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Quadrados Mínimos
Cristina Ota Guilherme Aguiar
Análise Numérica II, 1o Semestre 2013
Ota, Aguiar Quadrados Mínimos
Quadrados Mínimos
Muito usado para aproximação de dados vindos deexperimentos físicosInicialmente foi usado em cálculos de astronomia
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Quadrados Mínimos
Aproximar uma função f (x) conhecida em um polinômiog(x) no intervalo [a,b].Queremos minimizar o erro E(x) da aproximação.Caso discreto:
E(x) =n∑
i=0
[f (x) − g(x)]2
Caso contínuo:
E(x) =∫ b
a[f (x) − g(x)]2dx
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Quadrados Mínimos
Há algumas formas de resolver o problema de quadradosmínimos:
Equações NormaisFatoração QRDecomposição de Valores Singulares
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Equações Normais
A solução de quadrados mínimos satisfaz as equaçõesnormais.É o método mais rápido, mas menos preciso, adequadoquando o número de condição é pequeno.
AT Ax = AT b
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Fatoração QR
É o método mais usado. O custo é o dobro do primeiro.
A = QR
Figure : Fatoração QR
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SVD
Utilizado quando o problema é mal condicionado, isto é,quando a matriz A não é de posto completo . Muitas vezesmais caro.
An×p = Un×nΣn×pV Tp×p
onde:
σ1 ≥ σ2 · · · ≥ σn > 0
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Um exemplo simples
Vamos considerar a equação da onda sonora do tipo serra,com uma frequência básica de 5000 Hz:
p(t) =(
2AT
)(T2− t)
onde:T é o período básico da onda: T (s) = 15000A é a amplitude da onda: A = 5.
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Um exemplo simples
Para resolvermos esse problema usamos os coeficientes deFourier que trazem a melhor aproximação para um polinômiotrigonométrico. A seguir enunciamos um Teorema.
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Um exemplo simples
TeoremaSe f(x) é contínua em [0,T], então a função trigonométrica g(x)dada por:
g(x) =12
a0 +n∑
i=1
ai cos(2iπT
)x +n∑
i=1
bi sin(2iπT
)x
que minimiza o erro da média quadrática :
E(x) =∫ T
0[f (x) − g(x)]2dx
tem coeficientes dados por:ak =
∫ T0 f (x) cos(
2kπT )dx , k = 0,1,2 . . . n
bk =∫ T
0 f (x) sin(2kπT )dx , k = 1,2 . . . n
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Um exemplo simples
O resultado do Teorema anterior é provado usando algunsconceitos de Álegra Linear , como a projeção ortogonal relativaao produto interno da integral.
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Um exemplo simples
Voltando ao nosso problema, usando o teorema teremos:
a0 = 0
ak = 0, k = 1,2,3 . . .
bk =2Tkπ
, k = 1,2,3 . . .
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Um exemplo simples
A tabela abaixo tras a frequência audível nas variadasespécies animais.
Espécie Frequência Mínima (Hz) Frequência Máxima (Hz)Homem 20 20 000Morcego 10 000 120 000Golfinho 10 000 240 000Cachorro 15 50 000
Gato 60 65 000
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Um exemplo simples
Como a onda sonora é percebida até a frequência de 20.000Hz para o ouvido humano, teremos que o valor de k noexemplo vai até 4.Assim:
q(t) =2Aπ
(4∑
k=1
1k
sin2kπT
t
)
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Um exemplo simples
considerando k = 1 teremos :
q(t) =2Aπ
sin2πT
t
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Um exemplo simples
considerando k = 2 teremos :
q(t) =2Aπ
(sin
2πT
t + sin4πT
t)
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Um exemplo simples
considerando k = 3 teremos :
q(t) =2Aπ
(sin
2πT
t + sin4πT
t + sin6πT
t)
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Um exemplo simples
considerando k = 4 teremos :
q(t) =2Aπ
(sin
2πT
t + sin4πT
t + sin6πT
t + sin8πT
t)
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Um exemplo simples
Tabela comparativa
n Erro1 0,352 0,233 0,174 0,14
A aproximação melhora à medida que aumenta o número determos do polinômio
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Outros exemplos
Outros exemplos de uso são:
Energia de deformação de uma barra.Energia elétrica transferida ao resistor durante um períodoT.Energia potencial elástica do deslocamento vertical deuma corda.
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Complicando o problema
O Exemplo sugerido para o projeto foi sobre a audiçãohumana. O som é uma onda sonora. A equação geral de umaonda é dada por:
y(x , t) = A sin(kx − ωt)
k =2πλ
e ω =2πT
= 2πf .
A equação acima é bidimensional, e trabalha com as variáveisposição e tempo.No exemplo dado anteriormente usamos uma equação para operíodo da onda.
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Complicando o problema
Para facilitarmos o problema , vamos tomar um t fixo etrabalharmos apenas com a variação da posição.Entãoteremos a seguinte equação:
y(x) = A sin(kx)
k =2πλ
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Chebfun
Para resolvermos o problemas vamos utilizar o Chebfun.O Chebfun é uma coleção de algoritimos open-sourceUsa Matlab orientado à objetoDesenvolvido pelo gurpo do professor Nick Trefethen daUniversity of Oxford
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Bibliografia I
A. Bjork.Numerical methods for least squares problems.SIAM, Philadelphia, 1996.
M. C. C. Cunha.Métodos Númericos.2a edição revista e ampliada.Editora Unicamp, Campinas, 2000.
J. W. Demmel.Applied Numerical Linear Algebra.SIAM, Philadelphia, 1997.
M. A. G. Ruggiero & V. L. R. Lopes.Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos eComputacionais.2a edição.Pearson, 1997.
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Bibliografia II
H. Anton & C. Rorres.Álgebra Linear com Aplicações. 8aEdição.Bookman, Porto Alegre, 2001.
L. N. Trefethen.Householder triangularization of a quasimatrix.IMA Journal of Numerical Analysis, (30):887–897, 2010.
L. N. Trefethen et al.Chebfun Version 4.2.The Chebfun Development Team, 2011.http://www.maths.ox.ac.uk/chebfun/.
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