Modelos de Equações Estruturais

Lúcia P. Barrosolbarroso@ime.usp.br

Modelos de Equações Estruturais

É uma evolução da modelagem de multiequações (Econometria) e dos princípios de mensuração (Psicologia e Sociologia);

Modelos de Equações Estruturais

Problemas Básicos:

1) O que a medida observada realmente está medindo?

2) Como inferir relações causais complexas entre as variáveis que

não são observáveis diretamente?

Modelo de Mensuração

Modelo Estrutural

Modelos de Equações Estruturais

= B + + y = y + x = X+

Equações simultâneas

Modelagem

12121112121

21211212 111 y

21)(

212 yy

323 y

42)(

424 yy

Variáveis y: Variáveis x:

111 x

21)(

212 xx

323 x

42)(

424 xx

x1

y3

y2

x4

x3

x2

y1

y4

1

2

1

2

1

21

(x)

1

41

(x)

1

21

(y)

1

41

(y)

21

11

21

12

21

12

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

O diagrama de caminho

Círculos: erros

Elipses: variáveis latentes

Retângulos: variáveis observadas

Setas com um sentido: indicam que variável exerce influência sobre outra (causa)

Setas com ambos os sentidos: indicam correlação

Duas setas, uma em cada sentido: indicam relações recíprocas – uma variável é causa e é causada pela outra

Notação

Indicadores: variáveis mensuráveis X: indicador de variáveis latentes exógenas Y: indicador de variáveis latentes endógenas

Variáveis latentes ξ: variável latente exógena : variável latente endógena

Notação

Erros : erro associado a X : erro associado a Y : erro associado a ξ

Notação

Coeficientes

x: entre X e ξ

y: entre Y e B: entre ’s : entre e ξ : vetor de parâmetros

Notação

Matrizes de covariâncias

: matriz de covariância estruturada S: matriz de covariância amostral : covariâncias entre ξ’s : covariâncias entre os erros ’s : covariâncias entre os erros ’s : covariâncias entre os erros ’s

Matriz de covariância imposta pelo modelo - ()

XYYX

XXXX

YYYY

XXXY

YXYY

BI

BIBI

')(

'

']]'))[('()[(

)(

1

11

Estimação dos parâmetros

Σ = Σ ()

: vetor de parâmetros do modeloEstamos interessados em encontrar valores para os parâmetros que minimizem alguma função de S e

Função de discrepância

Se a função é contínua e é um escalar maior do que zero, sendo igual a zero somente se os argumentos forem iguais, então teremos estimadores consistentes para os parâmetros

)ˆ(

Estimação dos parâmetros

Máxima verossimilhança

(normal multivariada)

)(||log])([|)(|log 1 qpSStrFML

(N-1)FML avaliada nas estimativas obtidas tem distribuição assintótica qui-quadrado com ½(p+q)(p+q+1) – t graus de liberdade

(t = número de parâmetros livres)

Estimação dos parâmetros

Mínimos quadrados

]}))([({2/1 2 StrFULS

Estimação dos parâmetros

Mínimos quadrados generalizados

21})]({[2/1 WStrFGLS

W-1 é estimador consistente de -1 (usal S-1)

(N-1)FGLS avaliada nas estimativas obtidas tem distribuição assintótica qui-quadrado com ½(p+q)(p+q+1) – t graus de liberdade

Estimação dos parâmetros

Mínimos quadrados ponderados generalizados

Não depende de distribuição, mas de momento de quarta ordem e requer amostras muito grandes

)()( 1 sWsF TWLS

ijghghijijgh ssmw ,

N

ajajiaihahgagghij zzzzzzzz

Nm

1

))()()((1

Estimação dos parâmetros

Mínimos quadrados ponderados diagonalmente

2

11

)(1

ghgh

k

h gh

k

gDWLS s

wF

wgh é estimativa da variância assintótica de sgh

Variáveis seguem

distribuição normal

Método de Máxima Verossimilhança

ou

Método de Mínimos Quadrados Generalizados

Variáveis contínuas

e não-normais

Método de Máxima Verossimilhança ou

Método de Mínimos Quadrados Generalizadosou

Método de Mínimos Quadrados Ponderados Generalizados

Variáveis categóricasMétodo de Mínimos Quadrados Ponderados Generalizados

Como avaliar o ajuste do modelo?

• Avaliar o sinal dos coeficientes

• Avaliar a magnitude dos efeitos

• Avaliar se os efeitos são estatisticamente significantes

Validação do modelo:

Hipótese de interesse: Σ = Σ()

Como Σ é desconhecida, usa-se S

Como avaliar o ajuste do modelo?

Hipótese de interesse: Σ = Σ()

Teste qui-quadrado

22/)1)(()1( tqpqpMLFN

Resíduos

Bom ajuste: resíduos próximos de zero, resíduos padronizados menores do que 0,05.

Medidas de Ajuste

Raiz do Quadrado Médio Residual (RMR)

2

1

1 1

2 1ˆ2

k

i

i

jijij kksRMR

ijs é o ij-ésimo elemento da matriz de covariância amostral ; S

ij é o ij-ésimo elemento da matriz de covariância ;

é a matriz de covariância avaliada no ponto ; k é o número total de variáveis observadas.

Medidas de Ajuste

Raiz do Quadrado Médio Residual (RMR)

2

1

1 1

2 1ˆ2

k

i

i

jijij kksRMR

Bom ajuste: RMR 0.

Pode ser afetada por variáveis de escalas diferentes. Alternativa:

ijijij rrc ˆ21)ˆˆ(

ˆˆ

jjii

ijijr

22 ijc

Medidas de Ajuste

Teste Qui-quadrado F1N2

N é o tamanho amostral;

F é a função de ajuste utilizada ML, GLS ou ULS.

Bom ajuste: valor-p grande.

Cautela:

Curtose próxima da normal, matriz de covariâncias analisada,

amostra grande, estrutura imposta possível no problema analisado.

Medidas de Ajuste

Ajuste de modelos para comparação:

• Modelo de independência (baseline) – ruim

• Seu modelo

• Modelo saturado (sempre se ajusta)

Discrepância Mínima da Amostra (CMIN)

FNCMIN

Bom ajuste: CMIN pequeno.

Medidas de AjusteÍndice de Ajuste Normalizado (NFI)

b

mb

b

mb

F

FFNFI

2

22

Fb é o valor da função do modelo “baseline”;

Fm é o valor da função de ajuste do “seu modelo”.

0 NFI 1 Bom ajuste: NFI 1.

NFI pode aumentar com a adição de parâmetros e com tamanho

da amostra.

Considerando que média Fm glm/(N-1)

Medidas de Ajuste

Índice de Ajuste Corrigido (IFI)

mb

mb

mb

mb

glNglF

FFIFI

2

22

1

glm é o número de graus de liberdade da distribuição qui-quadrado do

“seu modelo”

Não varia entre 0 e 1.

Bom ajuste: IFI 1.

Medidas de Ajuste

Índice de Ajuste Relativo (RFI)

bb

2mm

2bb

2

bb

mmbb1 gl

glgl

glF

glFglF

Bom ajuste: RFI 1.

Índice de Tucker-Lewis (TLI)

1gl

glgl

1N1glF

glFglF

bb2

mm2

bb2

bb

mmbb2

Bom ajuste: RFI 1.

Medidas de Ajuste

Índice de Qualidade do Ajuste (GFI) e Índice de Qualidade do Ajuste Corrigido (AGFI)

21

21

ˆ

ˆ1

Str

IStrGFIML

MLML GFI

gl

kkAGFI

1

2

11

e

Método de Máxima Verossimilhança:

Bom ajuste: GFI 1 AGFI 1.

Medidas de Ajuste

Índice de Qualidade do Ajuste (GFI) e Índice de Qualidade do Ajuste Corrigido (AGFI)

2

2ˆ1

Str

StrGFI ULS

ULSULS GFIgl

kkAGFI

1

2

11e

Método de Mínimos Quadrados Não-Ponderados:

Método de Mínimos Quadrados Generalizados:

k

SˆItr1GFI

21

GLS

GLSGLS GFI1gl2

1kk1AGFI

e

Medidas de Ajuste

Índice de Qualidade do Ajuste de Parsimônia (PGFI)

1

2

kk

glGFIPGFI m

Índice de Ajuste Normalizado de Parsimônia (PNFI)

b

m

gl

glNFIPNFI

Medidas de Ajuste

Índice de Ajuste Comparativo (CFI)

0,glCmax

0,glCmax1CFI

bb

mm

mC é a discrepância mínima da amostra do “seu modelo”;

bC é a discrepância mínima da amostra do modelo “baseline”.

Bom ajuste: CFI 1.

Medidas de AjusteRaiz do Erro Quadrático Médio de Aproximação (RMSEA)

gl

FRMSEA 0

em que .

0,

N

glCmaxF0

Limites de Confiança de 90%:

gl

N90LO L

gl

N90HI Ue

95,0gl,|CNC2 05,0gl,|CNC

2 e

com e obtidos através das equações:L U

Medidas de Ajuste

Qui-quadrado Relativo

gl

2

Qui-quadrado Padronizado

gl2

gl2

P2

Medidas de Ajuste

Critério da Informação de Akaike (AIC)

t2CAIC

C é a discrepância mínima da amostra do modelo prosposto;t é o número de parâmetros livres.

Critério da Informação de Bayes (BIC)

)Nkln(tCBIC

k é o número de variáveis observadas.

Medidas de Ajuste

Critério de Browne-Cudeck (BCC)

3kk2kN

3kkb

t2CBCC

em que .1Nb

Critério da Informação de Akaike Consistente (CAIC)

1NlntCCAIC

Medida de Ajuste Indicação de Bom Ajuste

Qui-quadrado ( 2 ) P-valor do teste > nível de significânica

CMIN CMIN < graus de liberdade

NFI

Valores próximos de 1

IFI

RFI

TLI

GFI

AGFI

PGFIComparação de modelos

PNFI

CFI CFI > 0,90

RMSEA RMSEA < 0,05

Qui-Quadrado Relativo Valor menor que 2 (ou 3)

Qui-Quadrado Padronizado (2P ) Não há consenso

AIC

Comparação de modelos (menor)BIC

BCC

CAIC

Índices de Modificação

MI : estatística do teste score – quantidade mínima esperada para decréscimo do qui-quadrado se o correspondente parâmetro fixado fosse considerado como livre.

EPC : estimated parameter changes

Estratégia: excluir parâmetros não significantes e incluir parâmetros a serem estimados no modelo, 1 a 1, pelo maior valor do MI.

Softwares

LISREL EQS AMOS CALIS MPLUS R lavaan

Exemplo 1

Stress em atletas de basquete n = 123

Escala de 0 a 6

0: não provoca stress

Quanto maior, mais stress

Estado psicológico

X1: Necessidade de sempre jogar bem

X2: Perder

X3: Auto cobrança exagerada

X4: Pensamentos negativos sobre sua carreira

Jogo

X5: Perder jogo praticamente ganho

X6: Repetir os mesmos erros

X7: Cometer erros que provocam a derrota da equipe

X8: Adversário desleal

X9: Arbitragem prejudica você

Pessoas

X10: Falta de humildade de um companheiro de equipe

X11: Pessoas com pensamento negativo

X12: Companheiro desleal

X13: Diferenças de tratamento na equipe

X14: Falta de confiança por parte do técnico

Exemplo 2

Estudo:

Um questionário foi aplicado a 36 agricultores familiares de Salto,

ao norte de Uruguai.

Objetivo:

Avaliar a “estrutura financeiro-tecnológica” (EFT) e a “estrutura

social e familiar” (ESF) dos agricultores.

Variáveis Observadas:

EFT

“tipo de fertilização”0 – manual

1 – mecânica

“tipo de dedetização”

1 – mochila na mão

2 – mochila com motor

3 – pulverizador no trator

“veículo”

0 – não possui

1 – possui

“número de parentes”

“trabalhadores permanentes”

“pai” 0 – pai não trabalhou na horticultura

1 – pai trabalhou ESF

Tipo de Fertilização = EFT + 1 1

Veículo = EFT + 2

Tipo de Dedetização = EFT + 3 3

Número de Parentes = ESF + 4 4

Pai = ESF + 5 5

Trabalhadores Permanentes = ESF +

6

Equações de Mensuração

EFT

ESF

Tipo de Fertilização

Veículo

Tipo de Dedetização

Número de Parentes

Pai

Trabalhadores Permanentes

1

1

1

3

4

5

1

2

3

4

5

6

EFT

ESF

Tipo de Fertilização

Veículo

Tipo de Dedetização

Número de Parentes

Pai

Trabalhadores Permanentes

1

1

1

3

4

5

1

2

3

4

5

6

Indicadores Formativos - definição Direção Causal: o indicador formativo é definido por causar o

construto e não ser causado por ele. Podemos dizer que esse comportamento é contrário ao usual.

Formativos Reflexivos

Exemplos de indicadores

Reflexivo: “Número de vezes que uma criança tenta montar um quebra-cabeça até desistir” - efeito da variável latente “persistência”.

Formativo: “Número de participações em um comitê executivo” – causa a variável latente “experiência”.

Motivações para o estudo dos Indicadores Formativos Desconhecimento do assunto: muitos usuários de

modelos estruturais simplesmente desconhecem a existência e a forma de uso dos indicadores formativos.

Literatura escassa: são muito raros os trabalhos que têm como tema os indicadores formativos.

Uso incorreto: muitas vezes o indicador reflexivo não é apropriado, mas é usado.

Componentes da relação causal Definição: se tivermos duas variáveis, X e Y, isoladas de qualquer

influência externa, e se a cada mudança em X, Y também sofre uma

mudança, então dizemos que X causa Y

Isolamento: X e Y estão isolados de influências externas.

Associação: se X causa Y, deve haver associação entre X e Y.

Direção: X causa Y e não o contrário.

Qual a direção da causa?

É comum, ao construirmos o diagrama de caminho,

termos dúvida quanto à direção da causa

Exemplo:

percepção da propaganda intenção de compra

outros fatores intenção de compra

percepção da propaganda

Métodos usuais de especificação da direção

causal Precedência temporal: a variável que acontece

primeiro no tempo é a causadora e a outra é a causa.

Experimentos mentais: imagina-se o que faz mais sentido, qual a direção da causa que é mais sensata.

Experimentos práticos: tenta-se isolar as variáveis o máximo possível e fazer uma delas sofrer uma variação para verificar se a outra também varia.

Implicações da direção causal:

Consistência interna Indicador reflexivo: os indicadores devem ser

correlacionados entre si pois são causados pela mesma fonte. Isso é chamado consistência interna dos indicadores.

Indicador formativo: os indicadores não precisam ter qualquer relação entre si.

Multicolinearidade

Indicador reflexivo: a multicolinearidade entre os indicadores é desejável pois além de fornecer indícios de que os indicadores são de fato causados por um mesmo construto, ela não causa problema algum.

Indicador formativo: a multicolinearidade pode existir ou não. Muita sobreposição entre os indicadores pode causar os mesmos problemas que temos em regressão.

Confiabilidade

Indicador reflexivo: existem métodos para se calcular a confiabilidade tratando os indicadores como um grupo, como no caso do Alfa de Cronbach.

Indicador formativo: os indicadores não formam um grupo, não existe um métodos amplamente aceito para se calcular a confiabilidade. Não tem sentido agrupar para verificar a consistência.

Representação amostral do constructo

Indicador reflexivo: teoricamente a ausência de um ou mais indicadores não é muito problemática, já que eles são correlacionados e os que estão no modelo trazem grande parte da informação dos que ficaram de fora.

Indicador formativo: a ausência de um indicador invalida o construto, visto que os indicadores formativos são variáveis exógenas, com causas desconhecidas na maioria das vezes, e por isso são teoricamente insubstituíveis.

Identificação

Principal fator que leva ao receio do uso dos indicadores formativos.

Um modelo é identificado se o sistema de equações = () tem

apenas uma solução.

Var(Y1) = 1 + 2 -> não é Identificado.

Var(Y1) = 1 + 2 com a restrição 1 = 2 -> é identificado

A identificação de um modelo estrutural típico é difícil de ser provada. Mas

há algumas regras úteis para se verificar a identificação do modelo. Às

vezes são necessários métodos numéricos para verificar a identificação.

Regra da escala Toda variável latente precisa ter uma escala, o que é feito

fixando-se o seu coeficiente ou sua variância. Y = + X + -> O coeficiente de é 1.

Regra t O número de parâmetros a serem estimados (t) deve ser menor ou

igual o número de elementos diferentes na matriz de covariâncias -> p(p+1)/2, onde p = nº variáveis observadas .

3 Coeficientes + 4 variâcias = 7 parâmetros

4 variáveis observadas = 10 elementos diferentes na matriz .

Regra dos dois caminhos emitidos Toda variável latente que tem indicadores formativos tem que emitir pelo menos dois caminhos e ambos devem levar a conjuntos de indicadores diferentes.

Neste modelo 2 emite dois caminhos, portanto ele obedece a

regra dos dois caminhos emitidos.

Regra MIMIC

Modelos do tipo MIMIC são modelos em que todas as variáveis latentes têm indicadores formativos e reflexivos ao mesmo tempo.

1 – Cada variável latente deve afetar pelo menos dois indicadores reflexivos.

2 – Cada variável latente deve ter pelo menos um indicador formativo.

3 – A matriz de variâncias e covariâncias dos erros devem ser diagonais (erros não correlacionados).

4 - O modelo que relaciona os indicadores formativos às variáveis latentes e as variáveis latentes entre si tem uma estrutura identificada.

Modelos não identificados

Modelo original não identificado

Modelo em sua Forma Parcialmente Reduzida (FPR)Identificado

Modelos não identificados

Modelo Original Não Identificado

Forma Parcialmente ReduzidaLatente sem Erro

Simulações - objetivos

Estudar as consequências da especificação incorreta do indicador formativo como indicador reflexivo (o inverso é menos frequente).

Consequências de interesse:

1) Alterações nos valores dos coeficientes do modelo;

2) Alterações nos valores de outros parâmetros estimados do modelo;

3) Alterações no ajuste do modelo e na estatística qui-quadrado;

4) Indícios de que o modelo com indicadores reflexivos está incorreto.

Método Foi utilizado o software SAS (PROC CALIS).

Os modelos estudados foram restritos aos do tipo MIMIC.

1000 amostras (n=1000) que satisfazem um modelo formativo foram geradas e usadas para a estimação de um modelo reflexivo, como se o modelo correto para os dados estivesse especificado incorretamente.

As amostras foram previamente testadas ajustando-se a elas o modelo correto e confirmando o bom ajuste.

Finalmente as amostras foram ajustadas considerando-se o modelo incorreto e os valores médios dos parâmetros para as 1000 amostras foram considerados para a análise dos resultados.

MIMIC: 3 formativos e 3 reflexivos.Modelo para a geração dos dados

Modelo para o ajuste

Ajuste do modelo correto

Estimativas: distribuição empírica simétrica, centrada no valor do parâmetro.

O histograma da distribuição acumulada empírica mostrou-se próximo da U(0,1) como esperado.

Embora os indicadores formativos tenham sido gerados sem correlação, na estimação do modelo foi incluída uma possível correlação (próxima de zero e não significante).

Distribuição da estatísticaqui-quadrado

Estatística Qui-Quadrado

2321191715131197531

Fre

qü

ên

cia

s

140

120

100

80

60

40

20

0

Ajuste do modelo correto

Aprox. 5% dos modelos foram rejeitados com nível de significância de 5%.

A estatística qui-quadrado teve distribuição qui –quadrado aproximada e sua média foi em torno de 7.

Par âmet r o N Médi a D. P. Si gni fi cado

l ambda21 1000 0, 800 0, 020

l ambda31 1000 1, 301 0, 027

gama11 1000 0, 500 0, 038

gama12 1000 1, 000 0, 039

gama13 1000 1, 499 0, 041

phi 11 1000 0, 998 0, 044 Var X1

phi 12 1000 0, 001 0, 031 Cov( X1, X2)

phi 22 1000 1, 000 0, 044 Var X2

phi 13 1000 0, 000 0, 031 Cov( X1, X3)

phi 23 1000 0, 001 0, 032 Cov( X2, X3)

phi 33 1000 0, 999 0, 044 Var X3

t het a11 1000 0, 996 0, 061 Var 1

t het a22 1000 0, 999 0, 054 Var 2

t het a33 1000 0, 998 0, 078 Var 3

psi 11 1000 0, 995 0, 064 Var 1

Ajuste do modelo incorretoO coeficiente do indicador incorretamente especificado e a variância do erro da variável latente tiveram estimativas bem diferentes do valorcorreto.

Parâmetro N Média EsperadoDesv. PadrãoSignificadogama11 1000 0,095 0,500 0,015Lambda21 1000 0,801 0,800 0,020Lambda31 1000 1,302 1,300 0,027gama12 1000 0,996 1,000 0,042gama13 1000 1,494 1,500 0,045phi11 1000 0,961 - 0,042 Var 4

phi22 1000 0,999 1,000 0,045 Var X2

phi23 1000 -0,001 0,000 0,031 Cov (X2,X3)

phi33 1000 1,000 1,000 0,046 Var X3

theta11 1000 0,996 1,000 0,063 Var 1

theta22 1000 0,995 1,000 0,055 Var 2

theta33 1000 0,979 1,000 0,083 Var 3

psi11 1000 1,272 1,000 0,080 Var 1

Ajuste do modelo incorreto

O ajuste do modelo incorreto foi sempre muito ruim.

Valor médio do 2 = 144,9.

Mínimo valor do 2 = 83,7.

Desvio padrão do 2 = 22,7.

Todos os valores-p foram menores do que 0,00001 (rejeitando para todas as amostras).

Invertendo a relação de causa entre X2 e 1 e entre X3 e 1

Médiagama

Médiapsi11

X2 (gama12 =1) 0,207 2,083

X3 (gama13 = 1,5) 0,326 3,373

Re-especificação do modelo incorreto O índice de modificação aponta para a existência de uma

correlação muito grande entre o erro de X1 (4) e o erro do constructo.

Maiores índices de modificação para covariâncias de X1, X2 e X3 com 4. Maiores resíduos também.

A inclusão dessa correlação no modelo por si só corrige o problema do mau ajuste.

O modelo reespecificado passa a ter um bom ajuste mas não é o modelo correto sob o qual os dados foram gerados.

Conclusão das simulações

A especificação incorreta faz o ajuste ser muito ruim.

A maior parte dos parâmetros são estimados corretamente.

O erro do constructo tem sua variância incorretamente estimada.

A re-especificação do modelo leva a um modelo de bom ajuste, mas incorreto.

Simulação: MIMIC com indicadores formativos correlacionadosModelo correto: média do 2 = 6,08

Simulação: a, b, c ~ N(0,1)

X1 = a

X2 = 1,5 X1 + b

X3 = 0,5 X2 + c

Mudança nas estimativas de 11, 12 e 13

(a variância 11 foi pouco afetada)

Ajuste do modelo incorreto

Par âmet r o N Médi a D. P. Si gni fi cado

l ambda21 1000 0, 800 0, 800 0, 010

l ambda31 1000 1, 301 1, 300 0, 013

gama11 1000 0, 195 0, 500 0, 005

gama12 1000 1, 263 1, 000 0, 030

gama13 1000 1, 457 1, 500 0, 038

phi 11 1000 0, 386 0, 018 Var

phi 22 1000 3, 245 3, 250 0, 140 Var X2

phi 23 1000 1, 624 1, 600 0, 089 Cov( X2, X3)

phi 33 1000 1, 812 1, 800 0, 082 Var X3

t het a11 1000 1, 007 1, 000 0, 060 Var 1

t het a22 1000 0, 999 1, 000 0, 052 Var 2

t het a33 1000 1, 016 1, 000 0, 076 Var 3

psi 11 1000 1, 051 1, 000 0, 064 Var 1

Outras simulações do modelo MIMIC 3 indicadores formativos e 5 indicadores reflexivos.

5 indicadores formativos e 3 indicadores reflexivos.

Com 2 constructos, sendo um sem indicadores formativos e causado pelo outro.

Mesmas conclusões

Conclusões

A relação de causa nem sempre é estudada como deveria ao se postular um modelo estrutural;

A Análise Fatorial com seus indicadores reflexivos parece ser um padrão também adotado nos modelos estruturais;

Os modelos estruturais são muitas vezes utilizados com a direção causal incorretamente especificada;

A literatura especializada ainda é muito pobre na abordagem dos indicadores formativos;

Conclusões

Vimos que há possibilidade de indicadores formativos estarem sendo incorretamente especificados, e na busca do bom ajuste, o modelo todo estar sendo re-especificado de forma incorreta.

Modelos de Equações Estruturais

Lúcia P. Barroso

lbarroso@ime.usp.br