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Representação de Números
Aula - 5
Introdução • A aritmética lida com operações sobre números, portanto a
representação dos números é um tópico fundamental. • A escolha de um sistema de representação de números tem
repercussões na complexidade dos algoritmos e sobre o custo e desempenho dos circuitos.
• Um outro aspecto é a interface com outros circuitos e a interface humana.
Consideremos como exemplo, o sistema de números com resíduos (Residue Number Systems, RNS) que permite uma implementação muito rápida e circuitos aritméticos custo-efetivos. Não obstante, o RNS necessita de um certo tipo de interface de entrada e saída de custo relativamente alto, e conversores AD e DA não entendem esse tipo de representação. Assim, o uso de RNS é limitado a casos em que o custo extra de codificação e decodificação RNS seja desprezível com respeito ao custo total.
• Neste capítulo, os sistemas de representação de números mais comuns são descritos.
• O capítulo é dividido em 3 seções correspondentes aos números naturais, inteiros e reais.
Números naturais
– Sistemas ponderados
• Qualquer número natural (inteiro não negativo) pode ser representado numa única forma, de soma de potências Bi de certo número natural B, maior que 1, cada uma das quais multiplicada por um número natural menor que B.
– O seguinte teorema define um sistema de numeração de base-B.
– Teorema. Dado um número natural B maior que 1, qualquer número natural menor que Bn pode ser expresso na forma
onde cada coeficiente é um número natural menor que B. E existe somente um vetor ( ) representando .
00
22
11 ...... BxBxBxx n
nn
n
ix021 ...xxx nn
x
x
x
Algoritmo para computar xi (algoritmo 3.1)
• For i in 0..n-1 loop x(i):= x mod B; x := x/B; end loop;
• Exemplo: Computar a representação hexadecimal de 287645.
287645 = 17977.16 + 13
17977 = 1123.16 + 9
1123 = 70.16 + 3
70 = 4.16 + 6
4 = 0.16 + 4
287645 = 4.164 + 6.163 + 3.162 + 9.161 + 13.160 = [4639D]base16.
x(i)=xmodB
x = x/B
n = 0
n = n-1
B
Sistema de numeração misto, com várias bases (mixed-radix system)
• Exemplo: o sistema de tempo expresso em dias, horas, minutos, segundos e milisegundos.
• Teorema (3.2): dados n números naturais maiores que 1, qualquer número natural menor que pode ser expresso na forma
onde
e cada coeficiente xi é um número natural menor que bi. E existe somente um vetor representando x.
• Nota-se que na Base-B, os pesos são Bi, enquanto que no sistema misto os pesos são dados por:
002211 ...... BxBxBxx nnnn
021 ... bbbB nnn x
0321012010 ...,...,,,1 bbbBbbBbBB nnn
021 ...xxx nn
021 ... bbbB iii
021 ,...,, bbb nn
Algoritmo 3.2 (para computar os coeficientes xi num sistema de numeração misto)
for i in 0..n-1 loop x(i) := x mod b(i); x := x /b(i); end loop;
Exemplo:
computar a representação de 287645 na base mista (13,12,15,11,12):
287645 = 23970.12 + 5
23970 = 2179.11 + 1
2179 = 145.15 + 4
145 = 12.12 +1
12 = 0.13 + 12
287645 = 12. (12.15.11.12) + 1.(15.11.12) + 4.(11.12) + 1.12 + 5
x mod b(i) x/b(i) b(i)
i = 0
i = n-1
Comentário• Dado um número natural s, a conversão de uma representação na base B de x, a uma
representação base Bs, e vice-versa, é direta.• Supõe-se que n = s.q (se n não for divisível por s, então zeros iniciais
devem ser adicionados. Então,
onde
Como exemplo, a representação binária de um número decimal 287645 é
01000110001110011101. A conversão para a representação hexadecimal é direta: [0100 0110 0011 1001 1101] base 2 = [4639D] base 16.
n = 20, s = 4 e 20 = 4. q, portanto q = 5.X4 = x4x4 + 4 -1 B4-1+ x4.4 +4-2 B4-2+x4.4 +4-3 B4-3+x 4.4 B0
X4 = x19 B3+ x18 B2+x17 B1+x16 B0
X4 = 0.23+ 1.22+0.21+0.20
X4 = 4
0.
22.
11. ...... BxBxBxX si
sssi
sssii
00
22
11 ).(...).().( sqs
qqs
q BXBXBXx
nssn ./
X4
Sistema numérico de resíduos (RNS)
Um RNS é definido por um conjunto de s valores módulo[mi].
Se os mis são primos entre si, o RNS é dito não-redundante.
A representação RNS de um dado número natural é um vetor R(N), cujos componentes ri são os respectivos resíduos módulo mi, isto é, os sucessivos restos da divisão inteira de N/mi
ri = N mod mi.
O mínimo múltiplo comum de {mi} é o intervalo de RNS, geralmente denotado por M.
O maior número natural que pode ser representado em RNS definido por {mi} é
M – 1 = (m1-1, m2-1,...,ms-1).Se os mis são primos entre si então
isi mM 1
Exemplo
• Seja {mi} = {31, 17, 7, 5, 3} e N = (789)10. Computar {ri}
• Solução: s = 5;
r1 = 789 mod 3 = 0
r2 = 789 mod 5 = 4
r3 = 789 mod 7 = 5
r4 = 789 mod 17 = 7
r5 = 789 mod 31 = 14
(789)10 = (14,7,5,4, 0) RNS
ri = N mod mi
55335
31.17.7.5.3
.... 54321
1
mmmmm
mM isi
Como mis são primos entre si,
onde M é o mínimo múltiplo comum de {mi}.
Representação de Inteiros
• Representação sinal e magnitude – um inteiro pode ser representado na forma +x ou –x, onde x é um número natural. O número natural x pode ser representado na base B e ao invés de usar os símbolos + e -, é usado um dígito adicional de sinal igual a 0 (número positivo) e 1 (número negativo).
• Definição:
O inteiro representado na forma onde xn-1 é o bit de sinal é
O intervalo de números representados é
• É uma forma natural de representar um número inteiro. Não obstante, não é a forma mais conveniente.
11 nn BxB
0...... 10
03
32
2
nn
nn
n xseBxBxBx
0121 ... xxxx nn
1...... 10
03
32
2
nn
nn
n xseBxBxBx
e
Representação excesso de E• Uma outra forma de representar um número inteiro x consiste em
associar um número natural R(x) a x, onde R é uma função um-a-um, e R(x) é representada na base B.
• Definição 3.3: no sistema de numeração excesso de E, onde E é um número natural,
R(x) = x + E
tal que o inteiro representado na forma seja
e o intervalo de números representados,
0121 ... xxxx nn
EBxBxBx nn
nn
0
02
21
1 ......
EBxE n
Comentários sobre excesso de E
• Se B é par, e E é escolhido igual a Bn/2, então, o número representado na forma é
• A regra de definição do sinal é: se x é negativo então
e se x é positivo
• Em alguns casos práticos, o valor de E é diferente de Bn/2. Como exemplo, no sistema de ponto-flutuante de precisão simples ANSI/IEEE o expoente é um número de 8 bits que representa um inteiro x no intervalo
de acordo com o método excesso de E com E = 127 e não Bn/2=128.
2/1 Bxn
2/1 Bxn
0121 ... xxxx nn
00
22
11
00
22
11
.....).2/(
......
BxBxBBx
EBxBxBxn
nn
n
nn
nn
128127 x
Comentários (cont.)
• Se B= 2 e E = 2n-1, então o número representado na forma
é
onde significa o complemento de
• A função de representação R é unate, tal que a comparação de magnitude é fácil.
Função binária unate positiva é tal que se aplicar o valor 1 a um bit, o valor da função é maior ou igual que a aplicação do valor 0 no mesmo bit, desde que os demais bits sejam iguais.
1' nx 1nx
0121 ... xxxx nn
02
21
1
02
21
1
...2.2.'
...2.2).1(
xxx
xxxn
nn
n
nn
nn
Exemplo
• Representar x = -287645 com n = 6 dígitos na base B = 10 com E = 106/2.
B6 =106= 1000000
E = B6/2 = 106/2= 500000
R(x) = x + E = – 287645 + 500000 = 212355
• Observa-se que:(2-10/2).105 + 12355 = - 300000 + 12355 = - 287645
212355 – 500000= 2x105+12355 – 500000
Número em excesso de E
E
Representação Complemento de B
É obtido um número natural R(x), aplicando uma função um-a-um a x.Definição: No sistema de numeração complemento de B, cada inteiro x,
pertencente ao intervalo é representado pelo número natural
tal que o inteiro representado na forma seja
se
e
se
0121 ... xxxx nn
nBxxR mod)(
2/2/ nn BxB
02
21
1 ..... xBxBx nn
nn
2/..... 02
21
1nn
nn
n BxBxBx
nnn
nn BxBxBx
02
21
1 .....
2/..... 02
21
1nn
nn
n BxBxBx
positivo
negativo
Essas condições podem ser reescritas na forma:
se
e
se
E se B é par, as últimas condições são equivalentes a:
se e se
02
21
1 ..... xBxBx nn
nn
0....).2/( 02
21
1
xBxBBx n
nn
n
nnn
nn BxBxBx
02
21
1 .....
0....).2/( 02
21
1
xBxBBx n
nn
n
02
21
1 ..... xBxBx nn
nn
2/1 Bxn
nnn
nn BxBxBx
02
21
1 ..... 2/1 Bxn
positivo
negativo
Complemento de 2
Se B = 2, o número representado por é
e o bit mais significativo é também o bit de sinal.
Se
e se
10 1 nxentãox
0121 ... xxxx nn
1nx
02
21
1 ....2. xBxx nn
nn
00 1 nxentãox
comentários
O sistema complemento de B é baseado na operação, a saber
R(x) = x mod Bn.
Para representar um número de n dígitos com n+1 dígitos (extensão do número), a seguinte regra deve ser usada (B par):
Se
e se
Se B = 2, o vetor de n+1 bit representa o mesmo
número como o vetor de n bit
01211 ... xxxxx nnn
12/1 BxentãoBx nn
02/1 nn xentãoBx
0121 ... xxxx nn
Sistema de numeração complemento de B reduzido
• Num sistema de numeração complemento de B reduzido, o dígito mais significativo xn-1 é 0 ou B-1.
• Definição: no sistema de numeração complemento de B reduzido (B par), cada inteiro x pertencente ao intervalo é representado por
• Se então
• e se então
10 nBx
nBxxR mod)(
11 nn BxB
0)( 11
n
n xeBxxR
01 xBn
1).1()( 111
BxeBBBBxBxR nnnnn
Sistema de numeração complemento de B reduzido (cont.)
Assim, o inteiro representado por é
e
e a regra de definição de sinal é a seguinte:
se x é negativo,
e se x é positivo, .
De fato, o sistema complemento de B reduzido é obtido da representação complemento de B adicionando um dígito, se o dígito mais significativo é diferente de 0 ou B-1.
1.... 102
21
BxsexBxBx nn
nn
0121 ... xxxx nn
11 Bxn
0.... 102
2
nn
n xsexBxx
01 nx
Exemplo
Representar x = -287645 com n = 6 dígitos em complemento de B com B = 10.B6 = 1000000
B6/2 = 500000
R(x) = x + B6 = 712355
Observa-se quex’5 = 7 – 10 = -3
-3.105 + 12355 = -287645
No sistema complemento de B reduzido, n = 7 dígitos são necessários:
( -287645 < -Bn-1=-100000 ):
R(x) = x + B7 = 9712355.
Observa-se que -106 + 712355 = -287645 e que 9712355 é deduzido de 712355 adicionando um dígito de acordo com a regra de extensão.
Codificação de Booth
A representação complemento de 2, , de um inteiro x pode ser vista como uma representação com dígito de sinal.
onde e todos os outros dígitos
A codificação de Booth gera uma outra representação com dígito de sinal.
Definição: Considera-se um inteiro x cuja representação complemento de 2 é
e define-se
02
21
1 ...2.2. xxx nn
nn
}0,1{1 nx
0121 ... xxxx nn
}1,0{ix
0121 ... xxxx nn
.
........
,
,
,
211
122
011
00
nnn xxy
xxy
xxy
xy
Codificação de Booth• Então, multiplicando a primeira equação por 20, a segunda por 21, e
terceira por 22, e assim por diante, e adicionando as n equações, é obtida a seguinte equação:
• O vetor cujos componentes yi pertencem a {-1,0,1} é a representação Booth-1 de x e
• Observa-se que a representação de Booth de um inteiro é formalmente a mesma de uma representação binária de um número natural. O método de codificação de Booth pode ser generalizado.
00
22
11 2....2.2. yyyx n
nn
n
)...( 021 yyy nn
00
22
11
00
22
11
2....2.2.
2....2.2.
xxx
yyyn
nn
n
nn
nn
Codificação Booth-2
Definição: considerar um inteiro cuja representação em complemento de 2 é com n = 2.m bits, e definir
Multiplicando a primeira equação por 40, a segunda por 41, a terceira por 42, e assim por diante, e adicionando m equações, a seguinte equação é obtida:
O vetor cujos componentes yi pertencem a {-2,-1,0,1,2} é a representação Booth-2 de x e
00
22
11 4....4.4. yyyx m
mm
m
0121 ... xxxx nn
3.22.21.21
3452
1231
010
.2
........
,.2
,.2
,.2
mmmm xxxy
xxxy
xxxy
xxy
00
22
11
00
22
11
2....2.2.
4....4.4.
xxx
yyyn
nn
n
mm
mm
)...( 0121 yyyy mm
Codificação Booth-r
Definição: considerar um inteiro x cuja representação em complemento de 2 é com n = r.m bits, e definir
O vetor cujos componentes yi pertencem a
é a representação Booth-r de x e
onde B=2r.
00
22
11 ...... ByByByx m
mm
m
0121 ... xxxx nn
}1,...,2,1{,
2....2.2.
,2....2.2.
1.
.1.2
2.1
1.
012
21
10
mix
xxxxy
xxxxy
ri
ririr
rrir
rrii
rr
rr
1111 2,12,...,2,1,0,1,2),...,12(,2 rrrr
)...( 0121 yyyy mm
Exemplo
Computar a codificação de Booth de -287645, cuja representação complemento de 2 é:
10111001110001100011
De acordo com a representação Booth-1 é
-1100-10100-10010-10010-1
e de acordo cm a representação Booth-2 é
-10-22-102-21-1
Números reais
• Para números reais, existem dois tipos de abordagens de sistemas de numeração: ponto fixo e ponto flutuante.
• O sistema ponto fixo é uma simples extensão da representação de números inteiros, que permite a representação de um intervalo relativamente reduzido de números com certa precisão absoluta.
• O sistema ponto flutuante permite uma representação de um intervalo muito grande de números, com uma precisão relativa.
Sistema de numeração ponto-fixoNo sistema de numeração ponto-fixo, o número representado na forma:
é x/Bp onde x é o inteiro representado pela mesma sequência de dígitos sem o ponto.
Seja xmin e xmax os inteiros mínimo e máximo que podem ser representados com n dígitos, isto é, xmin = 1 – Bn-1 e xmax = Bn-1 -1 na representação sinal e magnitude, e xmin = -Bn/2 e xmax = Bn/2 -1 em complemento de B ou excesso de Bn/2. Então, qualquer número real x no intervalo
pode ser representado com erro igual ao valor absoluto da diferença entre x e sua representação.
A distância d entre os números exatamente representados é igual à unidade na posição menos significativa (unit in the least significant position – ulp), isto é, B-p, tal que o erro máximo seja igual a
O erro relativo máximo é igual a . Se então tal que o erro relativo máximo seja menor ou igual a
maxmin .. xBxxB pp
ppnpn xxxxxxx ....... 210121
2/2/ pBulp ).2/(1).2/( pBxxulp 0x
pBx 2
1
exemplo
O intervalo de números x que podem ser representados em complemento de B com B = 10, n = 9 dígitos, e ulp = 10-3 é
Os seguintes números podem ser representados exatamente:
-500000.000, -499999.99, - 499999.998,...,-0.001, 0.000, 0.001, ..., 499999.999.
A distância entre eles é igual a ulp = 0.001.
2/102/10 66 x
Sistema de numeração ponto- flutuante
Num sistema de numeração ponto-flutuante, a representação consiste de dois números: um número em ponto-fixo ( significando) +s ou –s, onde s é um número positivo, e um expoente (inteiro) e. O número correspondente é
onde b é a base (não-necessariamente igual a B).
Seja smin, smax, emin e emax os valores mínimo e máximo de s e e respectivamente. O intervalo de números representados é
e o valor absoluto mínimo de um número representado é
Seja ulp a unidade na posição menos significativa do significando. Então a distância D entre os números exatamente representados é D = d.be, onde d = ulp é a distância entre dois valores sucessivos do significando. Assim, o valor de D depende do expoente e. O erro máximo é igual a
O erro relativo máximo é igual a
Como no caso anterior, o erro relativo máximo é menor ou igual a
min.minebsx
maxmax .. maxmaxee bsxbs
ebs.
2/.2/ maxmax
ebulpD
sulpbsbulpxD ee .2/)..2/(.).2/(
2
1
exemploNo sistema de ponto-flutuante de precisão simples ANSI/IEEE, o significando é
um inteiro representado em sinal e magnitude
onde é chamado mantissa, e o expoente é um inteiro em excesso de 127.
A palavra de 32 bits
representa o número
onde
Assim
2321 ... sss 067 ...eee
2321 ....1 ssss
2321067 ...... ssseeesign
esign sss 2).2....2.2.1.()1( 2323
22
11
1272....2.2. 00
66
77 eeee
128,127,2,21...11.1,1 maxmin23
maxmin eeulpss
Apesar de emin e emax não serem usados para representarem números ordinários, eles são usados para representar
e outros números não-ordinários. Os valores mínimo e máximo são:
tais que o intervalo de números representados seja
isto é
e o menor número positivo representado é 1.2-126.
127127 2.22.2 x
127,126 maxmin ee
128128127127 20.1,20.1,20.10,20.10
128128 22 x