Post on 14-Jun-2015
Breve Introdução
1Prof. Deolinda Sá
A Programação Linear é uma técnica de optimização
bastante utilizada na resolução de problemas cujos modelos
matemáticos são representados por expressões lineares.
A programação Linear é um ramo muito jovem da matemática
que surgiu em 1947, quando George B. Dantzig inventou e
desenvolveu o “Método Simplex” para resolver problemas de
optimização formulados a partir de questões de logística da
Força Aérea dos E.U.A., durante a segunda Guerra Mundial.
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A palavra “Programação” refere-se a uma programação
de tarefas ou planificação, não a uma programação no
sentido da informática.
A palavra “Linear”, advém do facto das expressões
(condições) que se utilizam serem lineares.
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São problemas que procuram o óptimo. O óptimo na globalidade é um mínimo ou um máximo a ser alcançado, nas condições existentes.
Nos problemas de Programação Linear algumas decisões têm de ser tomadas. Estas decisões são representadas pelas variáveis de decisão x e y, utilizadas no modelo de programação linear.
A estrutura base de um problema de programação linear é maximizar ou minimizar a função objectivo que satisfaz a um conjunto de restrições ou condições. Geometricamente, as restrições lineares definem um polígono convexo, chamado de conjunto de pontos admissíveis ou região admissível.
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As restrições ou condições utilizadas em programação linear são
representadas por equações ou inequações. Resumindo Para formular um problema de Programação Linear deve-se: Definir as variáveis de decisão (o que pretendemos determinar)
Definir a função objectivo (o que se pretende optimizar)
Estabelecer as restrições (as condições que têm que ser satisfeitas)
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Uma empresa fabrica dois produtos A e B. Cada um destes produtos requer uma certa quantidade de
tempo na linha de montagem e ainda mais algum para a sua finalização.
• Cada produto do tipo A necessita de 5 horas na linha de montagem e
de 2 horas para a finalização.
Cada produto de tipo B necessita de 3 horas na linha de montagem e
de 4 horas para a finalização.
Numa semana, a empresa dispõe de 108 horas para a linha de
montagem e 60 horas para a finalização.
• Toda a produção é vendida. O lucro de cada produto é de 120 € para o
produto A e de 210 € para o B.
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Quantas unidades, por semana, dos produtos A e B se devem produzir, de modo a que o lucro seja máximo?
Podemos elaborar uma tabela para melhor organizar os dados:
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Montagem Finalização Lucro
A 5 2 120
B 3 4 210
Disponibilidade 108 60
Seja x o número de unidades que a empresa produz, por semana, do produto A .
• y o número de unidades que a empresa produz, por semana, do produto B.
O tempo necessário na linha de montagem para os dois produtos é 5x+3y horas, no total. Como somente existem 108 horas de disponibilidade, temos a restrição:
5x+3y ≤ 108 De forma análoga temos a seguinte restrição:
2x+4y ≤ 60
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Cada unidade do produto A origina um lucro de 120
euros. Assim, com x unidades produzidas do produto A,
obtêm-se 120x euros de lucro.
Cada unidade do produto B origina um lucro de 210
euros. Assim, com y unidades de B, obtêm-se 210y
euros de lucro.
O lucro semanal é dado por: L= 120x+210yL= 120x+210y.
Temos ainda as condições x ≥ 0 e y ≥ 0, pois a
produção é não negativa
Pretendemos maximizar o lucro.
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Variáveis de decisão Variáveis de decisão (o que pretendemos determinar):
x e y ( número de unidades )
Função ObjectivoFunção Objectivo (o que se pretende optimizar)
maximizar o lucro: L= 120x+210y
Restrições Restrições (condições que têm de ser satisfeitas)
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10835 yx
6042 yx
0
0
y
x
Como x ≥ 0 e y ≥ 0, iremos precisar somente do primeiro quadrante.
As outras duas restrições resolvem-se em ordem a y e considera-se o domínio plano respectivo.
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363
53
5108
5108310835
xy
xy
xyyx
152
14
260
26046042
xy
xy
xyyx
A solução que procuramos encontra-se no polígono [OABC] .
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363
5 xy
152
1 xy
Os pontos que estão nesta região dizem-se pontospontos admissíveisadmissíveis. E os vértices O, A, B e C dizem-se vértices da região admissível.
Que pontos maximizam o lucro?
A expressão
representa uma família de rectas todas com o declive
e cuja ordenada na origem é .
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2107
4210120
LxyyxL
7
4
210
L
Assim sendo, um maior valor de corresponde a um
maior valor de L.
Logo, a resolução do nosso problema consiste em
encontrar a recta com declive de maior ordenada na
origem e que tenha algum contacto com o polígono.
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210
L
7
4
Das rectas de declive a que tem maior ordenada na origem e tem pontos de contacto com o domínio, é a que passa no vértice Bvértice B.
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7
4
As coordenadas do ponto B determinam-se resolvendo o sistema
A solução do sistema é o par (18,6), logo as coordenadas do ponto B.
Assim para que a empresa, que produz o produtos A e B, tenha o Assim para que a empresa, que produz o produtos A e B, tenha o
maior lucro possível, deve produzir semanalmente 18 unidades maior lucro possível, deve produzir semanalmente 18 unidades
do produto A e 6 unidades do produto B.do produto A e 6 unidades do produto B.
Esse lucro será:Esse lucro será:
L= 120 L= 120 18 + 210 18 + 210 6 = 3420 euros semanais. 6 = 3420 euros semanais.
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6042
10835
yx
yx
Se tivermos presente o seguinte teorema :
Dado um problema de programação linear, se R for a região admissível
e for limitada, então existe um máximo e um mínimo em R e cada um
destes ocorre pelo menos num dos vértices da região. Se R não for
limitada, então pode não existir nem máximo nem mínimo. Mas se
existir ele encontra-se num vértice de R.
Ficamos a saber que a solução que procuramos encontra-se num dos
vértices da área admissível.
Observemos a tabela ao lado.
Facilmente identificamos a
solução óptima (18,6)(18,6).
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x y L=120x+210y
O 0 0 0
A 21,6 0 2592
B 18 6 3420
C 0 15 3150
Numa turma do 11º ano há 30 jovens: 20 raparigas e 10 rapazes
A turma vai participar num concurso que admite duas modalidades de
equipas:
Modalidade A: Equipas de 2 elementos, um de cada sexo. Prémio
de participação: 50€
Modalidade B: Equipas de 4 elementos, três raparigas e um
rapaz. Prémio de participação: 60€.
Quantas equipas de cada tipo se devem constituir para a turma
receber o valor máximo em prémios de participação, sabendo que
cada um dos alunos não pode participar em mais do que uma
equipa?
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Comecemos por escolher as variáveisas variáveis:
x – n.º de equipas da modalidade A
y – n.º de equipas da modalidade B
Vejamos quais são as restriçõesas restrições: x≥0 y≥0
, semiplano definido pela recta que passa
nos pontos (2,6) e (5,5)
, semiplano definido pela recta que passa
nos pontos (0,10) e (10,0)
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A função objectivo é:A função objectivo é:
Resolvendo em ordem a y temos:
Assim, temos uma família de rectas paralelas de declive
A representação da região admissível e da recta que traduz a família da função objectivo é a seguinte:
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yxP 6050
606
560
50
50606050
pxy
Pxy
PxyyxP
6
5
A solução encontra-se no ponto A.
Resolvendo o sistema,
vem x=5 e y=5
Daqui concluímos que a solução óptima é 5 equipas da modalidade A e 5 da
modalidade B. A esta solução corresponde um prémio de participação de
505+ 605=550€
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