii
n
ii
n=⋅ + ⋅ + + ⋅
+ +=
⋅=
=
∑
∑
1 1 2 2
1 2
1
1
...
...
ym y m y m y
m m m
m y
mCM
n n
n
i ii
n
ii
n=⋅ + ⋅ + + ⋅
+ +=
⋅=
=
∑
∑
1 1 2 2
1 2
1
1
...
...
zm z m z m z
m m m
m z
mCM
n n
n
i ii
n
ii
n=⋅ + ⋅ + + ⋅
+ +=
⋅=
=
∑
∑
1 1 2 2
1 2
1
1
...
...
O vector posição do centro de massa é dado por:
r
r
r
m r
mCM
i ii
n
ii
n=⋅
=
=
∑
∑
1
1
6.4 Momento linear do centro de massa
Como foi visto, o vector posição do centro de massa é dado por:
r
r
r
m r
mCM
i ii
n
ii
n=⋅
=
=
∑
∑
1
1
esta equação pode ser escrita na seguinte forma:
( ) ( )m r m ri CMi
n
i ii
n
⋅ = ⋅= =∑ ∑r r
1 1
derivando em ordem ao tempo e assumindo que a massa é sempre constante, vem:
( )mr
tm
r
tiCM
i
n
ii
i
n
⋅ = ⋅
= =∑ ∑
∂∂
∂∂
r r
1 1
( ) ( )m v m vi CMi
n
i ii
n
⋅ = ⋅= =∑ ∑
r r
1 1
( ) ( )m v pi CMi
n
ii
n
⋅ == =∑ ∑
r r
1 1
Assim fica demonstrado que a quantidade de movimento ou momento linear de um sistema de
partículas é dado por:
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( )P m v pi CMi
n
ii
n
= ⋅ == =∑ ∑r r
1 1
6.5 Lei do movimento do centro de massa
( )r rP m vi
i
n
CM= ⋅=∑
1
( )∂∂ ∂
r rP
tm
v
tiCM
i
n
= ⋅=∑
1
( )∂∂
rrP
tm ai CM
i
n
= ⋅=∑
1
r r rF F m aext CM∑ ∑+ = ⋅int
As forças exteriores são aplicadas devido à interacção de um ou mais corpos pertencentes ao
sistema com um corpo que não pertence ao sistema. As forças internas, ocorrem devido à
interacção entre dois ou mais corpos pertencentes ao sistema. Segundo a 3ª lei de Newton (par
acção reacção), se somarmos todas as forças internas do sistema, o resultado é um vector nulo. r rFint∑ = 0
r rF m aext CM∑ = ⋅
Esta última equação traduz a 2ª lei de Newton, na forma particular m = constante, aplicada aos
sistemas de partículas.
Para exemplificar tomemos o exemplo de um projéctil que é lançado e percorre uma determinada
trajectória. Em determinado instante, sem a aplicação de nenhuma força exterior ao projéctil, este
explode e separa-se em dois fragmentos. Nesta situação o centro de gravidade do sistema segue a
mesma trajectória como se nada se tivesse passado.
CM
y
x
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6.6 Conservação do momento linear
( )r rF m aext i
i
n
CM= ⋅=∑∑
1
( )∂∂
rrP
tm ai
i
n
CM= ⋅=∑
1
∂∂
rrP
tFext=∑
Quando a resultante das forças exteriores que actuam num sistema é nula, o momento linear do
sistema mantém-se constante, pelo que a sua derivada é nula.
rP=constante, logo
∂∂
rrP
t= 0
6.7 Colisões perfeitamente elásticas
Neste tipo de colisões existe conservação da quantidade de movimento e da energia cinética do
sistema.
∂∂
rrP
t= 0 , logo
rP = constante
Isto quer dizer que antes e após a colisão a quantidade de movimento do sistema é a mesma, logo. r rP P1 2=
Na situação de dois corpos A e B colidirem, pode-se escrever a seguinte equação.
m v m v m v m vA A B B A A B B⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅r r r r1 1 2 2
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6.8 Colisões perfeitamente inelásticas
Neste tipo de colisões existe conservação da quantidade de movimento, mas ocorrem perdas de
energia cinética. Esta situação verifica-se quando após a colisão os corpos permanecem juntos
seguindo uma trajectória comum. r rP P1 2=
( )m v m v m m vA A B B A B⋅ + ⋅ = + ⋅r r r1 1 2
Antes
Depois
BBA vvvrrr == 22
1Avr
01
rr =Bv
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7 Trabalho e energia
7.1 Noção de trabalho
7.2 Trabalho de uma força constante
7.2.1 Trabalho realizado por uma força constante ao longo de uma trajectória
rectilínea
O trabalho de uma força constante ao longo de uma trajectória rectilínea, define-se como o produto
interno do vector força pelo vector deslocamento:
W F r= ⋅r r∆
Esta equação também pode ser escrita como:
( )W F r= ⋅ ⋅r
∆ cosα
em que α é o ângulo formado entre os dois vectores.
O trabalho de uma força pode ser motor ou potente, resistente ou nulo. O trabalho é motor quando a
força contribui para o deslocamento, é resistente quando a força se opõe ao deslocamento.
7.3 Trabalho realizado por uma força variável
7.3.1 Trabalho realizado por uma força de valor variável ao longo de uma
trajectória rectilínea
O trabalho de uma força variável ao longo de uma trajectória rectilínea é dado pela integração da
força em ordem à distância percorrida.
Para entender melhor esta definição, considere o seguinte caso:
∆rr
rF
∆rr
rF
∆rr
rF
Trabalho resistente Trabalho nulo Trabalho motor ou potente
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A força F actua sobre uma partícula que se desloca segundo uma trajectória rectilínea, desde a
posição x1, até à posição xn Durante este deslocamento, a intensidade da força F possui, diferentes
valores, como mostra o gráfico. Assim, o trabalho realizado pela forca, pode ser calculado por:
W F xi ix
xn
= ⋅∑1
Quando a força varia continuamente, as distancias xi em que a força se pode considerar constante,
tende para zero e o número de intervalos n, tende para infinito. Logo, a equação para o cálculo do
trabalho será:
W F dxx
xn
= ⋅∫1
7.3.2 Trabalho de uma força variável ao longo de uma trajectória plana qualquer
O cálculo do trabalho realizado por uma força variável ao longo de uma trajectória plana qualquer,
assenta nos mesmos princípios apresentados acima.
x1 xn
F
x x2
rF1
rFn
x
y
1
n
∆rr1
∆rrn
rF2
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É possível aproximar a trajectória rectilínea por pequenos deslocamentos, desta forma, o trabalho é
calculado por:
W F ri ii
n
= ⋅=∑
r r∆1
Quando o número de deslocamentos utilizados para aproximar a trajectória curvilínea tende para
infinito, o trabalho é calculado por:
W F rn
i ii
n
= ⋅→∞ =∑lim
r r∆1
W F dr= ⋅∫r r
Logo:
dW F dr= ⋅r r
( )dW F dr= ⋅ ⋅r r
cosθ
em que θ é o ângulo formado entre os dois vectores.
Como:
dr v dtr r= ⋅ e dsrd =r
É válido afirmar que:
( )dW F ds= ⋅ ⋅r
cosθ
Como:
( )r rF Ft⋅ =cosθ
dw F dst= ⋅r
Ou seja:
W F dr= ⋅∫r r
Ou:
W F dst= ⋅∫
Logo ao calcular o trabalho realizado por uma força variável ao longo de uma trajectória curvilínea,
a abordagem é semelhante à situação de uma força variável ao longo de uma trajectória rectilínea,
rFn
Ft rF
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só que em vez de considerar a força, considera-se a componente tangencial da força, e em vez de
considerar o deslocamento, considera-se o espaço percorrido.
7.4 Forças que não realizam trabalho
7.4.1 Trabalho realizado ao longo de uma trajectória fechada
( )W F r F drn
i ii
n
A
B
= ⋅ = ⋅→∞ =∑ ∫lim
r r r r∆1
W F dr= ⋅∫r r
caso a força seja constante
W F dr= ⋅ ∫r r
W = 0
7.5 Trabalho de um sistema de forças
Quando um sistema de forças actua numa partícula, o trabalho realizado por esse sistema de forças,
é igual ao trabalho realizado pela força resultante do sistema.
W F r F r F r= ⋅ + ⋅ + ⋅r r r r r r1 2 3∆ ∆ ∆
( )W F F F r= + + ⋅r r r r1 2 3 ∆
W F rr= ⋅r r∆
7.6 Energia cinética
W F r= ⋅r r∆
( )W F x x= ⋅ −r
0
como: r rF m a= ⋅
( )W m a x x= ⋅ ⋅ −r0
x x v t a t− = ⋅ + ⋅ ⋅0 021
2
como:
v v a t= + ⋅0
A B≡
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e:
a t v v⋅ = − 0
logo, substituindo, obtém-se:
W m a v t a t= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
0
21
2
⋅⋅+⋅⋅⋅= tavtamW2
10
( ) ( )W m v v v v v= ⋅ − ⋅ + ⋅ −
0 0 0
1
2
( ) ( )W m v v v v v= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + −1
220 0 0
( ) ( )W m v v v v= ⋅ ⋅ − ⋅ +1
2 0 0
( )W m v v= ⋅ ⋅ −1
22
02
W m v m v= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅1
2
1
22
02
W E Ec c= − 0
W Ec= ∆
7.7 Energia potencial
A energia potencial de um sistema representa uma forma de energia mecânica armazenada no
sistema, podendo converter-se integralmente em energia cinética.
7.7.1 Energia potencial gravítica
∆ ∆Ep Ec= −
Ep Ep WB A Fg− = −
se
EpA = 0
Ep WB Fg= −
Ep F rB g= ⋅r r∆
Ep F rB g= ⋅ ⋅∆ cosθ
Ep F hB g= ⋅ ∆
Ep m g hg = ⋅ ⋅
∆rr
rFg
rFg
A
B
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7.7.2 Energia potencial elástica
A energia potencial elástica armazenada na mola é igual ao simétrico do trabalho realizado pela
força elástica no movimento de deformação da mola.
Epe Epe WB A Fe− = −
EpeA = 0
Epe K x dxBA
B
= − − ⋅ ⋅∫
Epe K xB = ⋅ ⋅1
22
7.8 Conservação da energia mecânica
Se considerar um sistema isolado, em que as forças interiores são conservativas, pode-se escrever
que:
W EC p= −∆
e
W EC C= ∆
portanto:
cp EE ∆=∆−
∆ ∆E Ec p+ = 0
vFe
∆x A B
x
rFe
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E E Em c p= + = constante
7.9 Lei da conservação da energia
Se algumas forças interiores forem não conservativas (força de atrito por exemplo), o trabalho
realizado por estas forças é transformado em outras formas de energia como calor e ruído devido à
fricção por exemplo.
FncWEpEcEm +∆+∆=∆
Como o termo.
∆ ∆E Ec p+ = 0
Logo.
∆Em WFa
= r
∆ ∆Em U+ = 0
Em que U∆ representa a energia foi dissipada no sistema.
NOTA:
O exemplo do pêndulo gravítico apresentado no capítulo da dinâmica pode agora ser resolvido de
uma forma mais simples.
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8 Mecânica dos fluidos
Fluidos são substâncias que podem fluir, escoar-se com maior ou menor facilidade porque as suas
moléculas: movem-se umas em redor das outras com pequeno atrito, como nos líquidos e estão
muito afastadas como nos gases.
Os líquidos não têm forma própria, mas têm volume definido e são quase incompressíveis.
Os gases não têm forma própria nem volume definido e são altamente compressíveis.
8.1 Propriedades dos fluidos
8.1.1 Massa volúmica
A massa volúmica define a massa por unidade de volume, é praticamente constante nos líquidos e
variável com a pressão e temperatura nos gases.
ρ =m
V (kg/m3)
ρagua = 1000 kg/m3 a 4ºC
ρar = 1,293 kg/m3
8.1.2 Densidade relativa
dp
=ρρ
(adimensional)
Em queρp é uma massa volúmica padrão, salvo indicação em contrário, utiliza-se a massa
volúmica da água para os líquidos. Para os gases, utiliza-se a massa volúmica do ar, nas mesmas
condições de temperatura e pressão em que se encontra o gás.
8.1.3 Peso volúmico
O peso volúmico pode ser apresentado como o produto da passa volúmica pela aceleração da
gravidade.
grr
⋅= ργ (N/m3)
8.2 Pressão
A pressão é uma força por unidade de área. A pressão média numa dada superfície, é definida por:
rr
pF
Am = (N/m2) = (Pa)
Numa superfície infinitésima: r rp p
Am=
→lim
0
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rr
pF
A=
∂∂
Desde que o fluido esteja em equilíbrio hidrostático, as forças de pressão são sempre normais às
superfícies do recipiente que contem o fluido.
8.3 Distribuição hidrostática de pressões
Considere o seguinte volume de controlo. Por volume de controlo, entende-se uma porção de
fluido, delimitado por uma fronteira imaginária, na qual se analisam as forças aplicadas.
Como o fluido está em repouso e permanece neste estado, o somatório das forças aplicadas é nulo,
logo:
Somatório das forças horizontais igual a zero. r rF =∑ 0
Fx∑ = 0
F F3 4=
Somatório das forças verticais igual a zero.
Fy∑ = 0
F F Fg2 1− =
p A p A Fg2 1⋅ − ⋅ = ρ =m
V
p A p A m g2 1⋅ − ⋅ = ⋅ m V= ⋅ρ
h1 rF1
rF4
rF3
rF2
h2 rFg
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( )p p A g h A2 1− ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ρ ∆ ( )m A h= ⋅ ⋅ρ ∆
∆ ∆p g h= ⋅ ⋅ρ m h A= ⋅ ⋅ρ ∆
Como em cima da superfície do liquido contido no recipiente existe a pressão atmosférica, para ter
o valor da pressão absoluta é necessário somar o valor da pressão atmosférica 0p .
p p g h= + ⋅ ⋅0 ρ ∆
8.3.1 Distribuição de pressões na parede vertical de um reservatório
No esquema acima representam-se em simultâneo os diagramas de pressões relativas e o diagrama
de pressões absolutas. Para o cálculo da força exercida na parede vertical utiliza-se o diagrama de
pressões relativas pois o acréscimo de pressão devido a acção da atmosférica também se faz sentir
no exterior da parede.
O valor da força resultante por metro de extensão horizontal da parede será dado pela “área” do
diagrama de pressões relativas (com forma triangular).
2
2
1HgF ⋅⋅⋅= ρ
O ponto de aplicação desta força resultante passa pelo centro de gravidade, ou seja a um terço da
altura H a contar da base.
H
rp0
p p g H= + ⋅ ⋅r v0 ρ
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8.4 Vasos comunicantes
O cálculo do problema de vasos comunicantes aplica directamente o principio da distribuição
hidrostática de pressões. Para a mesma altura de referencia h o valor da pressão terá que ser o
mesmo nas duas coluna de liquido ligadas entre si..
p p1 2=
ρ ρ1 1 2 2⋅ ⋅ = ⋅ ⋅g H g H
ρρ
1
2
2
1
=H
H
H1
H2
2 1
ρ1
ρ 2
h
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8.5 Prensa hidráulica
Considere um sistema constituído por dois êmbolos ligados entre si em que a área interior de cada
um é diferente. No sistema representado na figura são aplicadas forças em ambos os êmbolos por
forma a que o sistema esteja em equilíbrio hidrostático.
Como a pressão do óleo no interior dos êmbolos é idêntica, pode-se escrever.
ppp == 21
F p A1 1= ⋅ F p A2 2= ⋅
pF
A= 1
1
pF
A= 2
2
F
A
F
A1
1
2
2
=
8.6 Pressão atmosférica
O ar que respiramos está sujeito à pressão de uma atmosfera. Esta pressão é criada pelo peso da
coluna de ar que se encontra acima de nós. Quando nos deslocamos para regiões mais altas, a altura
da coluna de ar diminui pelo que a pressão também diminui.
8.6.1 Barómetro de mercúrio
Os barómetros são instrumentos para medir a pressão atmosférica. O primeiro barómetro ficou
conhecido como o barómetro de mercúrio e assenta no seguinte funcionamento.
Trata-se de um tubo em vidro com 1 m de comprimento fechado numa extremidade. Inicialmente
este tubo é completamente preenchido com mercúrio. A extremidade aberta desse tubo é colocada
dentro de um recipiente também cheio de mercúrio com o cuidado de não entrar ar para o interior
do tubo.
rF2
rF1
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Ao realizar esta experiência verifica-se que o mercúrio desce dentro do tubo até uma altura de 76
(cm) acima do nível de mercúrio na tina. Como na parte superior do tubo temos uma situação de
vácuo e na superfície da tina temos a pressão atmosférica, então a diferença de pressão é igual à
própria pressão atmosférica e também é igual à pressão exercida pela coluna de mercúrio que se
encontra dento do tubo.
Como o valor da massa volúmica do mercúrio é conhecida.
ρHg = 13 60, g/cm3
ρHg
kg
m=
⋅⋅−
13 60 1000
10 6 3
, /
ρHg = ⋅13 60 103, kg/m3
E uma atmosfera é igual a.
1 atm = 76 cm Hg
Logo podemos escrever.
1 atm = ρHg g h⋅ ⋅
1 atm = 13 60 10 9 8 0 763, , ,⋅ ⋅ ⋅
1 atm = 101 293 Pa
1 torr = 1 mm Hg
1 torr = ρHg g h⋅ ⋅
1 torr = 13 6 10 9 8 0 0013, , ,⋅ ⋅ ⋅ = 133,2 Pa
76 cm
rp2 0=
r rp patm1 =
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8.7 Lei de Arquimedes
A diminuição de peso de um corpo mergulhado num líquido é igual ao peso de liquido de volume
igual ao volume da parte imersa do corpo. Essa diminuição é na realidade uma força dirigida de
baixo para cima que o fluido aplica no corpo e chama-se impulsãoIr
.
I F F= −2 1
I p A p A= ⋅ − ⋅2 1 2 2
( )I p p A= − ⋅2 1
I p A= ⋅∆ ∆p g A= ⋅ ⋅ρ
I g h A= ⋅ ⋅ ⋅ρ ∆
I g V= ⋅ ⋅ρ
Sendo:
ρ massa volúmica do fluido
g aceleração da gravidade
V volume da parte imersa do corpo
rF1
rF4
rF3
rF2
h2 rFg
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9 Centros de gravidade, momentos estáticos e estudo de
forças distribuídas
9.1 Momento de uma força em relação a um ponto
Considere uma força Fr
aplicada num ponto (uma força é representada por um vector que define a
sua intensidade, direcção e sentido). Contudo, o efeito da força depende também do seu ponto de
aplicação.
A posição do ponto de aplicação é definida pelo vector posição rv
, com origem no ponto fixo de
referência O.
O momento de uma força define-se como o produto externo de rr
por Fr
e traduz o efeito de
rotação em torno do ponto O que a força Fr
provoca.
FrM O
rrr×=
De acordo com a definição de produto externo, o vector momento OMr
é normal ao plano que
contém os vectores rr
e Fr
e o seu sentido é dado pela regra da mão direita.
A intensidade do vector OMr
é dada por
( )θsin⋅⋅= FrM O
FdM O ⋅=
tO FrM ⋅=
sendo:
θ ângulo formado entre os vectores rr
e Fr
d braço do momento
tFr
força tangencial
θ
O rr
Fr
d
OMr
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No sistema internacional (SI), onde a força é expressa em Newtons (N) e a distância em metros
(m), o momento de uma força é expresso em Newton.metro (N.m).
9.2 Centro de gravidade de um corpo bidimensional
Considere um corpo bidimensional no plano xy . A acção da gravidade actua sobre o corpo como
uma força distribuída, cuja resultante será o peso do corpo, aqui designado por rFr
.
∑= ir FFrr
As equações dos momentos serão:
∑∑ ⋅=⋅= iiry FxFxM
∑∑ ⋅=⋅= iirx FyFyM
Quando o número de elementos tende para infinito, pode-se escrever:
∫= dFFr
∫∑ ⋅= dFxM y
∫∑ ⋅= dFyM x
RFr
x
y z
x
y
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9.3 Centro de massa de uma placa homogénea
Como a força gravítica é proporcional à massa.
gmFg ⋅=
Para uma placa de espessura constante a massa distribui-se uniformemente pela área da mesma.
VOLm ⋅= ρ
eAm ⋅⋅= ρ
geAFg ⋅⋅⋅= ρ
Substituindo na equação dos momentos.
( )∑ ∑ ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅→ geAxgeAxM iiy ρρ
( )∑ ∑ ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅→ geAygeAyM iix ρρ
Como ρ , e, g são constantes, podemos escrever.
( )∑ ∑ ⋅=⋅→ iiy AxAxM
( )∑ ∑ ⋅=⋅→ iix AyAyM
Quando o número de elementos tende para infinito.
∑ ∫ ⋅=⋅→ dAxAxM iy
∑ ∫ ⋅=⋅→ dAyAyM ix
9.4 Momentos de primeira ordem ou momento estático
Os momentos de primeira ordem ou momentos estáticos em relação aos eixos x e y são dados por.
∑ ∫ ⋅=⋅= dAxAxM iy
∑ ∫ ⋅=⋅= dAyAyM ix
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Sempre que uma figura é simétrica em relação a um eixo, o momento estático em relação a esse
eixo é nulo e o centro de massa da figura pertence a esse eixo.
y
dA
-x x
dA 0=yM
BB
dA
-x
x
dA
0=BBM
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9.5 Baricentro de uma placa composta
Quando uma placa tem uma geometria irregular, esta quase sempre pode ser dividida em figuras
elementares simples
x
y
0=xM
y
dA
-x
x
dA
x
y
y 0=yM
CG
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As coordenadas do centro de gravidade podem ser obtidas através das seguintes equações,
∑ ⋅=⋅= iiy AxAxM
∑ ⋅=⋅= iix AyAyM
Caso exista uma abertura ou furo na placa, a área desse vazio é considerada como negativa.
x
y
CG1
CG2
CG3
x2 x1 x3
y1 y2
y3
x
y
CG
x
y
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9.6 Teorema de Pappus-Guldin
Este teorema refere-se a superfícies e corpos de revolução. Superfície de revolução é uma
superfície que pode ser gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo fixo.
Da revolução de um semicírculo resulta uma esfera, de um segmento de recta resulta um cone e de
uma circunferência resulta um toro.
TEOREMA I
A área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da curva geratriz multiplicada pela
distancia percorrida pelo centroide da curva durante a geração da superfície.
TEOREMA II
O volume de um corpo de revolução é igual à área geratriz multiplicada pela distancia percorrida
pelo centroide da área durante a geração do corpo.
9.7 Cargas distribuídas sobre vigas
Considere uma carga distribuída sobre uma viga.
dAdW =
x
y
Esfera Cone Toro
(Donut)
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A resultante será dada pelo integral da carga distribuída em ordem ao comprimento da viga, ao que
corresponde a “área” do diagrama de distribuição de carga.
∫ ⋅=L
dxww0
∫ ==L
AdAw0
Para uma carga distribuída uniforme (diagrama rectangular) o integral pode ser substituído pela
área de um rectângulo.
No caso de uma carga trapezoidal, esta pode ser considerada como uma carga rectangular com uma
carga triangular por cima.
x
y
mkNp /10=
kNFr 50510 =⋅=
mL 00.5=
x
y
mkNp /51 =
mkNp /102 =
kNFr 251 = kNFr 252 =
kNFr 50=
x
mL 00.5=
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O valor da força resultante é determinado da seguinte forma.
kNFr 252
5101 =⋅=
kNFr 25552 =⋅=
kNFrFrFr 5021 =+=
O ponto de aplicação é determinado com base na equação dos momentos estáticos.
rry FxFrxFxM ⋅=⋅+⋅= 2211
502533.32550.2 ⋅=⋅+⋅= xM y
mx 915.2=
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10 Eixos principais de inércia, inércias máximas e
mínimas
10.1 Exemplos de aplicação
Considere uma viga num estado de flexão pura. As forças internas na secção são forças
distribuídas, cujos módulos variam linearmente com a distancia ao centroide da secção.
O módulo das forças internas será dado por.
AykF ∆⋅⋅=∆
∑ ∆⋅= iix FyM
∑ ∆⋅⋅= iix AykM 2
∑ ∆⋅⋅= iix AykM 2
Quando o numero de elementos em que a secção foi dividida tende para infinito
dAykM x ⋅⋅= ∫2
xx IkM ⋅=
A variável Ix é o momento de segunda ordem ou momento de inércia
Considere um segundo exemplo, uma parede vertical de um reservatório onde existe uma comporta
circular.
Como se demonstra no capitulo Mecânica dos fluidos, a distribuição hidrostática de pressões é
calculada por
yygp ⋅=⋅⋅= γρ
em que:
ρ massa volúmica da água (kg/m3)
Compressão
Tracção
yk ⋅− Secção AA’
A’
A
yk ⋅
y
x
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g aceleração da gravidade (m2/s)
y profundidade (m)
γ peso volúmico (N/m3)
ApF ∆⋅=∆
AyF ∆⋅⋅=∆ γ
A força resultante é calculada por.
∑∆= ir FF
iir AyF ∑ ∆⋅⋅= γ
ir AyF ∑ ∆⋅⋅= γ
∫ ⋅⋅= dAyFr γ
∑ ⋅∆=⋅= iirx yFFyM
iiix yAyM ⋅∆⋅⋅=∑γ
iix AyM ∆⋅⋅= ∑ 2γ
Quando o número de elementos i tende para infinito
∫ ⋅⋅= dAyM x2γ
xx IM ⋅= γ
A variável Ix é o momento de segunda ordem ou momento de inércia
ygp ⋅⋅= ρ
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Os momentos de inércia de uma secção são dados por
∫ ⋅= dAyI x2
∫ ⋅= dAxI y2
10.2 Momentos de inércia
10.2.1 Momento de inércia de uma superfície rectangular
( ) 2ydybdI x ⋅⋅=
∫ ⋅⋅=h
x dyybI0
2
3
3
1hbI x ⋅⋅=
dybdA ⋅=
b
h
x
y
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10.2.2 Momento de inércia de uma superfície triangular
Considere um triângulo de base b e altura h. Escolhe-se uma faixa diferencial paralela ao eixo x .
dAydI y ⋅= 2
dyldA ⋅=
Das relações entre triângulos semelhantes obtém-se.
h
yh
b
l −=
h
yhbl
−⋅=
dyh
yhbdA ⋅−⋅=
Integrando xdI
∫ ⋅= dAyI x2
∫ ⋅−⋅⋅=h
x dyh
yhbyI
0
2
( )∫ ⋅−⋅⋅=h
x dyyyhh
bI
0
32
dyldA ⋅=
b
h
x
y
l y
h-y
dy
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h
x
yyh
h
bI
0
43
43
−⋅⋅=
12
3hbI x
⋅=
10.3 Momento polar de inércia
O momento polar de inércia de uma superfície é definido por,
∫ ⋅= dArJ 20
222 yxr +=
( ) dAyxdArJ ⋅+=⋅= ∫∫222
0
∫∫ ⋅+⋅= dAxdAyJ 220
pelo que se conclui que,
yx IIJ +=0
dA
x
y
x
y
rr
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10.4 Raio de giração de uma superfície
Considera-se que uma superfície de área A tem um momento de inércia Ix em relação ao eixo x. Se
concentramos esta área numa faixa estreita paralela ao eixo x e se a área A assim concentrada tem o
mesmo momento de inércia Ix, a faixa deve estar colocada a uma distância Kx do eixo x.
AkI xx ⋅= 2
A
Ik x
x =
kx é denominado o raio de giração ou o raio de inércia. De forma análoga podemos escrever,
AkI yy ⋅= 2 A
Ik y
y =
AkJ ⋅= 200
A
Jk 0
0 =
como,
yx IIJ +=0
logo, 222
0 yx kkk +=
Para um rectângulo podemos escrever,
33
12
3
2 h
hb
hb
A
Ik x
x =⋅
⋅⋅==
3
hkx =
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10.5 Teorema dos eixos paralelos
( ) dAdydAyI x ⋅+=⋅= ∫∫22 '
∫∫∫ ⋅+⋅⋅+⋅= dAddAyddAyI x22 '2'
Nesta última equação o 1º integral representa o momento de inércia em relação ao eixo BB’, o 2º
integral representa o momento de 1ª ordem em relação a BB’ e o 3º integral representa a área da
superfície. Como o eixo BB’ passa pelo centro geométrico da superfície, o momento de 1º ordem é
nulo, logo podemos escrever,
2dAII ⋅+=
em que I representa o momento de inércia em relação ao eixo BB’.
222 dAAkAk ⋅+⋅=⋅
222 dkk +=
podemos desenvolver o mesmo raciocínio em relação ao momento polar de inércia,
20 dAJJ CG ⋅+=
2220 dkk c +=
Considere o seguinte exemplo
dA
B
x
y
rr
d
y’
B’ CG
y
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2dAII ⋅+=
22'' rrII BBAA ⋅⋅+= π
444' 4
5
4
1rrrI AA ⋅⋅=⋅+⋅⋅= πππ
OBSERVAÇÃO
O teorema dos eixos paralelos só pode ser aplicado se um dos eixos passar pelo baricentro da
superfície.
10.6 Momento de inércia de superfícies planas compo stas
O momento de inércia de uma superfície plana composta pode ser obtido pela soma dos momentos
de inércia das diferentes áreas que compõem a superfície, calculadas em relação ao mesmo eixo.
A A’
B B’ CG
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EXEMPLO
A1 = 107 cm2 240101 =xI cm4
A2 = 15*2 = 30 cm2 1021512
1 32 =⋅⋅=xI cm4
AT = 137 cm2
CÁLCULO DO CENTRO DE GRAVIDADE DA SUPERFÍCIE COMPOSTA
2211 xAxAxAT ⋅+⋅=⋅
5.7305.7107137 ⋅+⋅=⋅ x
5.7=x cm
2211 yAyAyAT ⋅+⋅=⋅
393019107137 ⋅+⋅=⋅ y
38.23=y cm
(2) chapa 150*20 mm
(1) perfil duplo T 380*149 mm
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TRANSFERIR OS MOMENTOS DE INÉRCIA PARA O CG DA FIGURA COMPOSTA
2dAII ⋅+=
( )21 1938.2310724010 −⋅+=xI
260631 =xI cm4
( )22 38.23393010 −⋅+=xI
53.73292 =xI cm4
Como os momentos de inércia foram calculados em relação ao mesmo eixo, podem ser somados.
53.3339221 =+= xxTx III cm4
O raio de giração é calculado por,
61.15137
53.33392 ===A
Ik x
x cm
(2) chapa 150*20 mm
(1) perfil duplo T 380*149 mm
7.5
39
19
CG
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10.7 Momentos de inércia de figuras geométricas com uns
b
h
x
y 3
' 12
1hbI x ⋅⋅=
hbI y ⋅⋅= 3' 12
1
3
3
1hbI x ⋅⋅=
( )22
12
1hbhbJCG +⋅⋅⋅=
hbI y ⋅⋅= 3
3
1 x’
CG
y’
b
h
x
y
3' 36
1hbI x ⋅⋅=
3
12
1hbI x ⋅⋅=
x’ CG
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r
4'' 16
1rII yx ⋅⋅== π
40 8
1rJ ⋅⋅= π
x’
CG
y’
0
r
4'' 8
1rII yx ⋅⋅== π
4
4
1rJCG ⋅⋅= π
x’
CG
y’
0
r
4'' 4
1rII yx ⋅⋅== π
4
2
1rJCG ⋅⋅= π
x’
CG
y’
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a
3' 4
1baI x ⋅⋅⋅= π
baI y ⋅⋅⋅= 3' 4
1 π
( )22
4
1babaJCG +⋅⋅⋅⋅= π
x’
CG
y’
b
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11 Produto de inércia e círculo de Mohr
11.1 Produto de inércia
O produto de inércia de uma superfície plana é definido por,
∫ ⋅⋅= dAyxPxy
11.2 Extensão do teorema dos eixos paralelos
∫ ⋅⋅= dAyxPxy
( ) ( ) dAyyxxPxy ⋅+⋅+= ∫ ''
( ) ∫∫∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= dAyxdAyxdAxydAyxPxy ''''
O 2º e o 3º integral representam os momentos estáticos em relação ao baricentro da secção e
reduzem-se a zero, pelo que podemos escrever,
AyxPPxy ⋅⋅+= (2)
dA
x
y
x
y
y’
x’ CG
x’
y’
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11.3 Eixos e momentos principais de inércia
Recapitulando, podemos dizer que o momento de inércia em ordem ao eixo x, ao eixo y e o produto
de inércia são dados por,
dAyI x ⋅= ∫2
dAxI y ⋅= ∫2
∫ ⋅⋅= dAyxPxy
O objectivo da dedução que se segue é determinar os momentos e produto de inércia Iu, Iv e Puv em
relação a novos eixos u,v obtidos por rotação dos eixos originais em torno da origem de um ângulo
θ .
( ) ( )θθ sincos ⋅+⋅= yxu
( ) ( )θθ sincos ⋅−⋅= xyv
( ) ( )( )∫∫ ⋅⋅−⋅=⋅= dAxydAvI u22 sincos θθ
( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∫ ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅= dAxdAyxdAyI u2222 sincossin2cos θθθθ
( ) ( ) ( ) ( )θθθθ 22 sincossin2cos ⋅+⋅⋅⋅−⋅= yxyxu IPII
De forma semelhante obtemos as expressões para vI e uvP
dA
x
y
y
x’
x’
y’
u
v
x
θ
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( ) ( ) ( ) ( )θθθθ 22 coscossin2sin ⋅+⋅⋅⋅−⋅= yxyxv IPII
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )θθθθθθ cossinsincoscossin 22 ⋅⋅−⋅−⋅+⋅⋅= yxyxuv IPIP
Recorrendo às seguintes relações trigonométricas
( ) ( ) ( )θθθ cossin22sin ⋅⋅=
( ) ( ) ( )θθθ 22 sincos2cos −=
( ) ( )2
2cos1cos2 θθ +=
( ) ( )2
2cos1sin2 θθ −=
É possível escrever
( ) ( )θθ 2sin2cos22
⋅−⋅−
++
= xyyxyx
u PIIII
I (4)
( ) ( )θθ 2sin2cos22
⋅+⋅−
−+
= xyyxyx
v PIIII
I (1)
( ) ( )θθ 2cos2sin2
⋅+⋅−
= xyyx
uv PII
P (5)
Somando (1) com (2), obtém-se
yxvu IIII +=+ (3)
Os dois membros desta equação são iguais ao momento polar de inércia oJ . As equações (1) e (3)
são as equações paramétricas de uma circunferência.
Isto significa que se escolhermos um par de eixos cartesianos e tomarmos um ponto M com
coordenadas uI , uxP para qualquer valor de θ , o lugar geométrico de todos os pontos será uma
circunferência.
Se eliminarmos θ das equações (4) e (5), obtém-se
2
2
2
2
22 xyyx
uvyx
u PII
PII
I +
−=+
+−
Se considerarmos
2yx
med
III
+=
2
2
2 xyyx P
IIR +
−=
escrevemos
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( ) 222 RPII uvmedu =+−
Esta equação traduz uma circunferência de raio R e centro no ponto C com as coordenadas (Imed, 0).
Os pontos A e B onde a circunferência intersecta o eixo horizontal correspondem aos valores
máximo maxI e mínimo minI do momento de inércia. Os dois pontos correspondem a um valor
nulo do produto de inércia uvP .
Os valores mθ do parâmetro θ correspondem aos pontos A e B e podem ser obtidos pela atribuição
de 0=uvP na equação (3). Desta forma obtém-se.
( )yx
xym II
P
−⋅
−=2
2tan θ
RII med −=min
RII med +=max
substituindo
2
2
minmax, 22 xyyxyx P
IIIII +
−±
+=
As propriedades estabelecidas são válidas para qualquer ponto, dentro ou fora da secção. Se o
centro dos eixos de inércia coincidir com o baricentro da secção e a orientação dos eixos for a de
maxI e minI , temos os eixos centrais de inércia da secção.
minI maxI
C
M ''yxP
'xI medI
''yxP
'xI
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11.4 Círculo de Mohr para momentos e produtos de in ércia
O círculo de Mohr pode ser utilizado para determinar graficamente os eixos principais de inércia,
os momentos principais de inércia ou os momentos de inércia e o produto de inércia da superfície
em relação a qualquer outro par de eixos ortogonais u e v.
Para exemplificar, considere a seguinte secção e os respectivos sistemas de eixos representados.
E o respectivo circulo de Mohr.
y
x
'x
'y
a
b
θ
mθ
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EXEMPLO - problema resolvido 9.7 (Beer, 1991)
Para a secção representada, foram calculados os momentos de inércia em relação aos eixos x e y.
38.10=xI cm4
97.6=yI cm4
X
Y
Y’
X’
θ2
mθ2
'xI xI
yI 'yI
minI maxI
xyP
''yxP
xyP−
''yxP−
P
I
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1) Determine os eixos principais da secção em relação ao ponto O.
2) Calcule os valores dos momentos principais de inércia da secção em relação a O.
CÁLCULO DO PRODUTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AOS EIXOS x,y
3 cm
3 cm
4 cm
0.5 cm
0.5 cm
O x
y
0.5 cm
3 cm
3 cm
4 cm
0.5 cm
0.5 cm
O2 x
y
0.5 cm
O1
O3
1.25 cm
1.25 cm
1.75 cm
1.75 cm
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Se utilizarmos o teorema dos eixos paralelos
AyxPP yxxy ⋅⋅+= ''''
Rectângulo Área
(cm2) 'x
(cm)
'y
(cm)
Ayx ⋅⋅ ''
(cm4)
(1) 1.50 -1.25 1.75 -3.38
(2) 1.50 0.00 0.00 0.00
(3) 1.50 1.25 -1.75 -3.38
Soma -6.56
∑ ⋅⋅= AyxPxy '' = -6.56 cm4
CÁLCULO DOS EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
Como 'xI , 'yI e ''yxP são conhecidos
( )''
''22tan
ix
yxm II
P
−⋅
−=θ = ( )
85.397.638.10
56.62 =−
−⋅−
( ) mθ⋅== 2º43.7585.3arctan
º72.37=mθ e º71.127º90º72.37 =+=mθ
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MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
2
2
minmax, 22 xyyxyx P
IIIII +
−±
+=
( )22
minmax, 56.62
97.638.10
2
97.638.10 −+
−±+=I
54.15max =I cm4 90.1min =I cm4
RESOLUÇÃO DO MESMO PROBLEMA COM BASE NO CÍRCULO DE MOHR
3 cm
3 cm
4 cm
0.5 cm
0.5 cm
O x
y
0.5 cm
a(max)
b(min)
º7.127=mθ
º7.37=mθ
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( ) ( )56.6,38.10, −≡xyx PIX
( ) ( )56.6,97.6, +≡xyx PIY
( )0,68.80,2
97.638.100,
2≡
+≡
+ yx IIC
( ) ( ) ( ) ( ) 78.656.668.838.10 2222 =−+−=+= DXCDR cm4
( ) 86.370.1
56.62tan ===
CD
DXmθ
º47.752 =mθ
º7.37=mθ e º7.127º90º7.37 =+=mθ
46.1578.668.8max =+=I cm4
90.178.668.8min =−=I cm4
Y
X
minI maxI E
C D yI
xI
xyP
- xyP
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Referencias Bibliográficas
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(SI)". Plátano Editora.
Beer, F.; Johnston, E. "MECÂNICA VECTORIAL PARA ENGENHEIROS - ESTÁTICA".
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Deus, J.; Pimenta, M.; Noronha, A.; Penã, T. (2000). "INTRODUÇÃO À FÍSICA". McGraw Hill.
Giancoli, Douglas C.; (1998). "PHYSICS". Prentice Hall.
Gispert, C. ."FÍSICA E QUIMICA". Enciclopédia Audio Visual Educativa.
Indias, M. (1992). "CURSO DE FÍSICA". McGraw Hill.
James, M. (1985). "ESTÁTICA". Livros Técnicos e Científicos Editora.
Merian, J. "ESTÁTICA". Livros Técnicos e Científicos Editora.
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