Post on 16-Nov-2014
Licenciatura em Engenharia Civil
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Elementos de apoio Aulas Práticas
Bruno Costa Manuel Trigo Neves
Miguel Ladeira Paulo Guedes
Novembro 2008
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos – Índices
2/64
0. Revisões geometria de massas ............................................................................................................4
Problema 1 ..........................................................................................................................4 Problema 2 ..........................................................................................................................6
1. ESFORÇO AXIAL ......................................................................................................................................7 1.1. Noção de tensão e extensão ................................................................................................7 1.2. Lei de Hooke .............................................................................................................................7 1.3. Contracção lateral. Coeficiente de Poisson. ....................................................................8 1.4. Dimensionamento por tensões de segurança .................................................................8 1.5. Barras constituídas por dois materiais - Homog eneização .........................................8
Problema 1 ..........................................................................................................................10 Problema 2 ..........................................................................................................................10 Problema 3 ..........................................................................................................................11 Problema 4 ..........................................................................................................................11 Problema 5 ..........................................................................................................................11 Problema 6 ..........................................................................................................................12 Problema 7 ..........................................................................................................................12 Problema 8 ..........................................................................................................................13 Problema 9 ..........................................................................................................................13 Problema 10 .......................................................................................................................14 Problema 11 .......................................................................................................................14 Problema 12 .......................................................................................................................14 Problema 14 .......................................................................................................................15 Problema 15 .......................................................................................................................16 Problema 16 .......................................................................................................................16 Problema 17 .......................................................................................................................17
2. FLEXÃO PLANA ........................................................................................................................................18 Problema 1 ..........................................................................................................................18 Problema 2 ..........................................................................................................................19 Problema 3 ..........................................................................................................................20
3. TORÇÃO......................................................................................................................................................21 Problema 1 ..........................................................................................................................21 Problema 2 ..........................................................................................................................21
4. DEFORMAÇÃO DE VIGAS SUJEITAS A FLEXÃO PLANA ...............................................................22 4.1. Método da integração da elástica .......................................................................................22 4.2. Método da viga conjugada ou dos pesos elástico s .......................................................23
Problema 1 ..........................................................................................................................24 Problema 2 ..........................................................................................................................26 Problema 3 ..........................................................................................................................27 Problema 4 ..........................................................................................................................28 Problema 5 ..........................................................................................................................31 Problema 6 ..........................................................................................................................32 Problema 7 ..........................................................................................................................33
5. TEORIA DA ELASTICIDADE ...................................................................................................................34 Problema 1 ..........................................................................................................................34 Problema 2 ..........................................................................................................................34 Problema 3 ..........................................................................................................................34 Problema 4 ..........................................................................................................................34 Problema 5 ..........................................................................................................................37 Problema 6 ..........................................................................................................................37 Problema 7 ..........................................................................................................................37 Problema 8 ..........................................................................................................................38 Problema 9 ..........................................................................................................................39
6. FLEXÃO DESVIADA ..................................................................................................................................40
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos – Índices
3/64
Problema 1 ..........................................................................................................................40 Problema 2 ..........................................................................................................................41 Problema 3 ..........................................................................................................................43 Problema 4 ..........................................................................................................................43 Problema 5 ..........................................................................................................................43
7. FLEXÃO COMPOSTA ...............................................................................................................................44 7.1. Tensões normais em flexão composta ..............................................................................44 7.2. Equação do eixo neutro ........................................................................................................45
Problema 1 ..........................................................................................................................46 Problema 2 ..........................................................................................................................47 Problema 3 ..........................................................................................................................47 Problema 4 ..........................................................................................................................48 Problema 5 ..........................................................................................................................48
8. NÚCLEO CENTRAL ..................................................................................................................................52 Problema 1 ..........................................................................................................................52 Problema 2 ..........................................................................................................................53 Problema 3 ..........................................................................................................................53 Problema 4 ..........................................................................................................................54
9. ENCURVADURA ........................................................................................................................................58 9.1. Problema de Euler ...................................................................................................................58 9.2. Comprimento de encurvadura .............................................................................................58
8.2.1. Barras isoladas .......................................................................................................58 9.2.2. Barras de estruturas trianguladas planas .......................................................59
9.3. Esbelteza ...................................................................................................................................59 9.4. Curvas de projecto de acordo com R.E.A.E. ....................................................................59 9.5. Verificação da segurança em relação ao estado limite de encurvadura por varejamento ......................................................................................................................................61 9.6. Dimensionamento tendo em conta a encurvadura p or varejamento .........................61
Problema 1 ..........................................................................................................................62 Problema 2 ..........................................................................................................................62 Problema 3 ..........................................................................................................................62 Problema 4 ..........................................................................................................................63 Problema 5 ..........................................................................................................................63 Problema 6 ..........................................................................................................................63 Problema 7 ..........................................................................................................................64 Problema 8 ..........................................................................................................................64
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 0 – Revisões geometria de mass as
4/64
5 cm
5 cm
5 cm
5 cm
15 cm
5 cm
0. Revisões geometria de massas Problema 1 Considere a secção transversal recta representada na Figura 1. Determine as características mecânicas da secção.
Figura 1
Resolução
m..
.)..(.)..(.)..(y
m..
.)..(.)..(.)..(x
m.......A
''G
''G
093750020
05010005002500500501250250050
056250020
125010005007500500500250250050020100050050050250050 2
====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
4
423
23
23
423
23
23
88830460562501250093750050100050
05625007500937500250050050
05625002500937501250250050
8544088056250125010005012
050100
056250075005005012
050050
056250025025005012
050250
8541033809375005010005012
100050
093750025005005012
050050
093750125025005012
250050
mE.)..()..(..
)..()..(..
)..()..(..I
mE.)..(....
)..(....
)..(....
I
mE.)..(....
)..(....
)..(....
I
'y'x
'y
'x
−−−−−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++
++++−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++
++++−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++
++++−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++
++++−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++
++++−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++
++++−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 0 – Revisões geometria de mass as
5/64
G
y'
5.625 cm
15.625 cm
x'
-22.14°
x
y
x''
y''
x'
x
yy'
Ix'
Iy' Ix'y'
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) 4
4
80228492222
807115782222
14229750854408885410338
8883046222
mE.senIcosIIII
I
mE.senIcosIIII
I
º..E.E.
)E.(II
I)(tg
'y'x'y'x'y'x
y
'y'x'y'x'y'x
x
'y'x
'y'x
−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−
−−−−++++
====
−−−−====⋅⋅⋅⋅++++−−−−
++++++++
====
−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−
⋅⋅⋅⋅====
αααααααα
αααααααα
αααααααα
Figura 2
Figura 3
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 0 – Revisões geometria de mass as
6/64
G
y'
x'
30 cm40 cm
y
x
26.86°
30 cm
60 cm 54.20 cm
25.80 cm
-19.78º
x
y
G
y'
x'
11.15 cm
15.58 cm
10.00 cm15.00 cm
10.00 cm
10.00 cm
10.00 cm
10.00 cm
Problema 2 Considere as secções transversais rectas representadas nas Figuras 4 e 5. Determine as características mecânicas das secções.
Figura 4
Figura 5
4
4
2
009380
031020
390
m.I
m.I
m.A
y
x
========
====
4
4
2
4892508
4457663
0650
mE.I
mE.I
m.A
y
x
−−−−====−−−−====
====
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Exercícios propostos 1 – Esforço axial
7/64
L
N
L
∆L
1. ESFORÇO AXIAL 1.1. Noção de tensão e extensão
(((( ))))kNN - Esforço axial;
(((( ))))2mA - Área da secção transversal recta;
(((( ))))mL∆∆∆∆ - Variação de comprimento.
Figura 6
1.2. Lei de Hooke
======== GPa;MPa;kPam
kN;Pam
NE 22 - Módulo de elasticidade ou módulo de Young
AELN
LAN
ELL
AN
E⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅==== ∆∆∆∆∆∆∆∆εεεεσσσσ - Expressão da variação de comprimento de uma barra de
secção constante sujeita a um esforço axial constante.
LtAELN
L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== ∆∆∆∆αααα∆∆∆∆ - Expressão da variação de comprimento de uma barra de secção constante sujeita à
actuação simultânea de um esforço axial constante e de uma variação de temperatura.
Tensão
============ MPa;kPa;Pam
NAN
2σσσσ
Extensão
(((( ))))ensionaldimaLL∆∆∆∆εεεε ====
Lei de Hooke
E⋅⋅⋅⋅==== εεεεσσσσ
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 1 – Esforço axial
8/64
N
2
1L
∆L
1.3. Contracção lateral. Coeficiente de Poisson.
lεεεε - Extensão longitudinal;
tεεεε - Extensão transversal; νννν - Coeficiente de Poisson (adimensional).
lt εεεεννννεεεε ⋅⋅⋅⋅−−−−====
)()(VV
ly,tx,tli
ννννεεεεεεεεεεεεεεεε∆∆∆∆21 −−−−⋅⋅⋅⋅====++++++++====
1.4. Dimensionamento por tensões de segurança Nos elementos sujeitos a esforço axial, sem que haja risco de varejamento no caso de barras comprimidas, a verificação de segurança consiste em satisfazer a condição:
RdSd σσσσσσσσ ≤≤≤≤ No caso de barras rectas sujeitas a esforços axiais simples, o valor de cálculo da tensão actuante é definido pela expressão:
A
NSdSd ====σσσσ
SdN - valor de cálculo do esforço normal actuante, determinado tendo em conta as combinações de acções e os coeficientes de segurança;
A - área da secção transversal da barra; 1.5. Barras constituídas por dois materiais - Homog eneização Considerando que os dois materiais , 1 e 2 , se encontram ligados de forma a ser impossível qualquer movimento relativo entre eles, teremos:
2
1
2
121
22
2
11
1
EE
AA
NNAELN
AELN
L ⋅⋅⋅⋅====⇔⇔⇔⇔⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
====∆∆∆∆
designando
2
1
EE
m ==== - coeficiente de homogeneização em material 2;
Figura 7
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 1 – Esforço axial
9/64
obtém-se
⋅⋅⋅⋅====
====
++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⇔⇔⇔⇔
⋅⋅⋅⋅====
====++++
mAA
NN
NmAA
N
mAA
NN
NNN
2
121
2
12
2
121
21 1 que permite determinar o esforço axial em cada material;
⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅++++
====
2112
2
σσσσσσσσ
σσσσ
m)AmA(
N que permite determinar a tensão normal em cada material.
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Exercícios propostos 1 – Esforço axial
10/64
A
C
B
D
3.00 m
150 kN2.00 m
1.00 m 100 kN
F1=200 kN
A
C
B
D
2.00 m
100 kN
2.00 m
2.00 m
80 kN
F1=250 kN
Problema 1 Considere a barra de aço com secção transversal variável, representada na Figura 8. Determine: a) O diagrama de esforços axiais na barra; b) Os deslocamentos dos pontos B, C e D
considerando: i. só o carregamento representado na
figura. ii. além do carregamento representado
uma variação uniforme de temperatura de -15 ºC.
c) Determine qual a variação de temperatura que aplicada à barra anula o deslocamento do nó D, para as condições da alínea b) i.
d) Determine qual deve ser o valor da força F1 que anula o deslocamento do nó D, para as condições da alínea b) ii.
Figura 8
Dados: Eaço = 200 GPa α= 1.2E -5 ºC-1 AAB = 15 cm2 ABC = 10 cm2 ACD = 5 cm2 Problema 2 Considere a barra de aço com secção transversal variável, representada na Figura 9. Determine: a) O diagrama de esforços axiais na barra; b) Os deslocamentos dos pontos B, C e D
considerando: i. só o carregamento representado na
figura. ii. além do carregamento representado
uma variação uniforme de temperatura de +20 ºC.
c) Determine qual a variação de temperatura que aplicada à barra anula o deslocamento do nó D, para as condições da alínea b) i.
d) Determine qual deve ser o valor da força F1 que anula o deslocamento do nó D, para as condições da alínea b) ii.
Figura 9
Dados: Eaço = 200 GPa α= 1.2E -5 ºC-1 AAC = 15 cm2 ACD = 5 cm2
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 1 – Esforço axial
11/64
0.80
100 kN
A B
C
100 kN
B
3.00 m
2.00 m
1.00 m
C
D
A
150 kN
4.00 m
3.00 m
BC
A
Problema 3 Considere a estrutura representada na Figura 10 constituída por barras circulares de aço Fe 360: a) Dimensione a barra AC; b) Determine a posição final do nó C. Dados: Eaço = 206 GPa σrd= 235 MPa
Figura 10
Problema 4 Considere a estrutura representada na Figura 11 em que se considera a barra BCD infinitamente rígida. O tirante AC é realizado por uma barra cuja secção transversal tem a área de 5 cm2. Determine a posição final do nó D, supondo a estrutura solicitada pela força indicada e considerando a actuação simultânea de uma variação uniforme de temperatura na barra AC de 35 ºC. Dados: Eaço = 206 GPa α= 1.2E -5 ºC-1
Figura 11
Problema 5 Considere a estrutura representada na Figura 12. a) Dimensione as barras AB e BC, admitindo que
não existem problemas de instabilidade na barra comprimida;
b) Determine os deslocamentos do nó B. Dados: Barra AB (cobre): Ecobre = 115 GPa σrd= 120 MPa Barra BC (aço): Eaço = 206 GPa σrd= 235 MPa
Figura 12
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 1 – Esforço axial
12/64
150 kNA B
C
4.00 m4.00 m
D
3.00 m
E
4.00 m
A
150 kN
B
4.00 m
C
3.00 m
400 kN
Problema 6 Considere a estrutura representada na Figura 13. Admitindo que as barras ABC e DE são infinitamente rígidas calcule: a) o deslocamento do nó C; b) as variações da área da secção transversal e do volume da barra AD.
Figura 13
Dados: Barra AD: EAD = 200 GPa AAD = 5x3 cm2 ν = 0.3 Barra BD: EBD = 100 GPa ABD = 20 cm2 Problema 7 Considere a estrutura representada na Figura 14. a) Dimensione as barras AB e BC para o estado limite último de resistência ( considere γS = 1.5) admitindo
que não existem problemas de instabilidade na barra comprimida; b) Determine os deslocamentos do nó B. Dados: Barra AB (cobre): Ecobre = 115 GPa σrd= 120 MPa Barra BC (aço): Eaço = 206 GPa σrd= 235 MPa
Figura 14
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 1 – Esforço axial
13/64
200 kN
A
4.00 m2.00 m
d (m)
B C
3.00 m
O
E
2.50 m
2.00 m
3.00 m
A
B
15 kND
C
4.00 m
1.50 mF
Problema 8 Considere a estrutura representada na Figura 15. Admitindo que a barra OBC é infinitamente rígida calcule: a) a posição da carga rolante ( d) que provoca um
deslocamento de 1,2 cm no nó C; b) as variações da área da secção transversal e
do volume da barra AB para a posição da carga determinada na alínea anterior.
Dados: EAB = 200 GPa AAB = 5x3 cm2 ν = 0.3
Figura 15
Problema 9 Considere a estrutura representada na Figura 16. Admitindo que a barra ABCD é infinitamente rígida calcule o deslocamento do nó D. Dados: Barra FC (cobre): Ecobre = 120 GPa AFC = 8 cm2 Barra EB (aço): Eaço = 200 GPa AEB = 5 cm2
Figura 16
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 1 – Esforço axial
14/64
a (m)
A
10 kN
L (m)
a/2 (m)
C
DB
E
20 kN
3.00 m
C
DFB
A
3.00 m3.00 m
A
2.00 m
90 kN
3.00 m 4.00 m
DB C
180 kN
Problema 10 Considere a viga rígida estrutura representada na Figura 17, suspensa por um cabo de aço e outro de cobre. Determine em que condições a viga ficará na posição horizontal. Dados: Barra AB (aço): Eaço = 210 GPa Barra CD (cobre): Ecobre = 115 GPa
Figura 17
Problema 11 Considere a viga rígida estrutura representada na Figura 18, suspensa por três cabos, sendo um de aço (EF) e os outros de cobre. Considerando que todos os cabos apresentam uma secção com 0,60 cm2 e que a viga se mantém na posição horizontal, determine: a) os esforços nos cabos; b) as tensões que se instalam nos cabos
considerando a actuação simultânea de uma variação uniforme de temperatura de +5 ºC.
Dados: Barra EF (aço): Eaço = 206 GPa αaço= 1.2E -5 ºC-1 Barras AB e CD (cobre): Ecobre = 115 GPa αcobre= 1.6E -5 ºC-1
Figura 18
Problema 12 Considere a estrutura representada na Figura 19 e sabendo que a secção transversal da barra ABCD apresenta uma área de 3,5 cm2. determine: a) as reacções nos apoios A e B; b) a tensão instalada no tramo BC.
Figura 19
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 1 – Esforço axial
15/64
50 kN
A
B
30 kNC
D
2.00 m
0.80 m
1.20 m
A
B
100 kN
3.50 m2
1
Problema 13 Considere a estrutura representada na Figura 20. Para a solicitação indicada determine os deslocamentos do nó C. Dados: Barras AB e CD (aço): Eaço = 206 GPa Aaço= 5 cm2 Barra BC (cobre): Ecobre = 115 GPa Acobre= 8 cm2
Figura 20
Problema 14 Considere a estrutura representada na Figura 21 constituída por uma barra composta por dois materiais ligados de forma a ser impossível qualquer movimento relativo entre eles. Para a solicitação indicada determine: a) as tensões instaladas em cada material; b) o deslocamento do nó B. Dados: E1 = 70 GPa A1= 9 cm2 E2 =210 GPa A2= 2 cm2
Figura 21
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 1 – Esforço axial
16/64
2.00 m
3.00 m200 kN
E
2.00 m 1.50 m
3.00 m
A B
C
D
F 50 kN/m
100 kN.m
4Ø12
20 cm
20 cm
B
40 kN/m5.00 m
C
EDA
3.00 m
4.00 m 5.00 m
aço
betão
90 cm
100 cm
Problema 15 Na estrutura representada na Figura 22 a barra ADE supõe-se infinitamente rígida. Além do carregamento indicado considere que a barra BD está sujeita a uma variação de temperatura de +50 ºC. Considere que a escora EC é constituída por um tubo de aço com 100 cm de diâmetro exterior e 5 cm de espessura, preenchido integralmente por betão. Determine: a) as reacções de apoio; b) as tensões instaladas nos materiais que compõem a barra EC; c) verifique a segurança do tirante BD ( considere γS = 1.5). Barra BD (aço): Φ= 20 mm Eaço = 200 GPa αaço= 10E -5 ºC-1 fyd= 200 MPa Barra EF (aço/betão): Eaço = 200 GPa Ebetão = 20 GPa
Figura 22
Problema 16 Na estrutura representada na Figura 23 a barra ACDF supõe-se infinitamente rígida. Além do carregamento indicado considere que a barra EF está sujeita a uma variação de temperatura de +15 ºC. Considere que a escora DB é constituída em betão armado. Determine: a) as reacções de apoio; b) as tensões instaladas nos materiais que
compõem a barra EF; Barra EF (aço): Φ= 20 mm Eaço = 200 GPa αaço= 10E -5 ºC-1 Barra DB (aço/betão): Eaço = 200 GPa Ebetão = 20 GPa
Figura 23
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 1 – Esforço axial
17/64
D
3.00 m
4.00 m
E
B
C
6Ø16
25 cm
3.00 m
A
1.50 m
2.00 m
200 kN/m
Problema 17 Na estrutura representada na Figura 24 a barra ABC supõe-se infinitamente rígida. Considere que a escora AD é constituída em betão armado. Determine: a) as reacções de apoio; b) o deslocamento vertical do nó B; c) as tensões instaladas nos materiais que compõem a barra AD; Barra EB (aço): Φ= 32 mm Eaço = 200 GPa Barra AD (aço/betão): Eaço = 200 GPa Ebetão = 30 GPa
Figura 24
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 2 – Flexão Plana
18/64
1.40 m4.20 m
15 kN.m
30 kN/m 8 kN
A B
C
74 mm
160 mm
12 mm
6 mm
12 mm
160 mm
6 mm
74 mm
12 mm
12 mm
2. FLEXÃO PLANA Problema 1 Considere a viga da Figura 25, sujeita ao carregamento aí indicado. Desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. Considerando que a viga será realizada com uma peça cuja secção transversal é a indicada na Figura 26 responda às seguintes questões. a) Determine a tensão normal máxima que se instala na viga; b) Sabendo que o material que constitui o perfil é o aço Fe360 (σRd = 235 MPa), e que o factor de segurança
a empregar nas verificações de segurança é 1.5 (γ = 1.5), comente o resultado da alínea anterior; c) Caso a secção não seja capaz de suportar os esforços de flexão instalados, calcule o reforço da alma do
perfil para que tal deixe de acontecer, e indique no alçado da viga em que áreas o colocaria. d) Proceda de forma idêntica à alínea anterior, mas agora supondo que o reforço é realizado por adição de
chapas nos banzos do perfil; e) Supondo ainda que o perfil não possui suficiente capacidade resistente à flexão para as solicitações
aplicadas, e admitindo a possibilidade de se poder incrementar a altura da alma do perfil, determine qual o valor mínimo que seria necessário para verificar a segurança;
f) Verifique a segurança em relações às tensões tangenciais de corte admitindo uma tensão tangencial resistente de τRd = 135 MPa;
g) Suponha que o carregamento indicado se encontra subavaliado em 100%, ou seja a viga irá estar na realidade solicitada com o dobro da carga. Indique que tipo de reforço seria mais eficaz, dimensione-o e localize no alçado as áreas onde deverá ser aplicado.
h) Considerando que a viga será realizada com uma peça cuja secção transversal é a indicada na Figura 27 determine as tensão normal máxima e a tensão tangencial máxima que se instala na viga.
Figura 25
Figura 26 Figura 27
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 2 – Flexão Plana
19/64
BA CD
100 kN/m
50 kN
2.0 m 3.0 m1.0 m
E F
6.00 m
Problema 2 Considere a estrutura da Figura 28, sujeita ao carregamento aí indicado. Admitindo que a barra ABCD é infinitamente rígida: a) Desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores, supondo os elementos EB e FC
com igual secção e constituídos pelo mesmo material; b) Dimensione as barras EB e FC, adoptando como material o aço Fe360 (σRd = 235 MPa) e para factor de
segurança o valor 1.5 (γ = 1.5). Considere como secção: i. cantoneira de abas iguais; ii. perfil UNP; iii. varão;
c) Determine o alongamento da barra FC, considerando para módulo de Young do material E = 200GPa, e uma secção constituída por:
i. uma cantoneira de abas iguais; ii. um perfil UNP; iii. um varão;
d) Dimensione a viga ABCD , tendo como base a verificação da segurança à flexão, e admitindo os seguintes perfis:
i. IPE; ii. IPN; iii. HEB;
Discuta qual das soluções é a mais económica; e) Para cada um dos perfis obtidos na alínea anterior, determine qual a tensão tangencial de corte máxima
que se instalaria. Verifique a segurança ao corte para cada um dos casos (τRd = 135 MPa); f) Por razões de novas condições de utilização, suponha que o carregamento da viga é incrementado em
50%. Indique, separadamente, quais os reforços a adoptar para respeitar a segurança ao corte e flexão, e localize sobre o alçado as áreas a intervencionar.
Figura 28
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 2 – Flexão Plana
20/64
10 cm 10 cm 10 cm
6 cm
18 cm
10 cm
2.80 m 2.80 m 2.00 m2.00 m
20 kN 50 kN 20 kN
A B C D E
Problema 3 Considere a viga da Figura 29, sujeita ao carregamento aí indicado. Desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. Considere que a viga será realizada com uma peça cuja secção transversal é a indicada na Figura 30 e que o seu material constituinte apresenta os seguintes valores resistentes de cálculo para as tensões normais de compressão e de tracção: σRd,+ = 15 MPa e σRd,- = 30 MPa. a) Verifique a segurança da viga sobre os apoios. Considere que o factor de segurança a empregar nas
verificações de segurança é 1.5 (γ = 1.5); b) Verifique a segurança da viga a meio vão; c) Determine qual deve ser o valor resistente de cálculo para tensões tangenciais do material de forma a ser
garantida a verificação da segurança.
Figura 29
Figura 30
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 3 – Torção
21/64
40 kN.m
50 kN.m100 kN.m
A B C D
50 mm
3.00 m 2.00 m2.00 m
esp. 5 mm100 mm
3. TORÇÃO Problema 1 Dada a estrutura representada na Figura 31, solicitada por uma força vertical de 100 kN, determine: a) O diagrama de tensões tangenciais na secção A
produzido pelos momentos torsores considerando uma secção transversal recta rectangular de 30 x 40 cm²;
b) O diagrama de tensões tangenciais na secção A produzido pelos momentos torsores considerando uma secção transversal recta circular cheia com 30 cm de diâmetro;
c) O diagrama de tensões tangenciais na secção A produzido pelos momentos torsores considerando uma secção transversal recta circular oca com 30 cm de diâmetro exterior e 5 cm de espessura;
Figura 31
Dados: G (módulo de elasticidade transversal) = 80 GPa Problema 2 Considere a barra de secção variável ( AB secção cheia e BCD secção tubular representada na Figura 32. A barra encontra-se encastrada numa das extremidades e sujeita aos momentos torsores indicados. a) Determine a rotação na secção A; b) Determine a rotação na secção A admitindo que a barra AB apresenta secção rectangular de 30 x 60
mm²; c) Pretendendo-se reduzir a metade a rotação na secção A à custa da substituição da barra AB por um tubo
com o mesmo diâmetro exterior do tubo BCD, calcule qual deve ser a sua espessura.
Figura 32
Dados: G (módulo de elasticidade transversal) = 80 GPa
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana
22/64
4. DEFORMAÇÃO DE VIGAS SUJEITAS A FLEXÃO PLANA 4.1. Método da integração da elástica
Uma barra prismática submetida a flexão pura assume como deformada um arco de circunferência. Em regime elástico, a curvatura da superfície neutra pode ser expressa por Sendo M o momento flector, E o módulo de elasticidade do material que compõem a peça e I o momento de inércia da secção transversal relativamente ao eixo neutro. Sabendo que a curvatura de uma curva plana num ponto de coordenadas (x,y) é dada por
e considerando que 1)'y(1 2 ≅+ podemos escrever que sendo esta equação designada por equação diferencial da elástica e o produto EI designado por rigidez à flexão da barra. Integrando resulta
sendo que radztgdzdyy )(' θθ ≅== .
EI
M z)(1 −−−−====ρρρρ
23
))'(1(
''12y
y
++++====
ρρρρ
EI
Myy
z )(''''
1 −−−−====⇔⇔⇔⇔====ρρρρ
∫∫∫∫ ++++−−−−====z
zCdz
EI
My
01
)('
210 0
)(CzCdz
EI
My
z zz ++++++++−−−−==== ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana
23/64
+
M (kN.m)
+
Mk
+T (kN)
-
z
Viga Real
p (kN/m)
+
+Tk
z
-
Viga Conjugada
+
pk
Viga Real Viga Conjugada
4.2. Método da viga conjugada ou dos pesos elástico s
Figura 33
Condições fronteira
Figura 34
K(z)(z)
K(z)
'(z)
(z)K(z) MyTy
EI
Mp ============
0
0
====≠≠≠≠
y
θθθθ
0
0
========
y
θθθθ
0
0
≠≠≠≠≠≠≠≠
y
θθθθ
0========
yde θθθθθθθθ
0≠≠≠≠≠≠≠≠
yde θθθθθθθθ
0
0
====≠≠≠≠
K
K
M
T
0
0
========
K
K
M
T
0
0
≠≠≠≠≠≠≠≠
K
K
M
T
0========
K
Ke
Ke
M
TT
0≠≠≠≠≠≠≠≠
K
Ke
Ke
M
TT
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana
24/64
5.00 m
C
100 kN
A
2.00 m3.00 m
D
B
5.00 m 2.00 m
D
z1
A
M (kN.m)
- -
z2
B C
200 kN.m
Problema 1 Dada a estrutura representada na Figura 35, solicitada por uma força vertical de 100 kN, determine pela integração da equação diferencial da elástica: i) Os deslocamentos angular e linear da secção C. ii) O deslocamento linear máximo no troço AB.
Figura 35
Dados: E (módulo de elasticidade) = 30 GPa Secção 30x60 cm2 Resolução i)
Figura 36
42322
32211
31
3222
'1
21
'2
''1
''2)(1)(
1003/503/20
2005020
20010040
1002004021
CzCzzyEICzCzyEI
CzzyEICzyEI
zyEIzyEI
zMzM
BCTramoABTramo
BCAB
BCAB
BCAB
zz
++++++++++++−−−−====++++++++====++++++++−−−−====++++====
++++−−−−========
++++−−−−====−−−−====
0
3/1000
0
3/500
)5()5(
0)0(
0)5(
0)0(
4
3
2
1
1'
1'
2
1
1
============
−−−−====
⇒⇒⇒⇒
====================================
C
C
C
C
zyEIzyEI
zyEI
zyEI
zyEI
fronteiraCondições
ABAB
BC
AB
AB
mmmEI
y
radEI
c
c
76,51076,51
)23
100021002
350
(
1029,31
)3
10002200250(
323
32
====××××====××××××××++++××××++++××××−−−−====
××××====××××++++××××++++××××−−−−====
−−−−
−−−−θθθθ
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana
25/64
ii)
[[[[ ]]]][[[[ ]]]]
mmyzyEI
mzz
zEI
yBAy
AB
máxmáx
98,175,3203
53
500
3
53
20)
3
5(
)887,2(3
50
3500
200
3500
20.
0;
3
21
21
−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−
××××========
====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒====
−−−−====
====⇒⇒⇒⇒
θθθθ
θθθθ
θθθθ
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana
26/64
5.0 m
50 kN/m
A
2.0 m
B C
156.25 kN.m
5.0 m 2.0 m
M (kN.m)
A
z2
+B
+z1
C
Problema 2 Dada a estrutura representada na Figura 37, parcialmente solicitada por uma carga distribuída de 50 kN/m, determine pela integração da equação diferencial da elástica os deslocamentos angular e linear da secção C. Esboce a deformada da estrutura.
Figura 37
Dados: EI = 162 MNm2 Resolução
Figura 38
42321131
41
3'
121
31
'
''1
21
''2
2111
6/12512/25
2/1253/25
012525
0)(25125)(
CzCyEICzCzzyEI
CyEICzzyEI
yEIzzyEI
zMzzzM
BCTramoABTramo
BCAB
BCAB
BCAB
++++====++++++++−−−−========++++−−−−========−−−−========−−−−====
0
12/3125
0
12/3125
)0()5(
0)0(
0)5(
0)0(
4
3
2
1
2'
1'
2
1
1
====−−−−====
========
⇒⇒⇒⇒
====================================
C
C
C
C
zyEIzyEI
zyEI
zyEI
zyEI
fronteiraCondições
BCAB
BC
AB
AB
mEy
radE
C
C
3215.3
3608.1
−−−−−−−−====−−−−−−−−====θθθθ
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana
27/64
2.00 m
B C
10 kN/m
A
4.00 m
4.00 m2.00 m
M (kN.m)60 kN.m
A
z1
- B+
20 kN.mz2
C
Problema 3 Dada a estrutura representada na Figura 39, solicitada por uma carga distribuída de 10 kN/m, determine pela integração da equação diferencial da elástica os deslocamentos angular e linear da secção B. Esboce a deformada da estrutura.
Figura 39
Dados: EI = 162 MNm2 Resolução
Figura 40
42
32234
41
31
21112
32
223
31
2111
222
211
2222
2111
125
310
125
320
30
35
1035
2060
52054060
52054060
zzzCCyEIzzzzCCyEI
zzCyEIzzzCyEI
zzyEIzzyEI
zz)z(Mzz)z(M
BCTramoABTramo
BCAB
'BC
'AB
''BC
''AB
++++−−−−++++====++++−−−−++++++++====
++++−−−−====++++−−−−++++====
++++−−−−====++++−−−−====−−−−====−−−−++++−−−−====
3220
325
0
0
02
04
00
00
4
3
2
1
21
2
1
1
/C
/C
C
C
)z(yEI)z(yEI
)z(yEI
)z(yEI
)z(yEI
fronteiraCondições
BCAB
BC
AB
'AB
================
⇒⇒⇒⇒
====================================
mE.y
radE.
radE.
B
BCB
ABB
4534
451430
4293
−−−−====−−−−====
−−−−====θθθθ
θθθθ
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana
28/64
A B C
200 kN.m/EI
BA
2.89 m
-
+
C
2.89 m
A
-
+B C
Problema 4 Resolva os problemas 1, 2 e 3 aplicando o conceito de viga conjugada. Resolução 4.1-
Figura 41
Figura 42
Figura 43
EIR K
A 3500====
EIM K
C 32800
====
EIR K
C 31600====
EI31600
EI3500
EI31000
EI32800
EI75.320
yMK ====
θθθθ====KT
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana
29/64
A CB
156.25 kN.m/EI
A
2.50 m
-B-+
C
A + +B
-C
4.2-
Figura 44
Figura 45
Figura 46
EIR K
A 123125====
EIR K
C 123125====
EIM K
C 63125====
EI123125
EI123125
EI63125
EI19278125
yMK ====
θθθθ====KT
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana
30/64
5 kN.m/EIA
60 kN.m/EI
B
20 kN.m/EI
C
1.00 m
+-A
BC
+ +
1.00 m
A
B
C
4.3-
Figura 47
Figura 48
Figura 49
EIR K
C45====
EIR K
B45====
EI3160
EI325
EI45
EI3220
EI4315
θθθθ====KT
yMK ====
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana
31/64
CBA
1.00 m
D
E50 kN.m
50 kN/m
4.00 m2.00 m 2.00 m
CBA D
E
50 kN.m
- -
+
100 kN.m4.00 m2.00 m
1.00 m
2.00 m
M (kN.m)
Problema 5 Dada a estrutura representada na Figura 50, determine:
i. Os deslocamentos angular e linear da secção E; ii. O valor da força horizontal a aplicar na secção E para que o deslocamento linear da secção A seja
nulo.
Figura 50
Dados: EI = 162 MNm2 Resolução i)
Figura 51
−−−−====
××××××××××××××××−−−−××××××××××××−−−−====−−−−==== ∫∫∫∫ 38001
432
45021
24100321
2)(
EIEIzdz
EI
Mt
C
B
zCB
====⇒⇒⇒⇒
−−−−××××++++====⇔⇔⇔⇔++++++++====3
20013
8001400
EIEItLyy BBCBBCBBC θθθθθθθθθθθθ
EIEIEIdz
EI
MCC
C
B
zBC
100450
21
4100321
32001)( −−−−====⇒⇒⇒⇒
××××××××−−−−××××××××−−−−====
−−−−⇔⇔⇔⇔−−−−====−−−− ∫∫∫∫ θθθθθθθθθθθθθθθθ
EIEIdz
EI
MDD
D
C
zCD
1000
100)( −−−−====⇒⇒⇒⇒====
−−−−−−−−⇔⇔⇔⇔−−−−====−−−− ∫∫∫∫ θθθθθθθθθθθθθθθθ
EIEIdz
EI
MEE
E
D
zDE
1000
100)( −−−−====⇒⇒⇒⇒====
−−−−−−−−⇔⇔⇔⇔−−−−====−−−− ∫∫∫∫ θθθθθθθθθθθθθθθθ
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana
32/64
100 kN
A B
G
DC
E
H
F
3.00 m2.00 m1.00 m 1.00 m
1.00 m
1.00 m
1.00 m
02)( ====−−−−==== ∫∫∫∫ zdz
EI
Mt
D
C
zDC
EIEIytLyy CD
DDCCDCCCDD
20002
1000
−−−−====++++××××−−−−++++====⇔⇔⇔⇔++++++++==== θθθθ
02)( ====−−−−==== ∫∫∫∫ zdz
EI
Mt
E
D
zED
0====DEDy
EIEIytLyy DE
EEDDEDDED
DEE
10001
1000
−−−−====++++××××−−−−++++====⇔⇔⇔⇔++++++++==== θθθθ
Problema 6 Dada a estrutura representada na Figura 52, solicitada por uma carga concentrada de 100 kN na secção H, determine: i) Os deslocamentos angular e linear da secção H; ii) Os deslocamentos angular e linear da secção F; iii) O valor da força vertical a aplicar na secção E para que o deslocamento linear da secção B seja nulo. iv) O valor do momento a aplicar a meio da barra BC para que o deslocamento linear da secção F seja
nulo.
Figura 52
Dados: EI = 162 MNm2
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 4 – Deformação de vigas sujeit as a flexão plana
33/64
4.00 m4.00 m
BA D
1.00 m
C
1.00 m4.00 m
E F
10 kN/m
Problema 7 Dada a estrutura representada na Figura 53, solicitada somente pela carga uniformemente distribuída, determine:
i) A configuração da deformada; ii) Os deslocamentos angulares e o deslocamento linear da secção C; iii) O valor e sentido da força vertical a aplicar na secção a meio do tramo AB para que, com a
solicitação indicada na figura, o deslocamento linear da secção C seja nulo.
Figura 53
Dados: EI = 500 MNm2
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Exercícios propostos 5 – Teoria da Elasticidade
34/64
5. TEORIA DA ELASTICIDADE Problema 1 Sendo o estado de tensão num ponto definido pelo tensor das tensões T, determine: a) A tensão resultante numa faceta cuja normal
está orientada segundo o eixo dos xx. b) A tensão normal a essa faceta. Problema 2 Sendo o estado de tensão num ponto definido pelo tensor das tensões T, determine pelo método analítico as tensões principais e as direcções principais de tensão. Problema 3 Sendo o estado de tensão num ponto definido pelo tensor das tensões T, determine pelo método gráfico e pelo método analítico: a) As tensões principais e as respectivas
orientações; b) A tensão máxima de corte. Problema 4 Para o estado plano de tensões indicado na Figura 54 determine: a) Os planos principais e as respectivas tensões
principais; b) A tensão máxima de corte e respectiva tensão
normal.
Figura 54
Resolução
MPa
MPa
MPa
yz
z
y
40
50
10
−−−−========
−−−−====
ττττσσσσσσσσ
d)
º.x
tg Pzy
yzP 5726
50104022
2 ====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−
−−−−====−−−−
==== θθθθσσσσσσσσ
ττττθθθθ
23014534014532
50102
5010
2222
σσσσ
θθθθττττθθθθσσσσσσσσσσσσσσσσ
σσσσ θθθθ
====−−−−====−−−−−−−−−−−−++++
++++−−−−====
====++++−−−−
++++++++
====
MPa).(sen).cos(
)(sen)cos( yzzyzy
)(
121
223
131
====T
520
262
027
−−−−−−−−====T
11
12====T
10 MPa
50 MPa
40 MPa
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 5 – Teoria da Elasticidade
35/64
26.56°
2=-30 MPa
1= 70 MPa
-18.43
z= 20 MPa
y= 20 MPa yz= -50 MPa
)!(0)14.53cos(40)14.53(2
5010
)2cos()2(2)(
OKMPasen
sen yzzy
====−−−−−−−−−−−−−−−−====
====++++−−−−
−−−−==== θθθθττττθθθθσσσσσσσσ
ττττ θθθθ
Mpazy 70121 ====⇒⇒⇒⇒++++====++++ σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ
)894.0;447.0()cos;()447.0;894.0();(cos 12 −−−−====−−−−============ PPPP sennsenn θθθθθθθθθθθθθθθθ
rr
Figura 55
e)
MPa
MPatg
C
CC
yz
zyC 50
20º43.18
40*25010
22
)(
)(
−−−−========
⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−−−−−−−−−====
−−−−−−−−====
====
====
θθθθθθθθ
θθθθθθθθττττσσσσ
θθθθττττ
σσσσσσσσθθθθ
Figura 56
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 5 – Teoria da Elasticidade
36/64
B
A
20
PIF
50-10
40
-40
n2
n1
PIN-50
-50
θC
2θP
θP
(MPa)
σ(MPa)σ1
σ2
Resolução gráfica – círculo de Mohr
Figura 57
MPazy
médio 202
====++++
====σσσσσσσσ
σσσσ
MPaR yzzy
502
22
====++++
−−−−==== ττττ
σσσσσσσσ
MPaRmédio 701 ====++++==== σσσσσσσσ MPaRmédio 302 −−−−====−−−−==== σσσσσσσσ
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 5 – Teoria da Elasticidade
37/64
8 kN
7 kN
9 kN
1.60
2.80
y
z
x
2.00
100 MPa 2.00 cm
20 MPa
30.00°
30 MPa
2.00 cm
Problema 5 Uma barra de aço de secção transversal recta 2.0x5.0 cm² está submetida a um esforço axial de tracção de 100 kN. a) Trace o círculo de Mohr representativo do estado de tensão; b) Determine os planos principais e as respectivas tensões principais; c) Determine a tensão tangencial máxima e os planos onde ocorrem; d) Determine as facetas em que σ e τ são numericamente iguais. Problema 6 Para o estado plano de tensões indicado na figura Figura 58 determine a deformação de um quadrado de 2.0x2.0 cm², orientado de acordo com a Figura 59.
Figura 58 Figura 59 Dados: E = 200 GPa ν=0.3 Problema 7 As arestas de um paralelepípedo recto rectangular medem 2.0x1.6x2.8 cm³. As suas faces estão submetidas às forças indicadas na Figura 60. Determine a variação de volume e as dimensões finais do paralelepípedo. Dados: E = 200 GPa ν=0.3
Figura 60
Resolução
MPa.E.x.
.
MPa.E.x..
MPa.E.x.
.
z
y
x
501248202
07
002540261
08
092048261
09
====−−−−
====
−−−−====−−−−
−−−−====
−−−−====−−−−
−−−−====
σσσσ
σσσσ
σσσσ
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 5 – Teoria da Elasticidade
38/64
3130140
3113620
308170
−−−−====−−−−−−−−====
−−−−−−−−====−−−−−−−−====
−−−−−−−−====−−−−−−−−====
E.EEE
E.EEE
E.EEE
yxzz
zxyy
zyxx
σσσσνννν
σσσσννννσσσσεεεε
σσσσννννσσσσνννν
σσσσεεεε
σσσσννννσσσσ
ννννσσσσεεεε
mE.)(LL
mE.)(LL
mE.)(LL
zi,zf,z
yi,yf,y
xi,xf,x
260020811
279968221
299836611
−−−−====++++====
−−−−====++++====
−−−−====++++====
εεεεεεεεεεεε
3065180
6959481111
6968
3
3
−−−−−−−−====++++++++====
−−−−====++++++++++++≅≅≅≅++++++++++++====
−−−−========
E.)(VV
mE.)(V)(Lx)(Lx)(LV
mE.LxLxLV
zyxi
zyxizi,zyi,yxi,xf
i,zi,yi,xi
εεεεεεεεεεεε∆∆∆∆εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε
Problema 8 Num arame de aço com 5 m de comprimento e 5 mm de diâmetro, sujeito a um esforço axial de tracção, mediu-se: Determine o coeficiente de Poisson do aço. Resolução
xxyxz
z
xxzxy
y
xzyxx
EEEE
EEEE
EEEE
εεεεννννσσσσνννν
σσσσνννν
σσσσννννσσσσεεεε
εεεεννννσσσσνννν
σσσσννννσσσσνννν
σσσσεεεε
σσσσσσσσννννσσσσ
ννννσσσσεεεε
⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====−−−−−−−−====
⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====−−−−−−−−====
====−−−−−−−−====
3070215829
9282
565
330
582900255
3
32
.)(mE.
E.)(
VV
EE.
mE.)(.V
xzyxi
x
i
====⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−
−−−−⇔⇔⇔⇔++++++++====
−−−−====−−−−====
−−−−========
ννννννννεεεεεεεεεεεεεεεε∆∆∆∆
εεεε
ππππ
mm.l 30++++====∆∆∆∆3282 mm.V ++++====∆∆∆∆
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 5 – Teoria da Elasticidade
39/64
10 kN/m
4.0 m
A
1.0 m0.3 m
0.6 m
0.1m
B
0.1m
Problema 9 Para a viga representada na Figura 61 determine como evoluem as direcções principais e as respectivas tensões nos pontos A e B, indicados na secção transversal, ao longo do seu desenvolvimento.
Figura 61
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 6 – Flexão Desviada
40/64
100 mm
y
50 mm10 mm
10 mm
30.00°
G x
M
10 mm
60.00 mmy
18.64 mm
My
G Mxx
G x
y
A
B
e.n.
6. FLEXÃO DESVIADA Problema 1 Considere a secção em U representada na Figura 62 sob a acção de um momento flector de 5 kNm, com a direcção e sentido indicados. Para essa solicitação determine as tensões normais máximas instaladas na secção.
Figura 62
Resolução
Figura 63
xE.
.y
E..
xI
My
IM
kNm.M
kNm.M
y
y
x
x
y
x
6709240502
6473334334
502
334
−−−−−−−−++++
−−−−−−−−====++++====⇒⇒⇒⇒
−−−−====−−−−====
σσσσ
x.yneutroeixoEquação 64230 −−−−====⇔⇔⇔⇔====→→→→ σσσσ
Figura 64
(((( ))))(((( ))))
−−−−====⇒⇒⇒⇒
====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−kPa.;.B
kPa.;.A
B
A
20388206004136
12376806001864
σσσσσσσσ
4
4
2
6709240
6473334
00220
mE.I
mE.I
m.A
y
x
−−−−====−−−−====
====
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 6 – Flexão Desviada
41/64
y'
G
5 cm
5 cm
5 cm
5 cm
15 cm
5 cm
M
T
x'
G
y'
5.625 cm
15.625 cm
x'
-22.14°
x
y
Mx
My
y
B
G
A
x
e.n.
Problema 2 Considere a secção representada na Figura 65 sob a acção de um momento flector de 160 kNm, com a direcção e sentido indicados. a) Para essa solicitação determine as tensões
normais máximas instaladas na secção. b) Determine qual deve ser a orientação do plano
de solicitação para que o eixo neutro passe no vértice T.
Figura 65
Resolução a)
Figura 66
xE.
.y
E..
xI
My
IM
kNm.M
kNm.M
y
y
x
x
y
x
80228493060
80711578203148
3060
203148
−−−−++++
−−−−====++++====⇒⇒⇒⇒
========
σσσσ
x.yneutroeixoEquação 653510 −−−−====⇔⇔⇔⇔====→→→→ σσσσ
Figura 67
4
4
4
4
4
2
8022849
80711578
1422
8883046
8544088
85410338
020
mE.I
mE.I
º.
mE.I
mE.I
mE.I
m.A
y
x
'y'x
'y
'x
−−−−====−−−−====
−−−−====−−−−−−−−====
−−−−====−−−−====
====
αααα
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 6 – Flexão Desviada
42/64
y
x
e.n.
e.s.
x'
y'
x'
x
y
T
e.n.e.s.
y'
MPa.m.cosysenxy
m.senycosxx
m.y
m.xA'
A'AA
'A
'AA
'A
'A 9303
14710
05310
156250
006250 ====⇒⇒⇒⇒
====++++========−−−−====
⇒⇒⇒⇒
====−−−−==== σσσσ
αααααααααααααααα
MPa.m.cosysenxy
m.senycosxx
m.y
m.xB'
B'BB
'B
'BB
'B
'B 8265
06560
08740
093750
056250 −−−−====⇒⇒⇒⇒
−−−−====++++====−−−−====−−−−====
⇒⇒⇒⇒
−−−−====−−−−==== σσσσ
αααααααααααααααα
Resolução alternativa a)
Figura 68
b)
Figura 69
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 6 – Flexão Desviada
43/64
30 cm
60 cm
30 cm
40 cm
p kN/m
6.00 m 2.00 m2.00 m
20 cm20 cm 40 cm
30 cm
10 cm
60 cm
20 cmP
10 cm
10 cm
30 cm
30 cm
y'
M G x'
Problema 3 Considere a secção em L representada na Figura 70 sob a acção de um momento flector de 7.50 kNm, com a direcção e sentido indicados. Para essa solicitação determine as tensões normais máximas instaladas na secção.
Figura 70
Problema 4 A estrutura representada na Figura 71 será realizada por uma peça cuja secção transversal apresenta a geometria indicada. a) Determine o valor máximo que a carga p pode
assumir garantindo a estabilidade da estrutura, sabendo que o seu material constitutivo apresenta as seguintes tensões resistentes a esforços normais:
kPard 150====−−−−σσσσ kPard 100====++++σσσσ
b) Para o valor da carga p definido na alínea a)
determine a tensão tangencial máxima.
Figura 71
Problema 5 Admita que a secção transversal recta de uma viga solicitada à flexão apresenta a geometria indicada na Figura 72. Sendo o carregamento vertical e baricêntrico, e valendo o momento flector actuante 200 kNm, e o esforço transverso 50 kN, ambos positivos, determine no ponto P as tensões principais e as respectivas direcções.
Figura 72
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 7 – Flexão Composta
44/64
G
My+
y+
x+Mx+
+
+
-
P
y0
x0
-
x e y : eixos principais centrais de inércia (e.p.c.i.)
P : Centro de pressão
Mx+ : Produz tracções do lado dos y+
My+ : Produz tracções do lado dos x+
7. FLEXÃO COMPOSTA Uma secção transversal recta (S.T.R.) de uma barra diz-se submetida à flexão composta quando nela actuarem simultaneamente esforços axiais e momentos flectores. Se o momento flector tiver a direcção de um dos eixos principais centrais de inércia, a secção encontra-se submetida a flexão composta plana. Se o momento flector tiver direcção diferente da dos eixos principais centrais de inércia, a secção encontra-se submetida a flexão composta desviada. 7.1. Tensões normais em flexão composta As tensões normais instaladas numa S.T.R. sujeita a flexão composta desviada são obtidas pela equação [1].
[1]
Figura 73
[2]
}}}} desviadacompostaFlexãoM,M,N
planacompostaFlexãoM,N
M,N
yx
y
x
xI
My
IM
AN
y
y
x
x ++++++++====σσσσ
xI
xNy
IyN
AN
NM
y
N
Mx
yxx
y
00
0
0 ⋅⋅⋅⋅++++
⋅⋅⋅⋅++++====⇒⇒⇒⇒
====
====σσσσ
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 7 – Flexão Composta
45/64
7.2. Equação do eixo neutro O eixo neutro é o lugar geométrico dos pontos do plano de uma S.T.R. em que a tensão normal é nula. A equação do eixo neutro obtém-se igualando a zero a equação [2],
[3] como
[4]
[5]
01
0 0000 ====++++++++⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅
++++⋅⋅⋅⋅
++++==== xIx
yIy
Ax
IxN
yI
yNAN
yxyxσσσσ
0120
20
2
2
====++++++++⇒⇒⇒⇒
====
====x
i
xy
i
y
AI
i
A
Ii
yxxx
yy
−−−−========⇒⇒⇒⇒====
−−−−========⇒⇒⇒⇒====
∗∗∗∗
∗∗∗∗
0
20
2
0
0
x
ixxy
yi
yyx
y
x
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 7 – Flexão Composta
46/64
1.80 m
4.80 m
0.80 m
P
AD
C B
y
Gx
0.20 m
Mx
My
D
C
y
PG
A
B
x
M
90.00°
Problema 1 Um pilar com a secção transversal representada na Figura 74 encontra-se submetido à acção de uma força de compressão de 1500 kN aplicada no ponto P. Determine as tensões nos vértices da secção e a posição do eixo neutro.
Figura 74
Resolução
Figura 75
x.
y..
xI
My
IM
AN
kNm.xNM
kNm.yNM
y
y
x
x
y
x
5888161200
33282300
6481500
1200801500
300201500
0
0 −−−−++++−−−−++++
−−−−====++++++++====⇒⇒⇒⇒
−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅====−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅====
σσσσ
03387261286111730588816
120033282300
6481500
====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⇔⇔⇔⇔====−−−−++++
−−−−++++−−−−====→→→→ x.y..x
.y
..neutroeixoEquação σσσσ
ou em alternativa
0417074101092180
27020
10120
20 ====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⇔⇔⇔⇔====++++++++⇔⇔⇔⇔====++++++++→→→→ x.y.x
..
y..
xi
xy
i
yneutroeixoEquação
yx
22
4
22
4
2
921
588816
270
33282
648
m.i
m.I
m.i
m.I
m.A
y
y
x
x
====
============
====
74115900402
74115900402
48231900402
96462900402
...D
...C
...B
...A
)kPa()m(y)m(x
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−σσσσ
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 7 – Flexão Composta
47/64
0.30 m
0.40 m
A
B
D
C
Secção B-B'
1.50 m
1.50 m
B'B
A A'
F1=500 kN
F2=100 kNF1
F2
y
xG
0.20 m
0.20 m
G x
y
A
C
B
D
P
4.00 m
300 kN
0.05 m 0.05 m
5 kN/m
D
C
y
G
A
B
xx*=-2.40 m
y*=-1.35 m
e.n.
Figura 76
Problema 2 Considere o pilar de secção constante, constituído por um material resistente de igual forma a compressões e tracções, sujeito às cargas F1 e F2, indicadas na Figura 77. Para a secção A-A’, localizada a meia altura do pilar, calcule: a) As tensões nos vértices A, B, C e D; b) A posição do eixo neutro.
Figura 77
Problema 3 Considere o pilar representado na Figura 78 sujeito à acção de uma força vertical de 300 kN aplicada no ponto P e a uma carga distribuída horizontal de 5 kN/m, aplicada segundo um plano vertical que contém o eixo dos xx. A secção transversal da peça é quadrada e oca e apresenta as dimensões indicadas na figura. a) Determine as tensões nos vértices exteriores
da secção da base do pilar. b) Determine a posição do eixo neutro na secção
da base do pilar.
Figura 78
−−−−====−−−−====−−−−========⇒⇒⇒⇒====
−−−−====−−−−====−−−−========⇒⇒⇒⇒====
∗∗∗∗
∗∗∗∗
m..
.x
ixxy
m...
yi
yyx
y
x
40280
9210
35120
2700
0
20
2
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 7 – Flexão Composta
48/64
0.60 m
E
D
F1
2.00 m
0.20 m0.20 m
0.80 m
0.20 m
A B
C
F2
F
2.00 m
60.00°
0.20 m
0.10 m
P
F1=10 kN
F2=15 kN
R S
15 cm
P
10 cm 10 cm
10 cm
10 cm
10 cm
G
y'
Mx'
T
U
Problema 4 Considere o pilar representado na Figura 79. Sabendo que o eixo de solicitação é horizontal e baricêntrico, determine: a) As tensões nos vértices da secção do pilar na
secção da base do pilar. b) Na secção da base do pilar determine no ponto
P as tensões principais e as respectivas direcções.
Figura 79
Problema 5 Admita que a secção transversal recta de uma viga solicitada à flexão apresenta a geometria indicada na Figura 80. Sendo o carregamento vertical e baricêntrico determine: a) as tensões principais e as respectivas
direcções no ponto P sabendo que a secção está sujeita aos seguintes esforços
m.kNM 150−−−−====
kNN 60−−−−====
kNT 200−−−−====
b) Na mesma STR da alínea anterior determine
qual deve ser o ponto de aplicação da resultante para que o eixo neutro passe nos vértices “T” e “U”.
Figura 80
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 7 – Flexão Composta
49/64
y
P
x
G
R S
P
-19.78º
15.58 cm
11.15cm
x
y
G
y'
x'M
My
Mx
Resolução a)
Figura 81
−−−−====−−−−====
⇒⇒⇒⇒−−−−====m.kN.M
m.kN.Mm.kNM
y
x
7650
15141150
====++++====
−−−−====−−−−====⇒⇒⇒⇒
====−−−−====
m.cosysenxy
m.senycosxx
m.y
m.x'P
'PP
'P
'PP
'P
'P
09370
07870
061540
105770
αααααααααααααααα
kPa.).(E.
..
E..
.x
I
My
IM
AN
y
y
x
x 3334681078704892508
765009370
445766315141
06560 −−−−====−−−−
−−−−−−−−++++
−−−−−−−−++++
−−−−====++++++++====σσσσ
Figura 82
22
4
22
4
2
236808.1
489250.8
253195.0
445766.3
065.0
mEi
mEI
mEi
mEI
mA
y
y
x
x
−−−−====
−−−−====−−−−====−−−−====
====
========
⇒⇒⇒⇒−−−−====kN.T
kN.TkNT
y
x
200188
68267200
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 7 – Flexão Composta
50/64
P
y
G
x
kPa..E.E..
bI
ST
m.b
mE.I
mE.S
kN.T
xx
xyyz
x
x
x
y
8420012008904457663
438847200188
200890
4457663
438847
200188
4
3====
⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅========
⇒⇒⇒⇒
====−−−−====−−−−====
====
ττττ
Figura 83
kPa..E.E..
bI
ST
m.b
mE.I
mE.S
kN.T
yy
yxxz
y
y
y
x
5111392008904892508
407653068267
200890
4892508
4076530
68267
4
3
====⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−⋅⋅⋅⋅========
⇒⇒⇒⇒
====−−−−====
−−−−========
ττττ
kPa.yzxzP 44230322 ====++++==== ττττττττττττ
º.).(
).(tg P
zy
yzP 7833
3334681044230322
2 −−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====
−−−−==== θθθθ
σσσσσσσσττττ
θθθθ
2907833
17833
65348334341724423034341722
333468102
33346810
32152566744230356672
333468102
33346810
2222
σσσσσσσσ
σσσσσσσσ
θθθθττττθθθθσσσσσσσσσσσσσσσσ
σσσσ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
====−−−−====−−−−++++−−−−−−−−++++
−−−−====
========−−−−−−−−++++−−−−−−−−−−−−++++
−−−−====
⇒⇒⇒⇒++++−−−−
++++++++
====
++++−−−−====
−−−−====
MPa.).(sen).().cos().(.
MPa.).(sen).().cos().(.
)(sen)cos(
)ºº.(
)º.(
yzzyzy
)(
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 7 – Flexão Composta
51/64
b)
xi
ey
i
e:neutroeixodoEquação
y
x
x
y22
10 ++++++++====
−−−−====++++====
−−−−====−−−−====⇒⇒⇒⇒
−−−−====−−−−====
m.cosysenxy
m.senycosxx
m.y
m.x'T
'TT
'T
'TT
'T
'T
158470
116260
188460
055770
αααααααααααααααα
−−−−====++++====
====−−−−====⇒⇒⇒⇒
========
m.cosysenxy
m.senycosxx
m.y
m.x'S
'SS
'S
'SS
'U
'U
021030
092580
011540
094230
αααααααααααααααα
====−−−−====
⇒⇒⇒⇒
−−−−++++−−−−
−−−−++++====
−−−−−−−−
++++−−−−−−−−
++++====
m.e
m.e
).(E.
e).(
E.
e
).(E.
e).(
E.
e
y
x
xy
xy
06490
10990
0925802368081
0210302531950
10
1162602368081
1584702531950
10
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 8 – Núcleo Central
52/64
0.50 m
1.00 m
1.00 m3.00 m 1.00 m
1.00 m 0.50 m
4.00 m4.00 m
1.00 m
0.50 m 1.20 m
1.20 m0.50 m 1.20 m 1.20 m 1.20 m
0.30 m
0.50 mP
1.20 m
0.60 m
P
1.20 m
1.20 m
1.20 m
1.20 m 1.20 m1.20 m
G0.90 m
y
x
Q 6
Q 5
Q 4
Q 1
Q 2
Q 3
V 1V 2 V 3 V 4
V 5V 6
x
y
8. NÚCLEO CENTRAL Problema 1 Determine o núcleo central das seguintes secções:
Figura 84
Resolução 1.4
Figura 85
Figura 86
22
4
22
4
2
56.1
9856.8
27.0
5552.1
76.5
mi
mI
mi
mI
mA
y
y
x
x
====
============
====
(((( )))) (((( ))))18000000343 ..VQQ ⇒⇒⇒⇒
(((( )))) (((( ))))100.0578.0232 −−−−⇒⇒⇒⇒ VQQ
(((( )))) (((( ))))180.0000.0343 VQQ ⇒⇒⇒⇒
(((( )))) (((( ))))100.0578.0454 VQQ ⇒⇒⇒⇒
(((( )))) (((( ))))129.0743.0565 −−−−⇒⇒⇒⇒ VQQ
(((( )))) (((( ))))300.0000.0616 −−−−⇒⇒⇒⇒ VQQ
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 8 – Núcleo Central
53/64
e.n.
0.60 m
0.20 m
0.80 m
0.20 m0.20 m
Q 6
Q 5
Q 4
Q 1
Q 2
Q 3
q 2
q 5
q 3
q 6
q 1
q 4
y
x
G
y
x
0.322 m
0.589 m
x'
y'
-29.55
Resolução alternativa 1.4
Figura 87
Problema 2 Para uma força de compressão de 3000 kN a actuar no ponto P das secções iii e iv do exercício 1, determine o eixo neutro e as tensões normais máximas instaladas. Problema 3 a) Determine o núcleo central da secção representada na Figura 88; b) Determine o ponto de aplicação do sistema actuante na secção para que o eixo neutro esteja na posição indicada na figura.
Figura 88
Resolução a)
Figura 89
3871251140844592
5541873093435223
5121064104148892
7141995056630923
4
3
2
1
00
....Q
....Q
....Q
....Q
)m(y)m(x)m(y)m(x
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
∗∗∗∗∗∗∗∗
22
4
22
4
4
4
4
2
043670
25721101280
264635329
28890
20762
21423
360
m.i
mE.Im.i
mE.Iº.
mE.I
mE.I
mE.I
m.A
y
x
x
x
'y'x
'y
'x
====
−−−−========
−−−−====−−−−====
−−−−−−−−====
−−−−====−−−−====
====
αααα
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 8 – Núcleo Central
54/64
1.00 m
1.00 m
3.00 m
6.00 m1.50 m
1.50 m
A B
C
1.00 m
1.00 m
y
x
Q2
Q3
Q4Q5
Q6
q2
q3
q4
q5 q1
q6
Q1
Figura 90
b) Problema 4 Considere a secção transversal recta representada na Figura 91. Nos pontos A e B estão aplicadas forças de compressão paralelas ao eixo longitudinal da peça com o valor de 200 kN. Determine o menor valor da força a aplicar em C de modo a que só existam tensões de compressão em qualquer ponto da secção.
Figura 91
2550097039704520
1700134059503250
1460290069401510
0491105009704180
3081085007705160
1770124057103540
6
5
4
3
2
1
00
....Q
....Q
....Q
....Q
....Q
....Q
)m(y)m(x)m(y)m(x
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
∗∗∗∗∗∗∗∗
========
⇒⇒⇒⇒
====−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++
====−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒
====++++++++
====++++++++
m.y
m.x
..
x.
.
y
..
x.
.
y
xi
xy
i
y
xi
xy
i
y
Qy
Qx
Qy
Qx
00740
12850
03250043670
5950101280
1
03540043670
5710101280
1
01
01
0
0
00
00
20
20
20
20
55
11
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 8 – Núcleo Central
55/64
G
y
6.31 m
3.88 m
20.8º
x
y
x
Q1 Q2
Q3Q4
Q5
q1
q2
q3
q4
q5
A
C
BDE
4.91
0.57
Resolução
Figura 92
Figura 93
Figura 94
22
4
22
4
2
2969
46297
8831
2560
032
m.i
m.I
m.i
m.I
m.A
y
y
x
x
====
============
====
89056112429455
39740125506556
57045329636932
81093131328244
56060437830192
5
4
3
2
1
00
....Q
....Q
....Q
....Q
....Q
)m(y)m(x)m(y)m(x
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
∗∗∗∗∗∗∗∗
kN.FECFDE
m.EC
m.DE
CC 4446400
914
570
====⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅
====
====
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 8 – Núcleo Central
56/64
2.00 m
4.00 m
2.00 m
2.00 m
1.00 m
4.00 m2.00 m
1.00 m
2.00 m
A
B
C
2.00 m
1.00 m
2.80 m
3.80 m
G4.5400°
y
x
y
x
q 2
Q 1 Q 2
Q 4 Q 3
q 1
q 3
q 4
Problema 5 Considere a secção transversal recta representada na Figura 95. Nos pontos A e B estão aplicadas forças de compressão paralelas ao eixo longitudinal da peça com o valor de 150 kN. Determine o menor valor da força a aplicar em C de modo a que só existam tensões de compressão em qualquer ponto da secção.
Figura 95
Resolução
Figura 96
Figura 97
22
4
22
4
2
0753
0123
1126
5244
040
m.i
m.I
m.i
m.I
m.A
y
y
x
x
====
============
====
3871251140844592
5541873093435223
5121064104148892
7141995056630923
4
3
2
1
00
....Q
....Q
....Q
....Q
)m(y)m(x)m(y)m(x
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
∗∗∗∗∗∗∗∗
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 8 – Núcleo Central
57/64
A
D
EB
C
4.36
0.74
Figura 98
kN.FECFDE
m.EC
m.DE
CC 9250300
364
740
====⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅
====
====
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 9 – Encurvadura
58/64
P
L
L
9. ENCURVADURA 9.1. Problema de Euler Barra ideal: - Perfeitamente rectilínea; - Secção constante; - Material homogéneo; - Carga P centrada; - Sem defeitos de fabrico.
Figura 99
9.2. Comprimento de encurvadura De acordo com o art.º 48 do REAE: 8.2.1. Barras isoladas
LLe ==== LLe 2==== LLe ==== LLe 5.0==== LLe 7.0====
Figura 100
Carga crítica de Euler: Carga mínima que provoca instabilidade na forma rectilínea da barra (Regime elástico).
22 / ecr LEIP ππππ====
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 9 – Encurvadura
59/64
y
G
xR
egim
e el
ástic
o
σy
σp
Regimeplástico
σ
ε
9.2.2. Barras de estruturas trianguladas planas Artº 13.1 – Os elementos principais das estruturas planas devem, quanto possível, ter secções simétricas em
relação ao plano médio dessas estruturas. Nas estruturas trianguladas deve ainda procurar-se que os elementos concorrentes numa ligação
fiquem dispostos de modo que os seus eixos concorram num ponto (nó). Artº 48. d) No caso de estruturas trianguladas planas cuja geometria satisfaça ao indicado no art.º 13, pode
considerar-se, em geral, para comprimento de encurvadura das barras no plano da estrutura, 0.8 do seu comprimento teórico.
Para comprimento de encurvadura das barras no plano normal ao plano da estrutura pode considerar-se o comprimento teórico das barras; no caso do banzo comprimido de vigas trianguladas, será considerado o comprimento entre os nós efectivamente contraventados.
9.3. Esbelteza
O coeficiente de esbelteza, λλλλ , é dado pela relação entre o comprimento de encurvadura da barra e o raio de giração da secção transversal da barra em relação ao eixo perpendicular ao plano de encurvadura considerado.
Figura 101
9.4. Curvas de projecto de acordo com R.E.A.E.
Figura 102
284355510
220275430
188235360
Fe
Fe
Fe
)MPa()MPa( py σσσσσσσσ
====
====
x
yey
y
xex
i
Li
L
,
,
λλλλ
λλλλ
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 9 – Encurvadura
60/64
20 180
Recta de Tetmayer
Hipérbole de Euler
Regime elasto-plástico
Regime elástico
Regimeplástico
λp
λ
σy
σrd
σp/1.8
22 λλλλππππσσσσ /Ecr ==== pp /E σσσσππππλλλλ 2====
GPaE 206====
Quadro 1
Figura 103
Quadro 2
22
22
22
1128545317985
06013166416008620172318520
355120510
1128325410396
0075215315007300146019620
275120430
11284704802105
560412082660066401328110520
235120360
λλλλσσσσλλλλϕϕϕϕλλλλλλλλσσσσλλλλϕϕϕϕλλλλ
σσσσϕϕϕϕλλλλσσσσϕϕϕϕλλλλ
λλλλσσσσλλλλϕϕϕϕλλλλλλλλσσσσλλλλϕϕϕϕλλλλ
σσσσϕϕϕϕλλλλσσσσϕϕϕϕλλλλ
λλλλσσσσλλλλϕϕϕϕλλλλλλλλσσσσλλλλϕϕϕϕλλλλ
σσσσϕϕϕϕλλλλσσσσϕϕϕϕλλλλ
//
....
)MPa(aencurvadurdeeCoeficientesbeltezadeeCoeficient
Fe
//
....
)MPa(aencurvadurdeeCoeficientesbeltezadeeCoeficient
Fe
//
....
)MPa(aencurvadurdeeCoeficientesbeltezadeeCoeficient
Fe
rd
rd
rd
rd
rd
rd
rd
rd
rd
rd
rd
rd
========≥≥≥≥−−−−====−−−−====≤≤≤≤≤≤≤≤
========≤≤≤≤
========≥≥≥≥−−−−====−−−−====≤≤≤≤≤≤≤≤
========≤≤≤≤
========≥≥≥≥−−−−====−−−−====≤≤≤≤≤≤≤≤
========≤≤≤≤
815785510
212296430
4104105360
81
.Fe
.Fe
.Fe
)MPa(./)MPa( pp σσσσλλλλ
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 9 – Encurvadura
61/64
9.5. Verificação da segurança em relação ao estado limite de encurvadura por varejamento Artº 42.1 – Nos elementos sujeitos a esforços de compressão em que haja risco de varejamento a verificação
de segurança consiste em satisfazer a condição:
σσσσσσσσ RdSd ≤≤≤≤
Artº 42.2 – No caso de barras rectas sujeitas a esforços simples de compressão, o valor de cálculo da tensão
actuante é definido pela expressão:
ϕϕϕϕσσσσ ⋅⋅⋅⋅====
A
NSdSd
SdN - valor de cálculo do esforço normal actuante, determinado tendo em conta as combinações de acções e
os coeficientes de segurança; A - área da secção transversal da barra;
ϕϕϕϕ - coeficiente de encurvadura dependente do coeficiente de esbelteza da barra, λλλλ , cujos valores são
definidos no Quadro 2. 9.6. Dimensionamento tendo em conta a encurvadura p or varejamento 1 - Pré-dimensinamento
perfilescolheretabelasConsultar.
NA
A
NArbitrado.
Rd
Sd
RdSd
Sd→→→→
⋅⋅⋅⋅≥=≥=≥=≥=⇒⇒⇒⇒
≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅
====
====
50
50
1 σσσσσσσσσσσσ ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
2 – Verificação da segurança
(((( ))))máxyxmáx
x
y,ey
y
x,ex
f);(máx
i
Li
L
λλλλϕϕϕϕλλλλλλλλλλλλλλλλ
λλλλ====
⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒
====
====
→→→→≥≥≥≥→→→→≤≤≤≤→→→→≅≅≅≅
⋅⋅⋅⋅====
eriorsupperfilEscolher
eriorinfperfilEscolher
)OK(
A
N
RdSd
RdSd
RdSdSd
Sd
σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ
σσσσ ϕϕϕϕ
Critério de aceleração da convergência do processo iterativo:
perfilescolheretabelasConsultarAARd
Sd →→→→≥=≥=≥=≥= 12 σσσσσσσσ
3 – Repetir o passo 2
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 9 – Encurvadura
62/64
2.00 m
Nk= 175 kN
2 UNP 100
2.00 m
Nk= 400 kN
2 UNP 100
5.50 m
Nrd= ?
3 IPE 400
Problema 1 Verifique a estabilidade do pilar representado na Figura 104 constituído por dois UNP 100 em Fe 360. Considere que as condições de apoio são idênticas nas duas direcções.
Figura 104
Problema 2 Verifique a estabilidade do pilar representado na Figura 105 constituído por dois UNP 100 em Fe 360. Considere que as condições de apoio são idênticas nas duas direcções.
Figura 105
Problema 3 Considere o pilar representado na Figura 106 constituído por três IPE 400 em Fe 360, dispostos conforme indicado. Determine o valor máximo da carga coMPatível com a segurança da barra. Considere que as condições de apoio são idênticas nas duas direcções.
Figura 106
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 9 – Encurvadura
63/64
3.00 m
100 kN
50 kN/m
5.0 m
A
2.0 m
B C
2.0 m
100 kN
D
E
2 UNP 80
5 cm
10.00 m
Nsd= 5200 kN
4.00 m
50 kN/m
4.0 m
A
2.0 m
B
C
300 kN
Problema 4 Verifique a estabilidade da barra EC da estrutura da Figura 107 supondo-a constituída por dois UNP 80 em Fe 360 e por travessas de contraventamento afastadas de 1 m, sabendo que o nó C está travado na direcção perpendicular ao plano da estrutura. As acções estão indicadas com os seus valores de cálculo.
Figura 107
Problema 5 Dimensione o pilar representado na Figura 108 com perfis da série HEA em Fe 360, considerando-o impedido de varejar na direcção de menor inércia.
Figura 108
Problema 6 Dimensione o pilar BC constituído por um perfil metálico da série HEB em Fe 360. Considere o perfil na posição mais favorável, sabendo que o nó B está travado na direcção perpendicular ao plano da estrutura. As acções estão indicadas com os seus valores característicos.
Figura 109
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios propostos 9 – Encurvadura
64/64
2.0 m 2.0 m 2.0 m2.0 m2.0 m 2.0 m2.0 m2.0 m2.0 m2.0 m
2.00 m
A
C D E F G H
B
P/2 P P P P P P P P P P/2
2 L 100x100x10 - Banzo superior 2 L 70x70x7 - Montantes
4.0 m
A B
100 kN
4.0 m
D
50 kN
C
E
1.50 m
1.50 m
12 mm
Problema 7 a) Verifique a estabilidade do banzo superior sabendo que a zona mais esforçada está submetida a um
esforço de compressão de Nsd = 400 kN. b) Verifique a estabilidade dos montantes sabendo que o montante mais esforçado está submetido a um
esforço de compressão de Nsd = 160 kN. Considere que os nós C, D, E, F, G e H estão contraventados. As duplas barras serão realizadas com perfis metálicos de Fe 360, encontrando-se devidamente solidarizadas.
Figura 110
Problema 8 Considere a estrutura triangulada plana representada, realizada em Fe 360. Os nós C e E estão travados na direcção normal ao plano da estrutura. Dimensione as barras AB e BC com duas cantoneiras colocadas a par conforme representado da Figura 111, sabendo que de metro a metro existe uma travessa ou presilha de ligação entre as cantoneiras, já devidamente dimensionada.
Figura 111