Probabilidades, Estatística e Teoria de Filas

1Simulação de Sistemas Dinâmicos

3. Probabilidades, Estatística e Teoria de Filas

Conceitos básicos

Experimento aleatório:experimento com resul-tado incerto

Espaço Amostral: conjunto de todos os possíveisresultados em um experimento aleatório.

Espaço de Eventos: conjunto de todos os fatossobre os quais se quer uma medida de probabilidade.

Medida de Probabilidade: medida associada a cadaevento que representa sua frequência relativa numnúmero muito grande de experimentos.

Espaço de Probabilidades: É o terno (Ω, E, P) onde:

Ω é um conjunto chamado espaço amostral;E é uma coleção de sub-conjuntos de Ω (cha-mados eventos), escolhida de modo a satisfazer:

1- Se A é um evento, então A é um evento;2- Se A1, A2, ... são eventos, sua união tam-bém é um evento;

P é uma função de E em R tal que:

1- P(A) ≥ 0 para todo A∈E;2- P(Ω) = 1;3- Se A1, A2, ... são eventos disjuntos (i.e. mú-tuamente exclusivos), então:

∑∞

1ii )A(PAP U

Consequências:

P(A)+P(A) = P(A∪A) = P(Ω) = 1

0 ≤ P(A) ≤ 1

Se A0 ⊂ A1⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ An+1 ⊂ ... então:

( )nnnnAlimP)A(Plim

∞→∞→=

Se P(A∩B) = P(AB) = P(A)P(B)diz-se que os eventos A e B são independentes

Probabilidade Condicional:

Dado que um evento B aconteceu, qual a pro-babilidade de um evento A também ter acon-tecido?

Resp.: É a medida da interssecção A ∩ B emrelação à medida de B

Por definição:

)B(P)AB(P)B|A(P =

Se B1, B2, ... são mutuamente exclusivos eainda: Ω=U

então (regra da probabilidade total):

∑ ⋅=i

ii )B(P)B|A(P)A(P

Fómula de Bayes:

∑ ⋅⋅

kkk )B(P)B|A(P

)B(P)B|A(P)A|B(P

Quando o conjunto Ω for enumerável, é possível as-sociar a cada elemento de Ω uma probabilidade, demodo a satisfazer às condições anteriores.

Neste caso, todos os sub-conjuntos de Ω são eventose o valor de probabilidade associado a cada evento éa soma das probabilidades associadas a seus elementos.

Exemplo: Ω = Z, com: Ζ∈= n,21

31)n(P n

221:.obs

0nn =∑

Se o conjunto não for enumerável, não é possívelfazer a mesma associação.

Exemplo: Ω = R. Para definir a função P(.), sejaa função f(x), x ∈R, tal que:

∫∞

∞−

≥= 0)x(h ,1dx)x(h

A seguinte definição especifica probabilidades paratodos os eventos de Ω:

∫∞−

=≤0x

0 dx)x(h)xx|x(P

Variáveis Aleatórias:

Uma var. aleatória é uma função que as-socia a cada ω ∈ Ω um número (real)

X: Ω RPor razões de consistência, exige-se quepara todo x ∈R, o conjunto:

ω: ω ∈ Ω e X(ω) ≤ x = [X ≤ x]

pertença ao espaço de eventos E.

Função de distribuição cumulativa:

F(x) = P[X ≤ x]

F(x) é uma função monotonicamente não-decres-cente, contínua à direita e tal que 0 ≤ F(x) ≤ 1 eainda F(−∞) = 0 e F(∞) = 1

Quando o conjunto Ω for enumerável, diz-seque a variável aleatória é discreta.

Neste caso, a função de distribuição cumulativaé uma "escada" (função descontínua à esquerda)

Quando o conjunto Ω não for enumerável, a variável aleatória pode ser contínua ou mista.

x1 x2 x3 x4

Pode-se definir vetores de v.a. e suas distribuiçõesconjuntas:

X = [X1 X2 ... Xn]

F(x1, x2, ..., xn) = P[X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, ...,Xn ≤ xn ]

A distribuição marginal de Xi é dada por:

Fi(xi) = F(x1, x2, ..., xn) xj = ∞j ≠ i

As variáveis aleatórias X1, ...,Xn serão indepen-dentes se:

F(x1, x2, ..., xn) = F1(x1)F2(x2)...Fn(xn)

para todo x1, x2, ..., xn

Função de densidade de probabilidade:

Dada uma função de distribuição cumulativa,F(x) define-se a função de densidade de pro-babilidade de uma v.a. como sendo:

dxdF)x(f =

x1 x2 x3 x4

De modo geral:

∫=−=≤<b

dx)x(f)a(F)b(F]bXa[P

Z = [X Y]

F(x,y) = P[X ≤ x, Y ≤ y]

Consideremos o vetor de v.a.'s bi-dimensional:

A densidade conjunta é dada por:

com a seguinte distribuição conjunta:

yxF)y,x(f

∂∂∂

De modo que:

∫ ∫∞− ∞−

βαβα=y x

dd),(f)y,x(F

As densidades marginais de X e Y são dadas por:

∫∞

∞−

∞∂= dy)y,x(f

x),x(F)x(f x

∫∞

∞−

==∂∞∂

= dx)y,x(fdydF

y)y,(F)y(f Y

Dada uma distribuição conjunta, F(x,y), qual aprobabilidade P[X ≤ x | Y = y] ?

Obs.: a definição:)B(P)AB(P)B|A(P =

é indefinida, dado que P[Y=y] = 0

Define-se portanto a densidade condicional:

)y(f)y,x(f)y|x(f

= (definida somente se fY(y)≠0)

A distribuição condicional é dada por:

∫∞−

αα==≤=x

d)y|(f]yY|xX[P)y|x(F

A regra da probabilidade total fica:

∫∞

∞−

⋅⋅=≤=≤ dy)y(f]yY|xX[P]xX[P Y

Média, variância e desvio padrão

A esperança matemática, valor esperado ou médiade uma variável aleatória X é dada por:

∫∞

∞−

⋅⋅= dx)x(fx]X[E

De modo geral uma função de uma variável aleatóriatambém é uma variável aleatória.

Seja Y=g(X) uma v.a. obtida a partir da v.a. X. Tem-se:

∫∞

∞−

⋅⋅== dx)x(f)x(g)]X(g[E]Y[E

O momento de ordem n de uma v.a. X é obtidofazendo-se g(x)=xn

∫∞

∞−

⋅⋅== dx)x(fx]X[E]X[E nnn

A variância de uma v.a. X é definida por:

]])X[EX[(E]X[Var 2−=

22 ]X[E]X[E]X[Var −=

portanto:

O desvio padrão de X é dado por:

]X[VarX =σ

O coeficiente de variação de X é dado por:

]X[EC X

Uniforme)(xf

ab −1

12)ab(

2ab]X[E

bxa ,abax)x(F

bxa ,ab

−=σ

≤≤−−

≤≤−

Algumas densidades usuais:

∞<<∞σ=σ

πσ= σµ−−

]X[Efechada forma temnão )x(F

21)x(f

Normal

/1/1]E[X

0 x,e1)x(F0,0x ,e)x(f

µ=>−=

>µ>µ=µ−

Exponencial

18/)bcacabcba(3/)cba(]X[E

cxb )ac)(bc/()xc[(1bxa )ac)(ab/()ax(

cxb )ac)(bc/()xc(2bxa )ac)(ab/()ax(2

−−−++=σ

≤≤−−−−≤≤−−−

≤≤−−−≤≤−−−

Triangular

ac −2

Processos Estocásticos

Um processo estocástico X(t) = X(ω,t) é umacoleção de variáveis aleatórias indexadas por t.As variáveis aleatórias são definidas num espaçode probabilidades comum (Ω, E, P) com ω ∈ Ω.O domínio de t é algum sub-conjunto de R

•Para ω = ω0 fixo, a função X(ω0,t)=x(t) é umaamostra da trajetória do processo estocástico;

•Para t = t0 fixo, a função X(ω,t0) é uma v.a. igualao estado do processo estocástico no instante t0.

Exemplos:

X(ω,t) é um movimento browniano (processo regular,isto é, o futuro não pode ser determinado a partir dopassado, mas as estatísticas podem ser determinadasa partir de uma única amostra.)

X(ω,t) = R(ω)cos(αt+φ(ω)) (processo preditível ondeocorre o contrário)

Distribuições e densidades

de 1a ordem:F x t P X t x( , ) [ ( ) ]= ≤

f x t F x tx

( , ) ( , )=

∂∂

de 2a ordem:F x x t t P X t x X t x( , , , ) [ ( ) , ( ) ]1 2 1 2 1 1 2 2= ≤ ≤

n21n21n

n21n21

xxx)t,,t,t,x,,x,x(F

)t,,t,t,x,,x,x(f

∂∂∂∂

de ordem n:

]x)t(X,,x)t(X,x)t(X[P)t,,t,t,x,,x,x(F

nn2211

n21n21

≤≤≤==L

2121 xx)t,t,x,x(F)t,t,x,x(f

∂∂∂

média: η( ) [ ( )] ( , )t E X t x f x t dx= = ⋅ ⋅−∞

autocorrelação:

R t t E X t X t

x x f x x t t dx dx

( , ) [ ( ), ( )]

( , , , )

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

=−∞

−∞

∫∫

autocovariância:

)t()t()t,t(R)t,t(C 212121 ηη−=

R(t,t) = E[X2(t)] é a potência do processoC(t,t) é a variância do processo.

obs.: se X(t) = h(t) (caso determinístico), então η(t) = h(t)

obs.: no caso determinístico R(t1,t2) = h(t1)h(t2)

obs.: no caso determinístico C(t1,t2) = 0

Classificações

Processo Estocástico de Estado Contínuo:O espaço amostral Ω não é enumerável

Processo Estocástico de Estados Discretos ouCadeia: O espaço amostral Ω é enumerável

Processo Estocástico de Tempo Discreto ouSequência Estocástica: O domínio da variá-vel t é enumerável. Notação: Xk(ω) = Xk

Processo Estocástico de Tempo Contínuo: O domínio da variável t não é enumerável.

Processos Estocásticos Estacionários

senso estrito:

senso largo:

X(t) e X(t+c) tem as mesmas distribuições e densi-dades, ou seja, para todo n:

)ct,,ct,ct,x,,x,x(F)t,,t,t,x,,x,x(F

n21n21

+++==LL

E[X(t)] = η(t) = constantee

)(g)tt(g)]t(X),t(X[E)t,t(R

τ=−===

Processos Estocásticos Independentes

Um processo estocástico de grande simplicidadeé uma sequência estocástica em que as v.a.'s X1(ω), X2(ω), ..., Xn(ω), ... são independentesumas das outras. Neste caso, para qualquer n:

)t,x(F)t,x(F)t,x(F)t,,t,t,x,,x,x(F

nnn222111

n21n21

⋅⋅⋅==

)t,x(F)t,x(F)t,x(F)t,,t,t,x,,x,x(F

nn2211

n21n21

⋅⋅⋅==

Se ainda todas as distribuições forem idênticas,diz-se que o processo (sequência) é independen-te e identicamente distribuído - iid

Processos de Markov

Por definição, num Processo de Markov a pro-babilidade acima é igual a:

Consideremos uma sequência de instantes:

t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tk-1 ≤ tk

Suponhamos que no instante tk há observações dis-poníveis de um processo estocástico: x0, x1, ..., xk.Em geral a melhor informação sobre a v.a. X(tk+1)é obtida calculando-se a probabilidade condicional:

]x)t(X,,x)t(X,x)t(X|x)t(X[P 001k1kkk1k1k ===≤ −−++ L

]x)t(X|x)t(X[P kk1k1k =≤ ++

ou seja, o passado é sintetizado na informaçãotrazida pela última medida (propriedade de não-memória).

se o espaço amostral for discreto tem-se umacadeia de Markov

A propriedade de não-memória tem dois aspectos:

M1: Toda informação passada sobre o estadoé irrelevante.

M2: O tempo de permanência no estado cor-rente é irrelevante.

Se desde o instante t1 até o instante t2, o estadofor x2, tem-se:

P[X(t3) ≤ x3 | X(t2)=x2] = =P[X(t3) ≤ x3 | X(t)=x2, t1 ≤ t ≤ t2]

Num SDED o aspecto M2 interfere diretamenteno tempo inter-eventos, restringindo sua distri-buição a ser exponencial.

Processo Semi-Markoviano

Um processo estocástico é dito Semi-Markovianose atender à restrição M1:

"Toda informação passada sobre o estadoé irrelevante."

em outras palavras, não é necessário haver me-mória dos estados passados, mas pode ser ne-cessário haver memória do tempo de permanên-cia no estado.

Este tipo de processo estocástico é mais flexí-vel para a modelagem de SDED's pois não res-tringe as distribuições dos tempos inter-eventosa serem exponenciais.

Processo de Renovação ('Renewal')

Considere-se uma sequência de relógio estocásticacomo definida no cap. 2:

Vi,k = Vi,1, Vi,2, ..., i ∈ E, Vi,k ∈ R+, k=1,2,...

onde assumiu-se que as sequências de relógio são iid e independentes umas das outras. Portanto cada Vi,k é completamente caracterizada por uma função de distri-buição

Gi(t) = P[Vi ≤ t]

Considere-se agora o processo estocástico N(t)que conta o número de evento até o instante t,sendo que os instantes inter-eventos são dadospela sequência Vi,k

Por definição, o processo N(t) é chamdo deprocesso de renovação ('renewal')

Processo de Poisson

Definição:

N(t) é um processo que conta o número de ocor-rências de eventos no intervalo (0, t]. O espaçode estados de N(t) é 0, 1, 2, ...

Consideremos um SDED com um único evento.

Obviamente N(0) ≤ N(t1) ≤ ... ≤ N(tk) se 0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tk

A partir de alguma suposições simplificadoras,o objetivo é calcular P[N(t) = n] = Pn(t)

Se o processo de contagem satisfaz às hipótesespropostas a seguir, ele é chamado de processo decontagem de Poisson.

Considere-se uma partição da reta real num númeroarbitrário de intervalos (tk−1, tk] , k = 1, 2, ...

Assume-se t0 = 0 e N(0) = 0;

Define-se: N(tk−1, tk) = N(tk) − N(tk−1)

Hipóteses

•H1: Dois eventos não podem ocorrer simultaneamente;

•H2: N(t1), N(t1, t2), ..., N(tk−1, tk), ... são variáveisaleatórias mutuamente independentes.

•H3: P[N(tk−1, tk) = n] pode depender do comprimentodo intervalo (tk − tk−1) mas não dos pontos tk e tk−1.

De H3:

P[N(α, α+t) = n] = P[N(t) = n]

Passo 1: P[N(t) = 0] = P0(t) = e−λt

Passo 2: P[N(∆t) = 0] = 1 − λ∆t + o(t)

0t)t(olim:onde

∆→∆

Passo 3: P[N(∆t) = n] = o(t); n=2, 3, ...P[N(∆t) = 1] = λ∆t + o(t)

Passo 4:Pn(t+∆t) = (1 − λ∆t)Pn(t) + λ ∆t Pn−1(t) + o(t)

Passo 5: )t(P)t(Pdt

)t(dP1nn

n−λ+λ−=

Passo 6: ;0t ;e!n)t()t(P t

n ≥λ

= λ−

;0t ;e!n)t()t(P t

n ≥λ

= λ−

A expressão:

caracteriza completamente o processo N(t)e é chamada de distribuição de Poisson

obs.: Pn(t) = P[N(t) = n]; t é um parâmetro

Importância:

•Simplifica a análise de SDED;

•Aplicável em muitos problemas reais;

•Boa aproximação quando há superposiçãode múltiplos processos de natureza geral.

Média da distribuição de Poisson:

t)t(Pn)]t(N[E0n

n ⋅λ=⋅= ∑∞

obs.: λ = E[N(t)]/t = taxa média de ocorrência

20 momento: t)t()]t(N[E 22 λ+λ=

Variância:

t)]t(N[E)]t(N[E)]t(N[Var 22 λ=−=

Propriedade:

Num processo de Poisson, os tempos inter-even-tos são distribuídos exponencialmente.

Vk = sequência dos tempos intereventos (é i.i.d.)

G(t) = P[Vk ≤ t] = 1 − e−λt ; tedtdG)t(g λ−⋅λ==

1]V[Var ; 1]V[Eλ

Propriedade de não-memória

Considere-se um processo de Poisson onde:

tT T+z

ocorrência do último evento

instanteatual

próximoevento

V(ω): v.a. associada ao tempo intereventos

G(t) = P[V ≤ t] = 1 − e−λt ;

Y(ω): v.a. associada ao tempo residual

[V>z] é um evento dado; portanto [V ≤ z] não pode ocorrer

Pergunta-se: P[V ≤ z+t | V>z] = P[Y ≤ t | V>z]

Tem-se:

e1)e1(1

)e1()e1(]zV[P1

]tzVz[P]zV[P

]zV e tzV[P]zV|tzV[P

λ−+λ−

=−−

−−−=

≤−+≤<

>+≤=>+≤

Portanto: P[V ≤ z+t | V>z] = P[Y ≤ t | V>z] = 1− e−λt

ou seja, a distribuição do tempo residual é indepen-dente de z e idêntica a G(t) !!

Esta é a propriedade de não-memória, indicando quenão é relevante o registro do tempo de permanência noatual estado.

A recíproca também é verdadeira:

Se P[V ≤ z+t | V>z] é independente de zentão P[V ≤ t] = 1 − e−λt para algum λ > 0

De modo geral tem-se:

Processos de Poisson

Intervalos intereventos exponenciais

Propriedade de não-memória

não demonstradoporém demonstrável

Superposição de Processos de Poisson

Considere-se um SDED com m processos de Poissonsuperpostos e mutuamente independentes

m , 2, 1,i ;e1)t(G]tV[P tii

i K=−==≤ λ−

processo 1

processo 2

processo m

tprocesso j

Distribuição do tempo intereventos:

Y* = min Yii=1,2,...,m

P[Y* ≤ t] = 1 − e−Λt; Λ = λ1 + λ2 + ... + λm

Paradoxo do Tempo Residual

Considere um ponto de ônibus com passagens poissonianas (média 1/λ). Um passageiro cheganum instante aleatório. Quanto, em média, o pas-sageiro espera pelo próximo ônibus?

R1: Em média o passageiro vai esperar metadedo intervalo entre dois ônibus: (1/2λ)

Contradição: e a propriedade de não-memória?

R2: Devido à propriedade de não-memória,o passageiro vai esperar, em média, 1/λ.

Contradição: Dado que o passageiro chega emqualquer ponto do intervalo entre dois eventos,então os ônibus passam em média a cada1/λ + 1/λ = 2/λ unidades de tempo.

A resposta R2 é a correta.

Solução do paradoxo:

•Há uma maior probabilidade de o passageiro che-gar num intervalo maior;

•A média dos intervalos nos quais chega um pas-sageiro é de fato 2/λ.

T1 T2 Tk−1 Tk

passageiro

G(t) = P[V ≤ t]~ ~

g(t) é a densidade associada.~

Prova-se que E[V] = 2/λ~

Teoria de Filas

Assunto Tradicional, voltado para uma classe deSDED's (problemas que envolvam compartilha-mento de recursos).

A teoria de filas não se confunde com o estudo de SDED's, pois:

•pode não ser o fenômeno predominante;

•não capta o comportamento dinâmico(ênfase nos aspectos estocásticos).

•Determinação do desempenho do sistema sobcertas condições;

•Desenvolvimento de ferramentas descritivas,no lugar de prescritivas

Objetivos:

Especificação de um modelo:

a) Especificação dos modelos estocásticos paraos processos de chegada e de serviço.

b) Especificação dos parâmetros estruturais dosistema tais com capacidade de armazenaento,número de servidores

c) Especificação das políticas de operação("operating policies") tais como condi-ções de aceitação de clientes, priorizaçãoem relação a tipos de clientes, etc..

chegadaserviço

Modelos Estocásticos

Yk = intervalo entre a (k−1)-ésima e a k-ésimachegada de clientes à fila; é a sequênciaestocástica associada à chegada de clientes.

É usual assumir que Yk é i.i.d. e portantoa distribuição:

A(t) = P[Y≤ t]descreve a chegada de clientes

É usual a notação: E[Y] = 1/λ, sendo λ a taxamédia de chegada de clientes.

Zk = tempo de serviço para o k-ésimo cliente

Assume-se também que Zk é i.i.d. e portantoB(t) = P[Z≤ t]

descreve o serviço.

É usual a notação: E[Z] = 1/µ, sendo µ a taxamédia de serviço.

Parâmetros Estruturais

•Capacidade de armazenamento:É o número admissível de clientes na fila; usual-mente inclui o cliente em serviço (K = 1, 2, ... )

•Número de Servidores:Define o número de clientes sendo atendidosao mesmo tempo (m = 1, 2, ...)

Fila simples apresenta: m = 1K = ∞

Políticas de Operação(operating policies)

•Número de classes de clientes que terão diferentesprioridades e tempos de serviço.

•Estratégias de escalonamento - definem que classedeve ser processada em primeiro lugar (ao terminarum serviço) ou sobre a oportunidade de realizar umapreempção.

•Disciplinas de fila - determinam a ordem de servi-ço, mesmo no caso de classe única, p. ex. FIFO, LIFO, aleatória, etc.

•Estratégias de admissão - independentemente dacapacidade de armazenamento, pode ser oportunonegar a admissão a alguns clientes, p. ex. clientescom baixa prioridade podem ser aceitos somentese a fila estiver vazia.

Ex. simples: •classe única;•todos os clientes são admitidos e servidos;

•FIFO.

Notação A/B/m/K

A: distribuição dos tempos entre chegadas;B: distribuição dos tempos de serviço;m: número de servidores;K: capacidade de armazenamento (se omitida = ∞)

A distribuições A e B são usualmente designadaspela seguinte convenção:

G: distribuição geral, ou seja, não se sabe nadasobre os tempos de chegada/serviço;

GI: distribuição geral em que os tempos de che-gada/serviço são i.i.d.; (alguns autores utilizam G)

D: caso determinístico;

M: caso markoviano, isto é, os tempos são ex-ponencialmente distribuídos

Exemplos: M/M/1; GI/G/1; M/M/1/1; M/G/2; ...

Sistemas Fechados

n clientes

N − n clientes

População finita de clientes → sistema fechado

Notação: A/B/m/K/N

número de clientes

obs.:•Se N = ∞ , N é omitido (sistema aberto);•Se N < ∞ e K = ∞ nota-se: A/B/m//N

Desempenho de um Sistema de Filas

Variáveis de interesse (sequências estocásticas):

Yk: intervalo entre chegadas;Zk: tempo de serviço;Ak: instante de chegada do k-ésimo cliente;Dk: instante de partida do k-ésimo cliente;Wk: tempo de espera do k-ésimo cliente;Sk: tempo no sistema do k-ésimo cliente.

relacionadas da seguinte forma:

Sk = Dk − Ak

Sk = Wk + Zk

Dk = Ak + Wk + Zk

X(t) = comprimento da fila no instante t;U(t) = trabalho remanescente (workload) no instante t,

isto é, o tempo requerido para esvaziar o sistema.

Outras variáveis (processos estocásticos):

O tempo de espera Wk é uma importante medidado desempenho do sistema; em geral

P[Wk ≤ t] é dependente de k

mas quando k → ∝ pode existir uma distribuição es-tacionária, independente de k:

lim P[Wk ≤ t] = P[W ≤ t]k→∞

Se este limite existe, a v.a. W descreve o tempo deespera de um cliente típico em regime permanente

Considerações semelhantes podem ser feitas paraa sequência estocástica:

Sk → S

U(t) → U

ou para os processos estocásticos:

X(t) → X

Medidas de Desempenho

Assume-se o alcance de regime permanente;são medidas de desempenho:

E[W], E[S], E[X]

Podendo-se definir ainda:

Utilização = fração de tempo em que o servidorestá ocupado;

Throughput = taxa em que os clientes deixam osistema após o serviço.

É fato que: utilização < 1throughput < µ

se há regime, então: taxa de entrada = taxa de saída

⇒ throughput = λ

define-se:

serviço de média taxachegada de média taxa

tráfegodeeintensidad

:servidores (mµ

Algumas relações:

]nX[Pn ==π

utilização = 1 − π0throughput = µ(1 − π0) = λ

Portanto:01 π−=

ρ = intensidade de tráfego = utilização

relações válidas em regime, para m = 1 e K = ∞

Se π0 = 1 → permanentemente ocioso;Se π0 = 0 → permanentemente ocupado (fila instável)

0 ≤ ρ < 1

Relações Dinâmicas

Tem-se: Wk = max0, Dk−1− Ak

Dk = Ak + Wk + ZkAk − Ak−1 = Yk

mas:portanto: Wk = max0, Wk−1 + Zk−1 − Yk

(expressão recursiva para os tempos de espera)

mas: Sk = Wk + Zk

portanto: Sk = max0, Sk−1 − Yk − Zk

(expressão recursiva para os tempos de sistema)

portanto: Dk = maxAk, Dk−1 + Zk

(expressão recursiva para os tempos de partida)

mas: Wk = Dk − Ak − Zk

Eqs. de caráter geral, independentes das distribui-ções das variáveis aleatórias.

Lei de Little

na(t)u(t)

Área de A: tempo de sistema do 10 cliente;Área de B: tempo de sistema do 20 cliente;Área hachurada: tempo total de sistema até o instante t.

)t(n)t(u)t(s

t)t(u)t(x =

t)t(n)t( a=λ

tempo médio por cliente;

comprimento médio da fila;

taxa média de chegada de clientes.

)t(n)t(u)t(s

)t(u)t(x =t

)t(n)t( a=λ

)t(s)t()t(x ⋅λ=

Hipóteses cruciais: λ=λ∞→

)t(limt

s)t(slimt

=∞→

Conclui-se: sx)t(xlimt

λ==∞→

Se os limites acima existirem para qualquertrajetória (ergodicidade):

lei de LittleE[X] = λE[S]

(não é uma demonstração)

E[X] = λE[S]

λE[X]

E[S]sistemade filas

•o raciocínio anterior não é uma demonstração;•contudo a lei de Little pode ser demonstrada;•não depende das distribuições das v.a.'s;•não depende das estratégias de operação;•em geral:

Para as fronteiras adequadas tem-se:

E[XQ] = λE[W]

E[XS] = λE[Z]

onde: XQ é o tamanho da fila excluído o servidor;XS é o número médio de clientes no servidor

Duas observações:

A expressão:

sx λ=

)t(s)t()t(x ⋅λ=é verdadeira para qualquer t

A expressão:

só é verdadeira em regime, isto é, x significará a filamédia em regime se λ( t)e s(t) atingirem o regime

b) λ é a taxa de clientes realmente entrando no sis-ma e isso deve ser levado em conta caso haja algum controle de admissão ou rejeição devidoa limites de armazenamento

Análise da fila M/M/1

Se o tempo entre chegadas e o tempo de serviçotem distribuição exponencial então X(t) é umacadeia de Markov

Definimos, como anteriormente: πn(t) = P[X(t) = n]

Em geral, uma fila pode ser associada a um autô-mato estocástico em que o estado X(t) é o númerode clientes no sistema.

O processo estocástico X(t) é um GSMP

O cálculo destas probabilidades pode ser feito:

1. Por simulação, estimando o tempo de perma-nência no estado X(t) = n e dividindo-o pelo tem-po total de simulação;

2. Analiticamente

Teorema:Para uma fila com processo de chegada de Poisson eindependentes do tempo de serviço, a probabilidadede que um cliente a chegar encontre n clientes na filaé igual à probabilidade de que o tamanho da fila seja n.

αn(t) = P[cliente ao chegar no instante t encontre X(t) = n]

αn(t) = πn(t)

Resultado da teoria de cadeias de Markov:

L 2, 1,j

);t()t()t()(dt

d1j1j1j1jjjj

πµ+πλ+πµ+λ−=π

++−−

)t()t(dt

0 πµ+πλ−=π

obs.: embora não demonstrado, este resultado éintuitivo.

L 2, 1,j

;0)( 1j1j1j1jjjj

=πµ+πλ+πµ+λ− ++−−

01100 =πµ+πλ−

Portanto, em regime:

Consequentemente:

1j10j π

µ⋅⋅µ⋅µ

λ⋅⋅λ⋅λ=π −

∑∞

µ⋅⋅µ⋅µλ⋅⋅λ⋅λ

1j j21

Para o caso M/M/1, tem-se, ∀n:

portanto:

∑∞

µλ−µ

<µλ ∑

= 1 se- tem1 se

finalmente: ρ−=µλ

−=π 110

onde ρ = λ/µ é a intensidade de tráfego.

obs.: 0 ≤ ρ < 1

λn = λµn = µ

Tem-se ainda:

n )1()1( ρρ−=ρ−

Esta é a distribuição estacionária para o compri-mento da fila M/M/1.

obs.: esta expressão não é válida para ρ ≥ 1 poisΣπn→∞

Utilização: = 1 − π0 = ρ = λ/µ

Throughput: = µ( 1 − π0) = λ

Se a fila M/M/1 é estável, o throughput é a taxade chegada (esperado, considerando o regime)

Se ρ ≥ 1, o throughput é µ, pois π0 = 0 e o ser-vidor estará operando constantemente.

Comprimento médio da fila:

∑∑∞

ρ⋅ρ−=π⋅=0n

0nn n)1(n]X[E

∑∑∑∞

−∞

=ρ=ρρ 0n

n n1ndd

ρ−=ρ∑

∑∞

=ρ− 0n

∞=ρ−

→ρ→ρ 1lim]X[Elim :.obs

Tem-se que:

portanto:

finalmente:ρ−

ou seja, ao se tentar manter o servidor tão ocupado quanto possível, a qualidade do serviço decai através do aumento da fila e consequentemente do tempo de espera.

Tempo médio de Sistema:

ρ−µ=

ρ−ρ

11]X[E1]S[E

Da lei de Little:

1]S[Elim

]S[Elim :.obs

que é o tempo médio de servviço

Tempo médio de Espera:

E[S] = E[W] + E[Z]

ρ−µρ

−ρ−µ=

0]W[Elim

]W[Elim :.obs

grande var.

pequena var.

faixa de opera-ção recomendada

Do ponto de vista prático, recomenda-se que aoperação ocorra numa faixa de operação emque a utilização é baixa → atendimento rápido

Este resultado, embora deduzido para a filaM/M/1, é verificado em geral.

Transitórios

L 2, 1,j

);t()t()t()(dt

d1n1nn

µπ+λπ+πµ+λ−=π

)t()t(dt

0 πµ+πλ−=π

Para o caso M/M/1, tem-se, ∀n: λn = λµn = µ

As equações diferenciais que relacionam as pro-babilidades P[N(t) = n] ficam portanto:

A solução não é trivial, mesmo para o caso simples:

∑++=

−−

−µ+λ−

ρρρ−+

+ρ+ρ=πK

)in(t)(

)]at(J)1(

)at(J)at(J[e)t(

( )modif. Bessel de funções

!k)!kn(2

inicial) (condição 1)0(

∑∞

Probabilidades, Estatística e Teoria de Filas

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