Post on 07-Apr-2016
Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali
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OBJETIVOSOBJETIVOS Apresentar abordagens nem Apresentar abordagens nem
sempre lembradas dos temas sempre lembradas dos temas selecionados eselecionados e
Propor abordagens didáticas, Propor abordagens didáticas, que facilitem aos alunos a que facilitem aos alunos a compreensão dos temas.compreensão dos temas.
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CONTEÚDOS ABORDADOSCONTEÚDOS ABORDADOS
VetoresVetores Sistema CartesianoSistema Cartesiano Produto EscalarProduto Escalar Produto VetorialProduto Vetorial
Produto MistoProduto Misto Reta Reta Plano Plano
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Definição formalDefinição formal Noção IntuitivaNoção Intuitiva
O vetor é dinâmico, (não é uma flecha!)O vetor é dinâmico, (não é uma flecha!)
v
AvAB AB
A
Interpretação que interessa: Interpretação que interessa: Vetor Vetor “Vehere“Vehere = Transportar= Transportar” ” condutor , portador, ...condutor , portador, ...
O vetor O vetor vv transporta qualquer ponto A transporta qualquer ponto A para um novo ponto B: para um novo ponto B:
vv = AB= AB
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x
y
0
o),( 00
Identificando VetoresIdentificando Vetores
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y
x3
2 v
v
3
2
A
vAB
)2,3(v
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PROBLEMAPROBLEMA Dados os pontos A e B, até Dados os pontos A e B, até que ponto se deve prolongar o que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A segmento AB, no sentido de A para B, para que o seu para B, para que o seu comprimento quadruplique de comprimento quadruplique de valor?valor?
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e e nãonão assim: assim:
AC = 4ABAC = 4AB ouou C - A = 4 (B - A), C - A = 4 (B - A), etc.etc.
Resolver Resolver assimassim::
C = A + 4 ABC = A + 4 AB ouou C = B + 3 ABC = B + 3 AB
A B C
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Representar o vetor Representar o vetor
PROBLEMAPROBLEMA
k4j3i2v
com origem no ponto com origem no ponto
)0,5,4(A
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50 yx
z
4
i2
j3
k4
)4,3,2(v
vA
B
A
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Dados: Dados: A - vértice de um paralelepípedoA - vértice de um paralelepípedo B, C e D - vértices adjacentes a AB, C e D - vértices adjacentes a A
Determinar:Determinar: A’, sendo AA’ uma diagonal doA’, sendo AA’ uma diagonal do paralelepípedoparalelepípedo. .
PROBLEMAPROBLEMA
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'AACA ADAB
'A
E
BA
D
C
BE
'A
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TRANSLAÇÃOTRANSLAÇÃO A A translaçãotranslação é determinada por um é determinada por um vetorvetor
TTvv : : P TP Tvv(P) = P + v(P) = P + v
É a isometria mais simplesÉ a isometria mais simples
Se v = (a, b), para cada P(x, y) tem-seSe v = (a, b), para cada P(x, y) tem-se
TTvv (P) = ( x + a, y + b) (P) = ( x + a, y + b)
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vv
vP)P(VT
)r(VT
rP
Tv leva “r” numa reta paralela
y
x0
'y
'x'0
e transforma Oxy em O’x’y’
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194
:e yx22
194
: )4y()5x(e
22'
A = (2,0) A = (2,0) e e A’= (2,0) + (5,4) = (7,4) A’= (2,0) + (5,4) = (7,4) e’ e’ B = (0,3) B = (0,3) e e B’ = (0,3) + (5,4) = (5,7) B’ = (0,3) + (5,4) = (5,7) e’ e’
'0
y 'y
'x
7
)4,5(v
0 x2 5
4
7
e
'e
'B
'A
A
B
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v
X
No sistema Oxyz, se v = (a,b,c), entãoNo sistema Oxyz, se v = (a,b,c), então
P(x, y, z) P(x, y, z) P P’’ ( x + a, y + b, z + c) ( x + a, y + b, z + c)
TV
Cilindro S de base X e geratriz v:Cilindro S de base X e geratriz v:
Se X é polígono, então S é prisma.Se X é polígono, então S é prisma. Se X é paralelogramo, então S é paralelepípedo. Se X é paralelogramo, então S é paralelepípedo.
Exemplos:Exemplos:
S = S = PP’ / P PP’ / P X e P’ = Tv (P) X e P’ = Tv (P)
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Independente do Independente do sistema ortonormal sistema ortonormal igualmente orientado, igualmente orientado, o vetor é o mesmo!o vetor é o mesmo!
)0,8,7(B)4,0,0(A
xyz0
)4,0,0(B)0,8,7(A
'z'y'x'0
AB
)4,8,7(
AB)4,8,7(
SISTEMASISTEMA CARTESIANOCARTESIANOA sala de aula e os oito octantes.A sala de aula e os oito octantes.
8
B
A 4
7
z
y
x
0
'z
'x'y'0
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PRODUTO ESCALARPRODUTO ESCALAR
Importância: idéia de Importância: idéia de medidamedida
)z,y,x(u 111
)z,y,x(v 222
)v,u(âng
cosvuzzyyxxv.u 212121
Sejam:Sejam:
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PRODUTO ESCALARPRODUTO ESCALARMEDIDA: módulo, distância, ângulo, MEDIDA: módulo, distância, ângulo, ortogonalidade, bases ortogonais e ortogonalidade, bases ortogonais e ortonormais, projeções.ortonormais, projeções.
APLICAÇÕES:APLICAÇÕES:Trabalho;Trabalho;Tensão;Tensão;Energia:Energia:
Dimensionamento de pára-choque de automóvel;Dimensionamento de pára-choque de automóvel; Fabricação de freios;Fabricação de freios; Laminação.Laminação.
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PRODUTO VETORIALPRODUTO VETORIALSeja v = (x, y, z) um vetor simultaneamente Seja v = (x, y, z) um vetor simultaneamente
ortogonal aos vetores dados: ortogonal aos vetores dados:
)c,b,a(v 1111
)c,b,a(v 2222v.kv com 21
Então:Então:
0v.v0v.v
2
1 ouou
z.cy.bx.az.cy.bx.a
222
111
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Resolvendo o sistema pela regra de Cramer:Resolvendo o sistema pela regra de Cramer:
0b ab a
22
11
b z.cb z.c
22
11x
c b
c b.zx 22
11
xe
z.c a
z.c a22
11y
e
c a
c a.zy 22
11
y
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PortantoPortanto
z,c a
c a.z,c b
c b.zv 22
11
22
11
b ab a,
c ac a,
c bc bv
22
11
22
11
22
11
Para z = Para z = , tem-se:, tem-se:
que é o que é o PRODUTO VETORIALPRODUTO VETORIAL de v de v11 e v e v22, isto é, , isto é,
v = vv = v1 1 xx v v22
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PRODUTO VETORIALPRODUTO VETORIALQual é o significado do número | u Qual é o significado do número | u v | ? v | ?
, )2 ,1 ,1(u 2u
, )22 ,2- ,2(v 4v
4
uxv
4
5
23
67
8
1
2
v
u
2
3
4
6
7
8
5
1
,)0,24,24(vu x
8vu x
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ÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANOÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANODados: u = (a, b) e v = (c, d)Dados: u = (a, b) e v = (c, d)Então: área (u, v) = Então: área (u, v) = ad – bc ad – bc , isto é,, isto é,
d cb a
de móduloy
x
'v
0
)b,a(u
)0,a('u
)d,c(v
y
x0
)b,a(u
'v
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Reta por (c, d) e paralela a u:Reta por (c, d) e paralela a u:
y = d + b/a (x – c)y = d + b/a (x – c)Logo, Logo, v’ = ( 0, d – b/a . c)v’ = ( 0, d – b/a . c)Ora,Ora,área (u, v) = área (u, v’) área (u, v) = área (u, v’) (mesma base e mesma altura)(mesma base e mesma altura)
ÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANOÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANO
)d,c(v
y
x0
)b,a(u
'v
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que por sua vez é a área do que por sua vez é a área do
retângulo cuja base é retângulo cuja base é
definida pelo vetor u’ = (a, 0) definida pelo vetor u’ = (a, 0)
e a altura pelo vetor v’. e a altura pelo vetor v’.
Portanto, a área deste Portanto, a área deste
retângulo é: retângulo é:
ÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANOÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANO
| a | |d-b/a . c| = |a (d-b/a . c| = |ad - bc|| a | |d-b/a . c| = |a (d-b/a . c| = |ad - bc|
y
x
'v
0
)b,a(u
)0,a('u
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z
xy
0 y)0,d,c(v
)0,b,a(u
ISOMORFISMO entre RISOMORFISMO entre R22 e o plano xy do R e o plano xy do R33
uxv v) (u, de Área
bc)-ad 0, (0, 0 d c0 b ak j i
uxv
bc - ad bc) - ad 0, (0, v) (u, de Área
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PRODUTO VETORIALPRODUTO VETORIAL
Vetor normal ao planoBases ortogonaisDeterminação de campos vetoriais normais unitários (cálculo de área de superfície)Plano tangenteGeometria DiferencialFísica – TorqueCampo magnético - força eletromotriz (ortogonal)Aceleração de Coriólis (embreagem hidráulica)
APLICAÇÕES: APLICAÇÕES:
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PRODUTO MISTOPRODUTO MISTO
1. Coplanaridade: (u, v, w) = 0 (a) LD (b) Nulidade do determinante (propriedade única)
zyxzyxzyx
333
222
111
x w)(v u.
APLICAÇÕES: APLICAÇÕES:
2. Não coplanaridade: (u, v, w) 0 (a) LI (b) volume: V = (u, v, w)
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RETARETA
13
4131x
xy)yx(
y
x0
x3y
)4,1(
1x
1
3
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4yx2
)2 ,1(
1yx3 RETARETA
1yx34yx2
y
x0
y
x0
4y
x 2
)2 ,1(
5x5
5x54yx2
A figura interpreta geometricamente a transformaçãodo sistema no sistemaO ponto de interseção é mantido.
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RETARETA A reta e uma variável
)4,0(
y
x0
r
1
2
:r )1(x24y
4yx2
2)- x(1, 4) (0, 2x)- (x, 4) (0, 2x) - 4 ,x(
variável 1 vetor 1
} t 2);- t(1, 4) (0, { :r
5 3x - z3 -2x y
:r
3)- 2, x(1, 5) 3,- (0, 5) 3x - 3, -2x ,x(
} t 3);- 2, t(1, 5) 3,- (0, { :r
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PLANOPLANO O plano e duas variáveis :
6 3y 2x - z 0 6 - z y3 x2
} t h, tv; hu A{ : u
v
A
3) 1, y(0, 2) - 0, x(1, 6) 0, (0, 3y) y, (0, 2x)- 0, (x, 6) 0, (0, 6) 3y 2x - y, ,x(
variáveis2 vetores2
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1= 2
Os planos Os planos 11 e e 22 coincidem coincidem
10 8z 6y– 4x 5 4z 3y– 2x
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2
1
1 2
Os planos Os planos 11 e e 22 são paralelos são paralelos
11 8z 6y– 4x 5 4z 3y– 2x
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2
1
1 2 = r
A interseção entre A interseção entre 11 e e 22 é uma reta é uma reta
2 2z 3y x 4 z 3y– 2x
:r
2-x z32x
31 y
:r
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Interseção de dois planosInterseção de dois planos
01- z y 5x 0 11- z2 y x
:r
))x
:r2
1
( 42x- z( 33 y
2
4
3
),,( 430
),,( 601
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Existem Existem oitooito posições possíveis dos planos posições possíveis dos planos 11, , 22 e e 33 , em relação uns aos outros. , em relação uns aos outros.
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1= 2 = 3
1. Os três planos coincidem1. Os três planos coincidem
15 9z 6y 3x 10 6z 4y 2x
5 3z 2y x
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3
1= 2
2. Dois planos coincidem e são 2. Dois planos coincidem e são paralelos ao terceiroparalelos ao terceiro
14 9z 6y 3x 10 6z 4y 2x
5 3z 2y x
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3
1= 2
Provão 2001 - Questão 07Provão 2001 - Questão 07
7 5z 5y 5x 2 2z 2y 2x
1 z y x
O número de soluções do sistema de O número de soluções do sistema de equações:equações:
éé
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Infinito(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Infinito
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3
1= 2
r: r: 11 33
3. Dois planos coincidem3. Dois planos coincidem e o terceiro os intersectae o terceiro os intersecta segundo uma retasegundo uma reta
1 2z y -x 8 2z - 4y 6x
4 z - 2y 3x
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1
2
3
4. Os três planos são paralelos entre si4. Os três planos são paralelos entre si
5 9z y 6 -3x 3 6z 4y -2x
1 z 3 2y -x
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2
1
35. 5. Dois planos são paralelos e o terceiro os Dois planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelasintersecta segundo retas paralelas
9 z - y 2 3x 5 6z 4y -2x
4 z 3 2y -x
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2
1
r = 1 2 3
3
6. Os três planos têm uma reta em 6. Os três planos têm uma reta em comumcomum
13 2z - y 7 4x 5 4z 3y 2x
4 z 3 - 2y x
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2
1
3
7. Os 3 planos se intersectam dois a dois 7. Os 3 planos se intersectam dois a dois segundo três retas paralelassegundo três retas paralelas
12 2z - y 7 4x 5 4z 3y 2x
4 z 3 - 2y x
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3
s = 1 3
r = 1 2
1
P
2
8. Os 3 planos têm 8. Os 3 planos têm um ponto em um ponto em
comumcomum
P (-3, 6, -2)P (-3, 6, -2)
3 6z - y -x 5 z - 2y 3x 4 z 2 - y 2x