Post on 09-Apr-2015
1
Objetivos:• Determinação da Transferência de calor com função do tempo• Regime não estacionário• Determinar o perfil de temperatura• Exemplos:
•Aquecimento ou resfriamento de peças•Tratamento térmico
Modelos de solução:• Análise concentrada• Efeitos espaciais• Sólido semi-infinito
2
Análise concentrada
3
Análise Concentrada
acumuladas EE••
=−Balanço de Energia
Substituindo os termos acima
( )dtdTVcTThA erfície ρ=−− ∞sup
Diferença de Temperatura
dtdT
dtdTT =−≡ ∞
θθ logo
Separando as variáveis e integrando desde t = 0 e T(0) = Ti, obtemos
Efetuando as integrações:
(1)
(2)
(3) (4)
(5)
(6)
θθρ −=dtd
hAVc
sup
Obtemos
∞−=−= ∫∫ TTdtdhA
Vci
t
i i0sup
onde θθθρ θ
θ
thA
Vc i =θθρ ln
sup
Ou ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−−=
∞
∞ tVc
hATTTT
ii ρθθ supexp (7)
4
Transientes de temperatura de sólidos para diferentes constantes de tempo térmica
Constante Térmica
(8)
Calor total transferido (9)
( )
sólido do global térmicaiacapacitânc térmicaaresístênci
1
sup
==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
t
t
tt
CR
CRVchA
ρτ
∫∫ ==tt
dthAqdtQ0sup0θ
( )Substituindo a equação 7 na equação 9 (10)⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
τθρ tVcQ i exp1
Lembrar queacEQ Δ=− (11)
5
Validade do método da Capacitância GlobalBalanço de energia na superfície
Rearranjando, definimos o número de Biot
(12)
(13)
( ) ( )∞−=− TThATTLkA
2sup,2sup,1sup,
( )( )
( )( ) Bi
khL
RR
hAkAL
TTTT
conv
cond ≡===−
−
∞ 12sup,
2sup,1sup,
Biot fornece uma medida da relação entre a queda de temperatura ao longo do sólido e a diferença das temperaturas de sua superfície e do fluido.
6
Validade do Método da Capacitância
1,0<=k
hLBi c
Comprimento Característico
supAVLc ≡ (15)(14)
Substituindo a equação 15 na 7
FoBiVc
thALt
khL
Lt
ck
khL
cLht
VcthA
c
c
c
c
c
×====ρ
αρρρ
sup2
sup ou (16)
Sendo Fourrier de número 2 == FoL
tFoC
α (17)
[ ]FoBiTTTT
ii
∗−=−−=
∞
∞ expθθLogo (18)
Destaque
esfera daou cilindro do raio r :esfera e cilindro Para
:placa Para
020
2
==
=
rtFo
LtFo
α
α
7
Análise Geral Via Capacitância Global
Conservação de Energia (18)( )dtdTVcAqqEAq hcradconvgh ρ=+−+
•
),sup(""
sup,"sup
Ou (19)( ) ( )( )dtdTVcATTTThEAq hcvizgh ρεσ =−+−−+ ∞
•
),sup(44
sup,"sup
Equação diferencial não linear não homogênea
8
Regime transiente: Efeitos espaciais
9
Hipóteses:-Condução Unidimensional-Condutividade constante-Sem geração de energia
E equação da difusão de calor para coordenadas cartesianas
(1)
A partir das hipóteses apresentadas a equação da difusão se reduz a
(2)
Condição inicial (3)
Condições de contorno(4)
Dependência da Temperatura (T): (5)
( ) iTxT =0,tT
xT
∂∂=
∂∂
α1
2
2
( )( )∞==
−=∂∂
⇒==∂∂
⇒= TtLThxT
xT
Lxx
, L x para 0 0 x para0
( )hkLTTtxTT i ,,,,,,, α∞=
tTcq
zTk
zyTk
yxTk
x p ∂∂=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ •
ρ
10
Admensionalização
Temperatura admensional∞
∞∗
−−
==TTTT
iiθθθ (6)
Coordenada espacial admensionalLxx =∗
(7)
Tempo admensional )(2 FourierdenúmeroFoL
tt ≡=∗ α(8)
Levando as definições (6) a (8) nas equações (2) a (5), a equação de condução fica
Fox ∂∂=
∂
∂∗
∗ *
2
2 θθ
1)0,( ** =xθ
(9)
(10)
Condições de contorno (11)
Condição Inicial para resolução da equação (2)
00
=∂∂
=∗
∗
∗xxθ
(12)( )∗∗
=∗
∗
−=∂∂
∗
tBix Lx
,1θθ
Dependência funcional (13)( )BiFoxf ,,∗∗ =θ
11
A PAREDE PLANA COM CONVECÇÃOSolução Exata
( ) )cos(exp *
1
2* xFoCn
nnn∑∞
=
−= ζζθ (14)
(15)
Os valores discretos (autovalores) de ζn são raízes positivas da equação transcendental
(16)
onde)2sen(2
sen4
nn
nnC
ζζζ
+=
Bi
cotgou n
nnn Bitgζζζζ ==
Solução Aproximada (válida para Fo > 0,2)
)cos()cos()exp( *1
*0
*1
211
* xxFoC ζθζζθ =−= (17)
(18)
Para a temperatura no plano intermediário (x* = 0)(19)( )
( )∞
∞
−−
=TTTT
i
0*0θ)exp( 2
11*0 FoC ζθ −=
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )∞−=−=⇒−−=−−= ∫ TTcVQsenQQdVTtrTcEtEQ ii ρθ
ςςρ 0
*0
1
1
0
onde 1,0
Transferência Total de Energia
12
Na tabela ao lado são apresentadas as quatro primeiras Raízes da equação transcedental, para condução térmica em regime transiente em uma parede plana
Ln λζ = onde
Solução gráfica da equação transcedental
13
Na tabela ao lado são apresentados o Coeficiente C1 e a raíz ξ1 para parede plana, cilindro infinito e esfera
14
Cartas de Heisler parede Plana (para Fo > 0,2) Temperatura no plano intermediário de uma parede plana de espessura 2L em função do tempo
15
Distribuição de Temperaturas em uma parede plana com espessura 2L
Cartas de Heisler parede Plana (para Fo > 0,2)
16
Variação de energia interna, em função do tempo para uma parede plana com espessura 2L
Cartas de Heisler parede Plana (para Fo > 0,2)
17
CILINDRO INFINITO COM CONVECÇÃOSolução Exata
)()exp( *
10
2* rJFoCn
nnn∑∞
=
−= ζζθ (21)
(22)
Os valores discretos (autovalores) de ζn são raízes positivas da equação transcendental
(23)
onde( )
( ) ( )nn
n
nn JJ
JC
ζζζ
ζ 21
20
12+
=
( )( ) Bi
JJ
n
nn =
ζζζ
0
1 As funções J1 e JO são funções de Bessel de primeira ordem.
Solução Aproximada (válida para Fo > 0,2))()()exp( *
10*0
*10
211
* rJrJFoC ζθζζθ =−=Temperatura no plano intermediário (r* = 0)
)exp( 211
*0 FoC ζθ −=
Transferência Total de Energia
(24)
(25)
( ) ( )∞−=−= TTcVQsenQQ
iρςςθ
011
*0
0
sendo 21 (26)
18
As funções J1 e JO são funções de Bessel de primeira ordem e seu valores estão listados no apêndice B.4 do livro do Transferência de calor e massa - 4ªed Incropera
19
Temperatura no eixo central de um cilindro infinito com raio r0 em função do tempoCartas de Heisler – Cilindro Infinito (para Fo > 0,2)
20
Distribuição de Temperaturas em um cilindro infinito com raio r0
Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)
21
Variação de energia interna, em função do tempo, em um cilindro infinito com raio r0
Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)
22
Solução Exata
)sen(1)exp( *
1*2
2* rr
FoCn
nn
nn∑∞
=
−= ζζ
ζθ (27)
( ) ( )[ ]( ) (28)
Os valores discretos (autovalores) de ζn são raízes positivas da equação transcendental
(29)
ondenn
nnnnC
ζζζζζ
2sen2cossen4
−−
=
Binn =− ζζ cot1
ESFERA COM CONVECÇÃO
Solução Aproximada (válida para Fo > 0,2)
)(1)(1)exp( *1*
1
*0
*1*
1
211
* rsenr
rsenr
FoC ζζ
θζζ
ζθ =−=
Temperatura no plano intermediário (r* = 0))exp( 2
11*0 FoC ζθ −=
Transferência Total de Energia
(30)
(31)
( ) ( )[ ] ( )∞−=−−= TTcVQsenQQ
iρςςςςθ
011131
*0
0
sendo cos31 (32)
23
Temperatura no eixo central de uma esfera com raio r0 em função do tempoCartas de Heisler – Esfera (para Fo > 0,2)
24
Distribuição de Temperaturas em uma esfera com raio r0
Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)
25
Variação de energia interna, em função do tempo, em uma esfera com raio r0
Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)
26
Sólido Semi-infinitoDefinição:
•Sólido semi-infinito: é aquele que se estende em todas as direções menos em uma delas•Devido a uma súbita mudança das condições na superfície desse sólido, condução unidirecional em regime transiente ocorrerá no interior do sólido•Exemplos:
•Transferência de calor no solo•Transferência de calor em uma placa muito espessa
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Hipóteses:-Condução Unidimensional-Condutividade constante-Sem geração de energia
E equação da difusão de calor para coordenadas cartesianas
tTcq
zTk
zyTk
yxTk
x p ∂∂=+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂ •
ρ)()()( (1)
A partir das hipóteses apresentadas a equação da difusão se reduz a
tT
xT
∂∂=
∂∂
α1
2
2
iTtxT =∞→ ),(
(2)
Condição inicial (3)
Serão apresentadas 3 formas de condição inicial para resolver um problema de sólido semi-infinito:
a) Temperatura superficial constante Tsup ≠ Tib) Fluxo térmico constante na superfície, q”0
c) Exposição da superfície a um fluido caracterizado por Te ≠ Ti e um coeficiente de transferência de calor h
28
SÓLIDO SEMI-INFINITO
( ) ( ) is TxTTtT =≠= 0,,0
• Caso 1 - Temperatura Superficial Constante.
( )( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−
txerf
TTTtxT
si
s
α2,
( )tTTk
q iss πα
−="
Destaque: Mudança de Temperatura em forma de degrau e o fluxo térmico diminuíproporcionalmente com t 1/2
29
SÓLIDO SEMI-INFINITO
"0
"sup qq =
• Caso 2 - Fluxo Térmico constante na superfície.
( )( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=−t
xerfckxq
tx
ktq
TtxT i ααπα
24exp
2,
"0
2"0
Destaque: T(0,t) = Tsup aumenta monotonicamente com t 1/2
30
SÓLIDO SEMI-INFINITO
( )[ ]tTThxTk
x,0
0−=
∂∂
∞=
( )( )( )
• Caso 3 - Convecção na superfície.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−
∞ kth
tx
kth
khx
txerfc
TTTtxT
i
i αα
αα 2
expexp2
,2
2
Destaque: Tsup e Tint tendem a temperatura externa T∞
31
Tabela da Função erro de Gauss (Apêndice B - Tabela B2)
32
Efeitos Multi-dimensionais
33
Efeitos multidimensionaisSeja um cilindro curto, com Temperatura inicial, Ti, como o apresentado na figura abaixo
tT
xT
rTr
rr ∂∂=
∂∂+
∂∂
∂∂
α1)(1
2
2
Considerando: Condutividade constante e Sem geração de energia, a equação da difusão de calor fica
•Este cilindro é imerso em um fluido, T∞≠ Ti.•Sendo r e L comparáveis, a transferência por condução será significativa em r e L•T=T(r,x,t)
34
A equação anterior pode ser expressa da seguinte forma:
( ) ( ) ( )infinitocilindro
planaparede
,,,,
∞∞∞ −×
−=
− TTtrT
TTtxT
TTtxrT
iii
•NOTE: Solução bidimensional = produto de soluções unidimensionais
( ) ( )planaparede
,,∞
∞
−−=TT
TtxTtxPi
( ) ( )infinito-semi
sólido
,,∞
∞
−−=TT
TtxTtxSi
( ) ( )infinitocilindro
,,∞
∞
−−=TT
TtrTtrCi
Efeitos multidimensionais (solução de sistemas unidimensionais)
Solução para o caso (h)
( ) ( ) ( ) ( )txPtxPtxPTT
txxxT
i
,,,,,,321
321 ⋅⋅=− ∞
( )Solução para o caso (i)
( ) ( )txPtrCTT
txrT
i
,,,, ⋅=− ∞