Post on 19-Aug-2020
DEFINIÇÕES
Defina as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão,
composição e inversão de funções de várias variáveis reais à valores reais. Dê
exemplos.
Defina as operações de adição e multiplicação por escalar de funções
de várias variáveis reais à valores vetoriais. Dê exemplos.
PROPRIEDADES
Considere 𝑓: ℝ𝒏 → ℝ, 𝑔:ℝ𝒏 → ℝ, funções de várias variáveis reais à
valores reais e que 𝐱 = (x1, ⋯ , xn) , 𝐱𝟎 = (x10, ⋯ , x𝑛
0), 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se 𝐱 =
(x1, ⋯ , xn), 𝐱𝟎 = (x10, ⋯ , x𝑛
0), 𝑛 ∈ ℕ ∃ L = lim𝒙→𝐱𝟎
𝑓 (𝐱) e ∃ M = lim𝒙→𝐱𝟎
𝑔 (𝐱):
a) lim𝐱→𝐱𝟎
(𝑓 + 𝑔) (𝐱) = lim𝐱→𝐱𝟎
𝑓 (𝐱) + lim𝐱→𝐱𝟎
𝑔 (𝐱) = 𝐿 +𝑀
b) lim𝐱→𝐱𝟎
(𝑘 ∙ 𝑓) (𝐱) = k ∙ lim𝐱→𝐱𝟎
𝑓 (𝐱) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ
c) lim𝐱→𝐱𝟎
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝐱) = lim𝐱→𝐱𝟎
𝑓 (𝐱) ∙ lim𝐱→𝐱𝟎
𝑔 (𝐱) = 𝐿 ∙ 𝑀
d) lim𝐱→𝐱𝟎
(𝑓
𝑔) (𝐱) =
{
lim𝐱→𝐱𝟎
𝑓(𝐱)
lim𝐱→𝐱𝟎
𝑔(𝐱)=
𝐿
𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0
𝜆, 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀, ∇𝑓(𝐱𝟎) = 𝜆∇𝑔(𝐱𝟎) e ∇𝑔(𝐱𝟎) ≠ 𝟎
∄, 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀, ∇𝑓(𝐱𝟎) ≠ 𝜆∇𝑔(𝐱𝟎) e ∇𝑔(𝐱𝟎) ≠ 𝟎
(Exclusivo)
e) lim𝐱→𝐱𝟎
(ℎ ∘ 𝑔 ) (𝐱) = lim𝑦→𝑀
ℎ (𝑦), se ∃ 𝑀 = lim𝐱→𝐱𝟎
𝑔 (𝐱) e ℎ: ℝ → ℝ.
f) Se 𝑝:ℝ𝒏 → ℝ é uma função de várias variáveis reais à valores reais e existem
curvas 𝛾1 e 𝛾2 tal que 𝛾1(0) = 𝐱𝟎 = 𝛾2(0) e ∃ lim𝐭→𝟎(𝑝 ∘ 𝛾1 ) (t) ≠ lim
𝐭→𝟎(𝑝 ∘ 𝛾2 ) (t),
então ∄ lim𝒙→𝐱𝟎
𝑝 (𝐱).
28 nov. 17
LIVRARIA MOREIRA S.A.
www.livrariamoreira.com.br
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 1
(Teorema do Confronto) Mostre que se
∃ 𝑟 > 0, L = lim𝒙→𝒙𝟎
𝑓 (𝐱) = lim𝒙→𝒙𝟎
𝑔 (𝐱) e 𝑓(𝐱) ≤ ℎ(𝐱) ≤ 𝑔(𝐱), 0 < ‖𝒙 − 𝒙𝟎‖ < 𝑟, então
L = lim𝒙→𝒙𝟎
ℎ (𝐱).
Mostre que se ∃ 𝑟 > 0,
0 = lim𝒙→𝒙𝟎
𝑓 (𝐱) 𝑒 𝑎 ≤ 𝑔(𝐱) ≤ 𝑏,0 < ‖𝒙 − 𝒙𝟎‖ < 𝑟, então
lim𝑥→𝑥0
(𝑓 ∙ 𝑔) (𝐱) = 0.
Considere 𝑓: ℝ𝒏 → ℝ, 𝑔:ℝ𝒏 → ℝ, de várias variáveis reais à
valores reais e que 𝐱 = (x1, ⋯ , xn) , 𝐱𝟎 = (x10, ⋯ , x𝑛
0), 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se
∃ 𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) e ∃
𝜕𝑗𝑔
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱), então:
a) 𝜕𝑗(𝑓+𝑔)
𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) =
𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) +
𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ.
b) 𝜕𝑗(𝑓−𝑔)
𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) =
𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) −
𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ.
c) 𝜕𝑗(𝑘∙𝑓)
𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) = k ∙
𝜕𝑗𝑓
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) , ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ.
d) 𝜕𝑗(𝑓∙𝑔)
𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) =
𝜕(𝜕𝑗−1(𝑓∙𝑔)
𝜕𝑥𝑖𝑗−1 )
𝜕𝑥(𝐱), ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ, onde
𝜕(𝑓 ∙ 𝑔)
𝜕𝑥𝑖(𝐱) =
𝜕(𝑓)
𝜕𝑥𝑖(𝐱) ∙ 𝑔(𝐱) + 𝑓(𝐱) ∙
𝜕𝑔
𝜕𝑥𝑖(𝐱).
e) 𝜕𝑗(
𝑓
𝑔)
𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) =
𝜕(𝜕𝑗−1(
𝑓𝑔)
𝜕𝑥𝑖𝑗−1
)
𝜕𝑥(𝐱), ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ, onde
𝜕 (𝑓𝑔)
𝜕𝑥𝑖=
𝜕𝑓𝜕𝑥𝑖
(𝐱) ∙ 𝑔(𝐱) − 𝑓(𝐱) ∙𝜕𝑔𝜕𝑥𝑖
(𝐱)
(𝑔(𝐱))2 , se 𝑔(𝐱) ≠ 0 .
Considere 𝑓:ℝ𝒏 → ℝ, 𝑔:ℝ𝒏 → ℝ, de várias variáveis reais à valores
reais e que 𝐱 = (𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛), ∀ 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ ∇𝑓(𝐱) e ∃ ∇𝑔(𝐱), então:
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 2
Exercício 3
a) ∇(𝑓+𝑔)(𝐱) = ∇𝑓(𝐱) + ∇𝑔(𝐱). b) ∇(𝑘 ∙ 𝑓)(𝐱) = 𝑘 ∙ ∇𝑓(𝐱) , ∀ 𝑘 ∈ ℝ. c) ∇(𝑓 ∙ 𝑔)(𝐱) = ∇𝑓(𝐱) ∙ 𝑔(𝐱) + ∇𝑔(𝐱) ∙ 𝑓(𝐱)
d) ∇(𝑓
𝑔 )(𝐱) = ∇𝑓(𝐱) ∙
1
𝑔(𝐱)+ ∇𝑔(𝐱) ∙
𝑓(𝐱)
(𝑔(𝐱))2 , se 𝑔(𝐱) ≠ 0.
Considere 𝑓:ℝ𝒏 → ℝ, 𝑔:ℝ𝒏 → ℝ, de várias variáveis reais à valores
reais e que 𝐱 = (𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛), ∀ 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ 𝑑𝑓(x) e ∃ 𝑑𝑔(x), então:
a) 𝑑(𝑓 + 𝑔)(𝒙) = 𝑑𝑓(𝒙) + 𝑑𝑔(𝒙)
b) 𝑑(𝑘 ∙ 𝑓)(𝐱) = 𝑘 ∙ 𝑑𝑓(𝐱) , ∀ 𝑘 ∈ ℝ.
c) 𝑑(𝑓 ∙ 𝑔)(𝐱) = 𝑑𝑓(𝐱) ∙ 𝑔(𝐱) + 𝑑𝑔(𝐱) ∙ 𝑓(𝐱)
d) 𝑑(𝑓
𝑔 )(𝐱) =
𝑑𝑓(𝐱)∙𝑔(𝐱)+𝑑𝑔(𝐱)∙𝑓(𝐱)
(𝑔(𝐱))2 , se 𝑔(𝐱) ≠ 0.
Considere 𝐅:ℝ𝒏 → ℝ𝒎, 𝐆: ℝ𝒏 → ℝ𝒎, funções vetoriais e que 𝐱 =
(x1, ⋯ , xn) , 𝐋 = (L1,⋯ , Lm) e 𝐌 = (M1, ⋯ ,Mm), 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ 𝐋 =
lim𝐱→𝐱𝟎
𝐅 (𝐱) e ∃ 𝐌 = lim𝐱→𝐱𝟎
𝐆 (𝐱), então:
a) lim𝐱→𝐱𝟎
(𝐅 + 𝐆) (𝐱) = lim𝐱→𝐱𝟎
𝐅 (𝐱) + lim𝐱→𝐱𝟎
𝐆 (𝐱) = 𝐋 +𝐌.
b) lim𝐱→𝐱𝟎
(𝑘 ∙ 𝐅) (𝐱) = 𝑘 ∙ lim𝐱→𝐱𝟎
𝐅 (𝐱) = 𝑘 ∙ 𝐋, ∀ 𝑘 ∈ ℝ.
Considere 𝐅:ℝ𝒏 → ℝ𝒎, 𝐆: ℝ𝒏 → ℝ𝒎, funções vetoriais e que 𝐱 =
(x1, ⋯ , xn) , 𝐋 = (L1,⋯ , Lm) e 𝐌 = (M1, ⋯ ,Mm), 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ 𝐋 =
𝜕𝑗𝐅
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) e ∃ 𝐌 =
𝜕𝑗𝐆
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱):
a) 𝜕𝑗(𝐅+𝐆)
𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) =
𝜕𝑗𝐅
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) +
𝜕𝑗𝐆
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) = 𝐋 +𝐌, ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ.
b) 𝜕𝑗(𝑘∙𝐅)
𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) = 𝑘 ∙
𝜕𝑗𝐅
𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) = 𝑘 ∙ 𝐋, ∀ 𝑘 ∈ ℝ.
Considere 𝐅:ℝ𝒏 → ℝ𝒎, 𝐆: ℝ𝒏 → ℝ𝒎, funções vetoriais e que 𝐱 =
(x1, ⋯ , xn), 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ ∇𝐅(𝐱) e ∃ ∇𝐆(𝐱), então:
a) 𝛁(𝐅 + 𝐆)(𝐱) = ∇𝐅(𝐱) + ∇𝐆(𝐱).
b) 𝛁(𝑘 ∙ 𝐅)(𝐱) = 𝑘 ∙ ∇𝐅(𝐱) , ∀ 𝑘 ∈ ℝ.
Exercício 8
Exercício 9
Exercício 7
Exercício
6
Considere 𝐅:ℝ𝒏 → ℝ𝒎, 𝐆: ℝ𝒏 → ℝ𝒎, funções vetoriais e que 𝐱 =
(x1, ⋯ , xn), 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ 𝐝𝐅(𝐱) e ∃ 𝐝𝐆(𝐱), então:
a) 𝐝(𝐅 + 𝐆)(𝐱) = 𝐝𝐅(𝐱) + 𝐝𝐆(𝐱) .
b) 𝐝(𝑘 ∙ 𝐅)(𝐱) = 𝑘 ∙ 𝐝𝐅(𝐱) , ∀ 𝑘 ∈ ℝ.
CÁLCULO DE LIMITES
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(1,1)
𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 2𝑦−1:
a) -3 b) 1 c) 2 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(
1
2,1
2)
2𝑥−1
16𝑥4−1+3
4𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑦):
a) -3 b) 1 c) 2 d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
(3𝑥2 − 4𝑥 + 1) ∙ ln (|𝑠𝑒𝑛(𝑦)
𝑦|):
a) 1 b) 0 c) 3
Exercício 10
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
d) -4 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(3,3)
−𝑥3+2𝑥2−4𝑥+12
cos (𝑦−3):
a) 12 b) 9 c) -9 d) 2 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(−1,−1)
(−𝑥4 + 𝑦2 − 1)10:
a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim(𝑥,𝑦)→(1,1)
𝑓(𝑥, 𝑦),
sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥, se 𝑥 ≥ 1, 𝑦 ∈ ℝ
−𝑥 + 1, se 𝑥 < 1, 𝑦 ∈ ℝ:
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑐𝑜𝑠 (1
𝑥2+𝑦2):
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 7
e) N.D.A
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥),
sendo 𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛(𝑥), se 𝑥 ≥ 03𝑥 − 4, se 𝑥 < 0
e 𝑔(𝑥, 𝑦) = {(𝑥2 − 3𝑥 + 1) ∙
𝜋
2, se 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ∈ ℝ
𝑥4, se 𝑥 < 0, 𝑦 ∈ ℝ :
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑦
:
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
:
a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
(cos(𝑥)
𝑦+1,𝑥𝑦2
𝑥2+𝑦2) :
a) (-1,0) b) (0,0) c) (1,0) d) ∄ e) N.D.A.
Exercício 8
Exercício 9
Exercício 10
Exercício 11
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
(tg(𝑥)
𝑥, 𝑥𝑦2𝑠𝑒𝑛 (
1
𝑥2+𝑦2) , 1) :
a) (1,0,1) b) (0,0,1) c) (1,1,1) d) ∄ e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de
lim(𝑥,𝑦)→(1,1)
(𝑥 + 𝑦,𝑥−𝑦
𝑥2−𝑦2, 2𝑥 − 2𝑦,√𝑥 − 𝑦) :
a) (1,0,1,0)
b) (2, 1
2,0,0)
c) (1,1,1,1) d) ∄ e) N.D.A.
DERIVADAS
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥(1,1,1), sendo
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 2𝑥−1:
a) −1 + ln (2) b) 1 − ln (2) c) −2 + ln (3) d) −2 + ln (2) e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑦(1,1,1), sendo
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦 − 1 +1
𝑦2+ 𝑥𝑧:
a) 2
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 12
Exercício 13
b) 0 c) 1 d) -1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥(−1,1), sendo
𝑓(𝑥) = (3𝑥2 − 4𝑥 + 1) ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ ℝ:
a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑧(−1,2), sendo
𝑓(𝑥, 𝑧) =−𝑥𝑧3
3𝑧:
a) -3 b) 3
c) −1 +𝑙𝑛3
3
d) 1 −𝑙𝑛3
3
e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥(−1,2), sendo
𝑓(𝑥, 𝑦) = (1 + 𝑥2)𝑡𝑔(𝑥):
a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑛𝑓
𝜕𝑥𝑛|(𝑥,𝑦)=(0,0)
, sendo
𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑒− 1𝑥, se x > 0
0, se x ≤ 0 :
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 6
a) 2 b) 0 c) 1 d) −1 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=0+
, sendo
𝑓(𝑥) = |2𝑥|:
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=0−
, sendo
𝑓(𝑥) = |2𝑥|:
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥(1,2), sendo
𝑓(𝑥, 𝑦) = |2𝑥|:
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=1+
, sendo
𝑓(𝑥) = √𝑥:
a) 2 b) −2
Exercício 7
Exercício 8
Exercício 9
Exercício 10
c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥=1−
, sendo
𝑓(𝑥) = √𝑥:
a) 1
2
b) −1
2
c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥(1,1), sendo
𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦:
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑦(−1,−1), sendo
𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦39
:
a) 1
3
b) −1
3
c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥(0,0), sendo
𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥2𝑠𝑒𝑛 (
1
𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑦 ≠ 0,
0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 :
Exercício 11
Exercício 12
Exercício 14
Exercício 13
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑦(0,0), sendo
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑦):
a) 1 b) −1 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥(0,0), sendo
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥):
a) 1 b) −1 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑢
𝜕𝑡(1,1), sendo
𝑢(𝑡, 𝑥) = log5 √𝑡3:
a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓
𝜕𝑥(2,0), sendo
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦 − 2)1000:
a) 2 b) −2 c) ∄
Exercício 15
Exercício 16
Exercício 17
Exercício 18
d) 0 e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝐅
𝜕𝑥(5,1), sendo
𝐅(𝑥, 𝑦) = ((𝑥 − 5)10,1
𝑥+ 𝑦):
a) (2,0) b) (0, −2) c) ∄ d) (0, −1) e) N.D.A.
Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝐅
𝜕𝑦(0,0), sendo
𝐅(𝑥, 𝑦) = (cos (𝑥 − 2𝑦), 𝑒𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑦):
a) (2,0,1) b) (0, −2,1) c) ∄ d) (0,0,1) e) N.D.A.
GRADIENTE E DIFERENCIAL
Determine o gradiente e a diferencial das seguintes funções:
a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 2𝑦−1 b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦 − 1 + 𝑥𝑧 c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 + y d) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos (𝑦)
e) 𝑢(𝑡, 𝑥) = log5 √𝑡3
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (1 + 𝑥2)𝑡𝑔(𝑥) g) 𝐅(𝑥, 𝑦) = (𝑥2, 𝑦2) h) 𝐅(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 3𝑦 + 1,5𝑥 − 6𝑦 + 2) i) 𝐅(𝑥, 𝑦) = (cos (𝑥 − 2𝑦), 𝑒𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑦)
j) 𝐅(𝑥, 𝑦) = ((𝑥 − 5)10,1
𝑥+ 𝑦)
Exercício 1
Exercício 19
Exercício 20
GRÁFICOS
Determine D(f), Im(f) e G(f) das seguintes funções:
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos (𝑥) b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑦) c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑡𝑔(𝑥) d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑐 𝑦 e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 h) 𝑓(𝑥, 𝑦) = log1
2
𝑦
i) 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos (𝑥 + 𝑦) j) 𝑓(𝑥, 𝑦) = sen (𝑥2 + 𝑦2) k) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥−𝑦.
João Carlos Moreira
EDITOR CHEFE
Exercício 1