Curso Pré-Vestibular

Definição e Operações com Conjuntos

Prof. Silvano Reis (www.matematicanaweb.com.br)

A noção de Conjunto

Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos.

Exemplos:

•Conjunto dos estados da região Centro-Oeste: C = {Goiás,

Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Distrito Federal}

•Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}

•Conjunto dos quadriláteros: A = {quadriláteros}

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A noção de ConjuntoUm conjunto é formado por elementos.

Exemplos:

•Conjunto dos estados da região Centro-Oeste:

C = {Goiás, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Distrito

Federal}

•Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}

•Conjunto dos quadriláteros: A = {quadriláteros}

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Igualdade de conjuntosDois conjuntos A e B são considerados iguais quando tem a mesma quantidade de elementos e esses elementos são os mesmos.

Em termos de símbolos, temos:

Sendo A = B , temos que se x A x B.

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Universo de Referência

Quando falamos de um conjunto, é necessário especificar um universo de referência (conjunto universo - U). Mesmo quando um conjunto é definido pelos elementos que ele contém, esses elementos não podem ser arbitrários.

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Operações sobre conjuntos

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Operações sobre conjuntos

Operações sobre conjuntos nos permitem construir novos conjuntos a partir de conjuntos dados, do mesmo modo que conectivos lógicos nos permitem construir novas fórmulas a partir de fórmulas mais simples.

Dados conjuntos A e B, definimos novos conjuntos por: União () Interseção () Diferença ( Complemento (“—”)

obtendo A B, A B, A -B eA . MatematicanaWeb@MatematicaWeb1www.matematicanaweb.com.br

Operações sobre conjuntos

União () Interseção ()

Diferença ()

Complemento (“—”)

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Operações entre conjuntos

União ( ): Sendo A e B dois conjuntos não vazios,definimos a união de A com B da seguinte maneira:

Exemplo:

Considere A = { 1, 2, 3, 5 } e B = { 0, 4, 5 }, então podemos dizer que:

}BxouAx/x{BA

}5,4,3,2,1,0{BA MatematicanaWeb@MatematicaWeb1www.matematicanaweb.com.br

União

A B = { x | x A ou x B }

A B

UAB

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Intersecção ( ): Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos a intersecção de A com B da seguinte forma:

A intersecção é formada por elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B.

Exemplo: Considerando os conjuntos A e B tais que A = { -1, 0 , 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 2, 3, 4, 6 }, podemos dizer que:

}BxeAx/x{BA

}4,3,2{BA MatematicanaWeb@MatematicaWeb1www.matematicanaweb.com.br

Interseção

A B = { x | x A e x B }

A B

U

A B

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Diferença ( - ): São aqueles elementos que são exclusivos de um determinado conjunto. Sendo A e B dois conjuntos não vazios, definimos a diferença entre A e B da seguinte forma:

Exemplo: Considerando A = { 0,1, 2, 4, 6 } e

B = { 1, 3, 4, 5, 7 }, temos que:

A – B = { 0, 2, 6 } e B – A = { 3, 5, 7 }

{ / }A B x x A e x B

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Diferença entre conjuntos

AB = { x | x A e x B }

A

B

U

AB

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Propriedades das operações:

I)

II)

III)  

IV) =

V) =

VI) =

VII) =

A A A

A A A

A A

A

A A

A A

A

VIII)

qdo

IX)

X) A

A B B A

A B

A B B A

A B B

Onde A e B são considerados conjuntos quaisquer e não vazios. MatematicanaWeb

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Complemento

Dado um conjunto A, subconjunto de um certo conjunto Universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A.

{ / }C AUA A C x x U e x A U A

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Complemento

A

U

A

{ / }A x x U e x A U A

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Exercícios:

1)Sendo dados os conjuntos abaixo, determine o resultado

de cada uma das operações a seguir.

A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }, B = { 0,1, 3, 6, 7 } e

C = { -1, 0, 3, 4 }.

)CB(A)e

CA)d

BA)c

CBA)b

CBA)a

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2) Lembrando da definição das operações entre conjuntos, determine em cada um dos desenhos abaixo, qual é a região correspondente à operação indicada:

)CB(A

)CB(A

A

B

C

A

B

C

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3) Sendo A = { 2, 3, 4, 5, 6, 8 } e B = { x / x é natural e x < 10 }, determine então o conjunto resultante de cada operação abaixo:

)

)

)

)

) ( )

)

a A B

b B A

c A B

d A B

e A B A

f A

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É correto afirmar que:

( )

(Lei de DeMorgan)

A B A A B

A B A B

A B A B

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Identidades via Venn

Muitas vezes é mais simples entender essas identidades por meio de Diagramas de Venn-Euler. Por exemplo, a Lei de DeMorgan:

pode ser visualizada do seguinte modo:

BABA

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DeMorgan Visual

A: B:

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DeMorgan Visual

A: B:

AB :

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DeMorgan Visual

A: B:

AB :

:BA MatematicanaWeb@MatematicaWeb1www.matematicanaweb.com.br

DeMorgan Visual

A: B:

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DeMorgan Visual

A: B:

A: B:

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DeMorgan Visual

A: B:

A: B:

:BA MatematicanaWeb@MatematicaWeb1www.matematicanaweb.com.br

DeMorgan Visual

= BA

BA

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Conjuntos Numéricos

I) Conjunto do conjuntos NaturaisN = {0, 1, 2, 3, 4...}N* = {1, 2, 3, 4...}

II) Conjunto dos números InteirosZ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}Z* = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...}

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Conjuntos Numéricos

III) Conjunto dos números Racionais

ou seja números que podem ser escritos em forma de fração.

IV) Conjunto dos números IrracionaisNúmero irracional é um número que NÃO pode ser

representado em forma de fração.

{ / ; *}p

x x p e qq

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Conjuntos Numéricos

I

V) Conjunto dos números Reais

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Importante:

/

Pertence

Não Pertence

Tal que

Está Contido

Não Está Contido

Contém

Não Contém

Para Todo

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EXERCÍCIOS E

QUESTÕES DE VESTIBULARES

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