Post on 14-Apr-2017
Sumario
OS NUMEROS INTEIROS
Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br
lulismartino@gmail.com
PROFMAT - Colegio Pedro II
09 de setembro de 2016
Introducao A Adicao e a Multiplicacao Ordenacao dos Inteiros Princıpio da Boa Ordenacao
Sumario
1 Introducao
2 A Adicao e a Multiplicacao
3 Ordenacao dos Inteiros
4 Princıpio da Boa Ordenacao
Introducao A Adicao e a Multiplicacao Ordenacao dos Inteiros Princıpio da Boa Ordenacao
Outline
1 Introducao
2 A Adicao e a Multiplicacao
3 Ordenacao dos Inteiros
4 Princıpio da Boa Ordenacao
Introducao A Adicao e a Multiplicacao Ordenacao dos Inteiros Princıpio da Boa Ordenacao
Numeros Inteiros
Desenvolvimento das atividades mercantis na Europa no final da Idade Media:necessidade de considerar os inteiros relativos e com eles efetuar operacoes
Bombelli (1526-1572) l’Algebra:
regras operatorias com
numeros inteiros
Final do seculo XIX: nocao de numero baseada em conceitos da teoria dosconjuntos, considerados mais primitivos
Introducao A Adicao e a Multiplicacao Ordenacao dos Inteiros Princıpio da Boa Ordenacao
Numeros Inteiros
Nosso ponto de partida: o conjunto dos numeros inteirosZ = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}
juntamente com as operacoes de adicao (a, b) 7→ a + b e de multiplicacao(a, b) 7→ a.b
Em Z ha um conjunto que se destaca: o conjunto dos numeros naturaisN = {1, 2, 3, ...}
Abordagem axiomatica, ou seja, a partir de uma lista razoavelmente pequena de
propriedades basicas dos numeros inteiros e das duas operacoes, vamos mostrar
como podem ser obtidas as demais propriedades
Introducao A Adicao e a Multiplicacao Ordenacao dos Inteiros Princıpio da Boa Ordenacao
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1 Introducao
2 A Adicao e a Multiplicacao
3 Ordenacao dos Inteiros
4 Princıpio da Boa Ordenacao
Introducao A Adicao e a Multiplicacao Ordenacao dos Inteiros Princıpio da Boa Ordenacao
A Adicao e a Multiplicacao
As operacoes de adicao e de multiplicacao em Z possuem as seguintes propriedades:
1 A adicao e a multiplicacao sao bem definidas:Para todos a, b, a′, b′ ∈ Z, se a = a′ e b = b′, entao a + b = a′ + b′ ea.b = a′.b′
Essa propriedade e a que permite somar um dado numero a ambos os lados de uma igualdade, ou
multiplicar ambos os lados por um mesmo numero
2 A adicao e a multiplicacao sao comutativas:Para todos a, b ∈ Z, a + b = b + a e a.b = b.a
3 A adicao e a multiplicacao sao associativas:Para todos a, b, c ∈ Z, (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c)
4 A adicao e a multiplicacao possuem elementos neutros:Para todo a ∈ Z, a + 0 = a e a.1 = a
5 A adicao possui elementos simetricosPara todo a ∈ Z, existe b(= −a) tal que a + b = 0
6 A multiplicacao e distributiva com relacao a adicao:Para todos a, b, c ∈ Z, tem-se a.(b + c) = a.b + a.c
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Numeros Inteiros
Anel: conjunto munido das operacoes de adicao e multiplicacao quepossui as propriedades de 1 a 6 acima (conjunto cujos elementos
sujeito as leis basicas da aritmetica
Dada a existencia de tantos outros conjuntos com operacoes deadicao e multiplicacao sujeitos as leis basicas da aritmetica
Note que Z = N ∪ {0} ∪ (−N)
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Numeros Inteiros
Proposicao 1.1: a.0 = 0 para todo a ∈ Z
Proposicao 1.2: A adicao e compatıvel e cancelativa com respeito aigualdade:
∀a,b, c ∈ Z, a = b ⇔ a + c = b + c
A operacao de adicao permite-nos definir uma nova operacaochamada de subtracao
Dados dois numeros inteiros a e b, define-se o numero b menos a,denotado por b − a, como sendo
b − a = b + (−a)Dizemos que b − a e o resultado da subtracao de a e de b
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1 Introducao
2 A Adicao e a Multiplicacao
3 Ordenacao dos Inteiros
4 Princıpio da Boa Ordenacao
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Ordenacao dos Inteiros
Admitiremos que em Z tambem valem as seguintes propriedades:
7 Fechamento de N: O conjunto N e fechado para a adicao e para amultiplicacao, ou seja, para todos a, b ∈ N, tem-se que a + b ∈ N eab ∈ N
8 Tricotomia: Dados a, b ∈ Z, uma, e apenas uma, das seguintespropriedades e verificada:i) a = b ii) b − a ∈ N iii) −(b − a) = a− b ∈ N ou ainda b < a
Diremos que a e menor do que b, simbolizado por a < b, toda vez que apropriedade (ii) acima for verificada
Resultado: a > 0 se, e somente se −a < 0
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Ordenacao dos Inteiros
Proposicao 1.3: A relacao “menor do que” e transitiva:∀a, b, c ∈ Z, a < b e b < c ⇒ a < c
Proposicao 1.4: A adicao e compatıvel e cancelativa com respeito a relacao“menor do que”:
∀a, b, c ∈ Z, a < b ⇔ a + c < b + c
Proposicao 1.5: A multiplicacao por elementos de N e compatıvel ecancelativa com respeito a relacao “menor do que”:
∀a, b ∈ Z, ∀c ∈ N, a < b ⇔ ac < bc
Proposicao 1.6: A multiplicacao e compatıvel e cancelativa com respeito aigualdade:
∀a, b ∈ Z, ∀c ∈ Z\{0}, a = b ⇔ ac = bc
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Ordenacao dos Inteiros
Resultado: Z e um domınio de integridade
Formulacao contrapositiva: ∀a,b ∈ Z\{0} tem-se que ab 6= 0
Note que a relacao < nao e uma relacao de ordem pois nao ereflexiva
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Ordenacao dos Inteiros
Relacao de ordem: Diremos que a e menor ou igual do que b,ou que b e maior ou igual do que a, escrevendo a ≤ b ou
b ≥ a, se a < b ou a = b
Propriedades que deve possuir uma relacao de ordem:
Reflexividade: ∀a ∈ Z, a ≤ aAntissimetria: ∀a,b ∈ Z, a ≤ b e b ≤ a⇒ a = bTransitividade: ∀a,b, c ∈ Z, a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c
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Valor Absoluto
Definicao: Seja a ∈ Z, definimos
|a| =
{a, se a ≥ 0−a, se a < 0
Note que ∀a ∈ Z, tem-se que |a| ≥ 0 e |a| = 0⇔ a = 0
O numero inteiro |a| e chamado de modulo ou valor absolutode a
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Valor Absoluto
Proposicao 1.7 Para a,b ∈ Z e r ∈ N, temos:
i) |ab| = |a||b|ii) |a| ≤ r se, e somente se, −r ≤ a ≤ riii) −|a| ≤ a ≤ |a|iv) a desigualdade triangular||a| − |b|| ≤ |a± b| ≤ |a|+ |b|
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1 Introducao
2 A Adicao e a Multiplicacao
3 Ordenacao dos Inteiros
4 Princıpio da Boa Ordenacao
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Princıpio da Boa Ordenacao
Diremos que um subconjunto S de Z e limitado inferiormente,se existir c ∈ Z tal que c ≤ x para todo x ∈ S. Diremops quea ∈ S e um menor elemento de S se a ≤ x para todo x ∈ S
Convencionamos que o conjunto vazio, apesar de nao possuirnenhum elemento, e limitado inferiormente, tendo qualquernumero como cota inferior
Resultado: Um menor elemento de S, se existir, e unico
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Princıpio da Boa Ordenacao
Princıpio da Boa Ordenacao9 Se S e um subconjunto nao vazio de Z e limitado
inferiormente, entao S possui um menor elemento
Em particular, como qualquer subconjunto de N e limitadoinferiormente, tempos que todo subconjunto nao vazio de Npossui um menor elemento
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Princıpio da Boa Ordenacao
Proposicao 1.8: Nao existe nenhum numero inteiro n tal que0 < n < 1
Corolario 1.9: Dado um numero inteiro n qualquer, nao existenenhum numero inteiro m tal que n < m < n + 1
Corolario 1.10: Sejam a,b ∈ Z. Se ab = 1, entao a = b = ±1
Corolario 1.11: Se a,b ∈ Z, com b 6= 0, entao |ab| ≥ |a|
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Princıpio da Boa Ordenacao
Propriedade ArquimedianaCorolario 1.12: Sejam a,b ∈ Z, com b 6= 0. Entao existe n ∈ Z
tal que nb > a
Um subconjunto T de Z sera dito limitado superiormente se forvazio ou se existir um numero d ∈ Z tal que
∀x ∈ T , x ≤ dNesse caso, diremos que d e uma cota superior para T
Diremos que um elemento b ∈ Z e o maior elemento de T , seb e uma cota superior de T com b ∈ T
Resultado: Um menor elemento de T , se existir, e unico.Nesse caso ele sera denotado por max T
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Princıpio da Boa Ordenacao
O Princıpio da Boa Ordenacao possui a seguinte formulacao:
Proposicao 1.13: Se T e um subconjunto de Z nao vazio elimitado superiormente, entao T possui um maior elemento
Uma das mais importantes consequencias do Princıpio da BoaOrdenacao:
Princıpio de Inducao MatematicaTeorema 1.14: Sejam S um subconjunto de Z e a ∈ Z tais que:i) a ∈ Sii) S e fechado com respeito a operacao de “somar 1” a seuselementos, ou seja, ∀n, n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S. Entao,{x ∈ Z; x ≥ a ⊂ S}
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Princıpio da Boa Ordenacao
Definicao: Uma sentenca aberta em n e uma frase deconteudo matematico onde figura a letra n como palavra e que
se torna uma sentenca verdadeira ou falsa quando n esubstituıdo por um numero interiro bem determinado
Prova por Inducao Matematica
Teorema 1.15: Seja a ∈ Z e seja p(n) uma sentenca abertaem n. Suponha quei) p(a) e verdadeiro, e queii) ∀n ≥ a, p(n)⇒ p(n + 1) e verdadeiroEntao, p(n) e verdadeiro para todo n ≥ a
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Princıpio da Boa Ordenacao
Exemplo 1.16: (Francesco Maurolycus - 1575)Determinacao de uma formula exata em funcao de n ≥ 1 paraa soma dos n primeiros numeros naturais ımparesSn = 1 + 3 + 5 + ...+ (2n − 1)
Exemplo 1.17: Vamos determinar uma formula para a somados n primeiros numeros pares
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Princıpio da Boa Ordenacao
Prova por Inducao Completa
Teorema 1.15: Seja p(n) uma sentenca aberta tal quei) p(a) e verdadeiro, e queii) ∀n, p(a) e p(a + 1) e ... e p(n)⇒ p(n + 1) e verdadeiroEntao, p(n) e verdadeiro para todo n ≥ a
Definicao: Seja A um conjunto qualquer. Uma sequencia em Aeuma funcao
s : N→ An 7→ s(n)
E praxe denotar o elemento s(n) de A por sn. Uma sequencia stambem sera denotada por (sn)