Post on 14-Feb-2021
Modelos de regressão para
dados correlacionados
Cibele Russocibele@icmc.usp.br
ICMC USP
Mini-curso oferecido no
Workshop on Probabilistic and Statistical Methods
28 a 30 de janeiro de 2013
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 1 / 58
Conteúdo da aula
Modelo linear com efeitos mistos
Modelo marginal × modelo hierárquico
Aplicações
Referências:
Pinheiro and Bates (2009) ‘Mixed-effects Models in S and S-PLUS’, Springer.
Searle, S. R., Casella, G. McCulloch, C. E. (2006), Variance Components. Wiley Series in
Probability and Statistics.
Verbeke G. and Molenberghs G. (2000) ‘Linear mixed models for longitudinal data,’
Springer Series in Statistics, Springer-Verlag, New-York.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 2 / 58
Medidas repetidas e dados longitudinais
Medidas repetidas (repeated measurements) são obtidas
quando uma resposta é observada repetidamente em
um conjunto de unidades experimentais
Unidades experimentais: Sujeitos, pacientes, participantes
Animais, plantas
Grupos (clusters): faḿılias, cidades, filiais de uma companhia
Dados longitudinais são um caso especial de medidas repetidas
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 3 / 58
Medidas repetidas e dados longitudinais
Quando as medidas são repetidas no mesmo indiv́ıduo
(ou em uma mesma unidade experimental),
as caracteŕısticas individuais induzem uma correlação nos dados
observados naquele indiv́ıduo.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 4 / 58
Modelos para dados correlacionados
2 4 6 8 10
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
Tempo
2 4 6 8 10
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
Tempo
Res
post
a lo
ngitu
dina
lIndivíduo 1Indivíduo 2
Medidas longitudinais
(adaptado de Rizopoulos, D. ‘An Introduction to Joint Models for Longitudinal & Survival Data,
with Applications in R’, short course 27th IWSM, Prague.)Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 5 / 58
Modelos para dados correlacionados
Como os indiv́ıduos são amostrados aleatoriamente de uma população,
pode-se supor que coeficientes de regressão sujeito-espećıficos também
amostrados de uma população de coeficientes de regressão:
βi ∼ N(β,D), 1, . . . , n.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 6 / 58
Modelos para dados correlacionados
Podeŕıamos então ajustar um modelo diferente
para as medidas de cada indiv́ıduo?
Sim, mas existe o interesse em estimar o comportamento geral
da população, e ao mesmo tempo identificar um padrão espećıfico
de cada indiv́ıduo.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 7 / 58
Modelo com efeitos mistos
Um modelo com efeitos mistos para Yij , a j-ésima resposta observada para
o i-ésimo indiv́ıduo, utilizando o valor da covariável x , xij , é dado por
Yij = (β0 + bi0) + (β1 + bi1)xij + �i , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,mi
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 8 / 58
Modelo com efeitos mistos
Yij = (β0 + bi0) + (β1 + bi1)xij + �i , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,mi
Efeitos fixos
β0 é o efeito fixo referente ao intercepto da reta
β1 é o efeito fixo referente ao coeficiente angular da reta
Efeitos aleatórios
bi0 é um efeito aleatório adicionado ao intercepto
bi1 é um efeito aleatório adicionado ao coeficiente angular
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 9 / 58
Modelos com efeitos mistos
Qual o resultado da inclusão dos efeitos aleatórios
no intercepto e no coeficiente angular?
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 10 / 58
Interpretação dos efeitos adicionados ao modelo
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
● ●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
● ●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
● ●
●
●
●●
●
● ●●
●
●
●
●●
●
● ●●
●●
● ●
8 9 10 11 12 13 14
2025
30
Intercepto aleatório
age
dist
ance
Exemplo de retas resultantes da inclusão de intercepto aleatório
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 11 / 58
Interpretação dos efeitos adicionados ao modelo
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
● ●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
● ●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
● ●
●
●
●●
●
● ●●
●
●
●
●●
●
● ●●
●●
● ●
8 9 10 11 12 13 14
2025
30
Coeficiente angular aleatório
age
dist
ance
Exemplo de retas resultantes da inclusão de coeficiente angular aleatório
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 12 / 58
Interpretação dos efeitos adicionados ao modelo
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
● ●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
● ●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
● ●
●
●
●●
●
● ●●
●
●
●
●●
●
● ●●
●●
● ●
8 9 10 11 12 13 14
2025
30
Intercepto e coeficiente angular aleatório
age
dist
ance
Exemplo de retas resultantes da inclusão de intercepto e coeficiente
angular aleatórioCibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 13 / 58
Interpretação dos efeitos adicionados ao modelo
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
● ●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
● ●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
● ●
●
●
●●
●
● ●●
●
●
●
●●
●
● ●●
●●
● ●
8 9 10 11 12 13 14
2025
30
Intercepto aleatório
age
dist
ance
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
● ●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
● ●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
● ●
●
●
●●
●
● ●●
●
●
●
●●
●
● ●●
●●
● ●
8 9 10 11 12 13 14
2025
30
Coeficiente angular aleatório
age
dist
ance
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
● ●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
● ●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
● ●
●
●
●●
●
● ●●
●
●
●
●●
●
● ●●
●●
● ●
8 9 10 11 12 13 14
2025
30
Intercepto e coeficiente angular aleatório
age
dist
ance
Retas resultantes da inclusão dos efeitos aleatórios
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 14 / 58
Modelo com efeitos mistos
Reescrevendo o modelo
Yij = (β0 + bi0) + (β1 + bi1)xij + �ij , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,mi
temos
Yij = (β0 + β1xij) + (bi0 + bi1xij) + �ij , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,mi
em que mi observações pertencem ao indiv́ıduo i . Matricialmente,
Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n;
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 15 / 58
Modelo com efeitos mistos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto e coeficiente angular aleatórios)
Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n
com Yi =
Y1...
Yn
Xi = Zi =
1 xi1
1 xi2...
...
1 xin
,
β =
[β0
β1
], �i =
�i1...
�in
, bi =[
bi0
bi1
].
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 16 / 58
Modelo com efeitos mistos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto e coeficiente angular aleatórios)
Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n
Yi(mi×1): vetor de respostas do indiv́ıduo i (aleatório)
Xi(mi×2): matriz do modelo referente aos efeitos fixos do indiv́ıduo i
(fixa e conhecida)
β(2×1): vetor de parâmetros (efeitos fixos)
Zi(mi×2): matriz do modelo referente aos efeitos aleatórios para o
indiv́ıduo i (fixa e conhecida)
bi(2×1): vetor de efeitos aleatórios para o indiv́ıduo i (aleatório)
�i(mi×1): vetor de erros aleatórios para o indiv́ıduo i (aleatório)
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 17 / 58
Modelo com efeitos mistos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto e coeficiente angular aleatórios)
Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n
Suposições comuns:
biind∼ N2(0,D)
�iind∼ Nmi (0, σ2I )
bi independente de �i .
Parâmetros a serem estimados: β, σ2, elementos da matriz D.
Em alguns trabalhos considera-se D diagonal.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 18 / 58
Modelo com efeitos mistos
Modelo linear com efeitos mistos
(forma geral, p covariáveis, q efeitos aleatórios)
Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n
Yi(mi×1): vetor de respostas do indiv́ıduo i (aleatório)
Xi(mi×(p+1)): matriz do modelo referente aos efeitos fixos do indiv́ıduo i (fixa
e conhecida)
β((p+1)×1): vetor de parâmetros (efeitos fixos)
Zi(mi×q): matriz do modelo referente aos efeitos aleatórios para o indiv́ıduo i
(fixa e conhecida)
bi(q×1): vetor de efeitos aleatórios para o indiv́ıduo i (aleatório)
�i(mi×1): vetor de erros aleatórios para o indiv́ıduo i (aleatório)
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 19 / 58
Modelo com efeitos mistos
Modelo linear com efeitos mistos
(forma geral, p covariáveis, q efeitos aleatórios)
Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n
Suposições comuns:
bi ∼ Nq(0,D)
�i ∼ Nmi (0, σ2I )
Parâmetros a serem estimados: β, σ2, elementos da matriz D.
Em alguns trabalhos considera-se D diagonal.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 20 / 58
Modelo com efeitos mistos - Interpretação
Efeitos fixos
β’s têm as mesmas propriedades encontradas nos modelos com efeitos
fixos
Efeitos aleatórios
bij ’s são interpretados como o parâmetro i do j-ésimo sujeito se
desvia do parâmetro populacional.
Caracteŕısticas interessantes
β’s descreve comportamentos populacionais
(β + bi )’s descreve comportamentos individuais
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 21 / 58
Modelo com efeitos mistos
Modelo linear com efeitos mistos
(forma geral, p covariáveis, q efeitos aleatórios)
Yi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n
Estimação dos parâmetros
Existem várias formas de estimar os parâmetros, as mais utilizadas são
Formulação de dois estágios
Enfoque marginal no modelo linear geral misto
Enfoque hierárquico no modelo linear geral misto
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 22 / 58
Modelos lineares com efeitos mistos
Formulação de dois estágios
Estágio 1: Um modelo de regressão linear é ajustado para cada indiv́ıduo
separadamente. Esses modelos descrevem a variabilidade intraindiv́ıduos
Yi = Xiβi + Zibi + �i , i = 1, . . . , n
Estágio 2: Um modelo de regressão multivariado é ajustado utilizando as
estimativas βi obtidas no Estágio 1 como covariáveis.
βi = Kiβ + bi
(Verbeke G. and Molenberghs G. (2000) ‘Linear mixed models for longitudinal data,’ Springer
Series in Statistics, Springer-Verlag, New-York.)
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 23 / 58
Modelos lineares com efeitos mistos
Formulação de dois estágios{Yi = Xiβi + Zibi + �i
βi = Kiβ + bi , i = 1, . . . , n
com �i ∼ N(0, σ2I) e bi ∼ N(0,D).
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 24 / 58
Modelo linear geral com efeitos mistos
Formulação geral e suposiçõesYi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n
bi ∼ Nq(0,D)�i ∼ Nmi (0, σ2I )b1, . . . ,bn, �1, . . . , �n são independentes
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 25 / 58
Modelo linear geral com efeitos mistos
O modelo linear geral com efeitos mistos com as suposições usuais pode
ser reescrito como
Yibi�i
∼ Nmi+q+mi Xiβ0
0
, ZiDZ
′i + σ
2I ZiD σ2I
DZ ′i D 0
σ2I 0 σ2I
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 26 / 58
Modelo hierárquico
Outro enfoque seria o Modelo hierárquico usual
{Yi |bi ∼ N(Xiβ + Zibi , σ2I ), i = 1, . . . , nbi ∼ N(0,D)
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 27 / 58
Modelo hierárquico
Uma possibilidade para estimação: Enfoque BayesianoYi |β,bi ∼ N(Xiβ + Zibi , σ2I )bi ∼ N(0,D)β ∼ N(β0,B)
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 28 / 58
Modelo hierárquico
Para estimar β, usamos a distribuição a posteriori de β|y,B,D, σ2, quepode ser obtida de
fβ(β|y) =
∫f (y|β, b)fβ(β)fb(b)db∫ ∫f (y|β, b)fβ(β)fb(b)dbdβ
.
Para isso, usa-se o fato de que
E (β|yi ,B,D, σ2) = (XiV−1i Xi )−1X ′i V
−1i y
com Vi = ZiDZ′i + σ
2I .
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 29 / 58
Modelo marginal
Por propriedades da distribuição normal, partindo do modelo em sua
formulação geral podemos obter a distribuição marginal de Yi
Formulação geralYi = Xiβ + Zibi + �i , i = 1, . . . , n
bi ∼ Nq(0,D)�i ∼ Nmi (0, σ2I )b1, . . . ,bn, �1, . . . , �n são independentes
Esse modelo pode ser reescrito como um modelo marginal
Yi ∼ N(Xiβ,ZiDZ ′i + σ2I )
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 30 / 58
Modelo marginal
Yi ∼ N(Xiβ,ZiDZ ′i + σ2I )
Podemos então estimar os parâmetros β pelo método da máxima
verossimilhança, utilizando a função de verossimilhança de θ = (β, τ )′
com τ o vetor de elementos de Vi = ZiDZ′i + σ
2I .
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 31 / 58
Modelo marginal
A função de verossimilhança é dada por
L(θ) =n∏
i=1
{(2π)−ni/2|Vi (τ )|−1/2 exp
{−1
2(yi − Xβ)′V−1i (τ )(yi − Xβ)
}}
Se τ é conhecido,
β̂ = (n∑i
XiV−1i (τ )Xi )
−1n∑n
XiV−1i (τ )yi .
Se τ não é conhecido, pode-se considerar um processo iterativo.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 32 / 58
Modelo marginal
Se τ é conhecido,
β̂ ∼ N(β,n∑
i=1
XiV−1i Xi )
Na prática, substitui-se τ por um estimador com boas propriedades e
obtém-se inferências aproximadas.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 33 / 58
Propriedades
Vários modelos hierárquicos diferentes podem levar ao mesmo modelo
marginal,
Um modelo marginal bem ajustado pode não ser uma evidência de
um bom modelo hierárquico,
Um tratamento satisfatório do modelo hierárquico só é posśıvel em
um contexto Bayesiano,
Componentes de variância negativos (de D) podem ser obtidos sob o
enfoque marginal, o que não acontece no modelo hierárquico.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 34 / 58
Predição dos efeitos aleatórios
Método de Bayes emṕırico
Distribuição a posteriori de bi |yi :
bi |yi ∼ N(DZ ′iV−1i (yi − Xiβ),Λi )
com Λi uma matriz positiva definida.
Podemos então utilizar a média a posteriori de bi |yi como preditor de bi
b̂i = DZ′iV−1i (yi − Xiβ).
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 35 / 58
Valores preditos para a variável resposta
Podemos obter um preditor para Yi fazendo
Ŷi = Xi β̂ + Zi b̂i
= Xi β̂ + ZiD̂ZTi V̂−1i (yi − Xi β̂)
= (Imi − ZiD̂ZTi V̂−1i )Xi β̂ + ZiD̂Z
Ti V̂−1i yi
= σ̂2V̂−1i Xi β̂ + (Imi − σ̂2V̂−1i )yi ,
que pode ser interpretado como uma média ponderada entre o perfil
populacional Xi β̂ e os dados observados yi , com pesos σ̂2V̂−1i e
(Imi − σ̂2V̂−1i ), respectivamente.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 36 / 58
Modelos com efeitos mistos em R
Pacote nlme
Possibilita o ajuste de modelos lineares e não lineares com efeitos
mistos
Várias possibilidades de estruturas de variância e covariância
Pacote lme4
Possibilita o ajuste de modelos lineares, não lineares e lineares
generalizados com efeitos mistos
Utiliza apenas efeitos aleatórios
Permite outras estruturas para os efeitos aleatórios
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 37 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto aleatório){Yi = Xiβ + Zibi + �
bi ∼ N(0,D), �i ∼ N(0, σ2I )
Nesse caso,
Xi =
1 8
1 10
1 12
1 14
para i = 1, . . . 11, Zi =
1
1
1
1
.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 38 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto aleatório)
Comandos em R:
> library(nlme)
> attach(Orthodont)
> fit.IA ranef(fit.IA)
> coef(fit.IA)
> plot(fit.IA)
> plot(augPred(fit.IA),aspect=”xy”,grid=T)
> qqnorm(fit.IA,~ resid(.) |Sex)
Certifique-se que os comandos foram passados corretamente para o R.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 39 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto aleatório)
Fitted values (mm)
Sta
ndar
dize
d re
sidu
als
−4
−2
0
2
4
20 25 30
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 40 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto aleatório)
Age (yr)
Dis
tanc
e fr
om p
ituita
ry to
pte
rygo
max
illar
y fis
sure
(m
m)
20
25
30
8 9 10 11 12 13 14
● ●●
●
M16
●
●●
●
M05
8 9 10 11 12 13 14
●● ●
●
M02
● ● ●●
M11
8 9 10 11 12 13 14
● ●
●●
M07
●
●
●●
M08
● ●●
●
M03
●● ●
●
M12
●
●●
●
M13
●
● ● ●
M14
●
●
●
●
M09
20
25
30
●●
●
●
M15
20
25
30
●●
●●
M06
●●
● ●
M04
●●
●●
M01
● ●
● ●
M10
●
● ● ●
F10
●●
● ●
F09
●● ●
●
F06
●●
●●
F01
●● ●
●
F05
●● ●
●
F07
● ●
●●
F02
20
25
30
● ● ●●
F08
20
25
30
●
● ●●
F03
8 9 10 11 12 13 14
●● ●
●
F04
● ●
● ●
F11
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 41 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto aleatório)
Residuals (mm)
Qua
ntile
s of
sta
ndar
d no
rmal
−2
−1
0
1
2
−4 −2 0 2 4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
Male
−4 −2 0 2 4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Female
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 42 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, coeficiente angular aleatório){Yi = Xiβ + Zibi + �
bi ∼ N(0,D), �i ∼ N(0, σ2I )
Nesse caso,
Xi =
1 8
1 10
1 12
1 14
para i = 1, . . . 11, Zi =
8
10
12
14
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 43 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, coeficiente angular aleatório)
Comandos em R:
> library(nlme)
> attach(Orthodont)> fit.CA ranef(fit.CA)
> coef(fit.CA)
> plot(fit.CA)
> plot(augPred(fit.CA),aspect=”xy”,grid=T)
> qqnorm(fit.CA,~ resid(.) |Sex)
Certifique-se que os comandos foram passados corretamente para o R.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 44 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, coeficiente angular aleatório)
Fitted values (mm)
Sta
ndar
dize
d re
sidu
als
−4
−2
0
2
20 25 30
●
●
● ●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
● ●
●
●
● ●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 45 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, coeficiente angular aleatório)
Age (yr)
Dis
tanc
e fr
om p
ituita
ry to
pte
rygo
max
illar
y fis
sure
(m
m)
20
25
30
8 9 10 11 12 13 14
● ●●
●
M16
●
●●
●
M05
8 9 10 11 12 13 14
●● ●
●
M02
● ● ●●
M11
8 9 10 11 12 13 14
● ●
●●
M07
●
●
●●
M08
● ●●
●
M03
●● ●
●
M12
●
●●
●
M13
●
● ● ●
M14
●
●
●
●
M09
20
25
30
●●
●
●
M15
20
25
30
●●
●●
M06
●●
● ●
M04
●●
●●
M01
● ●
● ●
M10
●
● ● ●
F10
●●
● ●
F09
●● ●
●
F06
●●
●●
F01
●● ●
●
F05
●● ●
●
F07
● ●
●●
F02
20
25
30
● ● ●●
F08
20
25
30
●
● ●●
F03
8 9 10 11 12 13 14
●● ●
●
F04
● ●
● ●
F11
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 46 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, coeficiente angular aleatório)
Residuals (mm)
Qua
ntile
s of
sta
ndar
d no
rmal
−2
−1
0
1
2
−6 −4 −2 0 2 4
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
Male
−6 −4 −2 0 2 4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
Female
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 47 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto e coeficiente angular aleatórios){Yi = Xiβ + Zibi + �
bi ∼ N(0,D), �i ∼ N(0, σ2I )
Nesse caso,
Xi =
1 8
1 10
1 12
1 14
para i = 1, . . . 11, Zi =
1 8
1 10
1 12
1 14
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 48 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto e coeficiente angular aleatórios)
Comandos em R:
> library(nlme)
> attach(Orthodont)> fit.doisefeitos summary(fit.doisefeitos)
> ranef(fit.doisefeitos)
> coef(fit.doisefeitos)
> plot(fit.doisefeitos)
> plot(augPred(fit.doisefeitos),aspect=”xy”,grid=T)
> qqnorm(fit.doisefeitos,~ resid(.)|Sex)
Certifique-se que os comandos foram passados corretamente para o R.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 49 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto e coeficiente angular aleatório)
Fitted values (mm)
Sta
ndar
dize
d re
sidu
als
−2
0
2
4
20 25 30
●
●
●●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●
●●
●
●
●●
● ● ●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
● ●
●●
●●
●
●
● ●
● ●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 50 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto e coeficiente angular aleatório)
Age (yr)
Dis
tanc
e fr
om p
ituita
ry to
pte
rygo
max
illar
y fis
sure
(m
m)
20
25
30
8 9 10 11 12 13 14
● ●●
●
M16
●
●●
●
M05
8 9 10 11 12 13 14
●● ●
●
M02
● ● ●●
M11
8 9 10 11 12 13 14
● ●
●●
M07
●
●
●●
M08
● ●●
●
M03
●● ●
●
M12
●
●●
●
M13
●
● ● ●
M14
●
●
●
●
M09
20
25
30
●●
●
●
M15
20
25
30
●●
●●
M06
●●
● ●
M04
●●
●●
M01
● ●
● ●
M10
●
● ● ●
F10
●●
● ●
F09
●● ●
●
F06
●●
●●
F01
●● ●
●
F05
●● ●
●
F07
● ●
●●
F02
20
25
30
● ● ●●
F08
20
25
30
●
● ●●
F03
8 9 10 11 12 13 14
●● ●
●
F04
● ●
● ●
F11
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 51 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto e coeficiente angular aleatório)
Residuals (mm)
Qua
ntile
s of
sta
ndar
d no
rmal
−2
−1
0
1
2
−4 −2 0 2 4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
Male
−4 −2 0 2 4
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
Female
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 52 / 58
Exemplo: Dados ortodônticos
Modelo linear com efeitos mistos
(1 covariável, intercepto e coeficiente angular aleatório)
Residuals (mm)
Qua
ntile
s of
sta
ndar
d no
rmal
−2
−1
0
1
2
−4 −2 0 2 4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
Male
−4 −2 0 2 4
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
Female
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 53 / 58
Exemplo: Dados de produtividade industrial
Consideramos um modelo
Yijk = βj + bi + �ijk, i = 1, . . . , 6; j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3,
com
bi ∼ N(0, σ2b), �ijk ∼ N(0, σ2).
Existe um efeito fixo para cada tipo de máquina e um efeito aleatório para
cada trabalhador.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 54 / 58
Exemplo: Dados de produtividade industrial
Comandos em R:
> library(nlme)
> attach(Machines)
> fit.Machine1 fit.Machine1
> summary(fit.Machine1)
Certifique-se que os comandos foram passados corretamente para o R.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 55 / 58
Exerćıcio: Dados de produtividade industrial
Outro posśıvel modelo seria
Yijk = βj + bi + bij + �ijk , i = 1, . . . , 6; j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3,
com
bi ∼ N(0, σ21), bij ∼ N(0, σ22), �ijk ∼ N(0, σ2).
Esse modelo tem efeitos aleatórios em dois ńıveis: os efeitos bi para o
trabalhador e bij para o tipo de máquina dentro de cada trabalhador.
Devemos ler isso como “trabalhador” e “máquina dentro de trabalhador”.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 56 / 58
Exerćıcio: Dados de produtividade industrial
Comandos em R:
Podemos simplesmente atualizar o modelo anterior com a função update
> fit.Machine2 fit.Machine2
> summary(fit.Machine2)
Certifique-se que os comandos foram passados corretamente para o R.
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 57 / 58
Pergunta:
Qual é o melhor modelo?
Cibele Russo (ICMC USP) Modelos para dados correlacionados 58 / 58