RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

CURSO DE INFORMÁTICA EDUCATIVA I TAREFA DE EXECUÇÃO

ALUNA : JULIANA CRISTINA GOMES.

Relembrando os conceitos de semelhança de triângulos. Compreender o conceito de razões trigonométricas nos triângulos retângulos e as suas principais propriedades. Percebendo que os valores das razões trigonométricas dependem exclusivamente do ângulo e calculando experimentalmente as razões trigonométricas para os ângulos notáveis.

 

Antes da primeira aula, solicitar aos alunos os materiais necessários para execução do

projeto.

Na aula anterior, antes deste assunto ser abordado, o professor deve pedir que os alunos não se esqueçam de trazer os materiais necessários para o cumprimento das atividades das próximas aulas, que serão feitos em sala:

Tesoura, folha de papel A4 branco ou colorido, borracha, calculadora, lápis, régua de 30 cm e transferidor.

Todo esse material o aluno pode trazer de casa, dos que eles já possuem.

Primeira Aula

1) Neste primeiro momento,o professor irá mostrar aos alunos o blog com as atividades a serem desenvolvidas, explicando assim um pouco das atividades a serem desenvolvidas pelos alunos, o professor deve propor aos alunos a construção de três triângulos idênticos, com materiais que eles trouxeram de casa, depois que a construção tiver pronta, o aluno irá compare e nomear os ângulos dos triângulos. Para isso você pode utilizar o transferidor ou sobrepor os triângulos e ainda irão medir o lado desses triângulos. Com essas atividades mais para frente com toda a observação do alunos na realização das atividades, os alunos poderão determinar o valor aproximado das razões trigonométricas correspondente.

Construindo Triângulos Retângulos Idêntico

Você já percebeu que uma folha de papel A4 tem 4 ângulos retos?

Observe as Figuras 1 e 2 a seguir, e veja como é possível, com um único traço, desenhar um triângulo retângulo, a

partir de um re tângulo com 4 ângulos retos.

FIGURA 1 FIGURA 2

1) Para começar a atividade, pegue três folhas de papel A4. Coloque-as superpostas. Com o auxílio de uma régua,

corte essas três folhas, formando três triângulos idênticos.

momento, tenha cuidado ao realizar o corte.As dicas a seguir podem auxiliá-lo nessa tarefa.

Dica 1: Apertando com uma régua, deixe bem marcada a linha de corte

Dica 2: Inicie o corte sempre pelo local de maior apoio do papel com a régua. Corte uma folha por vez.

Com esta construção, garantimos que os triângulos sejam, de fato, triângulos retângulos, evitando

qualquer erro gerado pela medição de um ângulo reto.Pode ser que seus alunos tenham um pouco de

dificuldade em realizar o corte. Não se esqueça de que o capricho é muito importante. Esse é, portanto, um

bom momento para incentivar o trabalho colaborativo. Veja quais são os alunos que têm mais habilidade e os eleja como ajudantes.Se achar conveniente, sugira que os alunos façam um traço com caneta na linha de corte

antes de cortar. Atividade 2 Construindo Triângulos Retângulos Semelhantes 2. Pegue dois dos três triângulos que você

recortou. Faça do bras como as indicadas na Figura Em seguida, com o auxílio de uma régua, faça um corte na marca da dobra. Você deve obter dois novos triângulos.

FIGURA 3

Mais uma dica para esse momento:

Dica 3: Faça a dobra de corte seguindo a base maior do triângulo.

Nesse momento os alunos devem ser bem auxiliado pelo professor na hora da dobra. É importante que, ao

dobrar, eles façam coincidir as duas partes do lado maior do triângulo (a que está por baixo e a que vem por cima). É isso que garantirá que o novo triângulo formado seja também um triângulo retângulo. Outra

orientação que deve ser dada para os alunos é que, ao dobrar, eles devem fazê-lo de duas maneiras

diferentes. Isto é, o tamanho da dobra tem que ser diferente. Só assim é possível obter dois novos

triângulos de tamanhos diferentes. É importante estar atento aos procedimentos dos alunos e verificar se eles

obtiveram três triângulos semelhantes. Se eles não fizerem a dobra de forma correta, os novos lados

formados após a dobra não serão perpendiculares às bases.

Separe os dois novos triângulos obtidos no item anterior e o triângulo feito na Atividade 1.

Observe-os.

3. O que esses triângulos têm em comum? Discuta com seus colegas e registre a seguir.

______________________________________.

Agora, você pode parar e ter um momento de reflexão com seus alunos. Deixe-os livres para observarem os três triângulos. Se eles compreenderam bem as noções de semelhança estudadas no 9º ano, eles poderão, sozinhos, perceber que os três triângulos são semelhantes. Não deixe de questionar sobre qual é o argumento que justifica esta conclusão. Se a resposta não chegar de forma imediata, propomos, nos próximos itens, algumas perguntas para orientar a chegada a essa conclusão.

4. Compare os ângulos dos triângulos. Para isso você pode uti lizar o transferidor ou

sobrepor os triângulos

Nesse item os alunos devem comparar os ângulos dos três triângulos. Essa comparação pode ser feita sobrepondo os triângulos ou com o auxílio de um transferidor. Como em todo processo de medição, podem ocorrer pequenas diferenças devido à imprecisão do instrumento ou ao próprio ato de medir. Então, esteja atento a esse detalhe e não deixe de explicar isso aos seus alunos. Não podemos esquecer de valorizar qualquer participação de seus alunos, mesmo que algumas vezes aparentem ser incoerentes e inconsistentes. Esta atitude é essencial em qualquer processo interativo de aprendizagem, gerando maior confiança e um pouco mais de motivação entre os alunos.

5. Relembre com seus colegas o que duas figuras devem ter para serem classificadas como semelhantes.

Registre suas conclusões. ________________________________________________.

6. E aí? Podemos afirmar que esses três triângulos são se melhantes? Discuta com seus colegas e registre.

______________________________

Ajude seus alunos a perceberem que os triângulos são semelhantes. Mostre para eles a imagem abaixo. Certamente ela vai auxiliá-lo.

Se os alunos não perceberem sozinhos que os três triângulos são semelhantes, isso pode indicar que eles não dominam o conceito de semelhança. Nesse caso, sugerimos que você retome esse assunto e, em seguida, mostre que a maneira pela qual esses triângulos foram construídos – a dobra gera uma paralela a um dos lados- garante que os três ângulos desses triângulos sejam congruentes e portanto, podemos afirmar que os triângulos são semelhantes. Mais uma vez chamamos atenção para a importância de se dobrar adequadamente os triângulos, pois disso depende a obtenção dos triângulos semelhantes.

Segunda aula:

O professor vai apresentar as teorias e as definições sobre Triângulo retângulo e sobre razões trigonométricas, e com as medidas dos lados, com os ângulos nomeados, os alunos irão identificar o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotesa desses triângulos, os alunos irão preencher a tabela adquirindo o conhecimento e calculo do seno, coseno e da tangente, desses triângulos.

Atividade 3

Calculando as Razões Trigonométricas em Triângulos Retângulos Semelhantes

7. Separe os três triângulos retângulos semelhantes obtidos na atividade anterior. Posicione-os como indicado na ima gem a seguir e, para organizar o que faremos nos itens a seguir, numere-os.

8. Indique por β1 β2 β3 os ângulos mais à esquerda de cada um dos triângulos

Indique para seus aluno qual ângulo deve ser nomeado em cada um dos triângulos.

9. Com o auxílio de uma régua, meça os lados dos triângulos e anote as medidas em cada uma das tabelas a

seguir. Em seguida, preencha os dados referentes às razões, utilizando uma calculadora para determinar esses valores.

 

 Nesse momento o irá deixar bem claro para os alunos que, os itens 7 e 8 são muito importantes, pois

ajudarão seus alunos a organizarem os triângulos para a posterior tabulação dos dados.Para a medição

solicitada no item 9,não deixe de orientar seus alunos a serem cuidadosos. Mesmo com cuidado é possível que haja, pequenas

diferenças em virtude da imprecisão própria do ato de medir ou dos

instrumentos utilizados. Além disso, chame atenção da turma para a necessidade de se fazer aproximações,

pelo menos para centésimos.Esse será um bom momento para fazer uma revisão sobre os critérios de aproximação, pois alguns alunos podem não lembrar

ou não conhecer exemplos simples, como as aproximações: 

5,647 Igual 5,65 aproximadamente 3,123 Igual 3,12 aproximadamente

10. Agora é momento da observação. Observe os valores dos senos dos ângulos β. O que você percebe?

____________________________________________________________________. 

11. E com os valores dos cossenos? É possível perceber alguma semelhança? Qual?

____________________________________________________________________.

 

12. E com os valores das tangentes? É possível perceber alguma semelhança? Qual?

____________________________________________________________________.

 13. Será que o tamanho do triângulo influencia no valor

das razões trigonométricas? A que conclusão seus colegas chegaram? Discuta com eles e veja se vocês chegaram às mesmas conclusões. Registre a seguir.

____________________________________________________________________. 

Terceira aula:

O professor vai apresentar o software Geogebra e ensinar como será feita as construções destes triângulos retângulos, a achar o lado e o ângulo destes triângulos, para realizar o calculo do seno, do coseno e da tangente desses triângulos com o Geogebra.

Olá queridos alunos, nesta atividade usaremos o software GeoGebra, para construir triângulos retângulos, medir os seus ângulos internos e cal cular a medida de seus lados. Com estas infor mações iniciais, determinaremos, também, o valor aproximado das razões trigonométricas asso ciadas, comparando-as com os valores de senos e cossenos, obtidos a partir de uma calculadora científica. Finalmente, utilizaremos este processo para determinar, de forma aproximada, as ra zões trigonométricas dos ângulos notáveis.

Atividade 1 Iniciando a Construção de Triângulos

Retângulos

1. Após ter iniciado o programa GeoGebra, vamos deixar a tela com o formato ideal para a execução de nosso trabalho. Para isto, faça um clique com o mouse, seguindo a sequên cia dada nas imagens 1, 2 e 3.

FIGURA 1

FIGURA 2

FIGURA3

A tela que sugerimos é a de uma malha quadrangular com li nhas tracejadas, como mostra a Figura 4.

FIGURA 4

2. Agora, desenharemos um triângulo retângulo. Para isto, você deve procurar pelo ícone, mostrado na

Figura 5 (5º botão da barra de ferramentas) e fazer um clique com o mouse no local indicado.

Posteriormente, marque a opção “Polígono”, como mostra a Figura 6.

FIGURA 5

FIGURA 6

3. Na área de trabalho, escolha um ponto para ser o ponto A, fazendo apenas um clique com o mouse.

Observe a Figura 7 e veja como você deve escolher o ponto A. 

FIGURA 7 FIGURA 7

FIGURA 7

4. Seguindo a linha da malha, leve o mouse até outra posição da sua escolha para marcar o ponto B. Clique uma única vez e o ponto B aparecerá na sua área de trabalho.

Ao fazer esse movimento, você observará uma linha, acompa nhando o cursor no seu deslocamento, como indicado na Figura 7.

5. Agora, seguindo a malha na direção perpendicular a do segmento AB, escolha um ponto para ser o ponto C. Não se esqueça: apenas um clique é necessário!

Ao mover o cursor, você verá o triângulo sendo formado, como indicado na Figura 8.

FIGURA 8

6. Finalmente, leve novamente o cursor até o ponto A e faça um clique, para fechar o polígono.

Você deve ter desenhado um triângulo, como indicado na Fi gura 9, certo?

FIGURA 9

Nesse início, que vocês alunos manipulem o programa e, para isso, apresentamos uma sequência de

orientações. Entretanto, é inte ressante que vocês fiquem à vontade com relação à escolha do tamanho do

triângulo. Apenas vou enfatizar para vocês alunos a sugestão de marcar os pontos sobre as linhas

tracejadas da malha, fato que lhes ajudará a construir um ângulo reto. Caso algum de vocês não tenha seguido esta sugestão, não se preocupe, pois ele

poderá fazer a corre ção de seu triângulo na próxima atividade. Os desenhos sugerem que o triângulo tenha

o for mato e a disposição no plano apresentados nas imagens anteriores. Mas, ele também poderia ter sido

feito de outras maneiras como, por exem plo, as apresentadas na figura abaixo.

Não podemos de valorizar a estratégia escolhida por vocês alunos, visando a um estudo autônomo e independente.

Caro aluno, caso não tenha conseguido um ângulo reto no vértice B, você deve clicar duas vezes no vértice C. Feito isto, em seguida aparece rá uma janela “Redefinir” (veja Figura 14). Logo, dê um “OK”.

Posteriormente, posicione o cursor sobre o ponto C e deixe apertado o botão esquerdo do mouse, levando-o até alguma posição que gere um ângulo reto e, em seguida, solte-o.

Você observará que o vértice C movimenta-se, segundo a direção do cursor (veja Figura 15). Desta forma, você poderá corrigir seu triângulo ou mudá-lo totalmente.

FIGURA 14

FIGURA 15

Atividade 3 Encontrando a Medida dos Lados de um

Triângulo.1. No 8º botão da barra de ferramentas, procure pela opção “Distância, Comprimento ou Perímetro”, como

mostra a Figura 16.

FIGURA 1

2. Com a opção “Distância, Comprimento ou Perímetro” marca da, para medir o segmento AB, você

deve clicar apenas uma vez no ponto A e depois no ponto B. Feito isso, automatica mente aparecerá a

medida correspondente a este segmento.Repita o mesmo procedimento para medir os

segmentos AC e BC. Veja na Figura 17, por exemplo, como deverá ficar o seu triângulo.

FIGURA 17

Nas atividades 2 e 3, seu aluno deve apenas utilizar as ferramentas do GeoGebra para determi nar as medidas dos ângulos e lados do triângulo construído. Seu papel será o de orientador. Perceba se seu aluno está fazendo corretamente as sugestões das atividades e, caso tenha um aluno mais esperto, peça que ele ajude seus colegas.

Quarta aula

Terminar de preencher as tabelas com o calculo do seno, coseno e tangente. O professor irá propor uma discussão para retirar todas as dúvidas dos alunos acerca do conteúdo. O professor irá auxiliar os alunos para preencher as tabelas dos exemplos e Com as medidas do lados desse triângulo e dos ângulos, os alunos deveram encontrar as razões trigonométricas, deveram coletar os dados e preencher a tabela, com o uso da calculadora fazer as contas.

Atividade 4Encontrando as Razões

TrigonométricasChegou o momento de coletar os

nossos dados. 1. Preencha a tabela abaixo com as

medidas encontradas na atividade 3. Use uma calculadora para fazer as contas.

 

É importante que vocês alunos façam o preenchimento correto da tabela. Primeiro, eles devem preencher as primeiras células das duas colunas da direita de acordo com o seu triângu lo. Depois disso, estarão aptos a preencher as outras linhas. Cuidado, pois essa é uma “tabela dupla”, onde os alunos deverão preencher primeiro as infor mações relativas a um ângulo e, em seguida, as mesmas informações relativas ao outro ângulo. É interessante também orientá-los para escreve rem o símbolo da razão trigonométrica, seguido do ângulo correspondente, como por exemplo, sen(43º). Não deixe de fazer isso, pois, em ge ral, os alunos não entendem que não podemos falar só seno ou cosseno, é preciso mencionar o ângulo associado. Como você deve ter percebido, a orientação des sa atividade será bem trabalhosa, afinal, cada aluno gerará o seu triângulo. Não deixe de acompanhar o passo a passo de seus alunos

QUINTA AULA

Nesta etapa ensinaremos aos os alunos a transformar o calculadora do computador em uma calculadora cientifica, já que nos próximos itens, precisaremos de uma calculadora cien tífica. Você sabe transformar a calculadora de seu computador numa calculadora científica?

Para os próximos itens, precisaremos de uma calculadora cien tífica. Você sabe transformar a calculadora de seu computador numa calculadora científica?

Veja como é fácil:

..Abra a calculadora;

..Clique em “Iniciar”, em seguida, em “Todos os Programas” e, finalmente, em “Acessórios”;

.Clique no botão “Exibir” e selecione a opção “Científica”.

 Repare que a calculadora apresenta mais

botões. Você deverá utilizar os botões “sin”, “cos” e “tan” para seno, cosseno e tangente, res pectivamente.

Qualquer dúvida, peça ajuda ao seu professor.

2. Com o auxílio da Calculadora Científica disponível no seu computador, preencha a

tabela a seguir

Professor, a Tabela Trigonométrica é uma fer ramenta muito útil na nossa sala de aula. Entre tanto, a maioria dos ângulos

obtidos, através da construção sugerida, são ângulos não inteiros. Por essa razão, optamos por indicar que os alu nos

utilizem a calculadora científica. Os alunos devem ser orientados a respeito da aproximação, pelo menos para

centésimos. Sabemos que, nesse tipo de atividade, é muito comum o aluno depa rar-se com números com casas decimais.

Por isso, ele deve saber como agir nessa situação. Foi por essa razão que, nas atividades anteriores muitas, sugerimos

que fosse feita uma breve revisão so bre os critérios de aproximação. Não se esqueça de verificar se os alunos estão usando corretamente a notação.Preenchimento da tabela não

apenas com o valor, mas também com o símbolo da razão trigonométrica. Por exemplo, se um dos ângulos medir 63º,

en tão ele deverá escrever na última coluna,

  sen (63º) ≌ 0,89   cos (63º) ≌ 0,45

tg (63º) ≌ 1,96

SEXTA AULA

Nesta etapa ainda com o Geogbra entra em discussão com aos alunos os problemas abaixo em dupla, encontrando

as Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis: 1. Seguindo as dicas dadas na atividade 2, construa a partir de seu triângulo (utilizando a opção redefinição) um outro de ângulos agudos 30º e 60º. Depois preencheremos as tabelas

a seguir. Atividade 5 Encontrando as Razões Trigonométricas dos Ângulos

Notáveis 

1. Seguindo as dicas dadas na atividade 2, construa a partir de seu triângulo (utilizando a opção redefinição)

um outro de ângulos agudos 30º e 60º. Depois preencha as seguintes

tabelas: 

 

Como destacamos anteriormente, é importante que seus utilizemos corretamente a notação. Eles devem

obter os seguintes valores:

 

2. Compare os resultados encontrados com os valores obtidos por seus colegas e responda:

a) Estes valores são aproximadamente idênticos?__________________________________________________________. b) As razões trigonométricas independem do tamanho do tri

ângulo?__________________________________________________________. c) As razões trigonométricas dependem de que valor?__________________________________________________________. d) Então, qual é a relação de comparação que deve existir entre

dois triângulos retângulos, para que os seus ângulos correspondentes tenham as mesmas razões trigonométricas?

_________________________________________________________.

SETIMA AULA

Nesta última etapa esperamos que os alunos reflita sobre tudo que fizemos durante os roteiros. Esperamos que eles percebam que os valores obtidos das diversas maneiras podem ser consi derados iguais, uma vez que as razões trigono métricas dependem apenas do ângulo e não do triângulo que utilizamos para obtê-las. Ou seja, esperamos que essa sequência de atividades aju de aos alunos a compreenderem que em triângulos semelhantes os senos, cossenos e tangentes de ângulos correspondentes são iguais.Nesta etapa também será realizada uma avaliação, que o professor vai aplicar aos alunos para ajudar a verificar o que os alunos realmente entenderam e quais eles ainda apresentam dúvidas,

para que o professor volte e tire as dúvidas dos alunos, onde há dúvidas.

Referências bibiográficas:

http://www.slideshare.net/luisadr/projeto-execucao-luis-alberto-20-out-2012-vf.

Grande parte deste material foi retirado do material fornecido pelo curso de formação continuada no site da cecierj.