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1. Qual o polgono convexo cujo nmero de diagonais igual ao de lados? Resp.: Pentgono2. Qual o polgono convexo cujo nmero de diagonais igual ao dobro do nmero de lados?

3. Qual o polgono cujo nmero de diagonais excede o de lados de 18 unidades? Resp.: Enegono4. A soma do nmero de diagonais de dois polgonos convexos 40. Determine os polgonos, sabendo que um deles tem 5 lados mais que o outro. Resp.: Pentgono e decgono.5. A diferena entre o nmero de diagonais de dois polgonos convexos 11. Determine os polgonos, sabendo que um deles tem dois lados mais que o outro. Resp.: Hexgono e octgono.6. Qual o polgono regular que tem as suas diagonais multiplicadas por 7 quando o seu nmero de lados dobrado?

a. (XXX)icosgonoc. (XXX)heptgonoe. (XXX)decgono

b. (XXX)enegono d. (XXX)pentgono

7. Aumentando-se o nmero de lados de um polgono de 3, seu nmero de diagonais aumenta de 21, determine o nmero de diagonais desse polgono.

Soluo: o mero de diagonais de um polgono d = n(n 3)/2. Efetuando as modificaes d + 21 = (n + 3).(n + 3 3)/2 = (n + 3).n/2 ( d = (n + 3).(n)/2 21 ( ( n(n 3)/2 = (n + 3).n/2 21 ( n(n 3) = (n + 3).n 42 ( n2 3n = n2 + 3n 42 ( 6n = 42 ( ( n = 7. Resposta: 7.

8. (CEFETCE 2003) Dois polgonos so tais, que a diferena entre o nmero de lados dos dois 5, e a diferena entre o nmero de diagonais dos mesmos vale 40. Os polgonos so:

A) hexgono e icosgono

B) heptgono e decgono

C) octgono e heptgono

D) hexgono e dodecgono

E) heptgono e dodecgono

9. A medida mais prxima de cada ngulo externo do heptgono regular da moeda de R$0,25 :

a) 60b) 45c) 36d) 83e) 51 ********10. Dados dois polgonos regulares, com (n + 1) lados e n lados, respectivamente, determine n sabendo que o ngulo interno do primeiro polgono excede o ngulo interno do segundo de 5.

Soluo:- O ngulo interno de um polgono regular de n lados i = 180.(n 2)/n. Para o polgono de (n + 1) lados, i = 180.(n + 1 2)/(n + 1). Temos ento: 180.(n + 1 2)/(n + 1) - 180.(n 2)/n = 5. O mmc dos denominadores n.(n + 1). Portanto, 180.(n 1).n 180.(n 2).(n + 1) = 5.n.(n + 1) ( 180n2 180n 180n2 + 180n + +360 = 5n2 + 5n ( 5n2 + 5n 360 = 0 ( n2 + n 72 = 0. ( ( = 12 4.1.(-72) = 289 (( n = (-1 + 17)/2 = 8 ou n = (-1 17)/2 = -9 (o nmero de lados no pode ser negativo). Resposta: 8 lados.

11. Trs polgonos P, P e P tm, respectivamente, n, n 2 e n + 3 lados. Diga quantos lados tem cada polgono sabendo-se que a soma dos ngulos internos de todos eles igual a 3960. Resp.: P = 9, P = 7 e P = 1212. Em um polgono regular ABCD a diagonal forma com o lado o ngulo =126. Qual o polgono. Resp.: Decgono

Se regular, o polgono equiltero e equingulo. Seja ( a medida do ngulo interno do polgono. O tringulo ABC issceles, pois = , logo = = ( 126. O ngulo do vrtice tem medida (. Aplicando a lei angular de Tales ao tringulo ABC, vem:

(( 126) + (( 126) + ( = 180 ( ( = 144

Usando a frmula do ngulo interno de um polgono regular, vem:

( n = 10

13. Num quadriltero, dois ngulos consecutivos tm por medida 55 e 47, respectivamente. Calcule o ngulo formado pelas bissetrizes internas dos outros dois ngulos. Resp.: 51

14. (FUVEST - 1978) Na figura abaixo, os ngulos e medem respectivamente, x/2, 2x, 3x/2 e x. O ngulo reto. Qual a medida do ngulo ?

(XXX)

16(XXX)

18(XXX)20(XXX)

22(XXX)

24

RESOLUO:

( I ) Sabendo-se que A + B + C + D = 360

temos: x/2 + 2x + 3x/2 + x = 360

5 x = 360x = 72 , logo D = 72

( II ) Como D + E + F = 180

72 + 90 + F = 180 F = 18 , ou seja alternativa b.

15. A soma das medidas dos ngulosa + b + c + d + e + f + g:

a) 60. b) 120. c) 180. d) 360. e) n.r.a.

16. (PUC-SP) A soma das medidas dos ngulosA + B + C + D + E:

a) 60. b) 120. c) 180. d) 360. e) varia de "estrela" para "estrela".

17. Determine a medida do ngulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e CD de um polgono regular ABCD... de 20 lados

Soluo:- O ngulo pedido o ngulo do vrtice de um tringulo .Issceles tendo como ngulos da base o ngulo externo do polgono. O ngulo externo do polgono regular de n lados dado por i = 360/n. Assim, i = 360/20 = 18. Tem-se ento: x = 180 2x = 180 - 18. 2 = 1440 . Resposta: 1440

18. Num tringulo issceles ABC de base AB o ngulo B igual a 2/3 do ngulo S, formado pelas mediatrizes QS e PS. Calcule os ngulos desse tringulo.

Soluo: do quadriltero BPSQ, P = Q = 90 (mediatriz perpendicular ao meio do lado). Temos ento: 90 + 90 + S + (2/3)S = 360 ( S + (2/3)S = 180 ( 3S + 2S = 3.180 ( S = 3.180/5 = 108 e B = (2/3).108 = 72. Portanto, A = B = 72 e C = 180 - (72 + 72) = 180 - 144 = 36. Resposta: 36, 36 e 72.

19. As bissetrizes internas dos ngulos B e C de um tringulo ABC formam um ngulo de 116 . Determine a medida do menor ngulo formado pelas alturas relativas aos lados AB e AC desse tringulo.

Soluo:- Do tringulo CDB, x + y + 116 = 180 ( x + y = 64. Do tringulo ABC, 2x + 2y + A = 180 ( 2.64 + A = 180 ( A = 180 - 128 ( A = 52. Do quadriltero AGEF, (180 - a) + 90 + 90 + A = 360 ( 180 - a + 180 + 52 = 360 ( ( a = 52 . Resposta: 52

20. (UFC-90) Sabendo que as mediatrizes de dois lados adjacentes de um polgono regular formam um angulo de 24. Determine o nmero de diagonais desse polgono.Soluo: A o ngulo interno do polgono. A mediatriz perpendicular ao meio do lado. Portanto, do quadriltero ABOC, 90 + 24 + 90 + A = 360 ( A = 156. Soma dos ngulos internos de um polgono S = 180.(n 2). Um ngulo interno do polgono regular vale i = 180.(n 2)/n. Portanto, 156 = 180.(n 2)/n ( 156n = 180n 360 (

24n = 360 ( n = 15 lados. Usando, d = n.(n 3)/2, resulta, d = 15.(15 3)/2 = 90 diagonais. Resposta: 90.

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