raciocinio logico

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Instituto Nacional do Seguro Social

Raciocínio Lógico

Jucilândio

Expressões, proposições e valores

lógicos

Proposição é toda sentença declarativa que pode

ser julgada verdadeira ou falsa.

Exemplos: (descubra o valor lógico)

“O poeta Castro Alves era baiano.”

“Fortaleza é a capital do estado da Bahia.”

3 x 7 = 35

Proposição

Existe sentença que não é proposição?

Expressões interrogativas:

“Onde fica a Praça da República?”

Expressões exclamativas:

“Mal posso acreditar!”

Expressões imperativas:

“Leia e viva melhor.”

“Estude, garoto, estude.”

Sentenças

Expressões sem verbo:

“A vida nos crimes – a morte na dor.”

“O poema de Castro Alves.”

Promessas:

“Após o carnaval, começarei a estudar.”

“Prometo ser fiel, na alegria e na tristeza, na saúde e na

doença, até que o chifre nos separe.”

Sentenças

Poemas:

“Oh! Bendito o que semeia

Livros... livros à mão cheia...

E manda o povo pensar!

O livro caindo n'alma

É germe — que faz a palma,

É chuva — que faz o mar.”

(Castro Alves)

“Ser ou não ser! Eis a questão” (Shakespeare)

Sentenças abertas:

(x+7) < 20

X é um mamífero.

Sentenças paradoxais:

“Esta frase é falsa.”

Sentenças

Como transformar uma sentença aberta

em proposição?

Atribuição de valores;

Uso de quantificadores:

Todo, existe um, nenhum, qualquer que seja, algum...

Qualquer que seja o X, temos que (X+7) < 20

Proposições simples, compostas e

conectivos

Toda sentença fechada declarativa que exprime um

pensamento, desde que esse possa ser julgado

verdadeiro ou falso.

Por convenção, designa-se as proposições simples

pelas letras minúsculas p, q, r, etc.

Ex: p: Castro Alves escreveu “A Escrava Isaura.”

Proposição simples:

Formada por duas ou mais proposições simples.

As proposições compostas são representadas pelas

letras maiúsculas P, Q, R, etc.

Ex: P: Castro Alves era baiano e poeta.

p: Castro Alves era baiano.

q: Castro Alves era poeta.

Proposição composta

Como identificar o tipo de proposição?

•Bernardo Guimarães e Castro Alves foram

escritores abolicionistas.

•Ronaldinho é brasileiro e jogador de futebol.

•Elaine e Denise são colegas de trabalho.

•Luana é professora de biologia e dona de casa.

ATENÇÃO!

•Toda e qualquer proposição somente pode ser

falsa ou verdadeira – não haverá outra condição.

•Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa

ao mesmo tempo.

(FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma

mesma característica lógica em comum, enquanto uma

delas não tem essa característica.

I. Que belo dia!

II. Um excelente livro de raciocínio lógico.

III. O jogo terminou empatado?

IV. Existe vida em outros planetas do universo.

V. Escreva uma poesia.

Questões

A frase que não possui essa característica comum é a

A) I. C) III. E) V.

B) II. D) IV.

Questões

Os conectivos

São expressões utilizadas na formação de novas

proposições. Podem ser representadas por sinais

lógicos

Conectivos

e....................... Ʌ (conjunção)

ou..................... V (disjunção ou adjunção)

ou...ou.............. V (disjunção exclusiva)

então................ → (condicional)

se, e somente se ↔ (bicondicional)

Sinais

Conjunção

Proposição composta por duas outras quaisquer (p

e q) ligadas pelo conectivo e.

Exemplos:

“O leão vive na África e o pinguim vive no Pólo.”

p: O leão vive na África.

q: O pinguim vive no Pólo.

Conectivo “e”

O valor lógico de uma conjunção será VERDADEIRO

somente quando as duas proposições forem

verdadeiras!

p: O leão vive na África.

q: O pinguim vive no Polo.

Valores

“O leão vive na África e o pinguim vive no Pólo.” v

Tabela verdade da Conjunção

p q Resultado

Conjunção “e”

Outras formas de Conjunção

“Paula estudou, mas não passou no concurso.”

(Paula estudou e não passou no concurso)

“Tanto Maria foi viajar quanto José foi estudar.”

(Maria foi viajar e José foi estudar)

Conjunções

“A Seleção Brasileira venceu, mas não convenceu.”

“Tanto o atacante fez gol quanto brigou em

campo.”

Conjunções

[Conjunção não é, simplesmente, o uso do “e” para ligar

proposições; bem, como disjunção não se resume, tão

somente, ao uso do “ou”. Tais nomenclaturas (conjunção,

disjunção, etc.) dão nome ao fenômeno, ao “ritual” de

ligação de proposições simples com a intenção de formar

uma composta. O conectivo é um mero instrumento desse

“fenômeno”.] (Trecho do livro “O Raciocínio Lógico Argumentativo – professor

Jucilândio)

Disjunção (inclusiva)

Chama-se disjunção a proposição composta por

duas outras quaisquer, ligadas pelo conectivo “ou”.

Exemplos:

“Flamengo será campeão ou irá para a

Libertadores.”

p: Flamengo será campeão.

q: Flamengo irá para a Libertadores.

Disjunção

O valor lógico de uma disjunção será FALSO

somente se as duas proposições que a compõem

forem falsas!

p: Flamengo será campeão.

q: Flamengo irá para a Libertadores.

Disjunção

“Flamengo será campeão ou irá para a Libertadores.”

p q Resultado

Tabela Verdade da Disjunção

(ESAF-2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim, a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel. b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara. c) sou amiga de Nara e amiga de Abel. d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara. e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.

Questões

Valores lógicos de condicionais,

bicondicionais e disjunções exclusivas

Chama-se condicional a proposição composta por

duas outras quaisquer, ligadas pelo conectivo

então.

Exemplos:

“Se a vaca pasta, então a grama é verde.”

p: A vaca pasta.

q: A grama é verde.

Condicional

O valor lógico de uma condicional será FALSO

somente se a primeira proposição for verdadeira e

a segunda for falsa!

p: A vaca pasta.

q: A grama é verde.

Busca pelo valor lógico (p → q)

“Se a vaca pasta, então a grama é verde.” F V

p q Resultado

Tabela verdade da Condicional

(ESAF-AFC-2006) Se X está contido em Y, então X está contido em Z. Se X está contido em P, então X está contido em T. Se X não está contido em Y, então X está contido em P. Ora, X não está contido em T. Logo: a) Z está contido em T e Y está contido em X. b) X está contido em Y e X não está contido em Z. c) X está contido em Z e X não está contido em Y. d) Y está contido em T e X está contido em Z. e)X não está contido em P e X está contido em Y.

Questões

1) Se X está contido em Y, então X está contido em Z. 2) Se X está contido em P, então X está contido em T. 3) Se X não está contido em Y, então X está contido em P. Ora, X não está contido em T.

Questões

Chama-se disjunção exclusiva a proposição

composta por duas outras quaisquer, ligadas pelo

conectivo ou...ou.

Exemplos:

“Ou Mônica é professora ou fiscal da receita.”

p: Mônica é professora.

q: Mônica é fiscal da receita.

Disjunção exclusiva

O valor lógico de uma disjunção exclusiva será

FALSO somente se as duas proposições forem,

simultaneamente, verdadeiras ou, simultaneamente,

falsas!

p: Mônica é professora.

q: Mônica é fiscal da receita.

Busca pelo valor lógico (p V q)

“Ou Mônica é professora ou fiscal da receita.” F

p q Resultado

Tabela verdade da Disjunção Exclusiva

José nasceu em Pernambuco ou no Paraná.

p: José nasceu em Pernambuco.

q: José nasceu no Paraná.

Disjunção exclusiva subentendida

Chama-se bicondicional a proposição composta por

duas outras quaisquer, ligadas pelo conectivo se, e

somente se.

Exemplos:

“Vou à piscina se, e somente se fizer sol.”

p: Vou à piscina.

q: Fizer Sol.

Bicondicional

O valor lógico de uma bi condicional será

VERDADEIRO somente se as duas proposições

forem, simultaneamente, verdadeiras ou,

simultaneamente, falsas!

p: Vou à piscina.

q: Fizer sol.

Busca pelo valor lógico (p ↔ q)

“Vou à piscina se, e somente se fizer sol.” V

p q Resultado

Tabela verdade da bicondicional

(FCC) Paloma fez as seguintes declarações:

“Sou inteligente e não trabalho.”

“Se não tiro férias, então trabalho.”

Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO

concluir que Paloma:

Questões

a) é inteligente.

b) tira férias.

c) trabalha.

d) não trabalha e tira férias.

e) trabalha ou é inteligente.

Questões

(ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema; se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa; se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla, logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.

Questões

• Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema;

• se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa;

• se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla.

Ora, Raul não briga com Carla.

Questões

(Cespe-2008-Analista) Com relação à lógica formal, julgue os

itens subsequentes.

86) A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma

proposição simples.

87) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores

lógicos.

88) A negação da proposição “2+5=9” é a proposição “2+5=7”.

Questões

[ESAF] Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo.

Ora, não velejo. Assim:

a) estudo e fumo;

b) não fumo e surfo;

c) não velejo e não fumo;

d) estudo e não fumo;

e) fumo e surfo.

Questões

1) Surfo ou estudo.

2) Fumo ou não surfo.

3) Velejo ou não estudo.

Ora, não velejo

[ESAF] Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é

florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta.

a) o jardim é florido e o gato mia;

b) o jardim é florido e o gato não mia;

c) o jardim não é florido e o gato mia;

d) o jardim não é florido e o gato não mia;

e) se o passarinho canta, então o gato não mia.

Questões

Se o jardim não é florido, então o gato mia.

Se o jardim é florido, então o passarinho não canta.

Ora, o passarinho canta

Questões

[ESAF] Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul

mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um

leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala.

a) Nestor e Júlia disseram a verdade;

b) Nestor e Lauro mentiram;

c) Raul e Lauro mentiram;

d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade;

e) Raul e Júlia mentiram.

Questões

• Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram.

• Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade.

• Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala.

Ora, não há um leão feroz nesta sala.

Questões

[ESAF-] Determinado rio passa pelas cidades A, B e C. Se chove

em A, o rio transborda. Se chove em B, o rio transborda e, se

chove em C, o rio não transborda. Se o rio transbordou, pode-se

afirmar que:

a) Choveu em A e choveu em B;

b) Não choveu em C;

c) Choveu em A ou choveu em B;

d) Choveu em C;

e) Choveu em A.

Questões

• Determinado rio passa pelas cidades A, B e C.

• Se chove em A, o rio transborda.

• Se chove em B, o rio transborda e, se chove em C, o rio não

transborda.

O rio transbordou.

Questões

(Olimpíada de Lógica) Considere a afirmação Z, abaixo, e leve

em conta que toda ela é falsa:

Z: “X ou Y”

Considere, ainda, que X e Y possuem os seguintes conteúdos:

X: “O rato roeu a roupa do rei de Roma”

Y: “Se o rato rói, então a roupa não é do rei de Rhana”

Questões

Com base na análise lógica argumentativa, a alternativa correta

a) O rato não rói.

b) O rato roeu a roupa do rei de Roma.

c) O rato rói e a roupa é do rei de Roma.

d) A roupa é do rei de Rhana e o Rato rói.

e) Rato não rói roupa de rei.

Questões

• “O rato roeu a roupa do rei de Roma”

• “Se o rato rói, então a roupa não é do rei de Rhana”

Questões

[ESAF-] Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então

Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito.

Ora, Jorge é juiz. Logo:

a) Jorge é juiz e Breno é bonito;

b) Carlos é carioca ou Breno é bonito;

c) Breno é bonito e Ana é artista;

d) Ana não é artista e Carlos é carioca;

e) Ana é artista e Carlos não é carioca.

Questões

• Ana é artista ou Carlos é carioca.

• Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito.

• Se Carlos é carioca, então Breno é bonito.

Ora, Jorge é juiz

Questões

[ESAF-AFC-CGU] Ana é prima de Bia, ou Carlos é

filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então

Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de

Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é

irmão de Maria. Logo:

Questões

a) Carlos é filho de Pedro, ou Breno é neto de Beto;

b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia;

c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro;

d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto;

e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

Questões

1) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro.

2) Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é

neto de Beto.

3) Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto

de Beto.

Ora, Jorge é irmão de Maria.

Questões

1) (Olimpíada de Lógica) Considere a afirmação

P disposta abaixo:

P: “Se A, então, B”

Onde A e B, por sua vez, são as seguintes

afirmações:

A: “Paixão não mata”

B: “Engorda ou traz felicidade”

Questões

Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo,

conclui-se que:

a) Paixão mata.

b) Paixão engorda.

c) Paixão traz felicidade.

d) Paixão mata ou engorda.

e) Paixão não mata.

Questões

(Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a

afirmação P:

P: “A ou B”

Onde A e B, por sua vez, são as seguintes

afirmações:

A: “Carlos é dentista”

B: “Se Ênio é economista, então Juca é arquiteto”.

Questões

Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:

a) Carlos não é dentista; Ênio não é economista; Juca não é

arquiteto.

b) Carlos não é dentista; Ênio é economista; Juca não é arquiteto.

c) Carlos não é dentista; Ênio é economista; Juca é arquiteto.

d) Carlos é dentista; Ênio não é economista; Juca não é arquiteto.

e) Carlos é dentista; Ênio é economista; Juca não é arquiteto.

Número de linhas da

tabela-verdade

•Por que podem possuir mais de quatro linhas?!

•As combinações de Verdadeiro e Falso na tabela-verdade

•As infinitas possibilidades de combinações de proposições

•Sendo infinitas/inumeráveis, é possível calcular o número

de linhas de qualquer tabela imaginada?

Número de linhas da tabela-verdade

• O número de linhas de uma tabela-verdade qualquer é obtido

através de uma potência, onde a base é a quantidade de valores

lógicos possíveis, e o expoente é o número de proposições

simples.

• Exemplo de proposição composta por três proposições simples:

“Se Maria é irmã de Walesca, então Jorge é irmão de Daniel e Pedro é primo do Mário”

Cálculo do número de linhas

Tabela resultante de

três proposições sim

ples e o número de

linhas.

Como negar proposições

Negação da Conjunção

~(p Ʌ q) ~p v ~q

Exemplo:

P: “Gorete joga futebol e Mariana prefere tênis”

p: Gorete joga futebol.

q: Mariana prefere tênis.

~(p Ʌ q): “Gorete não joga futebol ou Mariana não

prefere tênis”

Negação da Disjunção

~p Ʌ ~q ~(p v q)

Exemplo:

P: “Manoela é rubro-negra ou 2+2=5”

p: Manoela é rubro-negra.

q: 2+2=5.

~(p V q): “Manoela não é rubro-negra e 2=2≠5”

Questão de concurso

(Cesgranrio) A negação de “2 é par e 3 é ímpar” é:

2 é par e 3 é ímpar.

2 é par ou 3 é ímpar.

2 é ímpar e 3 é par.

2 é ímpar e 3 é ímpar.

2 é ímpar ou 3 é par.

Negação da Condicional

p Ʌ ~q ~(p → q) Exemplo:

P: “Se faz sol, vou à praia”

p: Faz sol.

q: Vou à praia.

~(p → q): “Faz sol e não vou à praia”

Negação da Condicional

p Ʌ ~q ~(p → q) Exemplo:

P: “Se uma pessoa é gaúcha, então bebe

chimarrão”

p: Uma pessoa é gaúcha.

q: Bebe chimarrão.

~(p→q): “Uma pessoa é gaúcha e não bebe

chimarrão.”

(ESAF) A negação da afirmação condicional “se Ana

viajar, Paulo vai viajar” é:

Ana não está viajando e Paulo vai viajar.

se Ana não viajar, Paulo vai viajar.

Ana está viajando e Paulo não vai viajar.

Ana não está viajando e Paulo não vai viajar.

se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar.

(Cesgranrio) Alguém declara: “Se uma pessoa é gaúcha,

então bebe chimarrão”. Para provar que essa declaração é

falsa, basta encontrar uma pessoa que:

Seja gaúcha e não beba chimarrão.

Seja gaúcha e beba chimarrão.

Não seja gaúcha e beba chimarrão.

Não seja gaúcha e não beba chimarrão.

Ou seja gaúcha ou beba chimarrão.

Negação da Disjunção Exclusiva

(~p Ʌ ~q) ou (p Ʌ q) ~(p v q)

Exemplo:

P: “Ou Ana é médica ou advogada”

p: Ana é médica.

q: Ana é advogada.

~(p v q): “Ana não é médica e Ana não é

advogada” ou “Ana é médica e advogada.”

(Olimpíada de Lógica) A negação de “ou vai ou

racha” é:

a) Não vai e não racha

b) Vai e racha

c) Não vai e racha

d) Racha e não vai

e) A e B corretas

Negação da bi condicional

(p Ʌ ~q) V (~p Ʌ q) ~(p ↔ q)

P: “Dois lados de um triângulo são congruentes se, e

somente se os seus ângulos opostos são congruentes.”

p: Dois lados de um triângulo são congruentes.

q: Seus ângulos opostos são congruentes.

Negação da bi condicional

(p Ʌ ~q) V (~p Ʌ q) ~(p ↔ q)

~(p → q): “Dois lados de um triângulo são

congruentes e seus ângulos opostos não são

congruentes” ou “Dois lados de um triângulo não

são congruentes e seus ângulos opostos são

congruentes”.

(Olimpíada de Lógica) “Falar é prata se, e somente

se, calar for ouro”. A negação lógica dessa sentença

a) Falar é prata e calar é ouro

b) Falar é ouro ou calar é prata

c) Falar é prata e calar não é ouro

d) Falar não é prata e calar é ouro

e) C e D corretas

Equivalência de Proposições

Dupla negação

~ ~p p

“Não é verdade que Colombo

não descobriu a América.”

“Colombo descobriu a América.”

Propriedade Comutativa

“Joana é advogada e Paulo é

engenheiro.”

“Paulo é engenheiro e Joana é

advogada.”

p Ʌ q q Ʌ p

“Joana é advogada ou Paulo é

engenheiro.”

“Paulo é engenheiro ou Joana é

advogada.”

p V q q V p

“Chove se, e somente se faz sol.”

“Faz sol se, e somente se chove.”

p ↔ q q ↔ p

As afirmações categóricas e os

quantificadores

O quantificador Universal

O quantificador Existencial

A negação do quantificador Universal

A negação do quantificador Existencial

O quantificador universal, representado pelo

símbolo equivale às expressões “todo”,

“para todo”, “qualquer que seja” e “para

cada” (ou outras sinônimas).

Tautologia

Porcentagem

(Técnico Previdenciário-INSS-Cesgranrio-2005)

Questão/exemplo 1: Qual é o capital cujos 8%

é igual a R$ 2.000,00?

Porcentagem

Aulão Para o INSS (com Jucilândio Sousa)

Montagem prática da tabela-verdade

Uso da regra-de-três na solução de

problemas básicos

Porcentagem

Questão: Em uma turma de Engenharia, 25%

são homens. Sabendo que existem 15 mulheres,

quantos alunos há nesta turma?

Porcentagem

Problema 1: determinada classe de

trabalhadores recebe um aumento de 35% sobre o

salário. Sabendo que o salário antigo era de R$

2.500,00, qual será o novo salário?

1) Resolução por fórmula;

2) Resolução por regra de três.

Problemas

Problema 2: Ao longo de um conturbado dia útil,

determinado gerente de vendas recebe duas ordens de aumento

dos preços de uma linha de produtos: Às 9 horas, seu superior

imediato ordena a elevação dos preços em 10% e, ao meio dia,

em 15%. Considerando que o nobilíssimo gerente de vendas

tenha esquecido de aumentar os preços quando da primeira

ordem e, por razões técnicas, necessita aplicar ambos os

aumentos de uma só vez, calcule a taxa única, resultado da soma.

Problemas

(Técnico Previdenciário-INSS-FCC-2012)

Em uma turma de 100 alunos, 63 sabem escrever apenas com a mão

direita, 5 não sabem escrever, 25% dos restantes sabem escrever tanto

com a mão direita quanto com a esquerda, e os demais alunos sabem

escrever apenas com a mão esquerda.

Dessa turma, a porcentagem de alunos que sabe escrever com apenas

uma das duas mãos é de

(A) 86%.

(B) 87%.

(C) 88%.

(D) 89%.

(E) 90%.

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