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Projeto Através do Lugar das Raízes
Carlos Alexandre Mello
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Revisão
Primeiro, vamos re-lembrar alguns aspectos de sistemas subamortecidos de segunda ordem:
cos =
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Revisão
Sobre a taxa de amortecimento:
Se >1, os polos são reais e negativos;
Se =1, polos são iguais, negativos e reais, s = -n;
Se 0<<1, os polos são complexos com parte real < 0;
Se =0, s = jn;
Se <0, os polos estão no semi-plano direito.
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Introdução
Problema: Como ajustar um sistema de forma a
atender requisitos de projeto?
Estabilidade já considerada
Mudanças: Erros de Estado Estacionário e Resposta em
Transiente (Tp, Ts, Tr, %OS)
Nesses casos, mudar apenas o ganho não provoca os
resultados desejados...
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Introdução
Exemplo:
Considere o seguinte exemplo, suponha que a resposta em transiente desejada é alcançada no ponto B
No entanto, só conseguimos alcançar a porcentagem sobressinal no lugar das raízes no ponto A Lembrando que a porcentagem sobressinal não se
altera na reta de constante
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Não temos como ir de A para B porque B está fora do lugar das raízes, ou seja, não pode ser alcançado apenas com mudanças de ganho
Introdução
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Introdução
Considerem um exemplo da aula anterior:
K = 1
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Introdução
Considerem um exemplo da aula anterior:
K = 10
Mesmo gráfico de Lugar
das Raízes, como
esperado.
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Introdução
Considere uma mudança de um sistema de tipo 0
para um de tipo 1 (erro de estado estacionário)
Ou seja, acrescentamos um integrador
Sistema original
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Introdução
Considere uma mudança de um sistema de tipo 0
para um de tipo 1 (erro de estado estacionário)
Ou seja, acrescentamos um integrador
Integrador acoplado
Lugar das raízes
completamente diferente!
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Introdução
Considerem um exemplo da aula anterior:
Mudanças no Lugar das
Raízes com a entrada
de um integrador e um
zero.
Compensador
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Introdução
Efeito da inclusão de polos: Sistema Original:
Polos: -2, -4
Zeros: 2j4
A inclusão de um polo tende a puxar o
lugar das raízes para a direita em
relação ao sistema original, tendendo
a diminuir a região de estabilidade do
sistema.
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Introdução
Efeito da inclusão de zeros: Sistema Original:
Polos: -2, -4
Zeros: 2j4
A inclusão de um zero tende a puxar o
lugar das raízes para a esquerda em
relação ao sistema original, tendendo
a aumentar a região de estabilidade
do sistema.
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Solução: 1) Mudar o sistema para um cujo lugar das raízes passe
por B Alto custo e pode afetar outras características do sistema
2) Ao invés de mudar o sistema atual, podemos aumentá-lo ou compensá-lo com polos ou zeros adicionais. Assim, o sistema compensado tem um lugar das raízes que passa pelo polo desejado
A vantagem dessa compensação é que os polos e zeros podem ser adicionados no final do sistema
Desvantagem: a ordem do sistema aumenta o que pode provocar mudanças na resposta
Introdução
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Compensadores são nomeados de acordo com o método que os implementa ou com suas características
Sistemas de Controle Proporcionais Sistemas que encaminham o erro à frente para a planta
Sistemas de Controle Integrais Sistemas que encaminham a integral do erro à frente
para a planta
Sistemas de Controle Derivativos Sistemas que encaminham a derivada do erro à frente
para a planta
Introdução
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Introdução
Objetivo: atender os requisitos de projeto sem
mudar tanto o lugar das raízes
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
Compensador Proporcional + Integrador (PI)
Compensador de Atraso de Fase (Lag)
Melhorando a Resposta em Transiente
Compensador Proporcional + Derivativo (PD)
Compensador de Avanço de Fase (Lead)
Melhorando a Resposta e o Erro
Compensador PID
Compensador Lead-Lag
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Melhorando o Erro de Estado
Estacionário
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Compensadores podem ser usados para melhorar as características do erro de estado estacionário
O erro de estado estacionário pode ser diminuído acrescentando um polo na origem no caminho à frente, aumentando o tipo do sistema e levando o erro de estado estacionário a zero
Esse polo adicional na origem exige o uso de um integrador
Introdução Melhorando o Erro em Estado Estacionário
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Controlador Proporcional-mais-Integral (PI) Compensador integral ideal que encaminha o erro e sua
integral à frente para a planta
O erro de estado estacionário pode ser melhorado colocando um polo em malha aberta na origem porque isso aumenta o tipo do sistema Por exemplo, um sistema do Tipo 0, respondendo a um
degrau de entrada com um erro finito, responde com erro zero se o tipo do sistema for 1
É importante que a resposta em transiente não seja muito alterada
Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
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Considere o sistema a seguir, operando com uma resposta em transiente adequada gerada pelos polos de malha fechada em A
Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
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Se adicionamos um polo na origem para aumentar o tipo do sistema, a contribuição angular dos polos em malha aberta em A não será mais 180º e, assim, o lugar das raízes não passa mais por A
Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Para resolver esse problema, adicionamos um zero próximo ao polo da origem. Agora, a contribuição do compensador no zero e do compensador no polo se cancelam e o ponto A permanece no Lugar das Raízes
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Observe o exemplo anterior para um zero em 0,01:
Um polo adicional na origem e um zero próximo a ele (sys4) Sistema original (sys1)
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Observe o exemplo anterior para um zero em -0,01: Aqui, os dois sistemas estão sobrepostos...
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Um compensador com um polo na origem e um zero próximo dele é chamado um compensador proporcional integral ideal O erro de estado estacionário foi melhorado sem afetar
muito a resposta em transiente
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Compensador PI:
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Exemplo: Dado o sistema abaixo, operando com taxa de amortecimento de 0,174, mostre que a adição de um compensador integral ideal reduz o erro de estado estacionário a zero para uma entrada degrau sem afetar muito a resposta em transiente.
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Exemplo (cont.): Analisando o sistema original, foi dado que a taxa de amortecimento é de 0,174. Isso implica que o ângulo formado é de 79,98º (ou 100,02º tomando o complementar) = cos = cos-1 (em radianos)
Observe que estamos considerando como um sistema de segunda ordem porque temos dois polos dominantes (considerando -10 << -1 e -2)
É preciso encontrar o ponto onde a reta que passa pela taxa de amortecimento encontra o gráfico do lugar das raízes Apenas por computador
Ponto: -0,694 + j3,926 (polos dominantes)
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Exemplo (cont.): Considerando o ponto encontrado, podemos
calcular o valor do ganho K:
K = 1/|GH|
K = -164,57 – j0,049 mag(K)=164,6
Reta: Im=Re.cos-1()
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Exemplo (cont.): Ainda sobre o sistema original
No ponto em que K =164,6, temos = 0,174 e polos em
-0,694 j3,924. Isso implica que n = 3,98, já que
s1,2 = - (2 – 1)
As assíntotas podem ser calculadas como:
a = (– 1 – 2 – 10)/(3 – 0) = -13/3 (ponto de encontro com
o eixo real)
a = (2k + 1)/(3 - 0) = (2k + 1)/3 (ângulo)
Quanto ao estado estacionário:
Tp = /Real = /0,694 = 4,53 seg
Ts = 4/Imag = 4/3,924 = 1,02 seg
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Exemplo (cont.): Ainda sobre o sistema original
Cálculo do ponto de partida e chegada do eixo real:
Não pertence ao Lugar das Raízes
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Exemplo (cont.): Ainda sobre o sistema original
Cruzamento com o eixo imaginário:
Fazendo s = j:
2 = 32 = 42 K = 396
Ou: = 0 K = -20 (mas, consideramos K > 0)
Denominador
de T(s)
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Exemplo (cont.): Ainda sobre o sistema original
Calculando o erro no estado estacionário, o sistema é
do tipo 0:
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Exemplo (cont.): Adicionando o compensador com
zero em -0,1 e polo em zero:
Temos o seguinte lugar das raízes:
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Exemplo (cont.): Considerando o ponto encontrado, podemos
calcular o valor do ganho K:
K = 1/|G(s)H(s)|
K = -158,2 – j0,0517 mag(K)=158,2
Passa a ser um
sistema do tipo 1
Mas edegrau() = 0!
Tp = 4,63 seg
Ts = 1,04 seg
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador PI
Exemplo (cont.):
Sistema Não Compensado
Sistema Compensado
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Compensador tem zero e polo ( 0)
Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador de Atraso de Fase
p
z
p> z
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Compensador tem zero e polo ( 0)
Como o polo está mais próximo do eixo imaginário que o zero, a contribuição angular será negativa zeros - polos
Pouco efeito no lugar das raízes.....
Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador de Atraso de Fase
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Quanto ao erro de estado estacionário, o novo G(s) é:
Ou seja, quando s0, na análise de erro de estado estacionário, o compensador passa a contribuir com z/p (zero e polo do compensador)
Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador de Atraso de Fase
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Exemplo:
Compensado
Não Compensado
Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador de Atraso de Fase
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Exemplo (cont.):
Melhorando o Erro em Estado Estacionário
via Compensador de Atraso de Fase
Queda de 10x
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Melhorando a Resposta em Transiente
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A compensação foi resolvida melhorando o erro de estado estacionário sem afetar a resposta em transiente
Vamos agora melhorar a resposta em transiente
Uso de um Compensador Derivativo Ideal Adição de um zero na função de transferência à frente
Adiciona ruído ao sistema
Controlador Proporcional-Mais-Derivativo (PD)
Uso de um Compensador de Avanço de Fase Adição de um zero e um polo mais distante na função de
transferência à frente
Melhorando a Resposta em Transiente via
Compensador em Cascata
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Compensador Derivativo Ideal (PD)
Gc(s) = s + zc
Considere o próximo sistema e os resultados após a inclusão de zeros em -2, -3 e -4
Lembrando:
Melhorando a Resposta em Transiente via
Compensador PD
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Melhorando a Resposta em Transiente via
Compensador PD
Incluído zero em -2
Parte real Tempo de Amortecimento Parte imaginária Tempo de Pico
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Melhorando a Resposta em Transiente via
Compensador PD
Incluído zero em -3 Incluído zero em -4
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Melhorando a Resposta em Transiente via
Compensador PD
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Melhorando a Resposta em Transiente via
Compensador PD
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Outra forma de implementar um compensador derivativo ideal:
Melhorando a Resposta em Transiente via
Compensador PD
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Como no compensador integral ideal, usa-se um zero e um polo
Se o polo estiver mais afastado do eixo imaginário que o zero, a contribuição angular será positiva zeros - polos
Melhorando a Resposta em Transiente via
Compensador de Avanço de Fase
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Da figura anterior, se a diferença entre 1 e 2 (c) se mantiver, teremos a mesma contribuição
Mas isso implica que temos a possibilidade de uma infinidade de compensadores de avanço de fase que atendem ao requisito de resposta em transiente As diferenças entre eles estarão no ganho necessário
para atingir às especificações de projeto, no erro de estado estacionário e na resposta em transiente encontrada (o projeto pode especificar uma faixa possível de resposta)
Melhorando a Resposta em Transiente via
Compensador de Avanço de Fase
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Exemplo:
Melhorando a Resposta em Transiente via
Compensador de Avanço de Fase
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Exemplo:
Melhorando a Resposta em Transiente via
Compensador de Avanço de Fase
Mudança no
transiente
Apesar dos diferentes polos e
zeros, os ângulos são
constantes, não mudando a
resposta em transiente
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Exemplo:
Melhorando a Resposta em Transiente via
Compensador de Avanço de Fase
5,252
-2,014
X O O
p1
p2
p3
z1
z2
z3
I) Compensação a
Zero = -5; Polo = -42,96
z = 60,3798o
p =7,3092o
II) Compensação b
Zero = -4; Polo = -20,09
z = 69,2863o
p = 16,2013o
III) Compensação c
Zero = -2; Polo = -8,971
z = 180o - 89,8473o = 90,1527o
p = 37,05o
Diferença entre ângulos: 53o
p z
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Melhorando o Erro de Estado
Estacionário e a Resposta em Transiente
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Combinação das técnicas anteriores
Possibilidade: melhorar o erro de estado estacionário e depois a resposta em transiente Problema: Muitas vezes, a melhora da resposta em
transiente pode deteriorar o projeto do erro de estado estacionário
Soluções ideais: Controlador Proporcional-Mais-Integral-Mais-Derivativo
(PID)
Compensador de Avanço e Atraso de Fase
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
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Projeto de Controlador PID
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
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Projeto de Controlador PID – Etapas 1) Avaliar o desempenho do sistema sem compensação
para determinar quanta melhoria na resposta transitória é requerida
2) Projeto do controlador PD (inclui a posição do zero e o ganho) para atingir as especificações de transiente
3) Verifique se os requisitos foram atendidos Se não, retorne ao projeto
4) Projete o controlador PI para resultar no erro de estado estacionário desejado
5) Determine os ganhos K1, K2 e K3 (figura anterior)
6) Verifique se os requisitos foram atendidos Se não, retorne ao projeto
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
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Exemplo: Dado o sistema abaixo, projete um controlador PID tal que o sistema opere com tempo de pico que é 2/3 do tempo de pico do sistema sem compensação a 20% de sobressinal e com erro de estado estacionário zero para entrada degrau.
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
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Exemplo (cont.): Sistema Malha Aberta: Polos (-3, -6 e -10); Zero em -8
%OS = exp[-(/√1-2)]x100
0,2 = exp[-(/√1-2)] = 0,456
cos = = cos-1 = 62,87º 180 - = 117,13º
Esboço inicial do lugar das raízes:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
x x x o -10 -8 -6 -3
j
Plano s
= 0,456
180 - = 117,13º
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Exemplo (cont.): Assíntotas:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
x x x o -10 -8 -6 -3
j
Plano s
Assíntotas
-5,5
= 0,456
= 117,13º
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Exemplo (cont.): Ponto de Chegada e Partida:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
x x x o -10 -8 -6 -3
j
Plano s
Assíntotas
s = -8,4j1,66 (fora do lugar das raízes)
s = -4,62 (pertence ao lugar das raízes)
-5,5
-4,62
= 0,456
= 117,13º
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Exemplo (cont.): Polos Dominantes:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
x x x o -10 -8 -6 -3
j
Plano s
= 0,456
= 117,13º
-5,5
Assíntotas
-4,62
X
Polos dominantes: -5,4 + j10,57
K = 121,53
X
3º Polo: -8,17
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Exemplo (cont.): Outros parâmetros:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
x x x o -10 -8 -6 -3
j
Plano s
= 0,456
= 117,13º
-5,5
Assíntotas
-4,62
X
Polos dominantes: -5,4 + j10,57
K = 121,53
X
3º Polo: -8,17
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Exemplo (cont.): Resumo (sistema não compensado)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
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Exemplo (cont.): Compensando o sistema
Condição: TPc = (2/3) TPu
Ou seja: TPc = (2/3)*0,297 = 0,198
Assim:
Como:
Então: s1,2 = -8,1296 j15,87
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
n = 17,828
Faz parte do lugar
das raízes??
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Exemplo (cont.): Compensando o sistema
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
x x x o -10 -8 -6 -3
j
Plano s
= 0,456
P(-8,1296; 15,87)
1 2 3 4
= 117,13º
Localizamos o ponto P no plano s e calculamos o ângulo que ele faz com
os polos e zeros do sistema:
2 – (1 + 3 + 4) = -198,37º
Para que seja múltiplo ímpar de 180º, precisamos acrescentar um zero que
forme um ângulo com P de: 198,37º – 180º = 18,37º
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Exemplo (cont.): Ou seja:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
Com isso, o controlador PD é
GPD(s) = (s + 55,92)
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Exemplo (cont.): Lugar das Raízes do Sistema Compensado
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
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Exemplo (cont.): Resposta ao degrau
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
Compensado (PD)
Não Compensado Observe que houve
redução no tempo de
pico como especificado
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Exemplo (cont.): Projeto do compensador integral
Como definido anteriormente, vamos colocar um polo na origem e um zero próximo a ele
Por exemplo:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
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Exemplo (cont.): Precisamos calcular agora K1, K2 e K3 conforme:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
73 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): O produto do ganho e do controlador PID é:
Pelas equações anteriores, temos: K1 = 259,5
K2 = 128,6
K3 = 4,6
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
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Exemplo (cont.): Resposta ao Degrau
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
PID
PD
Não Compensado
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Exemplo (cont.): Características:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
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Compensador de Avanço e Atraso de Fase – Etapas 1) Avaliar o desempenho do sistema não compensado
2) Projetar o compensador de avanço de fase para atender às especificações de resposta em transiente
Localização de polos e zeros e ganho
3) Verificar se os requisitos foram atendidos através de simulação
Voltar ao projeto caso algo não tenha sido atendido
4) Avaliar o desempenho de erro de estado estacionário para o sistema com avanço de fase
5) Projetar o sistema com atraso de fase
6) Verificar se os requisitos foram atendidos através de simulação
Voltar ao projeto caso algo não tenha sido atendido
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
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Exemplo: Projete um compensador de avanço e atraso de fase para o sistema abaixo, tal que o sistema opere com 20% de porcentagem sobressinal e uma redução de duas vezes no tempo de acomodação. Além disso, o sistema deve apresentar melhoria de dez vezes no erro de estado estacionário para uma entrada rampa.
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
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Exemplo (cont.): Sistema Malha Aberta: Polos (0, -6 e -10)
%OS = exp[-(/√1-2)]x100
0,2 = exp[-(/√1-2)] = 0,456
cos = = cos-1 = 62,87º 180 - = 117,13º
Esboço inicial do lugar das raízes:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
x x x -10 -6 0
j
Plano s
= 0,456
180 - = 117,13º
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Exemplo (cont.): Assíntotas:
Pontos de Chegada e Partida;
Polos Dominantes:
Outros Parâmetros:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
Fora do lugar das raízes
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Exemplo (cont.): Resumo (Sistema Não Compensado)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
81 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Lugar das Raízes (Sistema Não Compensado)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
82 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Vamos verificar agora as especificações do sistema:
TSc = 0,5TSu = 0,5*2,23 = 1,115
Como TS = 4/(.n) n = 7,867
Sendo:
Então: s1,2 = -3,5874 j7
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
83 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Projeto do Compensador de Avanço de Fase
Primeiro, precisamos selecionar arbitrariamente a localização do zero do compensador de avanço
Nesse caso, podemos, por exemplo, selecionar a posição -6 que coincide com um dos polos de malha aberta, fazendo com que eles se anulem
Isso elimina um zero e faz com que o sistema compensado tenha o mesmo número de polos do sistema não compensado
Em seguida, localizamos o polo do compensador Precisamos somar os ângulos formados pelos polos e zeros do
sistema sem compensação e o zero do compensador
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
84 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Projeto do Compensador de Avanço de Fase
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
x x x -10 -6 0
j
Plano s
3 = 117,13º
P = -3,5874 + j7
1 2 e 4
Localizamos o ponto P no plano s e calculamos o ângulo que ele faz com
os polos e zeros do sistema:
4 – (1 + 2 + 3) = -164,65º
Para que seja múltiplo ímpar de 180º, precisamos acrescentar um polo que
forme um ângulo com P de: 164,65º – 180º = -15,35º
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Exemplo (cont.): Projeto do Compensador de Avanço de Fase
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
86 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Lugar das Raízes
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
87 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Resposta ao Degrau
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
Compensado (Lead)
Não Compensado
88 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Resumo (compensação por Avanço de fase)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
O erro do sistema não compensado
era de 0,312. A especificação é para
que caia para um décimo desse valor.
Ainda não foi atingida....
OK!
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Exemplo (cont.): Projeto do Compensador de Atraso de Fase Objetivo: Melhorar o erro de estado estacionário para entrada
rampa
A queda de 0,312 para 0,147 foi de um fator de 2,122
Precisamos agora que o compensador de atraso de fase melhore o erro de um fator de 10/2,122 = 4,713 sobre o compensador de avanço de fase
Pode-se escolher, aleatoriamente, um compensador com polo em 0,01 que gera um zero em 0,04173:
Observe que, para s→0, Glag(s) tende exatamente ao fator que precisamos, 4,713
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
(1/4,713)*0,147 = 0,031
(o polo deve ser o mais
próximo à origem)
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Exemplo (cont.): O compensador de Avanço e Atraso de Fase fica então com a forma:
Através do desenho do lugar das raízes e buscando seu encontro com o segmento de reta que representa a taxa de amortecimento de 0,456, chegamos aos polos dominantes -3,574 j6,976 para um ganho de 1971
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
91 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Lugar das Raízes do sistema final
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
92 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Resumo
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
Deveria ser 1,115,
mas subiu pouco...
93 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Resposta ao Degrau
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
Compensado (CAA)
Não Compensado
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Exemplo (cont.): Resposta à Rampa (erro)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
95 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Resposta à Rampa (erro)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
96 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Resumo: PI: G(s) = (s + z)/s, com z muito próximo da origem (SPE)
Melhoria do erro, mudando de um tipo para outro
PD: G(s) = (s + z)
Melhoria da resposta em transiente
PDI: G(s) = [(s + z1)/s].(s + z2)
Melhoria de erro e de reposta em transiente
Lag: G(s) = (s + z)/(s + p)
Melhoria do erro, mudando seu valor na proporção de z/p
Lead: G(s) = (s + z)/(s + p)
Melhoria da resposta em transiente
Lead-Lag: G(s) = [(s+z1)/(s+p1)][(s+z2)/(s+p2)]
Melhoria de erro e de resposta em transiente
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
97 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo: Calculando o polo dominante
Considere o sistema de câmera visto no começo da disciplina:
Defina e projete um compensador que faça com que o sistema compensado tenha metade do tempo de acomodação do sistema não compensado
Considere = 0,5, constante
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
98 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.):
Primeiro, vamos analisar completamente o sistema dado
A compensação virá depois
Vamos desenhar seu lugar das raízes....
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
G(s) = K
s(s+10)
99 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.):
Assíntotas:
= -5
= (2k + 1)/2 = /2, 3/2, etc
Ponto de Entrada/Saída K = -s(s + 10) = -(s2 + 10s) dK/ds = -(2s + 10) = 0 s = -5
= 0,5 cos = 60º 180 - = 120º
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
100 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.):
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
X X
0 -10 -5
= 0,5
=60º
120º
Polo dominante
101 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.):
Qualquer cálculo de medidas relacionadas à resposta em transiente são relacionadas ao polo dominante; é lá que o lugar das raízes encontra a taxa de amortecimento () dada
Assim, precisamos calcular o polo dominante
Nesse exemplo, isso é possível de ser feito já que temos a parte real definida (-5):
Como é fixo em 0,5 e a parte real é dada por n, então n é igual 10
Com isso, a parte imaginária pode ser calculada: 8,66
Logo, o polo dominante para o sistema não compensado é dado por -5 + j8,66
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
102 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.):
No polo dominante: Ts = 4/Real = 0,8
Tp = /Imag = 0,36
Pede-se que o compensador diminua pela metade o tempo de acomodação (Ts):
Tsc = Tsn/2 = 0,4
Como é fixo, n deve ser igual a 20
Assim, o novo polo dominante está em: -10 + j17,32
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
103 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Sistema Compensado
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
X X
0 -10 -5
= 0,5
=60º
120º
Polo dominante
104 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Sistema Compensado Assim, o lugar das raízes deve ser alterado para passar nesse novo
ponto, onde temos o tempo de acomodação definido nos requisitos do projeto
Como queremos mudar um elemento da resposta em transiente, o compensador deve ser do tipo PD ou de Avanço de Fase (Lead)
Vamos verificar primeiro a contribuição angular desse ponto no lugar das raízes atual
O ângulo para o polo na origem é de 120º
O ângulo para o polo em -10 é de 90º
Assim, a contribuição total é de -210º
Para ser múltiplo ímpar de 180º , basta termos um zero fazendo ângulo de 30º com o polo dominante
Com isso, um compensador PD é suficiente para resolver o problema
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
105 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Sistema Compensado
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
X X
0 -10 -5
= 0,5
=60º
120º
Polo dominante
zc
30º
tg 30 = 17,32
zc – 10
zc = 40
106 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo (cont.): Sistema Compensado
O compensador é do tipo PD com função de transferência:
GC(s) = (s + 40)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
107 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Compensação com Re-Alimentação Não Unitária
Melhorando o Erro de Estado Estacionário
e a Resposta em Transiente
....
108 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Construção de Compensadores
Compensadores do tipo PI, PD ou PID só podem ser
construídos através de elementos ativos (como
amplificadores operacionais)
Compensadores de avanço e atraso de fase podem ser
construídos através de elementos passivos (e também
através de elementos ativos)
Essa é a grande diferença entre eles na escolha de qual
compensador deve ser usado na solução do seu
problema
Compensadores
109 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Construção de Controladores e Compensadores
Compensadores
110 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Construção de Controladores e Compensadores
Compensadores
111 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Compensadores
Amplificador Operacional Controlador PID
112 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Compensadores
Amplificador Operacional Compensador de Atraso ou Avanço de Fase
Avanço de Fase:
R1C1 > R2C2
Atraso de Fase:
R1C1 < R2C2
113 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Compensadores
Construa um compensador PID com GC(s)
Essa função pode ser re-escrita como
Comparando essa equação com a Tabela para PID, temos:
114 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Compensadores
Temos 4 variáveis e 3 equações
Podemos escolher o valor de uma das variáveis (que seria uma unidade de um componente do circuito) e calcular as outras
115 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Compensadores
Circuito
116 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exercícios Sugeridos (Nise)
Cap. 9, Problemas:
1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 16, 19, 21, 22, 23, 25, 26
Observação, sempre que precisar dos polos
dominantes e do ganho para esses polos, consulte
a resolução do livro