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Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br 1

Transformada Z

Carlos Alexandre Mello

Transformada de Fourier de uma

Sequência

� Problema:

� Há casos onde a Transformada de Fourier não

converge

� Solução

� Transformada Z

� A Transformada Z é uma ferramenta matemática

poderosa para análise de sinais e sistemas discretos

Transformada Z

� Seja a Transformada de Fourier de uma sequência dada por:

� Se z = ejw, temos então a Transf. Z bilateral:

Transformada Z

� Relação entre a Transf. de Fourier e a Transf. Z:

� Como z é uma variável complexa, podemos

entendê-la como:

� z = r.ejw

� cuja representação gráfica corresponde a um círculo

no Plano imaginário (chamado de Plano-Z)

� Se esse círculo tem raio igual a 1, então temos a

condição da Transf. Z ser igual à Transf. de Fourier

Transformada Z

� A Transformada Z não converge para todos os valores de Z

� Onde a Transformada Z converge é chamada

de Região de Convergência (ROC – Region of

Convergence)

� A convergência é garantida se:

Transformada Z

� Assim, é possível que TZ convirja mesmo se a TF não convergir

� Para a TF convergir, a ROC da TZ deve conter o círculo unitário

� Uma transformada Z só está completamen-te definida se sua ROC estiver determinada

Transformada Z

� Entre as mais úteis e importantes Transformadas Z estão aquelas para as quais X(z) é uma função racional dentro da região de convergência, i.e.:

� Os valores de z que fazem X(z) = 0 são chamados de zeros de X(z)

� Os valores de z para os quais X(z) tende a infinito são chamados de pólos de X(z)

Transformada ZPropriedades

� 1) Linearidade:

� a.x1[n] + b.x2[n] ↔ a.X1(z) + b.X2(z)

� ROC = ROCx1∩ROCx2

� 2) Deslocamento no tempo:

� x[n - n0] ↔ z-n0.X(z), ROC = ROCx

� 3) Convolução no tempo:

� x1[n]*x2[n] ↔ X1(z).X2(z)

� ROC contém ROCx1∩ROCx2

� Seja:

� Tal que:

� 3) Convolução no tempo:� Se mudarmos a ordem do somatório

� Fazendo m = n – k:

� Assim, para valores de z dentro da ROC para X1(z) e X2(z): Y(Z) = X1(z).X2(z)

� 4) Multiplicação por uma exponencial discreta:

� anx[n] ↔ X(z/a), ROC = |a|ROCx

� Essa propriedade é observável substituindo

anx[n] na definição de TZ:

� 5) Diferenciação no Domínio Z:

� n.x[n] ↔ -z.dX(z)/dz, ROC = ROCx (observando

apenas o que acontece para z = 0 ou z = ∞)

� Essa propriedade pode ser provada

diferenciando a definição da TZ:

� 5) Diferenciação no Domínio Z:

� 6) Reverso no tempo:

� x[-n] ↔ X(z-1), ROC = 1/ROCx

� A definição de TZ prova essa propriedade:

� Fazendo m = -n:

Transformada ZExemplos

� Exemplo 1:

� x[n] = anu[n]

� Exemplo 1:

� x[n] = anu[n]

� Exemplo 2:� x[n] = -anu[-n-1]

� Exemplo 3:� x[n] = (1/2)nu[n] + (-1/3)nu[n]

� Exemplo 4:� x[n] = (-1/3)nu[n] - (1/2)nu[-n-1]

Negativa n....

Acrescenta otermo nulo com o 1 fora do somatório.....

� Exemplo 5: Impulso δ[n]

� δ[n] = 0, n ≠ 0

� δ[n] = 1, n = 0

� ROC: Todo Plano-Z

� Exemplo 6: x[n] = δ[n – n0]

� Exemplo 7:

Transformada Z

Propriedades da ROC

� 1) A ROC é um anel ou disco no Plano Z com centro na origem.

� 2) A TF da sequência x[n] converge absolutamente se e somente se a ROC da TZ contém o círculo unitário.

� 3) A ROC não pode conter pólos.

� 4) Se x[n] é uma sequência de duração finita, a ROC é todo plano Z.

Transformada Z

Propriedades da ROC

� 5) Se x[n] é causal (right-sided), a ROC extende-se para além dos pólos mais externos, possivelmente tendendo a infinito.

Transformada Z

Propriedades da ROC

� 6) Se x[n] é não causal (left-sided), a ROC extende-se para uma região menor que o menor pólo até zero.

Transformada Z

Propriedades da ROC

� 7) Se x[n] é uma sequência com componentes parte causal e parte não-causal, então a ROC é um anel.

� 8) A ROC é uma região conectada.

Transformada ZTransformada Inversa

� Cálculo da Transformada Z Inversa

� Não tão simples

� Não utilizado

� Métodos

� Método da Inspeção

� Expansão em Frações Parciais

� Expansão em Séries de Potências

Transformada ZTransformada Inversa

� Formalmente....

� Seja a Transformada Z definida por:

� A transformada Z inversa é:

Transformada Z InversaMétodo da Inspeção

� O método da inspeção é o mais simples e consiste em apenas observar a transformada e ver se ela é da forma de alguma TZ conhecida

� Por exemplo, dado:

Transformada Z InversaMétodo da Inspeção

� Por observação, sabemos que:

� Notadamente, o método da inspeção não é o mais apropriado para calcular TZs inversas mais complexas.

Transformada Z InversaExpansão em Frações Parciais

� Para ver como obter uma expansão emfrações parciais, vamos assumir que X(z)pode ser expressa como uma razão depolinômios em z-1, i.e.:

� Para calcular a transformada inversa,tentamos expressar X(z) da forma:

� Exemplo: Suponha

� Exemplo (cont.): Vamos considerar que:

� Exemplo (cont.): Logo:

� Exemplo (cont.): Assim:

A1 = -9

A2 = 8

� Exemplo (cont.): Com isso:

� que corresponde à TZ da sequência:

Transformada Z InversaExpansão em Série de Potências

� A expansão em série de potências éaplicada quando a transformada Z é umpolinômio da forma:

� Isso ocorre, principalmente, se a TZ é umasequência finita.

Transformada Z InversaExpansão em Série de Potências

� Por exemplo, considere que a TZ de umaseqüência x[n] é da forma:

� Uma expansão em frações parciais para essecaso não é apropriada. No entanto, efetuandoos produtos, podemos reduzir a expressão a:

Bibliografia Complementar

� Vinay K. Ingle, John G. Proakis, Digital Signal Processing, Thomson Learning, 2000.

� Michael Weeks, Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, Infinity Science Press, 2007.

� Alan V. Oppenheim, Ronald Schafer, Discrete Time Signal Processing, Prentice Hall, 1989

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