Os Resíduos de SolowNotas de Aula

Prof. Giácomo Balbinotto Neto

UFRGS/FCE

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Robert Solow (1924 - )

Prêmio Nobel , 1987

http://cepa.newschool.edu/het/profiles/solow.htm

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Um esquema contábil do crescimento econômico

Solow (1957) [Technical Change and the

Aggregate Production Function, RES]

desenvolveu um esquema contábil para medir

os principais fatores do crescimento

econômico.

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A Contribuição

Empírica de Solow

The empirical estimation of the contributions of various

production factors to GNP is linked with the work of

several other economists. Solow's contributions in two

articles, Technical Change and the Aggregate Production

Function, published in 1957, and in Investment and

Technical Progress, from 1960, laid the foundations for

what was later to develop into "growth accounting".

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A Contribuição Empírica de Solow

In his first article, Solow based his model on time seriesfigures for total production, the total input of labor and thecost shares of these factors in total production. Solow thusachieved a measure for continuous change in productiontechnology over time by calculating the difference betweenthe relative development of production and thedevelopment of the supply of labor and capital, weighted byfactor shares. On the basis of this estimated series, Solowcould assess the production function, (ie the mathematicalrelationship between production, on the one hand, and theinput of production factors, on the other).

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A Contribuição Empírica de Solow

The change in production technology (the change in productionwhich could not be interpreted as changed inputs of labor andcapital) was interpreted as the result of changes in productiontechniques, that is to say, technical progress.

Solow's analysis showed that technical improvements were neutralover time (the distribution of GNP between earnings and capitalyield was not affected by technical change). He also demonstratedthat only a small proportion of annual growth could be explained byincreased inputs of labor and capital.

Solow's study had a dramatic impact - similar analyses wereundertaken in a great many other countries. Access to betterstatistical data in the form of time series for capital and labor haspermitted more reliable results to be achieved.

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A Contribuição Empírica de Solow

In an article published in 1960, Investment andTechnical Progress, Solow presents a new method ofstudying the role played by capital formation ineconomic growth. His basic assumption was thattechnical progress is "built into" machines and othercapital goods and that this must be taken into accountwhen making empirical measurements of the role playedby capital. This idea then gave birth to the "vintageapproach" (a similar idea was discussed by LeifJohansen in Norway at about the same time).

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A Contribuição Empírica de Solow

The vintage approach assumes that new investments arecharacterized by the most modern technology and that the capital thatis formed as a result does not change in qualitative terms over itsremaining life. Thus, the investment decision ties up future technologyto some extent, since technological knowledge is rooted in thephysical capital object. Solow's formulation of a mathematical modelbased on these ideas enabled him to develop a theory whichpermitted empirical calculations to be made. In principle, the modelestablished a new way of aggregating capital from different periods.Solow's empirical results naturally gave the formation of capital amarkedly higher status in explaining the increase in production per

employee.

9

A Contribuição Empírica de Solow

The most important aspect of Solow's article was not somuch the empirical outcome, but the method of analysing"vintage capital". Nowadays, the vintage capital concepthas many other applications and is no longer solelyemployed in analyses of the factors underlying economicgrowth. For example, many numerical general equilibriummodels utilize Solow's approach in the study of thesensitivity of economies to certain types of disruptiveeffects. The vintage approach has proved invaluable, bothfrom the theoretical point of view and in applications suchas the analysis of the development of industrial structures.

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Um esquema contábil do crescimento econômico

A pergunta que os exercícios de growthaccounting buscam responder é aseguinte:

Qual a contribuição de cada fator deprodução (capital e trabalho), bem comodo progresso tecnológico, ao crescimentoeconômico?

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Growth Accounting

Growth accounting é também conhecidacomo sendo a análise das “ fontes docrescimento econômico”.

Este é o processo pelo qual sãocontabilizadas (medidas) as contribuiçõesde cada fator de produção ao crescimentoeconômico.

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Agregação e Parábola [cf. Jones (1975,p.29-30)]

Aqui é assumido que a economia produz apenasum único bem – milho - que é produzido naeconomia. Neste caso, as dificuldades denúmero-índice são totalmente removidas doproblema.

Isto nos permite definir o produto da economiade modo não ambíguo em termos de toneladasde milho. O milho é consumido ou investido, enesse caso ele se torna parte do estoque decapital de milho.

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A função de produção agregada

Seja a função de produção agregada:

Y = A(t) F (K, N)

onde:

A(t) – representa as mudanças tecnológicas e quesão uma função do tempo. Conforme o tempopassa, o termo A(t) aumenta, o que significa quemais produto será gerado para uma dadaquantidade de insumos usados na produção.

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A função de produção agregada

O termo A(t) entra de forma multiplicativa nafunção de produção.

Esta especificação implica que as mudançastecnológicas não afetam a produtividade marginalrelativa dos dois fatores de produção [capital (K)e trabalho (N)], dada pela parte F(K,N).

A mudança tecnológica resulta em aumentosiguais na produtividade de ambos os fatores. Estamudança tecnológica é denominada de mudançatecnológica neutra [cf. Hicks].

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A função de produção agregada

A quantidade de produto produzida por qualquereconomia é limitada pela oferta disponível decapital e trabalho.

Isto pode ser resumido por uma função deprodução agregada: Y = F(K,N), que afirma queo produto agregado (Y) é uma função domontante de capital (K) e trabalho (N), naeconomia.

16

A função de produção agregada e suas propriedades

(i) Y é um conjunto não vazio, Y ; este pressupostoimplica que as firmas nesta economia tem algo queplanejam fazer, pois caso contrário, não haverianecessidade de estudarmos o comportamento da firma enem do crescimento da economia;

(ii) Ela deve ser definida e não negativa para qualquervetor Y de uma dimensão apropriada, tendo todos oscomponentes não negativos, isto é F(Y) 0 para todo oY 0;

17

A função de produção agregada e suas propriedades

(iii) As derivadas segundas com respeito atodos os argumentos deve ser contínua;

(iv) No free lunch, isto é: F (0) = 0, ou seja,sem insumos não há produto; ou em outraspalavras, não é possível produzirmos algo denada;

18

A função de produção agregada e suas propriedades

(v) os produtos marginais do capital e trabalhosão todos não negativos; isto é: Y/ K > 0 eY/ N > 0.

Isto significa que um aumento tanto em capitalquanto em mão-de-obra vai sempre aumentaro fluxo de produto na economia.

19

A função de produção agregada e suas propriedades

Contudo, ainda que cada incremento de insumo gereum incremento no fluxo de produto, sucessivosincrementos produzem incrementos decrescentes nofluxo de produto, ou seja:

2 2 2 2

Y/ K < 0 e Y/ N < 0.

20

A função de produção agregada e suas propriedades

(vi) a função de produção neoclássica éhomogênea de grau um; isto é há retornosconstantes de escala; esta hipótese irá permitiruma simplificação substancial da função deprodução agregada, já que pode ser escrita naforma por trabalhador, ou seja, na formaintensiva.

21

A função de produção agregada e suas propriedades

Diz-se que uma função de produção é linearmentehomogênea, isto é, opera sujeita a retornos constantesde escala, se a multiplicação de ambos os insumos, K eN, por um número positivo implica que o produto geradoseja multiplicado pelo mesmo número, isto é:

F(K, N) = F(K,N) - Y para todo o > 0.

Assim, se a função de produção agregada forhomogênea de grau um, a multiplicação de ambos osinsumos por 2, temos que o produto dobra.

22

A função de produção agregada e suas propriedades

(vii) Quase concavidade estrita: para qualquerY 0, Y’ 0, 0 < < 1 e para qualquer c > 0,se F(Y) c e F(Y’) = c, então:

F[Y + (1- ) Y’] c, com igualdade se esomente se Y’ = Y.

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A função de produção agregada

Utilizando a regra da cadeia e da derivadatotal da função de produção temos que:

dY/dt = d[[A(t) F(K,N)]/dt

= A(t) [F (K,N)/ K] (dk/dt) +

A(t) [F (K,N)/ N] (dN/dt) +

[F (K,N)/ K] (dA(t)/dt)

24

A função de produção agregada

Dividindo ambos os lados da expressão acima por

Y= A(t) f(K,N), obtemos:

(dY/dt)/Y = [A(t)/A(t) F(•)] [[F (K,N)/ K] (dk/dt)]

+ [A(t)/A(t) F(•) [F (K,N)/ N] (dN/dt)

+[ F(•)/ A(t) F(•)] [(dA(t)/dt)]

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A função de produção agregada

(dY/dt)/Y = K/ F(•) [F (K,N)/ K] (1/K) (dK/dt)] + N/ F(•) [F (K,N)/ N](1/N) (dN/dt)

+ [1/ A(t)][(dA(t)/dt)]

Definindo:

wk = K/ F(•) [F (K,N)/ K] (1/K) e

wn = N/ F(•) [F (K,N)/ N](1/N)

26

A função de produção agregada

Temos que:

• • • • Y/Y = A/A + wk (K/K) + wn (N/N)

A taxa de crescimento do produto é função dataxa de mudança do estoque de capital e donúmero de trabalhadores empregados,ponderados pelas respectivas contribuições docapital e trabalho na produção.

27

A função de produção agregada

Assim, vemos que a taxa de crescimento do

produto pode ser considerado dependente dataxa de crescimento do progresso tecnológicoao longo do tempo e das taxas em que a ofertade insumos está crescendo.

28

Growth Accounting

Iniciando com uma função de produção do tipoCobb-Douglas:

Y =A (t) Kα . N1-α

Onde Y é o produto agregado, K é capital, N éo fator trabalho e A (t) é uma medida doprogresso tecnológico e α é um parâmetro.

29

Growth Accounting

A função de produção Cobb-Douglas é umafunção de produção padrão que exibe asseguintes propriedades:

(i) Há uma considerável posibilidade desubstituição entre os dois insumos, K e N.

(ii) A elasticidade de substituição entre osinsumos é constante.

(iii) aqui assumimos que há retornos constantesde escala, o que implica que: + (1 - ) = 1.

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Growth Accounting

A primeira derivada parcial de Y com respeito a K,mede um incremento no produto devido aoemprego de uma unidade extra do capital. Istonada mais é do que a produtividade marginal docapital [PMgK]:

ΔY/Δ K = ( Kα-1 ) . A N 1- α = . A Kα . N1- α / K =

= . (Y/K)

Por outro lado, PMgK=custo real do capital (taxa real de juros) em equilíbrio temos que: (Y/K)= r/ p.

31

Growth Accounting

A derivada parcial de Y com respeito a mão deobra nos dá a produtividade marginal da mão deobra:

ΔY/ΔN = (1- ) N1- α -1 . A Kα =

(1- ) . A Kα . N1- α / N = (1 - ) . (Y/N).

Em equilíbrio temos que: (1- ) Y/N = w/p.

32

Growth Accounting

O equilíbrio competitivo assegura que os fatoresde produção recebam sua remuneração justa(fair), isto é, as recompensas do capital etrabalho são iguais as suas contribuições naprodução; ou seja, os fatores de produção sãopagos de acordo com seus produtos marginais.

33

Growth Accounting

A participação da mão-de-obra na renda total édada por: [(PMgN).N/Y] ou [(W/P). (N /Y)].

Substituindo o valor de (W/P) na equaçãoacima, a participação do trabalho no produto éigual a: (1- α).

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Growth Accounting

Este é um resultado interessante. Ele afirma queos parametros de uma função de produção Cobb-

Douglas, (1- ) e (), nada mais são do que asparticipações do trabalho e capital no produto[PIB].

Empiricamente, a participação da mão-de-obra narenda, nos EUA, situa-se em torno de 2/3. Isto

significa que: (1- ) = 2/3, e portanto, aparticipação do capital (K) no PIB é igual aα = 1/3.

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Growth Accounting

Seja então a função de produção do tipo Cobb-Douglas:

(1- )

Y = AK . N

Em termos logaritmicos, ela pode ser escritacomo:

lnY = ln A + ln K + (1- ) ln N.

36

Growth Accounting

Derivando totalmente a equação, temos que:

Y/Y = (A / A) + (K/K) + (1- ) (N/N)

37

Growth Accounting

Subtraindo N/N de ambos os lados obtemos:

(Y/Y ) - (N/N) = (A / A) + (K/K) + (1- ) (N/N) - (N/N)

[(Y/Y ) - (N/N) ]= (A / A) + (K/K) - (N/N)] + (N/N) - (N/N)

Taxa de crescimento per capita

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Growth Accounting

[(Y/Y ) - (N/N) ]= (A / A) + [ (K/K) - (N/N)]

Taxa de crescimento per capita

Taxa de progresso tecnológico

Taxa de variação da

relação capital/trabalho

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Growth Accounting eo Resíduo de Solow

Taxa de

Crescimento

Tecnológico

Taxa observada de crescimento na produção

+

Taxa de variação no capital por trabalhador vezes []

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As Fontes do Crescimento Econômico

Por esta formulação, encontramos acontribuição de cada fator ao crescimentocorrente do produto, bem como acontribuição que não é devida a nenhumdestes fatores.

41

O Resíduo de Solow

A parte da taxa de crescimentoeconômico que não pode ser explicadapor nenhum dos fatores de produção échamado de resíduo de Solow ou decrecimento da produtividade total dofatores (growth of total factorproductivity (TFP)).

42

O Resíduo de Solow

O resíduo de Solow é a parte do crescimentoeconômico decorrente de um progressotecnológico neutro.

Ele equivale a uma medida de nossa ignorância,visto que é calculado como a parte docrescimento que não é explicável pelos fatores deprodução observáveis, capital e trabalho.

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Passos da Growth Accounting: Um Exemplo Numérico

Sources of Economic Growth in the United States (Denison) (Percent per Year)

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A diferencial total do produto é dada por:

Então, a taxa de crescimento do produto pode ser decomposta como:

1 1 1( ) ( ) (1 )dY dA K N A K dK N AK N dN

1 1 1

1 1 1

( ) ( ) (1 )

(1 )

dY dA K N A K dK N AK N dN

Y AK N AK N AK N

dY dA dK dN

Y A K N

Equação de Growth Accounting para uma função de Produção do Tipo Cobb-Douglas

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Modelo Neoclássico de Crescimento

e os Resíduo de Solow

RSLKYALKY ttt

increaseforcelabor

t

increasecapital

t

changetechnical

tt 'explained'

explainedbeto

~)1(

~~~~)1(

~~~

b. USA, actual growth and Solow residual (%)

-4

-2

0

2

4

6

1970 1975 1980 1985 1990 1995

Solow residual actual growth

47

Fontes do Crescimento Econômico nos EUA (Edward Denison) (por cento por ano)

48

Decomposição de Solow, 1913-1987 (taxas de crescimento anual médias)Fonte: Burda & Wyplosz (2005, p. 49)

País PIB Contribuição dos Insumos

Resíduo

Alemanha 2,8 1,4 1,4

França 2,6 1,1 1,5

Holanda 3,0 2,0 1,0

RU 1,9 1,2 0,7

Japão 4,7 3,0 1,7

EUA 3,0 2,0 1,0

49

Growth accounting: América Latina (1940-1980), Fonte: Barro e Sala-i-Martin (1995, p.381)

País Taxa de cresc.

PIB

Contribuição do capital

Contribuição do trabalho

Resíduo de Solow

Argentina (=0,54)

0,0360 0,0155

(43,1%)

0,0095

(26,4%)

0,0110

(30,5%)

Brasil (=0,45)

0,0640 0,0325

(50,%)

0,0130

(20,3%)

0,0185

(28,9%)

Chile (=0,52)

0,0380 0,0130

(34,25)

0,0100

(26,3%)

0,0150

(39,5%)

Colômbia (=0,63)

0,0480 0,0205

(42,7%)

0,0155

(32,3)

0,0120

(25,0%)

México (=0,69)

0,0630 0,0255

(40,5%)

0,0145

(23,0%)

0,0230

(36,5%)

Venezuela

(=0,55)

0,0520 0,0295

(56,7%)

0,0175

(33,7%)

0,0050

(9,6%)

50

Growth accounting: países asiáticos (1966-1990), Fonte: Barro e Sala-i-Martin (1995, p.381)

País Taxa de cresc.

PIB

Contribuição do capital

Contribuição do trabalho

Resíduo de Solow

Hong Kong (=0,37)

0,0730 0,0309

(42,3%)

0,0200

(27,6%)

0,0220

(30,1%)

Cingapura (=0,53)

0,0850 0,0620

(73,1%)

0,0268

(31,6%)

-0,0040

(-4,7%)

Coréia do Sul (=0,32)

0,1032 0,0477

(46,2%)

0,0435

(42,2%)

0,0120

(11,6%)

Taiwan (=0,29)

0,0910 0,0368

(40,5%)

0,0362

(39,8%)

0,0180

(19,8%)

51

Growth accounting: Paises do G7 (1960-1990), Fonte: Barro e Sala-i-Martin (1995, p.381)

País Taxa de cresc.

PIB

Contribuição do capital

Contribuição do trabalho

Resíduo de Solow

EUA

(=0, 41)

0,310 0,0140

(41,5%)

0,0129

(41,5%)

0,0041

(13,2%)

UK

(=0,39)

0,0249 0,0131

(52,3%)

-0,0010

(-4,2%)

0,0130

(51,9%)

Japão

(=0,42)

0,0681 0,387

(56,9%)

0,0097

(14,3%)

0,0196

(28,8%)

Itália

(=0,38)

0,0410 0,0202

(49,3%)

0,0011

(2,8%)

0,0197

(47,9%)

Alemanha (=0, 40)

0,0320 0,0188

(58,7%)

0,0025

(-8,1%)

0,0158

(49,4%)

Canadá

(=0, 45)

0,0410 0,0229

(55,0%)

0,0135

(32,8%)

0,0046

(11,3%)

52

Growth accounting: EUA, 1913-1992Fonte: Maddison (1995, p. 41-42)

Item 1913-1950 1950-1973 1973-1992

Cresc. PIB 2,85 3,92 2,39

Total de horas trabalhadas

0,35 1,15 1,27

Produtividade do trabalho 2,48 2,74 1,11

Total do estoque de capital não residencial

2,01 3,27 3,13

53

Growth accounting: EUA, 1913-1992Fonte: Maddison (1995, p. 41-42)

Item 1913-1950 1950-1973 1973-1992

Produtividade do capital

0,81 0,63 -0,72

Produtividade total dos fatores

1,50 1,72 0,18

Efeito do comércio externo

0,03 0,11 0,05

Efeitos estruturais 0,29 0,10 -0,17

Efeito escala 0,09 0,12 0,07

Resíduo não explicado

1,09 1,39 0,23

54

Crescimento total dos fatores –uma comparação (% a.a) [Young (1995)]

País Período Taxa de Crescimento

Canadá 1960-89 0,5

França 1960-89 1,5

Alemanha 1960-89 1,6

Itália 1960-89 2,0

Japão 1960-89 2,0

Reino Unido 1960-89 1,3

EUA 1960-89 0,4

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Crescimento total dos fatores –uma comparação (% a.a) [Young (1995)]

País Período Taxa de Crescimento

Brasil 1950-1985 1,6

Chile 1940-1985 0,8

México 1940-1985 1,2

Brasil(M) 1960-1980 1,0

Chile (M) 1960-1980 0,7

México (M) 1940-1970 1,3

Venezuela (M) 1950-1970 2,6

56

As limitações da abordagem da growth accounting

Os exercícios de growth accounting podem ser

capazes de proporcionar um tipo de

decomposição mecânica do crescimento do

produto em taxas de crescimento dos vários

insumos e no fator de produtividade total

(tecnologia).

57

As limitações da abordagem da growth accounting

Este tipo de exercício é útil e pode estimular odesenvolvimento de teorias de crescimento econômico.

Contudo, a growth accounting não constitui uma teoriade crescimento porque ela não busca explicar como asmudanças nos insumos e as melhorias na tecnologia serelacionam a elementos tais como as preferências,tecnologia e políticas governamentais que podem serrevistas como os fundamentos das teorias docrescimento econômico.

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Bibliografia Recomendada

Sachs & Larrain (1995, cap. 18.2)

Barro & Sala-i-Martin (1995, cap. 10.4)

Charles Jones (2000, cap. 2.3)

Hywel G. Jones (1975)

Robert Solow (1957)

Young (1995) – The Tyrany of Numbers

Bacha & Bonelli (2004) -http://www.ipea.gov.br/pub/td/2004/td_1018.pdf

Sugestões http://repositorio.ipea.gov.br/bitstream/11058/4045/1/Radar_n28_Indicadores.pdf

http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-71402010000200002

http://www.revistas.usp.br/ecoa/article/view/145242/139411

https://revistas.ufpr.br/ret/article/view/31096

https://pt.wikipedia.org/wiki/Contabilidade_do_crescimento

https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Solow

https://en.wikipedia.org/wiki/Solow_residual

https://www.youtube.com/watch?v=yZwFwZd1OqA

https://www.reed.edu/economics/parker/304/probsets/PS-2.pdf

https://economics.mit.edu/files/7183

59

FIM

Teoria Macroeconômica II

Prof. Giácomo Balbinotto Neto

UFRGS