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Macroeconomia I
Modelos de Crescimento Endógeno: AK, e Learning-by-Doing e P&D
Edilean Aragón
PPGE/UFPB
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1. Introdução
• Nos modelos de Solow e de Ramsey, temos que: – a taxa de crescimento per capita no estado estacionário é igual a taxa de
progresso tecnológico suposta exógena; – mudanças na taxa de poupança não afetam a taxa de crescimento das
variáveis expressas em termos per capita.
• Motivo: capital apresenta retornos decrescentes.
• No modelo AK, os retornos para o capital são sempre constantes. – Essa suposição é razoável se pensarmos o capital como a soma de capital
físico e humano.
• Retornos constantes podem gerar crescimento endógeno. – Não é necessário supor que alguma variável (por exemplo, tecnologia) cresça
a uma taxa exógena para gerar crescimento do produto per capita no longo prazo.
• Nós combinaremos a tecnologia AK com o comportamento otimizador de famílias e firmas. Nós verificaremos se a alocação de uma economia descentralizada é ótima no sentido de Pareto.
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1. Introdução
• Adicionalmente, nós estudaremos o modelo de learning-by-doing com transbordamento de conhecimento.
• Embora o modelo resulte em crescimento endógeno, a solução encontrada não é um ótimo de Pareto. – Esse resultado tem importantes implicações para formulação de políticas
governamentais.
• Por fim, nós apresentaremos o modelo crescimento para uma economia com dois setores: um que produz bens e outro que produz conhecimento. Nós estudaremos quais são as varáveis que determinam a taxa de crescimento do conhecimento e do produto por trabalhador nesse modelo.
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2. O modelo AK
2.1 Famílias
• Famílias vivendo infinitamente maximizam utilidade, dada por:
sujeita a restrição:
• Impõe-se a condição non-Ponzi game, dada por:
• As condições para otimização são:
1( )
0
1(1)
1
n t cU e dt
( ) (2)a r n a w c
0lim ( )exp [ ( ) ] 0 (3)
t
ta t r v n dv
/ (1/ )( ) (4)c c r
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e a condição de transversalidade
2.2 Empresas
• Firmas tem uma função de produção linear:
• Observe que o PMgK não é decrescente (f´´= 0) e as condições de Inada são violadas (f´(k) = A quando k tende para 0 ou infinito).
• Condição de maximização de lucro:
2.3 Equilíbrio
• Para uma economia fechada, a = k é mantido.
0lim ( )exp [ ( ) ] 0 (5)
t
ta t r n d
( ) (6)y f k Ak
(7)R r ou r A
6
• Substituindo a = k e (7) em (2), (4) e (5), chegamos a
• Sendo c(0) o consumo em t = 0, c(t) é dado por:
• Assume-se que
isto é, a função de produção é suficientemente produtiva para assegurar crescimento em c, mas não para assegurar uma utilidade ilimitada.
• (9) mostra que o consumo sempre crescerá a uma taxa constante e independente de k. Assim, não há dinâmica de transição e a economia está sempre no SS.
( )
( ) (8)
(1/ )( ) (9)
lim ( ) 0 (10)A n t
t
k A n k c
c c A
k t e
(1/ )( )( ) (0) (11)A tc t c e
( )(1 ) (12)A A n
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• Dividindo (8) por k, pode-se expressar c/k como:
• No estado estacionário, o crescimento do capital per capita é constante. Logo, c/k é constante e k (e y) crescem a mesma taxa que c, dada por (9).
– No modelo AK, isso não é válido apenas no SS, mas em todo o tempo.
2.4 A dinâmica de transição
• Substituindo (11) em (8):
• A solução geral desta ED é:
onde
/ ( ) /c k A n k k
(1/ )( )( ) (0) A tk A n k c e
( ) (1/ )( )( ) (constante) [ (0) / ] (13)A n t A tk t e c e
( )( 1) / / ( ) 0 (14)A n A n
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onde γ é dado por (9).
• Substituindo (13) na condição de transversalidade (10), temos:
• Como c(0) é finito e φ > 0, o segundo termo dentro das chaves converge para zero. Assim, a condição de transversalidade requer que a constante seja zero.
• Assim, (11) e (13) implicam que:
• Visto que y = Ak, segue que y, k e c crescem a mesma taxa, dada por (16). O modelo não tem dinâmica transacional. As variáveis k, c e y começam em k(0), c(0)= φk(0) e y(0)=Ak(0) e crescem sempre a mesma taxa.
lim constante+[ (0) / ] 0t
tc e
( ) ( ) (15)
/ / (1/ )( ) (16)
c t k t
k k c c A
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• Pode-se observar ainda que um aumento permanente de n não afeta a taxa de crescimento (16), mas reduz o consumo per capita [ver (14) e (15)].
• Por outro lado, mudanças em A, θ e ρ afetam a taxa de crescimento e o nível de c e k.
• A taxa de poupança é dada por:
2.5 Determinantes do crescimento
• No modelo AK, taxa de crescimento de longo prazo depende dos parâmetros que determinam o desejo de poupar e a produtividade do capital.
( 1)( ) / (1/ )( / ) (17)
A ns K K Y A k k n
A
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• Valores mais baixos para ρ e θ (que indicam um aumentam o desejo de poupar) implicam em uma taxa de poupança mais alta (ver eq. 17) e uma taxa de crescimento (ver eq. 16) mais elevada.
• Um aperfeiçoamento da tecnologia (A) aumenta a produtividade marginal e média do capital, e também aumenta a taxa de crescimento per capita.
• Em contraposição, no modelo de Ramsey, as variáveis per capita crescem, no longo prazo, a taxa de progresso tecnológico, considerada como exógena. Um aumento no desejo de poupar ou em A aumenta o nível do capital e produto por trabalhador efetivo, mas não afeta a taxa de crescimento per capita.
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• Quantitativamente, o tamanho da diferença entre o modelo neoclássico e o modelo AK depende de quão rapidamente os retornos são decrescentes, o que determina por sua vez quão rapidamente a economia converge para o estado estacionário.
• Se os retornos decrescem lentamente, o período de convergência é longo. Assim, um aumento no desejo de poupar ou na produtividade pode afetar a taxa de crescimento per capita do modelo de Ramsey por um longo tempo, ainda que não seja para sempre.
• Assim, as diferenças entre os dois modelos ganham mais importância se a convergência ocorre rapidamente.
Problema do modelo: não prevê convergência absoluta ou condicional.
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Importante: o equilíbrio no modelo AK é ótimo de Pareto.
• Problema do planejador social benevolente com a mesma forma de função objetivo que a família representativa.
• Das CPO, pode-se demonstrar que:
• No qual é a mesma taxa de crescimento observada para a economia descentralizada [ver eq. (9)]
/ (1/ )( )c c A
1( )
0
1max
1
. ( ) ; ( ) 0; (0) .
n t ce dt
s a k Ak c n k c t k dado
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3. O modelo de um setor com capital físico e humano
• Função de produção:
onde H denota o capital humano. (18) apresenta retornos constantes de escala em K e H.
• Função de produção na forma intensiva:
onde f´(H/K) > 0.
• Produto pode ser usado (na base de um para um) para consumo, investimento em capital físico ou investimento em capital humano.
( , ) (18)Y F K H
( / ) (19)Y Kf H K
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• Os estoques de capital físico e capital humano depreciam-se a taxas δK e δH, respectivamente.
• L é suposta constante, de modo que, mudanças em H refletem apenas investimento líquido em capital humano.
• Deixe RK e RH serem os preços do aluguel pago por firmas competitivas pelo uso dos dois tipos de capital.
• Na ausência de barreiras à entrada, a condição de maximização de lucro e lucro zero implicam que os PMg de cada fator sejam iguais ao preço do aluguel:
• Visto que os dois tipos de capital são substitutos perfeitos entre si e com os bens de consumo, o preço de cada capital pode ser fixado em 1.
/ ( / ) ( / ) (́ / ) (20)
/ (́ / )
K
K
Y K f H K H K f H K R
Y H f H K R
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• Assim, as taxas de retorno dos proprietários de capital são RK - δK e RH – δH. Em equilíbrio, cada taxa de retorno deve ser igual a taxa r.
• Usando (20), a igualdade entre as taxas de retorno implicam que:
• Esta condição determina um único valor constante de H/K.
• Se definirmos A = f(H/K), então (19) implica que Y = AK. Assim, este modelo com dois tipos de capital é essencialmente o mesmo que o modelo AK.
• Isto mostra que se considerarmos K como uma proxy de capital físico e humano e retornos constantes para os dois tipos de capital, então o modelo AK pode ser visto como uma representação satisfatória deste modelo ampliado.
( / ) (́ / )(1 / ) (21)K Hf H K f H K H K
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4. Modelos com Learning by Doing e Spillovers de Conhecimento
4.1 Tecnologia
• Frankel (1962), Griliches (1979), Romer (1986), Lucas (1988) e outros tem construído modelos de crescimento endógeno onde efeitos transbordamentos tem uma importância central.
• Romer (1986) é o trabalho que tem exercido maior influência. Ele elimina a tendência de retornos decrescentes do capital ao assumir que a criação de conhecimento é um resultado do investimento.
• Uma firma que aumenta seu capital físico aprende simultaneamente como produzir com maior eficiência. Este efeito positivo é chamado de learning by doing (aprendizado pela prática).
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• Considere a função de produção para firma i:
• F(.) apresenta retornos constantes de escala, retornos marginais positivos e decrescentes para cada fator e satisfaz as condições de Inada.
• Tecnologia é aumentadora de trabalhado.
– Um estado estacionário existe quando Ai cresce a uma taxa constante (mas não exógena).
• A força de trabalho agregada, L, é suposta constante.
• Duas suposições sobre o crescimento da produtividade. Primeira, um aumento do estoque de capital da firma leva a um aumento no seu estoque de conhecimento.
• Isso reflete a ideia de Arrow (1962) de que conhecimento e ganhos de produtividade vem do investimento e produção.
( , ) (22)i i i iY F K AL
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• A segunda suposição é que o conhecimento de cada firma é um bem público que pode ser acessado por outras a um custo zero.
• Esta suposição implica que a mudança no termo de tecnologia de cada firma, Ȧi, corresponde a um aprendizado global da economia, Ȧ, e é, por isso, proporcional a uma mudança do estoque de capital agregado, dK/dt.
• Combinando essas duas suposições, nós podemos trocar Ai por K em (22):
• Se K e Li são constantes, cada firma depara-se com retornos decrescentes em Ki. Entretanto, se cada firma expandir Ki, então K aumenta e provoca um benefício do transbordamento que aumenta a produtividade de todas as firmas.
( , ) (23)i i iY F K KL
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• Além disso, (23) é homogênea de primeiro grau em Ki e K para um dado Li, isto é, há retornos constantes para o capital em nível agregado.
• É importante destacar que, por um lado, a suposição de transbordamento é natural porque o conhecimento é não rival.
• Por outro lado, as firmas tem incentivos para manter as suas descobertas em segredo e há proteção formal para isso (as patentes). Assim, inovações geram vantagens competitivas por algum tempo para a firma inovadora.
• A suposição extrema utilizada aqui, de que todas as descobertas tornam-se de conhecimento comum, permite manter a estrutura de competição perfeita.
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• O lucro da firma:
• Assumi-se que cada firma é pequena o suficiente para negligenciar sua própria contribuição para K, tomando assim essa variável como dada.
• Condição de maximização de lucro e lucro-zero:
onde F1(.) é o PMg do capital privado, ki.
• No equilíbrio, todas as firmas fazem a mesma escolha, de modo que ki = k e K = kL pode ser aplicado. Como F(ki, K) é homogênea de grau 1 em ki e K, o produto médio do capital pode ser expresso como:
onde f(L) – o PMe do capital – satisfaz f´(L) > 0 e f´´(L) < 0.
[ ( , ) ( ) ] (24)i i iL F k K r k w
1
1
/ ( , ) (25)
/ ( , ) ( , )
i i i
i i i i i
y k F k K r
Y L F k K k F k K w
( , ) / ( / ) ( ) (26)i i iF k K k f K k f L
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• Usando (26), o PMg do capital privado pode ser expresso como:
• Vê-se que esse PMg é menor que PMe, f(L), e invariante com relação a k.
1( , ) ( ) (́ ) (27)iF k K f L Lf L
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4.2 Equilíbrio
• Supondo que a economia é fechada e com famílias maximizadoras de utilidade que vivem infinitamente, temos que a restrição orçamentária é dada por (2), a taxa de crescimento do consumo per capita por (4) e a condição de transversalidade por (5).
• Usando a condição r = F1(ki,K) - δ e (27), então (4) fica:
• Como no modelo AK, (28) é constante pois L está fixado.
• Assume-se também que os parâmetros são tais que (ver eq. 12):
/ (1/ )[ ( ) (́ ) ] (28)c c f L Lf L
( ) (́ ) (1 )[ ( ) (́ ) ]/ (29)f L Lf L f L Lf L
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• Substituindo a = k e a CPO (25) em (2), chega-se a:
• Usando (30) e a condição de transversalidade (5), é possível demonstrar que o modelo não apresenta dinâmica de transição: k e y sempre crescem a mesma taxa que c, (28).
4.3 Não-otimalidade de Pareto e implicações de política
• Para verificar se o resultado acima é ótimo no sentido de Pareto, compara-se a solução de uma economia descentralizada com a solução do problema de um planejador central benevolente.
• O planejador maximiza (1) (com n igual a 0) sujeito a restrição de acumulação (30).
( ) (30)k f L k c k
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• Diferente do produtor individual, o planejador reconhece que o aumento do estoque de capital de uma firma eleva o capital agregado e, assim, contribui para aumentar a produtividade das demais firmas. Ele internaliza o transbordamento de conhecimento.
• O Hamiltoniano é dado por:
• Da manipulação das CPO, pode-se chegar a:
• (31) mostra que o planejador ajusta a taxa de crescimento de c de acordo com a PMe do capital, f(L).
• Para uma economia descentralizada, (28) mostra que a taxa de crescimento de c é ajustada de acordo a PMg do capital privado.
• Como PMg do capital privado < PMe do capital, então a taxa de crescimento é menor em uma economia descentralizada.
1( 1) /(1 ) [ ( ) ]tJ e c v f L k c k
/ (planejador) (1/ )[ ( ) ] (31)c c f L
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• Em termos de implicações de políticas, é possível que o ótimo social possa ser alcançado em uma economia descentralizada através da compra subsidiada de bens de capital.
• Uma alternativa para encontrar o ótimo social é o governo subsidiar a produção.
• Para evitar outras distorções, os subsídios ao capital ou produção devem ser financiados com impostos lump-sum.
4.4 Um exemplo
• Considere a função de produção Cobb-Douglas:
• Substituindo yi = Yi/Li, ki = Ki/Li e k = K/L, e ajustando yi = y e ki = k, o PMe do capital é:
1( ) ( ) (32)i i iY A K KL
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• Derivando (32) com relação a Ki, mantendo K e L fixados e substituindo ki = k, temos que o PMg do capital privado é:
• Como 0 < α < 1, então temos que o PMg (34) é menor que o PMe (33).
• Substituindo (34) em (28), temos que a taxa de crescimento para uma economia descentralizada é:
• Substituindo (33) em (31), temos que a taxa de crescimento para o planejador social é:
1/ ( ) (33)y k f L AL
1/ (34)i iY K A L
1/ (1/ )[ ] (35)c c A L
1/ (planejador) (1/ )[ ] (36)c c AL
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• Como α < 1, então (35) < (36).
• O ótimo social pode ser encontrado na economia descentralizada se o governo introduzir um subsídio a produção de taxa igual a (1 - α)/α.
• Uma alternativa seria o governo conceder um crédito fiscal para o investimento com taxa de 1 - α e financiá-lo com imposto lump-sum.
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5. Modelos de Pesquisa e Desenvolvimento (P&D)
5.1 Suposições
• Progresso tecnológico é uma possível razão pela qual as economias atualmente produzam uma maior quantidade bens, dado a quantidade de trabalho e capital.
• Nesta seção, nós introduziremos um setor de P&D e estudaremos a produção de novas tecnologias.
• Nos assumiremos que capital, trabalho e tecnologia são utilizadas pelo setor de P&D para a produção de nova tecnologia (novo conhecimento).
• O modelo é uma versão simplificada dos modelos apresentados por Romer (1990), Grossman e Helpman (1991) e Aghion e Howitt (1992).
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• A economia tem dois setores: o setor que produz bens e o setor de P&D.
• A quantidade de produto produzido no tempo t é dada por:
onde 1-aK (1-aL) é a fração do capital (força de trabalho) usado no setor que produz bens. A função de produção (37) implica em retornos constantes em K e L.
• A produção de novas ideias é dada por:
onde B é um parâmetro de deslocamento.
• Observe que nós não assumimos que a função de produção de conhecimento apresenta retornos constantes de escala em K e L (a ideia de replicação não faz sentido).
• Nós consideramos a possibilidade de retornos decrescentes ou de retornos crescentes para essa função.
1( ) [(1 ) ( )] [ ( )(1 ) ( )] , 0 1 (37)K LY t a K t A t a L t
( ) [ ( )] [ ( )] ( ) , 0, 0, 0 (38)K LA t B a K t a L t A t B
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• O parâmetro θ mede o efeito do conhecimento existente sobre o sucesso da P&D. Ele pode ser positivo ou negativo.
• Se as descobertas do passado proveem ideias e ferramentas que facilitam novas descobertas, então θ > 0.
• Se as descobertas mais fáceis são feitas primeiramente, então pode ser mais difícil fazer novas descobertas quando o estoque de conhecimento é grande. Neste caso, θ < 0.
• A taxa de poupança (s) é suposta exógena e constante, e a taxa depreciação é igual a zero. Assim:
• A população cresce a uma taxa constante e igual a n. Logo:
( ) ( ) (39)K t sY t
( ) ( ), 0 (40)L t nL t n
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5.2 O modelo sem capital
• Quando não há capital, temos que:
• Aplicando Ln em ambos os lados de (43) e diferenciando com relação a t, temos:
• Multiplicando ambos os lados de (44) por gA(t), temos:
• Os valores iniciais de L e A e os parâmetros do modelo determinam o valor inicial de gA, e (45) determina o seu comportamento subsequente.
( ) ( )(1 ) ( ) (41)LY t A t a L t
( ) [ ( )] ( ) (42)LA t B a L t A t 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (43)A Lg t A t A t Ba L t A t
( )( 1) ( ) (44)
( )
AA
A
g tn g t
g t
2( ) ( ) ( 1)[ ( )] (45)A A Ag t ng t g t
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• Para analisarmos como a taxa de crescimento de gA se comporta (e assim caracterizarmos o comportamento de Y/L), vamos analisar três casos: θ < 1, θ > 1, e θ = 1.
Caso 1: θ < 1
• A Figura a seguir mostra o diagrama de fases para gA quando θ < 1. Veja que (42) implica que gA (dado por 43) é sempre positivo. Para pequenos (grandes) valores de gA , ġA é positivo (negativo).
• O valor de gA que implica em ġA = 0 é dado por:
• Veja que, independente das condições iniciais, gA converge para g*A .
• Quando gA alcança g*A , A e Y/L crescem a uma taxa constante e igual a
(46). A economia está na trajetória de crescimento equilibrado.
* (46)1
Ag n
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34
• O modelo apresenta crescimento endógeno: a taxa de crescimento de Y/L no longo prazo é determinada dentro do modelo, e não por uma taxa exógena de crescimento tecnológico.
Implicação 1: g*A é uma função crescente de n. Além disso, crescimento
populacional positivo é necessário para o crescimento sustentado de Y/L.
Problema: crescimento de Y/L não é mais rápido em países com maiores valores de n.
• Se pensarmos neste modelo como um modelo de crescimento para a economia mundial, a implicação acima é razoável. – Quanto maior a população mundial, maior a quantidade de pessoas fazendo
novas descobertas.
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Implicação 2: a fração da força de trabalho engajada no setor de P&D, aL, não afeta o crescimento de longo prazo. – Poderíamos esperar que, como o progresso tecnológico é endógeno, um
aumento na fração de recursos da economia destinados ao setor de P&D levasse a um aumento do crescimento no longo prazo.
• A implicação 2 é observada porque, com θ < 1, o aumento de aL tem um efeito de nível, mas não um efeito de crescimento sobre a trajetória de A.
• Porque a contribuição de conhecimento adicional para produzir novo conhecimento é limitada, o aumento de gA não é sustentado.
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Caso 2: θ > 1
• Este corresponde ao caso em que a produção de novo conhecimento aumenta mais que proporcionalmente com o estoque existente.
• A eq. (45) implica que ġA é crescente em gA. O diagrama de fases é apresentado abaixo.
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Implicação 1: a economia exibe um crescimento sempre crescente, ao invés de convergir para uma trajetória de crescimento equilibrado. – Grande importância do conhecimento: Um aumento marginal no nível de
conhecimento gera um aumento tão grande de novo conhecimento que a taxa de crescimento do conhecimento aumenta.
Implicação 2: um aumento de aL causa uma elevação em gA e, consequentemente, em ġA .
Caso 3: θ = 1
• Neste caso, as expressões (43) e (45) são simplificadas para:
• Se n > 0, gA é crescente no tempo. A dinâmica é similar a caso θ > 1. O diagrama de fases é apresentado na figura a seguir.
( ) ( ) (47)A Lg t Ba L t
( ) ( ) (48)A Ag t ng t
38
39
• Se o crescimento populacional é zero, gA é constante independente da sua situação inicial. – Não há ajustamento para a trajetória de crescimento equilibrado: de
imediato, as variáveis conhecimento, produto e produto por trabalhador crescem todas a uma taxa igual Baγ
L Lγ.
Implicação 1: aL afeta a taxa de crescimento de longo prazo da economia.
• Observe que, neste modelo, o produto é usado apenas para o consumo. Assim, 1-aL denota a fração de recursos da economia destinados à produção de bens para o consumo corrente, enquanto que aL é a fração de recursos destinados à produção de um bem (conhecimento) que aumenta o produto no futuro.
• Logo, nós podemos pensar em aL como uma mensuração da taxa de poupança.
• Tal como no modelo AK, este modelo implica que a taxa de poupança afeta o crescimento de longo prazo.
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5.3 O caso geral
• Quando introduzimos capital, o modelo passa a ser descrito pelas equações (37)-(40). Nesse caso, há duas variáveis de estoque endógenas, A e K.
• Substituindo (37) em (39), temos:
• Dividindo ambos os lados por K(t) e definindo cK = s(1-aK)α(1-aL)1-α, temos:
• Aplicando Ln em ambos os lados e diferenciando com relação ao tempo, obtemos:
1 1 1( ) (1 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) (49)K LK t s a a K t A t L t
1
( ) ( )( ) ( ) ( ) (50)
( )K K
A t L tg t K t K t c
K t
( )(1 )[ ( ) ( )] (51)
( )
KA K
K
g tg t n g t
g t
41
• (50) mostra que gK é sempre positivo. Assim, gK está crescendo quando gA + n - gK é positivo, caindo se essa expressão é negativa, e constante se gK = gA + n.
42
• Dividindo ambos os lados de (38) por A(t), temos:
• Aplicando Ln de ambos os lados e diferenciando com relação ao tempo, temos:
• Assim, gA está crescendo quando βgK + γn + (θ-1)gA é positiva, caindo se essa expressão é negativa, e constante se ela é igual a zero. Observe que ġA = 0 implica que:
• A figura a seguir apresenta o locus ġA = 0 para o caso em que θ < 1.
1( ) ( ) ( ) ( ) (52)A Ag t c K t L t A t
( )( ) ( 1) ( ) (53)
( )
AK A
A
g tg t n g t
g t
1(54)K A
ng g
43
44
• Observe que a função de produção (37) apresenta retornos constantes de escala em K e A.
• Nesta situação, a existência de retornos líquidos de escala constantes, decrescentes ou crescentes dependerá dos retornos de escala na função de produção de conhecimentos (38). – O grau de retornos de escala na produção de conhecimento é dado por β+θ:
aumentando K e A em um fator X, a produção de conhecimento eleva-se por um fator Xβ+θ.
• Agora, para sabermos a chave determinante do comportamento da economia no longo prazo, devemos comparar β+θ com 1. – Nós analisaremos dois casos: i) β + θ < 1; e ii) β + θ = 1 com n = 0.
– Os casos β + θ > 1 e β + θ = 1 com n > 0 tem implicações semelhantes ao de θ > 1 no modelo visto na seção 5.2
45
Caso 1: β + θ < 1
• β + θ < 1 implica que (1- θ)/β > 1. Assim, o locus ġA é mais inclinado que o locus ġK. O diagrama de fases é apresentado na figura a seguir.
• Os valores de gA e gK são determinados pelos parâmetros do modelo e pelos valores iniciais de A, K e L.
• Independente de onde gA e gK comecem, eles convergirão para o ponto E. Nesse ponto, ġA = ġK = 0 e logo:
• Sabendo que g*K = g*
A + n, substituindo isso em (56) e resolvendo para g*
A , temos:
* *
* *
0 (55)
( 1) 0 (56)
A K
K A
g n g
g n g
* (57)1 ( )
Ag n
46
47
• Resultados (semelhantes ao caso θ <1):
– Taxa de crescimento de longo prazo da economia é endógena;
– Crescimento de longo prazo é uma função crescente do crescimento populacional;
– Crescimento populacional zero implica em crescimento de longo prazo igual a zero;
– aK e aL não afetam o crescimento de longo prazo.
Caso 2: β + θ = 1 e n = 0
• Neste caso, as expressões dos locus ġA = 0 e ġK = 0 são ambas dadas por gK = gA. O diagrama de fases é mostrado a seguir.
• Independente de onde a economia comece, a dinâmica gK e gA levam a economia para a linha de 45 graus. Nesta linha, gK e gA são constantes e a economia está na sua trajetória de crescimento equilibrado.
48
49
• O modelo não diz qual é a trajetória para qual a economia converge, mas é possível demonstrar que, dado os valores dos parâmetros, há apenas uma trajetória de crescimento equilibrado.
Referência
Barro, R. e Sala-i-Martin, X. Economic Growth, 2ª ed., cap. 4.
Romer, D. Advanced Macroeconomics, 3ª ed., cap. 3, seções 3.1-3.3.
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