Post on 29-Mar-2020
Cavidades Ressonantes
Vitaly Esquerre
Em freqüências na faixa de microondas (> 300MHz), elementoslocalizados tais como R, L e C têm comportamento bastantedi d b i f üê idiverso de seu comportamento em baixas freqüências.
Isto porque em altas freqüências o efeito pelicular e as perdasIsto porque em altas freqüências o efeito pelicular e as perdaspor radiação tornam-se importantes.
Assim, na faixa de microondas os circuitos ressonantes RLC sãosubstituídos pelas cavidades ressonantes.
As cavidades ressonantes são estruturas completamente fechadaspor paredes metálicas.
Elas confinam a energia eletromagnética e dispõem de grandesElas confinam a energia eletromagnética e dispõem de grandesáreas para a circulação de corrente, eliminando radiação ediminuindo as perdas.p
A figura mostra a transformação gradual de um circuitoressonante LC numa cavidade ressonante
Cavidades RetangularesCavidades Retangulares
Podemos começar a análise partindo da equação de onda e usar oPodemos começar a análise partindo da equação de onda e usar ométodo de separação das variáveis para obter os camposelétricos e magnéticos que satisfazem as condições de contornog q çda cavidade.Porém, fica mais fácil começar com os campos TE e TM do
i i já i f di d dguia, os quais já satisfazem as condições de contorno nas paredesdo guia
0,x a= 0,0,
x ay b=
Ë necessário apenas inserir as condições de contorno Ex = Ey = 0nas paredes inicial e final em z = 0
Os campos elétricos transversais (Ex, Ey) dos modos TEmn eTMmn, do guia de ondas retangular pode ser escrito como:
( ) ( ), , , mn mnj z j ztE x y z e x y A e A eβ β−+ −⎡ ⎤= +⎣ ⎦( ) ( ), , ,t y y ⎣ ⎦
( ),e x y Variação transversal do campo( ),e x y
Amplitude dos campos em +z e -z,A A+ −
Variação transversal do campo
A constante de propagação βmn dos modos m,n (TE ou TM) podeser escrita como:
2 22 m nk π πβ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ kmn k
a bβ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠k ω με=
Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = 0
( ) ( ), ,0 , 0tE x y e x y A A+ −⎡ ⎤= + =⎣ ⎦
p q p q
Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfícieA A+ −= −
Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfíciecondutoraImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = dImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z d
( ) ( ), , , 0mn mnj d j dtE x y d e x y A e A eβ β−+ +⎡ ⎤= − =⎣ ⎦
( ) ( )( ), , , 2 sin 0t mnE x y d e x y jA dβ+= − =
( ) ( ) ⎣ ⎦
d lβ π= lπβ =mnd lβ π mn dβ
O número de onda ressonante da cavidade será
2 2 2m n lk π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟mnlka b d
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Modos TEmnl ou TMmnl são os modos ressonantes onde m, n, e lindicam o numero de meios ciclos da onda estacionária nasdi õ A f ê i d â i d d TEdireções x, y, e z. A frequência de ressonância do modo TEmnl ouTMmnl é dado por
2 2 2
2 2mnl
mnlck c m n lf
a b dπ π π
π μ ε π μ ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2r r r r a b dπ μ ε π μ ε ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Os campos para o modos TEmnl são dados por:
cos sin sinmnlxA n m n lE x y z
b a b dπ π π π
ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A l⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞sin cos sinmnly
A m m n lE x y za a b dπ π π π
ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0E 0zE =
sin cos cosmnlx
A m l m n lH j x y za d a b dπ π π π π
ωμε⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
cos sin cosmnly
A n l m n lH j x y zb d a b dπ π π π π
ωμε⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22 cos cos sinmnl
zA l m n lH j k x y z
d a b dπ π π π
ωμε
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
0,1,2,3... 0,1,2,3... 1, 2,3.... 0m n l m n= = = = ≠2 2l⎛ ⎞ ⎛ ⎞Modo dominante (d > a > b) TE101 101 2 r r
c m lfa dπ π
π μ ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Após algumas simplificações, os modos TE10l tem as seguintesp g p 10l gexpressões para os campos:
sin sinx l zE E π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟0 sin sinyE Ea d
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0 sin cosE x l zH j π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sin cosxTE
H ja dη ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0 iE x l zH π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 cos sin'zE x l zH j
k a a dπ π πη
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ d a b> >
O q e claramente demonstra q e são formadas ondasO que claramente demonstra que são formadas ondasestacionárias dentro da cavidade
Fator de Qualidade: Q
Energia média armazenadaW W+
Fator de Qualidade: Q
Energia média armazenadaEnergia Perdida por segundo
m eW WQP
ω += =
Energia média armazenada nos campos magnéticos eeletricos.
,m eW W
P
eletricos.
Potência dissipada no condutor e no dielétrico
Na frequência de ressonância:We =Wm
Cálculo da energia armazenada no campo elétricoCálculo da energia armazenada no campo elétrico
∫∫∫ ∫∫∫2*
4 4e y y y
v v
W E E dv E dvε ε= =∫∫∫ ∫∫∫
0 sin sinyx l zE Ea dπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 20 sin sin
4
d b a
ex l zW E dxdydza d
ε π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫
0 0 04 a d⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫
2 1 1sin cos 2x x= −
abdε
2 2
2016e
abdW Eε=
Cálculo da energia armazenada no campo magnéticoCálculo da energia armazenada no campo magnético*
4mW H H dvμ= ∫∫∫
( ) ( )2 2* *
4 4m x x z z x zW H H H H dv H H dvμ μ= + = +∫∫∫ ∫∫∫
v
4 4v v∫∫∫ ∫∫∫
0 sin cosxE x l zH j
a dπ π
η⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0 cos sin'zE x l zH j
k a a dπ π πη
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠TE a dη ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k a a dη ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 20 0i i
d b aE Ex l z x l zW d d dπμ π π π π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∫ ∫ ∫ 0 0
0 0 0
sin cos cos sin4 'm
TE
W dxdydza d k a a d
μη η
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ ∫
2 1 1sin cos 22 2
x x= − 2 1 1cos cos 22 2
x x= +
22 1abdW Eμ π⎛ ⎞
+⎜ ⎟0 2 2 2 216 'mTE
W Ek aη η
= +⎜ ⎟⎝ ⎠
'TE
kηηβ
=2
210 k
aπβ β ⎛ ⎞= = − ⎜ ⎟⎝ ⎠β a⎝ ⎠
( )2221 1β +⎛ ⎞ ( )22
2 2 2 2 2 2 2
1 1' ' 'TE
ak a k
β ππ εη η η η μ
+⎛ ⎞+ = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
20m
abdW Eε= 016m
Ou seja:We =Wmj e m
Perdas nas paredes condutoras: PPerdas nas paredes condutoras: Pc
2st
RP H ds= ∫2c tparedes
P H ds∫
O d é i ê i fi i l d d áli d d
R ωμ=
Onde Rs é a resistência superficial das paredes metálicas dadapor:
e Ht é o campo magnético tangencial as superfícies das paredes
2sc
Rσ
=
t p g g p pmetálicas.
A ib i ã d id à d i é i l á ib i ã dA contribuição devido à parede superior é igual á contribuição daparede inferior, o mesmo acontece com as contribuições daparede lateral direita e esquerda e da parede da frente e posteriorparede lateral direita e esquerda e da parede da frente e posterior.
y
b Parede do fundo e da frente
Parede esquerda e direita
( )0zH x =
xa
( )0xH z =Parede superior e inferior
( )zd
( )0xH z =( )0zH x =
( ) ( )2 22 0 2 0
b a d bsRP H z dxdy H x dydz⎧ +⎨ ∫ ∫ ∫ ∫( ) ( )
0 0 0 02 0 2 0
2s
c x zy x z y
P H z dxdy H x dydz= = = =
= = + =⎨⎩ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )2 22 0 0
d a
H y H y dxdz⎫⎡ ⎤= + = ⎬⎢ ⎥∫ ∫ ( ) ( )0 0
2 0 0x zz x
H y H y dxdz= =
⎡ ⎤= + = ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎭∫ ∫2π ' 2 'k dη ηη
2 2 2 2R E l b bd l dλ ⎛ ⎞
2k πλ
= TE lη
β λ= =Usando:
2 2 2 20
2 2 28 ' 2 2s
cR E l ab bd l a dP
d a d aλ
η⎛ ⎞
= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:
abdε
Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:Qc
20
2 2 2 20
162 2m e mc
c c s
abd EW W WQP P R E l ab bd l a d
ε
ω ω ωλ
+= = =
⎛ ⎞⎜ ⎟
02 2 28 ' 2 2
c c s
d a d aη⎛ ⎞
+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
3
2 22
'c
k abdQl ab bd l a d
η=
⎛ ⎞22 24
2 2sl ab bd l a dRd a d a
π⎛ ⎞
+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
( )( )
3
2 2 3 3 2 3 3
'c
kad bQ
l b bd l d dη
=( )2 2 3 3 2 3 32 2 2cs
QR l a b bd l a d adπ + + +
Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: QFator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd
0" tanrσ ωε ωε ε δ= = ( )0' " 1 tanrj jε ε ε ε ε δ= − = −
22* 0"1 ".
2 2 8dabd EP J E dv E dv ωεωε
= = =∫ ∫20
'' 116
abd EW W Wε
ε+
2 2 8v v∫ ∫
20
1162 2" " tan
8
m e md
d d
W W WQabd EP P
εω ω ωωε ε δ
+= = = = =
Fator de Qualidade considerando perdas no condutor e nodielétrico: Qdielétrico: Qtotal
11 1
totalQQ Q
−⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠
totalc d
QQ Q⎜ ⎟
⎝ ⎠
ExemploExemploConsidere uma cavidade oca com dimensões; 3cm x 2cm x7cm feita de cobre (σc=5.8 x 107)Calcular a frequência de ressonância e o fator de qualidadedo modo dominante.
2 2 2103 10 1 0 1 5.439842 3 2 7rf GHz⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )3 'kad bη ωμ k( )( )2 2 3 3 2 3 32 2 2cs
kad bQ
R l a b bd l a d adη
π=
+ + + 2sc
R ωμσ
= k ω με=
'η μ ε=
ωμ 0,01924242s
c
R ωμσ
= =
113,984k ω με= =
( )3 'kad bη
' 376,819η μ ε= =
( )( )2 2 3 3 2 3 3
'10086
2 2 2cs
kad bQ
R l a b bd l a d adη
π= =
+ + +
Exemplo 2Exemplo 2Considere uma cavidade preenchida com polyestireno (εr =2.56, tan δ = 0,0004) com dimensões; a = 3cm b = 2cm feitade cobre (σc=5.8 x 107) determine o valor de d para
t f ê i d â i d 3 4 GHapresentar uma frequência de ressonância de 3,4 GHz.Determine o fator de qualidade do modo dominante.
2 2 2103 10 1 0 1 3,43 22 2 56rf GHz
d⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠7d cm=
3 22 2.56 d⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )3 'kad bη ωμ k( )( )2 2 3 3 2 3 32 2 2cs
kad bQ
R l a b bd l a d adη
π=
+ + + 2sc
R ωμσ
= k ω με=
'η μ ε=
ωμ 0,01521242s
c
R ωμσ
= =
113,984k ω με= =
' 235,512η μ ε= =
( )( )
3
2 2 3 3 2 3 3
'7973,66
2 2 2cs
kad bQ
R l a b bd l a d adη
π= =
+ + +( )s
1 2500tandQ δ
= =
1 11 1 1 1 1903 27Q
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
tanδ
1903, 277973,66 2500total
c d
QQ Q
= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Cavidades Cilíndricas
Podemos começar a análise partindo da equação de onda e usar oPodemos começar a análise partindo da equação de onda e usar ométodo de separação das variáveis para obter os camposelétricos e magnéticos que satisfazem as condições de contornog q çda cavidade.Porém, fica mais fácil começar com os campos TE e TM do
i i l i já i f di dguia circular, os quais já satisfazem as condições de contorno nasparedes do guia
aρ =
Ë necessário apenas inserir as condições de contorno Eρ = Eϕ = 0nas paredes inicial e final em z = 0 e d
Os campos elétricos transversais (Eρ, Eϕ) dos modos TEnm e
( ) ( ) j z j zE A Aβ βφ φ +⎡ ⎤
p ( ρ ϕ)TMnm, do guia de ondas retangular pode ser escrito como:
( ) ( ), , , nm nmj z j ztE z e A e A eβ βρ φ ρ φ −+ −⎡ ⎤= +⎣ ⎦
( ),e ρ φ Variação transversal do campo( ),ρ φ
Amplitude dos campos em +z e -z,A A+ −
Variação transversal do campo
A constante de propagação βnm dos modos TEnm e TMnm,respectivamente, pode ser escrita como:p p
22 'nmk ρβ
⎛ ⎞⎜ ⎟
22 nmk ρβ
⎛ ⎞⎜ ⎟
2 nmnm k
aρβ = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠2 nm
nm kaρβ = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
k ω με=
Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = 0
( ) ( ), ,0 , 0tE e A Aρ φ ρ φ + −⎡ ⎤= + =⎣ ⎦
p q p q
Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfícieA A+ −= −
Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfíciecondutoraImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = dImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z d
( ) ( ), , , 0nm nmj d j dtE d e A e A eβ βρ φ ρ φ − −+ +⎡ ⎤= − =⎣ ⎦
( ) ( )( ), , , 2 sin 0t nmE d e jA dρ φ ρ φ β+= − =
( ) ( ) ⎣ ⎦
d lβ π= lπβ =mnd lβ π mn dβ
Modos TEnml ou TMnml são os modos ressonantes onde m, n, e li di d i i l d d t i á iindicam o numero de meios ciclos da onda estacionária nasdireções ρ, ϕ, e z.A frequência de ressonância do modo TE l é dada porA frequência de ressonância do modo TEnml é dada por
2 2'nmnml
c lf ρ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠2nml
r r
fa dπ μ ε ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
0 1 2 3 1 2 3 1 2 3n m l= = =
A frequência de ressonância do modo ou TMnml é dado por
0,1, 2,3... 1, 2,3... 1, 2,3....n m l= = =
2 2
2nm
nmlc lf
dρ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠2nmlr r
fa dπ μ ε ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
0,1,2,3... 1, 2,3... 0,1,2,3....n m l= = =
O modo dominante TE é o modo TE111, cuja freqüência de111 j qressonância é dada por:
2 21 8412⎛ ⎞ ⎛ ⎞111
1.84122
TE
r r
cfa d
ππ μ ε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
O modo dominante TM é o modo TM010 cuja freqüência deressonância é dada por:
2
0102, 4049
2TM cf
aπ μ ε⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠2 r rπ μ ε ⎝ ⎠
As freqüências de ressonância são iguais se d/a = 2,03 (modosdegenerados)
Quando d/a < 2,03, o modo dominante é o TM010 e quando d/a >
degenerados)
2,03 o modo dominante é o modo TE111
Os campos para o modos TEnml são dados por:
( )( )
20
2
' ' sin sin'
nmn
nm
jk a nH lE J n za dρ
η ρ πρ φρ ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
( )0' '' cos sin'
nmn
nm
jk aH lE J n za dφ
η ρ πρ φρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
0zE =
( )0 '' cos cos'
nmn
aH lH J n zdρ
β ρ πρ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
( )' nnm a dρ ρ φ
ρ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
( )( )
20
2
' sin cosnmn
a nH lH J n zdφ
β ρ πρ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
( )0' cos sinnm
nlH H J n zρ πρ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
( )( )2'
nnm
a dφ ρ φρ ρ
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
( )0 cos sinz nH H J n za d
ρ φ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
2 2'⎛ ⎞ ⎛ ⎞0,1, 2,3... 1, 2,3... 1, 2,3....n m l= = =
Modo dominante TE11111
111'
2 r r
cfa dρ π
π μ ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
Distribuição do campo para modos ressonantes com l = 1 e l = 2p p
O q e claramente demonstra q e são formadas ondasO que claramente demonstra que são formadas ondasestacionárias dentro da cavidade
Fator de Qualidade: Q
Energia média armazenadaW W+
Fator de Qualidade: Q
Energia média armazenadaEnergia Perdida por segundo
m eW WQP
ω += =
Energia média armazenada nos campos magnéticos eeletricos.
,m eW W
P
eletricos.
Potência dissipada no condutor e no dielétrico
Na frequência de ressonância:We =Wm
F t d Q lid d d M d TEFator de Qualidade dos Modos TEnml
Cálculo da energia armazenada, comoW =W
( )2
2 22
d a
W W E E d d dzπ
ε ρ ρ φ= = +∫ ∫ ∫
Cálculo da energia armazenada, comoWe Wm
( )0 0 0
22e
z
W W E E d d dzρ φ
φ ρ
ρ ρ φ= = =
= = +∫ ∫ ∫2a
⎛ ⎞
( )
22 2 2 22 20
2
0
' ' '''4 '
a
nm nmn n
nmnm
k a dH naJ J da a
ρ
ε η π ρ ρρ ρ ρ ρρ ρρ
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫
ρ
( )22 2 2 2
20' 1 'k a dH n Jε η π ρ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟( )
( )2 1'8 '
n nmnmnm
J ρρρ
⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Perdas nas paredes condutoras: PPerdas nas paredes condutoras: Pc
2st
RP H ds= ∫2c tparedes
P H ds∫
O d é i ê i fi i l d d áli d d
R ωμ=
Onde Rs é a resistência superficial das paredes metálicas dadapor:
e Ht é o campo magnético tangencial as superfícies das paredes
2sc
Rσ
=
t p g g p pmetálicas.
A ib i ã d id à d i é i l á ib i ã dA contribuição devido à parede superior é igual á contribuição daparede inferior.
zd
ρ ( )zH aρ =Parede lateralParede superior e inferior
( )0H zρ =( )0H ρ
a( )0H zφ = ( )H aφ ρ =φ
( ) ( )2 2 2d
sRP H a H a ad dzπ
ρ ρ φ⎧ ⎡ ⎤+⎨ ⎢ ⎥∫ ∫ ( ) ( )0 02
sc z
zP H a H a ad dzφ
φρ ρ φ
= =
⎡ ⎤= = + =⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩∫ ∫( ) ( )
2 2 22 0 0
a
H z H z d dπ
ρ ρ φ⎫⎡ ⎤+ = + = ⎬⎢ ⎥∫ ∫ ( ) ( )0 0
2 0 0H z H z d dρ φφ ρ
ρ ρ φ= =
⎡ ⎤+ = + = ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎭∫ ∫
( )2 22 2
2 2 ' 1 1sR da an a nP H J β βπ ρ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎨ ⎬⎜ ⎟( )
( ) ( )0 2 21 12 2 '' '
c n nmnmnm nm
P H Jπ ρρρ ρ
⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:
22 2 2 2 ⎡ ⎤⎛ ⎞
Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:Qc
( )( )
22 2 2 220
2
2
' 1 ''4 '
2 2n nm
nmnmmc
k a dH n JWQP
ε η π ρρρ
ω ω
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦= =
⎧ ⎫⎡ ⎤( )
( ) ( )
2 22 22 20 2 2' 1 1
2 2 '' '
cc
sn nm
nmnm nm
QP
R da an a nH J β βπ ρρρ ρ
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭⎣ ⎦⎩ ⎭
2⎡ ⎤⎛ ⎞
( )( )
2
3
2
1'' nm
c
n
ka adQ
ρη
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦=
⎧ ⎫⎡ ⎤( )
( ) ( )
2 2 22 2
2 2
4 '1 1
2 '' '
cnm s
nmnm nm
QR ad an a nρ β β
ρρ ρ
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd
0" tanrσ ωε ωε ε δ= = ( )0' " 1 tanrj jε ε ε ε ε δ= − = −
2 2*1 ".2 2d
v v
P J E dv E E dvρ φωε ⎡ ⎤= = +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
22 2 2 22 20" ' ' '
ak a dH naωε η π ρ ρ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥∫( )
2 202
0
''4 '
nm nmd n n
nmnm
k a dH naP J J da a
ρ
ωε η π ρ ρρ ρ ρ ρρ ρρ
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
22 2 4 2" 'k a H nωε η ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥
( )( )20
2 1 ''8 '
d n nmnmnm
k a H nP Jωε η ρρρ
⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd
( )22 2 4 2
20' ' 1 'k a H n Jε η ρ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟( )
( )2
22 2 4 2
1'8 ' ' 1
" tan" '
n nmnmnmm e
dd
JW WQP k a H n
ρρρ εω ω
ε δωε η
⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠+ ⎣ ⎦= = = =⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥
( )( )20
2 1 ''8 '
d
n nmnmnm
k a H n Jωε η ρρρ
⎛ ⎞⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Fator de Qualidade considerando perdas no condutor e nopdielétrico: Qtotal
11 1
totalQQ Q
−⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠c dQ Q⎝ ⎠
Fator de Qualidade dos Modos TMFator de Qualidade dos Modos TM010
Ë importante quando d / a < 2,03Ë importante quando d / a 2,03
0E E H Hρ φ ρ φ= = = =
201 0 01
0zEE j J
a aρ ρ ρ
ωμε⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠a aωμε⎝ ⎠ ⎝ ⎠
01 0 010'z
EH Jρ ρ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0z a aρ
μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2, 4049cQ a
με=
⎛ ⎞2 1 sa Rd
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
Outras Geometrias