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IntroduçãoGráficos de resposta
Resposta em frequência
Guilherme Luiz Moritz1
1 DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
04 de 2013
Moritz, G.L. Resposta em frequência
IntroduçãoGráficos de resposta
Introdução
Objetivos
Entender o conceito de resposta em frequênciaSaber interpretar alguns tipos de gráficos de resposta emfrequênciaSaber traçar o Diagrama de Bode
Moritz, G.L. Resposta em frequência
IntroduçãoGráficos de resposta
Introdução
Introdução
Resposta em frequência
Resposta em regime estacionário de um sistemasubmetido a um sinal senoidal. (Nyquist, 1932. Bode,1945. Evans, 1953)
Figura : Harry Nyquist Figura : Hendrik Wade BodeMoritz, G.L. Resposta em frequência
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Metodologia
Varia-se a frequência de um sinal senoidal de entrada eestuda-se os efeitos resultantes.O sinal variará em amplitude e fase.Vantagens:
Análise de estabilidade através do critério de NyquistDeterminação experimental de funções de transferência viaanálise da resposta em frequênciaProjetos de sistemas de controle robusto a presença deruído
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Resposta em regime permanente
Considere o seguinte sistema:
A função de transferência é:
G(s) =Y (s)X (s)
(1)
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Resposta em regime permanente
Num sistema estável, se a entrada for:
x(t) = Xsen(ωt) (2)
a saída será:y(t) = Ysen(ωt + φ) (3)
comY = X |G(jω)| (4)
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Resposta em regime permanente
Neste caso, o ângulo da função de transferência é:
φ = ∠G(jω) = arctg[
Imag(G(jω))Real(G(jω))
](5)
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Resumindo
|G(jω)| = |Y (jω)||X (jω)|
(6)
e∠G(jω) = ∠
Y (jω)X (jω)
(7)
Desta maneira, para determinar-se a resposta em frequência,deve-se calcular:
G(jω) =Y (jω)X (jω)
(8)
(fazer s = jω na função de transferência)
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Definições
Atraso de fase: valor negativo de faseAvanço de fase: valor positivo de fase
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Tipos de gráficos
Podemos traçar um gráfico representando a resposta emfrequência. Três diagramas são comumente utilizados:
Diagrama de BodeDiagrama de NyquistDiagrama de resposta logaritmica vs ângulo de fase(Nichols)
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Diagrama de Bode
Apresenta dois gráficos (em função de log(ω)):Primeiro gráfico: Magnitude (logarítmica)→MdB(ω) = 20log|G(jω)|Segundo gráfico: Fase→ φ(ω) = ∠G(jω)
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo
Determinar as expressões analíticas de magnitude e fase daresposta de frequencia de:
G(S) =1
(s + 2)(s + 4)(9)
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo
M(ω) =1√
(8− ω2) + (6ω)2(10)
φ =
−arctg(
6ω8−ω2
)se ω <
√8
−[π + arctg
(6ω
8−ω2
)]se ω >
√8
(11)
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo
−80
−60
−40
−20
Mag
nitu
de (
dB)
10−2
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Vantagens de utilizar-se a escala logarítmica
O gráfico de magnitude tem uma contribuição para cadapólo e zero, no caso de utilizarmos logaritmos, elas sesomam.
G(s) =K (s + z1)(s + z2) · · · (s + zk )
sm(s + p1)(s + p2) · · · (s + pk )(12)
|G(jω)| = K |(s + z1)| |(s + z2)| · · · |(s + zk )||sm| |(s + p1)| |(s + p2)| · · · |(s + pk )|
∣∣∣∣∣s=jω
(13)
Basta estudar o efeito de cada termo na contribuição totalde magnitude e fase
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Ganho K
Magnitudes maiores que 1 possuem valores positivos emdBMagnitudes menores que 1 possuem valores negativos emdBG(jω) = 20log(K )
∠G(jω) = 0
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Fatores integrativos
20log| 1jω |= −20log(ω) dB;
∠(
1jω
)= −90o
Uma oitava é o intervalo de frequência entre ω1 e 2ω1,sendo qualquer ω1
Uma década é o intervalo de frequência entre ω1 e 10ω1
A inclinação da reta é −20dB por década com ganho 0 emω = 1
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Fatores derivativos
20log|jω|= 20log(ω) dB;∠ (jω) = 90o
A inclinação da reta é 20dB por década.E se houver mais de um termo?
20log|(jω)n|= n20log(ω) (14)
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Resumo gráfico
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos de primeira ordem
20log| 11+jωT |= −20log(
√1 + ω2T 2) dB;
ω << 1T :
−20log(√
1 + ω2T 2) = −20log(1) = 0 (15)
ω >> 1T :
−20log(√
1 + ω2T 2) = −20log(ωT ) = 0 (16)
Duas retas:0dB → 0 < ω < 1
T
−20dB/dec → 1T < ω <∞
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos de primeira ordem
Magnitude de 11+jωT
20log| 11+jωT |= −20log(
√1 + ω2T 2) dB;
ω << 1T :
−20log(√
1 + ω2T 2) = −20log(1) = 0 (17)
ω >> 1T :
−20log(√
1 + ω2T 2) = −20log(ωT ) = 0 (18)
Duas retas:0dB → 0 < ω < 1
T
−20dB/dec → 1T < ω <∞
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos de primeira ordem
Fase de 11+jωT
ω = 0o → φ = 0ω = 1
T → φ = arctan(1) = −45o
ω =∞→ φ = −90o
Três retas:0o → 0 < ω < 1
T
−45o/dec → 110T < ω < 10T
−90o → 10T < ω <∞
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Resumo gráfico
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos de primeira ordem - erros
Fizemos aproximações assintóticas para ω << 1T e 1
T << ω.E quando a aproximação não valer?
O valor máximo do erro é aproximadamente 3dB
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos de primeira ordem - zeros
Mesma análise para os pólos, mas com sinal trocado:
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos quadráticos
Termo na forma:
11 + 2ζ(j ω
ωn) + (j ω
ωn)2 (19)
Cuja resposta em frequência é:
−20log
∣∣∣∣∣ 11 + 2ζ(j ω
ωn) + (j ω
ωn)2
∣∣∣∣∣ = −20log
√(1− ω2
ω2n
)2
+
(2ζ
ω
ωn
)2
(20)ω << ωn:
−20log(1) = 0 (21)
A assíntota de baixa frequência é uma reta em 0dB
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos quadráticos
Resposta em frequência (novamente):
−20log
∣∣∣∣∣ 11 + 2ζ(j ω
ωn) + (j ω
ωn)2
∣∣∣∣∣ = −20log
√(1− ω2
ω2n
)2
+
(2ζ
ω
ωn
)2
(22)ω >> ωn:
−20log(ω2
ω2n) = −40log(
ω
ωn) (23)
A assíntota de alta frequência é uma reta com inclinaçãode 40dB/decada
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Termos quadráticos
A fase é:
φ = ∠1
1 + 2ζ(j ωωn) + (j ω
ωn)2 = −arctg
2ζ ωωn
1−(
ωωn
)2
(24)
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Resposta de termos quadráticos
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos quadráticos - Erro
Observa-se que o erro assintótico torna-se elevadoquando o coeficiente de amortecimento é baixo.Soluções:
Utilizar tabelas de correçãoUtilizar computador para traçar o diagrama
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Sumário das assíntotas
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo 1
Esboce o diagrama de bode para a seguinte função detransferência:
G(s) = 100(s + 1)(s + 10)
= 10s + 1
( s10 + 1)
(25)
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo
20
25
30
35
40
Mag
nitu
de (
dB)
10−2
10−1
100
101
102
103
0
30
60
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Moritz, G.L. Resposta em frequência
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo 2
Esboce o diagrama de bode para a seguinte função detransferência:
G(s) = 200(s + 1)
(s + 10)2 (26)
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo 2
Moritz, G.L. Resposta em frequência
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo 2
−10
0
10
20
Mag
nitu
de (
dB)
10−2
10−1
100
101
102
103
−90
−45
0
45
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Análise de estabilidade
K G(S)+-
U(S) Y(S)
H(S)
A análise de estabilidade deve avaliar o ganho quando afase é −180o (inversão de fase)Ganhos maiores que 1 indicam instabilidade!
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Margens do sistema
Margem de Ganho:Quanto de ganho quepode ser adicionado aosistema para que elecontinue estável.Margem de Fase:Quanto de fase faltapara levar um ganhopositivo a 180o
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Exemplo 3
Determine as margens de fase e ganho para o sistema
G(s) =1000k
(s + 1)(s + 10)(s + 100)(27)
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo 3
−150
−100
−50
0
Mag
nitu
de (
dB)
10−2
10−1
100
101
102
103
104
−270
−225
−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Margens do sistema
Margem de Ganho:Quanto de ganho quepode ser adicionado aosistema para que elecontinue estável.Margem de Fase:Quanto de fase faltapara levar um ganhopositivo a 180o
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Coeficiente de amortecimento e Kp
O coeficiente de amortecimento está relacionado àmargem de fase (consequentemente o sobresinal):
ζ ≈ MF100
(28)
A constante de erro de posição pode ser deduzida do valorde partida do diagrama já que Kp = limjω→0 G(S)
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Outros diagramas
A interpretação dos diagramas de Nyquist e Nichols seráobservada no Matlab.
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