QUESTÃO 1

1

INTRODUÇÃO CONCEITOS E ALGORITMOS.

Id: todas as vezes que tivermos que contar,

quantificar, arranjar... Temos um problema de

análise combinatória ou princípio fundamental

da contagem. P.F.C.

Que: fórmulas e diferença entre; permutação,

arranjo e combinação

Técnica de resolução: veremos a seguir...

2

RACIOCÍNIO LÓGICO

Análise combinatória ou principio fundamental da contagem.

Toda vez que houver a necessidade de se contar, quantificar,

combinar... Usamos as técnicas de análise combinatória que

consiste em utilizar uma das três técnicas. PERMUTAÇÃO,

ARRANJO ou COMBINAÇÃO.

3

RACIOCÍNIO LÓGICO

Fatorial.

n! = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-4).... Ate que a subtração por n

seja igual á 1.

4! = 4x3x2x1= 24

5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120

8! \ 4! = ?

9! \ 6! x 2! = ?

12! \ 8! X 4! = ?

4

RACIOCÍNIO LÓGICO

PEMUTAÇÃO.

Só usamos a permutação quando podemos repetir

elementos do problema.

Usamos o seguinte esquema.

Pos x pos x pos x pos........

Ex; quantas senhas diferentes com quatro dígitos

podem ser formadas ?

Temos; 10 x 10 x 10 x 10 = 10000

5

RACIOCÍNIO LÓGICO ARRANJO.

se em um problema não podemos repetir elementos vemos se a

ordem desses elementos é importante para a solução, se for

temos um problema de ARRANJO.

formula. A n,p = n! \ (n-p)!

Ex; deseja-se formar uma comissão composta por 3 pessoas sendo

um presidente, um secretário e um vice-presidente. Escolhe-se ao

acaso essas pessoas de um grupo de 6 pessoas quantas

possibilidades diferentes temos para montar essas comissões?

Temos n= 6 p = 3 A 6,3 = 6! \ ( 6 – 3 )! 6x5x4x3!\3! = 6x5x4=120

6

RACIOCÍNIO LÓGICO Combinação

ao testar em um problema se o mesmo é uma permutação ou um

arranjo, e ao notar que não é podemos ver que a ordem dos

elementos se torna importante e temos um problema de

combinação.

Fórmula. C n,p = n! \ p! ( n-p )!

Ex; quantas saladas de frutas podem ser feitas utilizando 4 frutas

escolhidas de uma sexta com 7 frutas?

n= 7 p = 4 temos; C 7,4 = 7! \ 4! ( 7- 4 )! 7! \ 4! x 3!

7x6x5x4 \ 3x2x1 = 35

7

RACIOCÍNIO LÓGICO

EXERCITANDO.

Questão 1

Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas

para serem usados em uma propaganda na televisão, em

expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha,

também, que a quantidade total de nomes escolhidos para

aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da

propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes

distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares

diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.

8

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 2

Há exatamente 495 maneiras diferentes de se

distribuírem 12 funcionários de um banco em

3 agências, de modo que cada agência receba

4 funcionários.

9

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 3

Se 6 candidatos são aprovados em um

concurso público e há 4 setores distintos onde

eles podem ser lotados, então há, no máximo,

24 maneiras de se realizarem tais lotações.

10

RACIOCÍNIO LÓGICO QUESTÃO 7

11

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 8

12

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 9

13

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 10

O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de seis dezenas de

um conjunto de sessenta possíveis (01, 02, 03, ..., 59, 60). A

aposta mínima é feita escolhendo-se seis dessas dezenas.

José pensou em oito dezenas diferentes, e resolveu fazer o

maior número de apostas mínimas, combinando-as oito

dezenas escolhidas de todas as maneiras possíveis. Quantas

apostas fez José?

(A) 28

(B) 48

(C) 56

(D) 98

(E) 102

14

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 11

15

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 3

16

RACIOCÍNIO LÓGICO probabilidade

17

INTRODUÇÃO CONCEITOS E ALGORITMOS.

Id: fica explicito que temos um problema de

probabilidade

Que: devemos saber 4 fórmulas e seus

conceitos.

Técnica de resolução: veremos a seguir...

18

RACIOCÍNIO LÓGICO

Probabilidade.

Em resumo podemos definir probabilidade como sendo ;

Número de casos possíveis

casos prováveis.

ou

evento .

Espaço amostral.

19

RACIOCÍNIO LÓGICO Exemplo:

Qual a probabilidade de jogarmos um dado ao acaso e

termos como resultado o número 4.

Qual a probabilidade de em um baralho com 52 cartas

tirarmos uma ao acaso e a mesma ser do nipe de

copas.

20

RACIOCÍNIO LÓGICO

: A probabilidade do evento impossível é nula.

Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto

vazio (Ø), teremos:

p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0

Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas,

a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento

impossível, neste caso) é nula.

21

RACIOCÍNIO LÓGICO

A probabilidade do evento certo é igual a unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1

Por exemplo, se numa urna só existem bolas

vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola

vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.

22

RACIOCÍNIO LÓGICO

A soma das probabilidades de um evento e do seu evento

complementar é igual a unidade.

Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A'

= U.

n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).

Dividindo ambos os membros por n(U), vem:

n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:

p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois

facilita a solução de muitos problemas aparentemente

complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a

probabilidade do evento complementar e, pela propriedade

acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.

23

RACIOCÍNIO LÓGICO

ex; de probabilidade complementar.

Ao lançarmos 5 moedas ao acaso qual a probabilidade de que

pelo menos uma moeda tenha na sua face voltada para cima a

cara.

24

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 1

25

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 3

26

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 4

27

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 5

28

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 7

29

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 8

30

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 9

31

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 10

32

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 11

33

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 12

34

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 13

35

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 14

36

RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 15

Lança-se, simultaneamente, uma moeda e um dado. A

probabilidade de obtermos cara e um número par é

a) 1 / 12.

b) 2 / 12.

c) 3 / 12.

d) 4 / 12.

e) 6 / 12.

37

Logaritmos.

38

INTRODUÇÃO CONCEITOS E ALGORITMOS.

Id: fica explicito que temos um problema de

logaritmo

Que: devemos saber as propriedades dos

logaritmos

Técnica de resolução: veremos a seguir...

39

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

Logaritmo.

Log a = x equivale b x = a

b

Ex. log 81 = ?

3

Ex. log x = 5

2

40

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

Exercitando.

Log 0,01 =?

10

Log 2√2 = ?

4

Log 0,25 = ?

2

41

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

Propriedades logarítmicas.

Condições de existência de um logaritmo.

Seja log a = x

b

Temos

a > o

b > 0 e b ≠ 1

42

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

Propriedades logarítmicas.

loga (x * y) = loga x + loga y

logax/y = logax – logay

logaxm = m*logax

43

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

Exemplos.

log2(32 * 16)

log5(625/125)

Log3812

44

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

Ex.seja log 2 = 0,3 e log 3 = 0,5

Calcule log 12=?

4 45

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS. Questões de concursos.

(ceperj) Assinale a propriedade válida sempre:

a) log (a . b) = log a . log b

b) log (a + b) = log a + log b

c) log m . a = m . log a

d) log am = log m . a

e) log am = m . log a

(Supor válidas as condições de existências dos

logaritmos)

46

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) =

log 36 são:

a) 9 e -4

b) 9 e 4

c) -4

d) 9

e) 5 e -4 47

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

log3 (x + 5) = 2. podemos afirmar que x vale:

2

3

4

5

6

48

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

49

50

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

Calcule o valor do log

a) 3

b) 2.

c) 3/4

d) 3/2.

e) 6/12.

51

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale

o valor correspondente a log 144.

a) 2,22.

b) 2,19.

c) 2,06.

d) 2,14.

e) 2,27.

52

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS. CESGRANRIO – As indicações R1 e R2, na escala Ritcher, de dois terremotos

estão relacionadas pela fórmula

R1 – R2 = log(M1/M2), onde M1 e M2 medem a energia liberada pelos

terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre.

Houve dois terremotos: um correspondente a R1 = 8 e outro

correspondente a R2 = 6.

Então, a razão (M1/M2) vale:

a) 100

b) 2

c) 4/3

d) 10

e) 1 53

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

Solução:

Decorre imediatamente do enunciado que:

8 – 6 = log (M1/M2) = 2.

Logo, (M1/M2) = 102 = 100.

54

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS.

a equação seguinte:

log2(x2 + 2x – 7) – log2(x – 1) = 2

Daí podemos concluir que x vale:

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

55

CURSO DE MATEMÁTICA PARA CONCURSOS. Solução:

Aplicando a propriedade de logaritmo de quociente, ou seja:

logbA – logbB = logb(A/B), vem:

log2[(x2 + 2x – 7)/(x – 1)] = 2

Lembrando que se logbN = c então bc = N, vem:

22 = [(x2 + 2x – 7)/(x – 1)

4(x – 1) = x2 + 2x – 7

4x – 4 - x2 - 2x + 7 = 0

2x – x2 + 3 = 0

x2 - 2x - 3 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau, vem imediatamente:

x = 3 ou x = -1

Observe que a raiz x = -1 não serve ao problema, pois na equação dada,

log2(x2 + 2x – 7) – log2(x – 1) = 2, substituindo x por –1, as expressões entre parêntesis seriam

negativas e, como sabemos, não existe logaritmo de número negativo. Assim, a única solução da

equação proposta é x = 3.

56