Post on 11-Nov-2021
Efeito FotoeletricoO Modelo Fısico do Problema
A Taxa da Probabilidade de Transicao
O Efeito FotoeletricoAtraves da Regra de Ouro de Fermi
Gabriel Brognara 1
1Instituto de Fısica de Sao CarlosUniversidade de Sao Paulo
15 de Junho de 2017
Gabriel Brognara Mecanica Quantica A
Efeito FotoeletricoO Modelo Fısico do Problema
A Taxa da Probabilidade de Transicao
Conteudo
1 Efeito Fotoeletrico
2 O Modelo Fısico do Problema
3 A Taxa da Probabilidade de Transicao
Gabriel Brognara Mecanica Quantica A
Efeito FotoeletricoO Modelo Fısico do Problema
A Taxa da Probabilidade de Transicao
Conteudo
1 Efeito Fotoeletrico
2 O Modelo Fısico do Problema
3 A Taxa da Probabilidade de Transicao
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Efeito FotoeletricoO Modelo Fısico do Problema
A Taxa da Probabilidade de Transicao
Natureza Fısica da Luz
Teoria Ondulatoria:James Maxwell ∇
2 ~E = µ0ε0∂2 ~E∂t2
∇2 ~B = µ0ε0∂2 ~B∂t2
Teoria Corpuscular:Max Planck e Albert Einstein
u(ν,T ) =8πhν3
c3
1
ehν/kBT − 1
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Efeito Fotoeletrico
Emissao de eletrons de um metal devido a incidencia de luz
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Efeito Fotoeletrico
Resultado experimentais:
A dependencia da quantidade de eletrons ejetados com afrequencia da luz (ν) e do metal utilizado;
A independencia da velocidade de ejecao maxima com aintensidade da luz;
A existencia de uma frequencia de corte (ν0);
Em 1905, Einstein propos que a luz fosse constituıda porpartıculas (fotons) de energia hν, obtendo:
hν = Kmax + w0
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A Taxa da Probabilidade de Transicao
Conteudo
1 Efeito Fotoeletrico
2 O Modelo Fısico do Problema
3 A Taxa da Probabilidade de Transicao
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A Taxa da Probabilidade de Transicao
Ionizacao do Atomo de Hidrogenio
Estado Inicial:
|i〉 = Ψ100(r) =1
(πa30)1/2
e−r/a0
Estado Final:
|f 〉 =1√Ve−i
~k·~r
Luz Incidente:~ε(t) = εocos(ωt)z
Regra de Ouro de Fermi:
Ri→f =2π
~| 〈f |H′ |i〉 |2ρ(Ef )
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A Taxa da Probabilidade de Transicao
Conteudo
1 Efeito Fotoeletrico
2 O Modelo Fısico do Problema
3 A Taxa da Probabilidade de Transicao
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A Taxa da Probabilidade de Transicao
Hamiltoniano da Regra de Ouro
Hamiltoniano dependente do tempo:
H ′(t) = eε0zcos(ωt) =eε0z
2(e iωt + e−iωt)
Na Regra de Ouro,
H ′(t) = H′e−iωt
Hamiltoniano da Regra de Ouro:
H′ =eε0
2z =
eε0
2rcosθ
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A Taxa da Probabilidade de Transicao
Calculo do Elemento de Matriz
Considerando o estado inicial, final e o Hamiltoniano H′, temos:
〈f |H′ |i〉 =eε0
2(Vπa30)1/2
∫ ∞0
dr ′r ′3er′/a0
∫ΩdΩ′e i
~k ′·~r ′cosθ′
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A Taxa da Probabilidade de Transicao
Integral Radial
Expansao da Onda Plana:
e i~k·~r ′ = 4π
∞∑l=0
l∑m=−l
i l jl(kr′)[Ym
l (θ, φ)]∗Yml (θ′, φ′)
Inserindo no Elemento de Matriz:
〈f |H′ |i〉 =4πeε0
2(Vπa30)1/2
∞∑l=0
i l∫ ∞
0dr ′r ′3er
′/a0 jl(kr′)
l∑m=−l
[Yml (θ, φ)]∗
∫ΩdΩ′cosθ′Ym
l (θ′, φ′)
cosθ′ =
(4π
3
)1/2
[Y 01 (θ′, φ′)]∗
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A Taxa da Probabilidade de Transicao
Integral Radial
Devido a ortogonalidade dos Yml , temos:
〈f |H′ |i〉 =2πieε0cosθ
(Vπa30)1/2
∫ ∞0
dr ′r ′3e−r′/a0(
sin(kr ′)
k2r ′2− cos(kr ′)
kr ′
)∫ ∞
0dr ′r ′3e−r
′/a0
(sin(kr ′)
k2r ′2− cos(kr ′)
kr ′
)=
8ka50
(1 + k2a20)3
Elemento de Matriz
〈f |H′ |i〉 = 16ieε0cosθ
(πa5
0
V
)1/2ka0
(1 + k2a2o)3
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A Taxa da Probabilidade de Transicao
Densidade de Estados
Numero de Estados com Energia entre Ef e Ef + dEf = ρ(Ef )dEf
Vetor de Onda k
k =nπ
L, n ∈ Z
Para uma partıcula livre:
ρ(Ef )dEf =1
8
1
(π/L)3k2dkdΩ
Como dEf = (~2/m)kdk, temos:
Densidade de Estados
ρ(Ef ) =V
(2π)3
mk
~2dΩ
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Taxa da Probabilidade de Transicao
Para um dado angulo solido:
dRi→f
dΩ=
64ε20a
30cos
2θ
π~(ka0)3
(1 + k2a2o)6
Escrevendo k em funcao de ω:
~ω = ~ω0 +~2k2
2m⇒ k2a2
0 =ω − ω0
ω0
Integrando em todo o angulo solido:
Taxa da Probabilidade de Transicao
Ri→f =256ε2
0a30
3~
(ω0
ω
)6(ω
ω0− 1
)3/2
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A Taxa da Probabilidade de Transicao
Resultados
Taxa da Probabilidade de Transicao
Ri→f =256ε2
0a30
3~
(ω0
ω
)6(ω
ω0− 1
)3/2
Dependencia com ω e ε20
ω/ω0 ≥ 1
Ri→f → 0 quando:ω → ω0 e ω →∞ωmax = 4
3ω0
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A Taxa da Probabilidade de Transicao
Resultados
Ressonancia Tradicional
ω = ω0;
k2a20 = ω−ω0
ω0= 0
Se k = 0, Ef = 0;
Tal transicao violaria o Princıpio de Conservacao de Energia!
Assim, somente quando ω difere um pouco de ω0 e que se temum numero de estados nao nulo, possibilitando uma transicao.
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A Taxa da Probabilidade de Transicao
Conclusao
Efeito Fotoeletrico
Ionizacao do Atomo de Hidrogenio;
Taxa da Probabilidade de Transicao;
Dependencia com ω e ε20;
ωmax = 43ω0.
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Referencias
(1) Shankar, R.; Principles of Quantum Mechanics. Secondedition, 1994. Springer Science.
(2) Eisberg, R.; Resnick, R.; Quantum Physics of Atoms,Molecules, Solids, Nuclei and Particles. First edition, 1974.Jonh Willey & Sons, Inc.
(3) Cohen-Tannoudji, C.; Diu, B.; Laloe, F.; Quantum Mechanics.First edition, 1977. Jonh Willey & Sons, Inc.
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