OPERAÇÕES COM MEDIDAS

CEPZ1 – 2015 – AULA 04PROFESSORA: BRUNA CAVALLINI E RODRIGUES

RETOMANDO

• Como estimar e encontrar a incerteza do instrumento• Como escrever uma medida• Algarismos significativos e notação científica

MEDIDAS DIRETAS E INDIRETAS• Nem todas as grandezas podem ser medidas diretamente. Em

alguns casos é necessário fazer cálculos para descobrir o valor.

Medida direta: encontrada por comparação direta com a unidade (com o instrumento)Medida indireta: encontrada através de cálculos que utilizam a(s) medida(s) feitas

MEDIDAS DIRETAS E INDIRETAS• Exemplos:Medida direta – medir massa com uma balança, medir altura com uma trena, determinar volume de um líquido em um frasco graduadoMedida indireta – saber a espessura de uma folha medindo diversas folhas, determinar a velocidade média de um corpo sabendo o deslocamento e o tempo, descobrir o volume de um cilindro multiplicando a área da base pela altura.

Operações com medidas• Quando fazemos operações com medidas, precisamos manter o

número de algarismos significativos.• Atenção: apenas consideramos o número de AS de MEDIDAS!

Ex: 5,00 cm – 3 ASMédia de cinco medidas: o número 5 que vai embaixo

não é medida. É um número absoluto. Não tem AS (ou tem )ꝏ

Regra da multiplicação (ou divisão)• Manter o número de AS da medida com menos AS: 2AS 3AS 4AS 2AS 2,3 mm x 3,36 mm = 7,728 mm = 7,7 mm

• E o que fazer com os algarismos que sobram? Arredondamento

Regra da adição (ou subtração)• Monte a conta: o duvidoso do resultado é o duvidoso mais à

esquerda da conta. Depois contamos os AS. Ex: 2,3 mm 2AS + 3,33 mm 3AS 5,63 mm → 5,6 mm 2AS

• E o que fazer com os algarismos que sobram? Arredondamento

Ué... É a mesma coisa?

Nem sempre os AS coincidem.... Ex: somar 83, 83,1 e 83,32 (mm) 83 mm 2AS 83,1 mm 3AS + 83,32 mm 4AS 249,42 mm → 249 mm 3AS (não é o menor número de AS)

Regras de arredondamento• Algarismos depois do duvidoso menores que 5 (até 4999999...) -

arredondados para baixo (duvidoso continua =). Ex: 3,14 vira 3,1 • Algarismos depois do duvidoso maiores que 5 (50000....00001) – arredondados para cima (duvidoso aumenta em 1). Ex: 3,16 vira 3,2. • Quanto o algarismo depois do duvidoso é exatamente 5 – se o duvidoso for par – arredondado para baixo (4,65 vira 4,6) se duvidoso for impar - arredondado para cima (4,75 vira 4,8)

Treinando

a) 3,45 m + 123,47 m – 0,0354 m b) 3,12×105 cm + 2,69cm c) 50,7 m + 7200 cm d) 5,24 mm × 0,73 m

Relembrando rapidamente...

• Como dito antes, o valor que pensamos ser o mais próximo do verdadeiro geralmente é calculado pela média das medidas:

Treinando... Trabalhe com seus dados• Revisitem os dados tomados por seu grupo na última aula

(dimensões do cilindro e do paralelepípedo). Revejam os cálculos de média e de volume (ou faça esses cálculos), deixando-os de acordo com o que aprendemos.• Ao fim da atividade, confiram com outros colegas do mesmo grupo

se os dados estão de acordo.

Para começar... Erro absoluto e erro relativo• Erro absoluto é a diferença entre o valor esperado e o valor obtido.

No caso de medidas, é a diferença entre o valor médio calculado cada valor medido:

• O erro absoluto pode ser positivo ou negativo, dependendo se for maior do que a média ou menor. Para efeito de propagação de erros, esse cálculo é feito em módulo.

Para começar... Erro absoluto e erro relativo

• Erro relativo é uma representação do quanto o desvio absoluto significa, se comparado com o valor total da grandeza:

• O erro relativo também pode ser positivo ou negativo e também é feito em módulo quando tratamos de propagação de erros.

Para começar... Erro absoluto e erro relativo

• Se for interessante para a análise, o erro relativo também pode ser calculado percentualmente:

Propagação de erros• Quando fazemos operações com medidas, além de representar o

valor do cálculo da maneira correta, é importante também entender qual é o erro associado ao resultado, para que se possa avaliar esse resultado. Fazemos isso através da propagação de erros.• Cada medida tem um valor de incerteza associado (Δx), que nos

permite prever aproximadamente dentro de que faixa de valores é razoável pensar que encontramos o valor verdadeiro, mas para aquela medida em particular.

Propagação de erros

• Para estudar a propagação de erros de várias medidas juntas, precisamos descobrir a que valor esse grupo de incertezas tende, já que não sabemos exatamente por quanto erramos cada medida.

• Essa tendência é obtida pela derivada parcial da função que determina a grandeza que procuramos

Propagação de erros

No caso do cálculo do volume, que é definido por três comprimentos - V(x, y, z) – a incerteza (ΔV) será:

• Complicado, né? Há como simplificar!

Propagação de erros – Adição e subtração

Para a adição/subtração é simples: basta somar os erros absolutos (em módulo)!

• Para entender o porquê, pense na medida da parede de uma sala usando uma régua. Quanto mais vezes usamos o instrumento repetidamente, mais vezes devemos levar em conta a incerteza da régua, já que fazemos o reposicionamento baseado na medida anterior.

Propagação de erros – Multiplicação e divisão• Para a multiplicação ou divisão o processo é um pouquinho mais

complexo. Tomemos o exemplo da área de um retângulo:Área ± ΔA = (x ± Δx) . (y ± Δy)

• Tomemos o caso somente de incertezas positivas, já que isso é análogo às incertezas negativas (e sempre usamos módulo):

Área + ΔA = (x + Δx) . (y + Δy)A área, graficamente, ficaria assim:

Propagação de erros – Multiplicação e divisão

• E então o valor da área seria: A + ΔA = x.y + x. Δy + y. Δx + Δx.Δy

Propagação de erros – Multiplicação e divisão• Destacando-se que Δx.Δy é um valor muito pequeno (espera-se):

A + ΔA = x.y + x. Δy + y. Δx• Agora, comparando esse valor com o valor da área mínima (valor

esperado pois usa as médias encontradas):

Propagação de erros – Multiplicação e divisão

Ou seja, o valor do erro relativo é a soma dos erros relativos de cada medida!

Para a multiplicação/divisão: basta somar os erros relativos (em módulo)!

∆ 𝑦𝑅∆ 𝑥𝑅

Treinando... Trabalhe com seus dados• Revisitem novamente os dados tomados na aula passada, mas

agora para fazer a propagação de erro.• Ao fim da atividade, confiram com outros colegas do mesmo grupo

se os dados estão de acordo.• Entreguem (1 por grupo) os resultados de AS e propagação,

referentes às medidas tomadas, no começo da aula de terça- feira, para a professora.

PRÓXIMA AULA

• Próxima semana: feriado!• Semana seguinte: noções de estatística

REFERÊNCIAS

• Autor desconhecido. Metodologia Científica: Física Experimental. Disponível em: http://www1.univap.br/irapuan/files/Apostila_Fisica_Experimental.pdf. Acesso em 28/08/15

• Autor desconhecido. Erros e Medidas Físicas. Disponível em: http://aprendendofisica.pro.br/pmwiki.php/Main/ErrosMedidasFisicaEEtc. Acesso em 28/08/15

• CRUZ, C. H. de B. et al. Guia para Física Experimental: Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros. Disponível em: http://www.ifi.unicamp.br/~brito/graferr.pdf. Acesso em: 29/08/15

• OLIVEIRA, C. L. P. et al. Introdução às medidas em Física. São Paulo, 2010. (apostila)

• TOGINHO FILHO, D. O., ANDRELLO, A.C., Catálogo de Experimentos do Laboratório Integrado de Física Geral Departamento de Física • Universidade Estadual de Londrina, Março de 2009. Disponível em: http://www.leb.esalq.usp.br/aulas/lce5702/medicao.pdf. Acesso em 28/08/15

• STEFANELLI, E. J. Paquímetro Universal virtual com nônio em milímetro 0,05 mm simulador de prática de leitura e interpretação. Disponível em: http://www.stefanelli.eng.br/webpage/metrologia/p-paquimetro-nonio-milimetro-05.html. Acesso em: 20/08/15

• STEFFENS, C. A.; VEIT , E. A. e SILVEIRA, F. L. da. Textos de apoio ao professor de Física: Uma introdução ao processo da medição no ensino médio. Disponível em: http://www.if.ufrgs.br/public/tapf/v19n2_Steffens_Veit_Silveira.pdf. Acesso em 28/08/15