Post on 15-Jan-2016
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Teoria da Produção e do Custo
Tratamento Algébrico
Considerando dois insumos, o capital, K, e o trabalho, L, a função de produção
),( LKF
descreverá a maior produção que pode ser obtida com as combinações destes insumos
Produto Marginal do Capital
Ou seja, iremos supor que ambos insumos possuem produtos marginais positivos e declinantes
Produto Marginal do Trabalho
KLKFLKPMgK ),(),(
0),( LKPMgK
0),( KLKPMgK
LLKFLKPMgL ),(),(
0),( LKPMgL
0),( LLKPMgL
Uma empresa competitiva aceita os preços estipulados para o trabalho, w, e o capital, r
Problema da minimização do custo
sujeito à restrição de que um nível de produção deve ser atingido
0Q
rKwL C Minimizar (1)
(2)0),( QLKF
Para maximizar uma função sujeita a uma restrição utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange
O lagrangiano do problema é
0),( QLKFrWwL (3)
Efetuando os diferenciais em relação a K, L e e igualando as derivadas a zero, encontramos
Combinando as duas primeiras equações acima, obtemos
(4)
0),( LKPMgrK K
0),( LKPMgwL L
0),( 0 QLKF
Combinando estas mesmas equações de outra forma, obtemos o multiplicador de Lagrange
wLKPMgrLKPMg LK ),(),( (5)
),(),( LKPMgwLKPMgr LK (6)
),( LKPMgr K
),( LKPMgw L
Medem o custo do insumo adicional para a produção de uma unidade adicional de produto
Taxa Marginal de Substituição Técnica
representa uma isoquanta de produção *),( QLKF *Q
À medida que as combinações de insumos variam ao longo da isoquanta, a variação de produção iguala-se a zero ( )0dQ
0),(),( dQdLLKPMgdKLKPMg LK (7)
Reordenando a equação 7, definimos a TMST
Reescrevendo a equação 5 como
observamos que a TMST é igual a razão entre os preços dos insumos
),(),(TMST LKPMgLKPMgdLdK LKLK (8)
rwLKPMgLKPMg KL ),(),( (9)
Reescrevendo 9 de outra forma, temos novamente a equação 5
que nos diz que os produtos marginais de todos os insumos devem ser iguais, quando ponderados pelo inverso do custo unitário de cada insumo
wLKPMgrLKPMg LK ),(),( (5)
Dualidade na Teoria da Produção e do Custo
A decisão da empresa em relação a insumos é de natureza dual
Combinação ótima de K e L
Escolha da mais baixa linha de isocusto tangente à isoquanta de produção
Escolha da mais alta isoquanta de produção tangente a uma determinada linha de isocusto
Já fizemos a minimização do custo. Agora vamos à maximização da produção
F(K,L)Maximizar
sujeito à restrição
O lagrangiano é
Efetuando os diferenciais em relação a K, L e e igualando as derivadas a zero, encontramos
0CrKwL (10)
)(),( 0CrKwLLKF (11)
0),( rLKPMgK
00 CrKwL
0),( wLKPMgL (12)
Resolvendo as duas primeiras equações do sistema, obtemoswLKPMgrLKPMg LK ),(),( (5)
que é exatamente a condição de minimização de custo
Função Cobb-Douglas de Custo e Produção LAKLKF ),(
ou, em logaritmos,
LKALKF logloglog),(log
Supomos que de forma que a empresa tenha produtos marginais decrescentes para trabalho e capital
1 e 1
Por exemplo, se o produto marginal do trabalho é expresso por
1),( LBAKLLKFPMgL
a apresenta diminuição à medida que L aumentaLPMg
Se 1 1 1
rendimentos constantes de escala
rendimentos crescentes de escala
rendimentos decrescentes de escala
Exemplos
23,0 e 77,0 • Empresa Pequena:
1 Como a empresa possui rendimentos constantes de escala
22,0 e 83,0 • Empresa Grande:
1 Como a empresa possui rendimentos crescentes de escala
Para minimizar o custo de produção de uma função Cobb-Douglas, sujeita a uma restrição, utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange
O lagrangiano é
)( 0QLAKrWwL (13)
Diferenciando em relação a K, L e e igualando as derivadas a zero, encontramos
(14)0)( 1 LAKwL
0)( 1 LAKrK (15)
00 QLAK (16)
A partir da equação 14, temos1 LAKw (17)
Substituindo a equação 17 na equação 15, obtemos1 LAKw (18)
wrKL (19)ou então
0QwKrAK (20)
Utilizando a equação 19 para eliminar L da equação 16
AQrwK 0)( (21)
Reescrevendo esta equação, temos
Assim, encontramos a quantidade ótima de capital
e a quantidade ótima de trabalho
)(10
)( )()( AQrwK (22)
)(10
)( )()( AQwrL (23)
1
A
QrwC (24)
Agora vamos determinar a função de custo da empresa
rKwLC Substituindo as equações 22 e 23 em
Esta função de custo informa• como o custo total da produção aumenta à medida que o nível de produção Q aumenta• como o custo varia quando variam os preços dos insumos
Quando for igual a 1, a equação 24 pode ser simplificada para
QA
rwC
1
(25)
Fonte: R. Pindyck & D. Rubinfeld, Microeconomia, 5a Edição