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Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br 1

Modelagem no Domínio da Frequência

Carlos Alexandre Mello

2 Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br

Transformada de Laplace

O que são Transformadas?

Quais as mais comuns: Laplace

Fourier

Cosseno

Wavelet

A transf. de Laplace representa entrada, saída e sistema como entidades separadas

A relação entre elas é algébrica

Transformada de Laplace:

onde s = + j é uma variável complexa

F(s) é dita a transformada de Laplace de f(t)

O limite inferior da integral anterior significa que mesmo que f(t) seja descontínua em t = 0, podemos começar a integração apesar da descontinuidade, contanto que a integral convirja

Podemos assim encontrar a transf. de Laplace da função impulso

Transformada Inversa de Laplace

Em geral, o cálculo da transformada inversa é bastante custoso, pois envolve o cálculo de integrais complexas

Mas o conjunto de funções importantes para a área de controle é pequeno, permitindo o uso de tabelas que fazem o mapeamento dessas funções e de suas transformadas

Vamos ver, a seguir, o cálculo de algumas transformadas mais comuns:

Algumas transformadas conhecidas

Propriedades

Exemplo 1:

Exemplo 2: Transformada Inversa

Pelo teorema do deslocamento em frequência e pela transformada de Laplace de f(t) = t.u(t):

Se: F(s) = 1/s2 → f(t) = t.u(t)

e: F(s + a) = 1/(s + a)2 → f(t) = e-att.u(t)

Então: F1(s) = 1/(s + 3)2 → f(t) = e-3tt.u(t)

Transformada Inversa: Expansão em Frações Parciais Por exemplo, calcule a transformada inversa de:

Nesse caso, podemos re-escrever a expressão como:

que, por linearidade, leva à transf. inversa:

Assim, a Expansão em Frações Parciais é uma ferramenta matemática bastante útil no cálculo da transf. de Laplace

Objetivo matemático: Simplificar uma função, expandindo-a em funções de menor grau

Objetivo para controle: Facilitar o cálculo da transf. de Laplace

Métodos: Clearing Fractions

Heaviside Cover-Up (ou Resíduos)

Expansão em Frações Parciais (Clearing Fractions) Exemplo:

Fonte: aula de Sinais e

Sistemas do prof. Aluízio

Ribeiro.

Expansão em Frações Parciais (Heaviside Cover-Up ou Resíduos) Exemplo:

Ribeiro.

Expansão em Frações Parciais (Uso dos dois métodos) Exemplo:

Ribeiro.

Expansão em Frações Parciais Caso 1: Raízes do denominador são reais e distintas

Caso 2: Raízes do denominador são reais e repetidas

Caso 3: Raízes do denominador são complexas

Uso de Transf. de Laplace: Resolução de Equações Diferenciais: Resolva a

seguinte equação diferencial para y(t) com todas as condições iniciais nulas

A transformada de Laplace para y(t) é:

que leva a:

Uso de Transf. de Laplace: Resolução de Equações Diferenciais (cont):

Por expansão em frações parciais:

Expansão em Frações Parciais – MatLab Exemplo:

-4s + 8

s2 + 6s + 8

s - p1

= + + ... + + ks r2

s - p2

s - pn

Expansão em Frações Parciais – MatLab Exemplo (cont): Volta ao polinômio original

s2 + 6s + 8

-4s + 8

Função de Transferência

A função de transferência retrata a relação entre a saída e a entrada de um sistema

Tal relação pode ser expressa em função da transf. de Laplace

Geralmente, as funções de entrada e saída se relacionam através de uma equação diferencial linear e invariante no tempo de n-ésima ordem:

onde y(t) é a saída e x(t) é a entrada do sistema

Dada a equação diferencial linear e invariante no tempo de n-ésima ordem:

Calculando a transf. de Laplace:

Se as condições iniciais forem nulas:

Ou seja:

G(s) é a Função de Transferência

Função de Transferência como diagrama de bloco:

E podemos encontrar a saída de um sistema dada a entrada e sua função de transferência: Y(s) = G(s).X(s)

X(s) Y(s)

A função de transferência de um sistema é um modelo matemático no sentido que constitui um método operacional de expressar a equação diferencial que relaciona a entrada à saída do sistema

A função de transferência é uma propriedade intrínseca do sistema, independentemente da magnitude e da natureza do sinal de entrada

A função de transferência relaciona a entrada à saída, mas não fornece qualquer informação quanto à estrutura física do sistema diferentes sistemas podem ter a mesma função de

transferência

Se a função de transferência de um sistema for conhecida, a saída pode ser estudada para várias formas de entrada a fim de entender a natureza do sistema

Se a função de transferência for desconhecida, ela pode ser inferida experimentalmente introduzindo-se sinais de entrada conhecidos e analisando o sinal de saída Uma vez estabelecida, a função de transferência

fornece uma descrição completa das características dinâmicas do sistema

Quando a entrada é a função impulso, temos: Y(s) = G(s).X(s)

X(s) = 1 Y(s) = G(s)

cuja transformada inversa daria g(t)

Essa é a chamada resposta impulsional do sistema e também sua função de transferência

Portanto, é possível obter informação completa sobre as características de um sistema excitando-o com um impulso unitário e medindo a sua resposta

Na prática, seria um pulso de duração bastante curta

Diagrama de blocos Representação gráfica das funções desempenhadas por

cada um dos componentes de um sistema e do fluxo de sinais entre eles

Todas as variáveis são ligadas umas às outras através de blocos funcionais

O bloco traz a representação matemática da operação aplicada sobre a entrada que leva à saída

O diagrama de bloco de um sistema não é único

Diagrama de blocos Elementos:

G(s) X + -

X(s) E(s) Y(s)

Ponto de

Soma Ponto de

Ramificação

Sistema de malha fechada

Diagrama de blocos Outros tipos:

G(s) X + -

X(s) E(s) Y(s)

Y(s) = E(s)G(s) = [X(s) – B(s)]G(s) = [X(s) – Y(s)H(s)]G(s)

Y(s) + Y(s)H(s)G(s) = X(s)G(s)

Y(s)/X(s) = G(s)/[1 + H(s)G(s)] (Função de Transferência do sistema)

Diagrama de blocos Outros tipos:

G1(s) X + -

X(s) Y(s)

G2(s) X + +

Perturbação

Se D(s) = 0:

Y(s)/X(s) = G1(s)G2(s)/[1 + G1(s)G2(s)H(s)] (Função de Transferência do sistema)

Exemplo 1: Ache a função de transferência do sistema representado por: dy(t)/dt +2y(t) = x(t)

Solução: Tomando a transf. de Laplace:

sY(s) + 2Y(s) = X(s)

(s + 2)Y(s) = X(s)

G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)

Exemplo 2: Dada a função de transferência anterior, ache a resposta do sistema para um degrau unitário; considere nulas as condições iniciais: x(t) = u(t)

G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)

X(t) = u(t) X(s) = 1/s

Logo: Y(s) = G(s).X(s)

Y(s) = 1/[s.(s + 2)]

Y(s) = 0,5/s – 0,5/(s + 2) Expansão em Frações Parciais

y(t) = 0,5 – 0,5e-2t

Exemplo 2 (cont.): Solução total pelo MatLab

Exercício 1: Ache a função de transferência da equação diferencial:

Solução: Tomando a transf. de Laplace: Y(s)(s3 + 3s2 + 7s + 5) = X(s)(s2 + 4s + 3)

Logo: G(s) = Y(s)/X(s) = (s2 + 4s + 3)/(s3 + 3s2 + 7s + 5)

Exercício 2: Ache a equação diferencial correspondente à seguinte função de transferência: G(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)

Solução: G(s) = Y(s)/X(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)

Logo: Y(s)(s2 + 6s + 2) = X(s)(2s + 1)

s2Y(s) + 6sY(s) + 2Y(s) = 2sX(s) + X(s)

d2y/dt2 + 6dy/dt + 2y = 2dx/dt + x

Exercício 3: Ache a resposta a uma rampa para um sistema cuja função de transferência é: G(s) = s/[(s + 4)(s + 8)]

Solução:

Função de Transferência de Circuitos

Elétricos

Modelagem matemática de circuitos elétricos Resistores, capacitores e indutores

Componentes são combinados em circuitos e encontramos a função de transferência

Elétricos

Rede RLC Problema: Encontrar a função de transferência que

relaciona a voltagem do capacitor (Vc(s)) com a voltagem de entrada (V(s))

Elétricos

Rede RLC Somando as voltagens no laço e considerando nulas as

condições iniciais, temos a seguinte equação diferencial para essa rede:

Considerando:

Temos:

Elétricos

Rede RLC

A voltagem de um capacitor é dada por:

Temos assim:

Ou seja:

Calculando a Transformada de Laplace:

Elétricos

Rede RLC

Elétricos

Para simplificar, vamos considerar a transf. de Laplace das equações de voltagem da tabela anterior (assumindo nulas as condições iniciais): Capacitor:

Resistor:

Indutor:

Definimos, assim, a seguinte função de transferência:

Impedância

Elétricos

Rede RLC:

Podemos entender Z(s) como a soma das impedâncias

e V(s) como a soma das voltagens. Assim: [Soma das Impedâncias].I(s) = [Soma das Voltagens]

Circuito

transformado

Elétricos

Rede RLC: Resolvendo o problema anterior usando impedâncias:

Temos:

Assim:

Elétricos

Rede RLC: Ou:

Como encontrado anteriormente....

Elétricos

Análise de Malha Substitua elementos passivos por funções de

impedância

Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de Laplace

Assuma uma corrente transformada e uma direção de corrente em cada malha

Aplique a lei de Kirchhoff para cada malha

Resolva as equações simultâneas para a saída

Forme a função de transferência

Elétricos

Análise de Malha Exemplo:

Malha 1 Malha 2

G(s) = I2(s)/V(s) = ?

Elétricos

Análise de Malha Exemplo (cont.): Passo 1: Impedâncias

Malha 1 Malha 2

Malha 1:

Malha 2:

Elétricos

Análise de Malha Exemplo (cont.): Temos:

De (2):

Substituindo em (1):

Elétricos

Análise de Malha Exemplo (cont.): Ou:

Elétricos

Análise de Malha Exemplo (cont.): Observe que as equações paras as

malhas 1 e 2 seguiram um mesmo padrão usado anteriormente. Ou seja:

Malha 1: I1(s) - I2(s) = Soma das

Impedâncias

da Malha 1

Soma das

Impedâncias

comuns

Soma das

Voltagens da

Malha 1

Malha 2: I1(s) + I2(s) = Soma das

Impedâncias

comuns

Soma das

Impedâncias

da Malha 2

Soma das

Voltagens da

Malha 2

Elétricos

Análise de Nós: Exemplo: Encontrar a função de transferência Vc(s)/V(s)

para o circuito abaixo, usando análise de nós:

Nesse caso, usamos a soma das correntes nos nós ao invés da soma das voltagens nas malhas

Elétricos

Análise de Nós: Exemplo (cont.): Da figura anterior, as somas das

correntes nos nós VL(s) e VC(s) são, respectivamente:

Expressando as resistências em termos de condutância G1 = 1/R1 e G2 = 1/R2

Elétricos

Análise de Nós: Exemplo (cont.): Assim:

Elétricos

Análise de Nós: Substitua elementos passivos por funções de admitância

Y(s) = 1/Z(s) = I(s)/V(s) (admitância = inverso da impedância)

Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de Laplace

Substitua as fontes de voltagem transformadas por fontes de corrente transformadas

Aplique a lei de Kirchhoff para cada nó

Resolva as equações simultâneas para a saída

Forme a função de transferência

Elétricos

Análise de Nós: Exemplo (cont.): Como antes, também temos um padrão:

Nó 1: VL(s) - VC(s) =

Soma das

Admitâncias

conectadas

no Nó 1

Soma das

Admitâncias

comuns aos

Soma das

Correntes

aplicadas no

Nó 2: VL(s) + VC(s) =

Soma das

Admitâncias

comuns aos

Soma das

Admitâncias

conectadas

ao Nó 2

Soma das

Correntes

aplicadas no

Elétricos

Exemplo:

Malha 1 Malha 2

Malha 3

Elétricos

Exemplo (cont.):

Malha 1:

Malha 2:

Malha 3:

Soma das

Impedâncias

na Malha 1

I1(s) - I2(s) - I3(s) =

Soma das

Impedâncias

comuns às

Malhas 1 e 2

Soma das

Impedâncias

comuns às

Malhas 1 e 3

Soma das

voltagens

aplicadas à

Malha 1

Soma das

Impedâncias

comuns às

Malhas 1 e 2

- I1(s) + I2(s) - I3(s) = Soma das

Impedâncias

na Malha 2

Soma das

Impedâncias

comuns às

Malhas 2 e 3

Soma das

voltagens

aplicadas à

Malha 2

Soma das

Impedâncias

comuns às

Malhas 1 e 3

- I1(s) - I2(s) + I3(s) =

Soma das

Impedâncias

comuns às

Malhas 2 e 3

Soma das

Impedâncias

na Malha 3

Soma das

voltagens

aplicadas à

Malha 3

Elétricos

Exemplo (cont.): Malha 1: (2s + 2)I1(s) – (2s + 1)I2(s) – I3(s) = V(s)

Malha 2: -(2s + 1)I1(s) + (9s + 1)I2(s) – 4sI3(s) = 0

Malha 3: -I1(s) – 4sI2(s) + (4s + 1 + 1/s)I3(s) = 0

As 3 equações devem ser resolvidas simultaneamente para encontrarmos as funções de transferência desejadas (como I3(s)/V(s), por exemplo)

Elétricos

Exemplo (cont.): (2s + 2)I1 – (2s + 1)I2 – I3 = V (1)

-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0 (2)

-I1 – 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0 (3)

De (3):

I1 = -4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 (4)

Substituindo (4) em (2):

(2s + 1)[4sI2 - (4s + 1 + 1/s)I3] + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0

I2 = -I3(8s2 + 10s + 3 + 1/s)/(8s2 + 13s + 1) (5)

Substituindo (5) em (4), achamos I1 em função apenas de I3. Assim,

temos em (1), I1 e I2 em função de I3 e podemos isolar I3 e calcular a

função de transferência I3/V.

Elétricos

Exemplo (cont.): No MatLab (2s + 2)I1 – (2s + 1)I2 – I3 = V

-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0

-I1 – 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0

MatLab Symbolic Toolbox

Amplificador Operacional

Os amplificadores operacionais são amplificadores de

acoplamento direto, de alto ganho, que usam

realimentação para controle de suas características

Elétricos

Amplificador

operacional

Amplificador

operacional

inversor

Amplificador

operacional

como função

de transferência

Elétricos

Características:

Entrada diferencial: v2(t) – v1(t)

Alta impedância de entrada: Zi → (ideal)

Baixa impedância de saída: Zo → 0 (ideal)

Alta constante de ganho de amplificação: A → (ideal)

A saída é dada por: vo(t) = A(v2(t) – v1(t))

Elétricos

Amplificador Operacional Inversor Se v2(t) está aterrado, o amplificador é chamado de

inversor porque passamos a ter: vo(t) = -Av1(t)

Na configuração da figura c anterior, a função de transferência do amplificador operacional inversor é:

Elétricos

Exemplo: Ache a função de transferência Vo(s)/Vi(s) para o circuito abaixo:

Elétricos

Exemplo (cont.): Como a admitância de componentes paralelos se

somam, Z1(s) é o inverso da soma das admitâncias ou:

Para Z2(s) as impedâncias se somam:

Assim:

Compensador PID

Elétricos

Amplificador Operacional Não Inversor

Elétricos

Amplificador Operacional Não Inversor: Exemplo: Ache Vo(s)/Vi(s)

Elétricos

Exercícios Sugeridos (Nise)

Cap. 2, Problemas:

1, 2, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20a

No MatLab:

5, 6, 14, 20b

A Seguir....

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