Processamento de sinais digitais

Aula 3:

Transformada de Fourier (Parte 1)

silviavicter@iprj.uerj.br

Tópicos

• Definição da Transformada de Fourier (TF)

• Propriedades importantes (ex: linearidade e periodicidade)

• Espectros de magnitude e fase

• TF em processamento de sinais

• TF de sequências especiais (ex: simetrias)

• Exemplos

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Transformada de Fourier

Ferramenta analítica

Análise no DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA de sinais e sistemas

𝝎: frequência em radianos

Transformada de Fourier de uma sequência discreta no tempo:

Aplicada na resposta de amostra unitária (resposta impulso) de um filtro

para definir a função de transferência do filtro

Aplicada a uma sequência de dados para definir o espectro do sinal.

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Propriedade da Sequência Senoidal

Uma senoide de uma dada frequência

aplicada na entrada de um sistema linear invariante no tempo produz uma saída também senoidal na mesma frequência,

mas podendo ter diferentes fases e amplitudes.

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Propriedade da Sequência Senoidal

Entrada:

Saída:

Coeficiente de valor complexo:

5

Efeitos de magnitude e fase produzidos por um sistema LTI:

Obs: Resultado válido para qualquer frequência.

Propriedade da Sequencia senoidal

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Transformada de Fourier Sequência discreta no tempo {h(n)} :

A transformada de Fourier existe :

Se ela puder ser expressa em uma forma funcional válida.

Para sequências que são absolutamente somáveis.

Sequência discreta no tempo {x(n)}:

ESPECTRO DO SINAL: TF do sinal (define o conteúdo em frequência do sinal)

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA: TF da resposta impulso

(define as características de transmissão em frequência do filtro)

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Transformada de Fourier Exemplo 1: Medidor da média de três amostras (não causal)

Função de transferência:

Pela identidade de Euler:

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Transformada de Fourier Exemplo 2: Filtro Recursivo de Primeira Ordem

Número infinito de elementos: a sequência

é absolutamente somável?

Se |a|≥ 1: soma infinita, TF inexistente.

Se |a|<1: fórmula da soma geométrica:

Soma finita!

Função de Transferência:

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Transformada de Fourier Exemplo 3: Filtro Recursivo de Segunda Ordem

Função de Transferência:

Pela Identidade de Euler

no cosseno:

Para |r|<1:

Fórmula da soma

geométrica infinita:

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Propriedades

LINEARIDADE:

• Princípio da Superposição:

• Transformada de Fourier:

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Propriedades PERIODICIDADE:

• A TF é uma função periódica da variável de valor contínuo 𝝎, com período 2𝝅

Para valores inteiros de k e n:

A variável 𝝎 aparece na função apenas como , que é periódica

com período 2𝝅.

Se o argumento da função é periódico, então a própria função também é periódica.

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Propriedades Componentes reais e imaginários da TF:

• Identidade de Euler:

• Expressando em termos de partes reais e imaginárias:

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Propriedades Componentes de magnitude e fase da TF:

• Notação de vetor complexo:

• Se é a função de transferência de um sistema:

– é a resposta em magnitude

onde é o conjugado complexo de

– é a resposta de fase

• Se é o espectro (para sequências de sinais):

– é o espectro de magnitude

– é o espectro de fase

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Propriedades FUNÇÕES DE FASE E MAGNITUDE

Se

a magnitude é dada por:

e a resposta em fase por:

(fase indeterminada quando , para valores de 𝝎 para os quais )

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Propriedades PARA SEQUÊNCIA DE VALORES REAIS:

Se {h(n)} é uma sequência de valores reais, a sua TF é dada por:

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Propriedades PARA SEQUÊNCIA DE VALORES REAIS {h(n)}:

(a) Simetria do conjugado complexo:

(b) A componente real é uma função par:

(c) A componente imaginária é uma função ímpar:

(d) O Espectro de magnitude é uma função par:

(e) O Espectro de fase é uma função ímpar:

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Propriedades PARA SEQUÊNCIA DE VALORES REAIS {h(n)}:

(f) Sequência par:

Se então é apenas real

(g) Sequência ímpar:

Se então é apenas imaginária

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Propriedades SIMETRIA: Invertendo o sinal da variável de frequência no argumento da

transformada:

temos:

A parte real é uma função par de 𝟂:

A parte imaginária é uma função ímpar de 𝟂:

e

Obs: Como é uma função periódica de 𝟂 com período 2𝝅, para sequências discretas de valores reais, toda a informação na TF está contida na faixa de frequências 0 ≤ 𝟂 ≤ 𝝅. A porção na faixa - 𝝅 ≤ 𝟂 <0 pode ser determinada por estas propriedades de simetria .

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Propriedades SIMETRIA DAS FUNÇÕES DE MAGNITUDE E FASE:

Resposta em magnitude (espectro de magnitude) - função par da frequência

Resposta em fase (espectro de fase) - função ímpar da frequência:

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Espectros de magnitude e de fase Exemplo 1: Sequência de amostra unitária (impulso) com delay

TF:

Identidade de Euler:

Espectro de magnitude:

Espectro de fase:

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Espectros de magnitude e de fase Exemplo 1: Sequência de amostra unitária (impulso) com delay

Constante

Linear

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Espectros de magnitude e de fase Exemplo 2: Medidor de três amostras

função real de 𝝎

Resposta em magnitude:

Resposta em fase:

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Espectros de magnitude e de fase Exemplo 2: Medidor de três amostras

O sinal apropriado de 𝝅 é escolhido para tornar a resposta em fase uma

função ímpar da frequência.

O espectro em magnitude de um filtro indica que o circuito é um filtro passa-baixa. O espectro de magnitude de um sinal indica que ele tem mais energia em baixas frequências.

Devemos ter cuidado para determinar a resposta de fase de um filtro com uma função de transferência de valores reais, porque valores reais negativos produzem uma fase adicional de 𝝅 radianos.

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Espectros de magnitude e de fase Forma de fase linear da função de transferência

Função de amplitude: função de valores reais de 𝝎, + e -.

.

Em notação de vetor complexo:

A função de fase deve incluir este termo de fase linear e acompanhar as alterações de sinais em .

Como -1 pode ser expresso como , irão ocorrer saltos de fase de em frequências onde muda de sinal. (Estes saltos de fase devem ser adicionados na componente de fase calculada pela função arctan).

Se para todos os 𝝎, não ocorrerão nenhum salto de fase e a função de fase será dada por –k𝝎.

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Espectros de magnitude e de fase Exemplo 3: TF de fase linear

A função de amplitude nunca é negativa e a resposta em fase é - 𝟂!

Saltos de fase (descontinuidades):

1- Um salto de +/- 2𝝅 ocorre para manter a função de fase com a faixa do valor principal de [-𝝅, 𝝅].

2- Um salto de +/- 𝝅 ocorre quando há uma alteração do sinal em .

O sinal no salto de fase é escolhido considerando que a função de fase resultante é ímpar e, após o salto, cai na faixa [-𝝅, 𝝅].

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Espectros de magnitude e de fase Exemplo 4: Filtro recursivo de primeira ordem

Resposta em magnitude:

Resposta em fase:

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Espectros de magnitude e de fase Exemplo 4: Filtro recursivo de primeira ordem

Filtro passa baixa 0 < a < 1

Filtro Passa alta -1 < a < 0

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Espectros de magnitude e de fase Exemplo 5: Circuito causal da média de três amostras

Abordagem matemática:

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Espectros de magnitude e de fase Exemplo 5: Circuito causal da média de três amostras

Abordagem direta (Euler):

Fase indefinida para

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Espectros de magnitude e de fase Exemplo 5: Circuito causal da média de três amostras

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TF em processamento de sinais Motivação:

– Conversão da operação de convolução no domínio do tempo para uma operação de multiplicação mais simples no domínio da frequência.

Convolução

(1)

Multiplicando por :

(2)

(3)

O espectro de entrada é alterado através de uma operação de multiplicação pela função de transferência do filtro para produzir .

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TF em processamento de sinais

1)

Espectro de Magnitude: 2)

Produto do espectro de magnitude da entrada e

da resposta em magnitude do filtro

Espectro de Fase: 3)

Soma do espectro de fase da entrada e da resposta em fase do filtro 33

TF em processamento de sinais Exemplo:

TF TF

Espectro de Saída:

Espectro de magnitude ao quadrado:

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TF em processamento de sinais Exemplo:

Espectro de fase :

1ª. Forma (obter componentes reais e imaginários):

2ª. Forma (somar a resposta de fase do filtro ao espectro de fase da entrada):

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TF de sequências especiais Sequências com delay (de k amostras)

Transformada de Fourier:

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TF de sequências especiais Sequências com delay (de k amostras)

1)

Multiplicando por :

2)

Substituindo m=n-k Mesma magnitude!

3)

(termo de fase linear com a frequência, inclinação –k)

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TF de sequências especiais Sequências com delay (de k amostras)

Espectros magnitude fase

Sequência

Original

Sequência

Com delay

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TF de sequências especiais Sequências com simetrias (em algum ponto Ns)

1- Sequências simétricas pares Ns inteiro

Sequência par (Ns=0): Ns não-inteiro

2- Sequências antissimétricas Ns inteiro

Sequência ímpar (Ns=0): Ns não-inteiro

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TF de sequências especiais 1- Sequências simétricas pares 1)

Fazendo m=-n

2)

Espectro de magnitude

para h(n)=h(-n)

3) Espectro de fase

indefinida para 40

TF de sequências especiais

Exemplo: Sequência par Transformada de Fourier

- Uma sequência simétrica par pode ser obtida a partir de uma sequência par aplicando um delay apropriado.

- TF de uma sequência com delay: a mesma função de magnitude da sequência original, e um componente adicional linear com a frequência na função de fase.

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TF de sequências especiais 1- Sequência simétrica par (delay de M amostras, a partir da sequência par)

Resposta Sequência impulso par

(não-causal)

Resposta Sequência impulso simétrica

(causal) par

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TF de sequências especiais Sequência simétrica par

obs: delay de

(Obtém-se a TF apenas adicionando a função de fase linear -2𝝎 ao resultado do exemplo anterior para incluir o delay)

TF: Fórmula da soma

geométrica finita:

Fase: função linear da frequência com inclinação -2.

Obs: A sequência par tem fase zero, exceto para os saltos de fase de +/-𝝅 causada pela inversão do sinal da amplitude da TF. Se esses saltos são ignorados, nós ficamos com uma fase que é linear com a frequência, que será denominada função de fase linear. 43

TF de sequências especiais 2- Sequência antissimétrica

TF de uma sequência ímpar:

Função imaginária da frequência!

: função ímpar de 𝝎

Resposta em magnitude:

Resposta em fase:

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TF de sequências especiais Exemplo- Sequência ímpar:

TF:

Parte imaginária:

Espectro de magnitude:

Espectro de fase:

Para sequências ímpares, um salto de 𝝅 graus sempre irá ocorrer em 𝝎=0. Função ímpar de 𝝎: inversão de sinal na função

amplitude para 𝝎=0. 45

TF de sequências especiais Exemplo- Sequência ímpar – Espectro de magnitude e fase

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TF de sequências especiais Exemplo- Sequência antissimétrica

obtida a partir de uma sequência ímpar aplicando-se um delay.

Dado: definida por

Obter uma sequência antissimétrica causal:

Espectro de magnitude:

Espectro de fase:

Ignorando os saltos de fase devido às inversões do sinal na função de amplitude, incluindo aquele em 𝝎=0, ainda temos uma função de

fase linear para sequências antissimétricas.

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TF de sequências especiais Exemplo- Sequência antissimétrica

para Ns não inteiro

TF:

Substituindo obtemos

Para Ns não inteiro, o espectro de fase ainda tem uma inclinação linear igual a . . Em , M=3/2.

-1/2

1

-1

1/2

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Referências

1- Introduction to Digital Signal Processing

Roman Kuc.

BS Publication, 2008.

2- Discrete-Time Signal Processing

Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer.

Prentice Hall, 1998.

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Obrigada

E até a próxima aula.

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