Modelagem e EstimativaModelagem e EstimativaUm exemplo de krigagem ordináriaUm exemplo de krigagem ordinária

Geoes t at ís t ica

Eng. de Minas João Felipe C.L. CostaEng. de Minas João Felipe C.L. CostaProf. Dr. do DEMIN/PPGEM, UFRGS

Eng. de Minas Luis Eduardo de SouzaEng. de Minas Luis Eduardo de SouzaDoutorando do PPGEM, UFRGS

G

A partir de sete amostras retiradas do conjunto de dados que compõe o Walker Lake dataset, estimar o valor da variável V na localização 0 via krigagem ordinária.

G

AMOSTRA X Y V DISTÂNCIA

1 225 61 139 477 4.52 437 63 140 696 3.63 367 64 129 227 8.14 52 68 128 646 9.55 259 71 140 606 6.76 436 73 141 791 8.97 366 75 128 783 13.5

Distâncias de cada amostra em relação ao ponto 0.

G

Para calcular os pesos de krigagem, precisamos decidir que padrão de continuidade espacial queremos que nosso modelo de função randômica tenha.

Para manter o exemplo relativamente simples, todas as covariâncias serão calculadas da seguinte função:

0|h| se a

|h|3expC0|h| se CC

)h(C~1

10

G

Sabendo-se, no entanto, que:

ij2

2ji

2

ji2

ji2j

2i

2jiij

C~~

m~}]V.V{E[}V{E

}V.V{E}V{E

}V.V{E}V{E21}V{E

21

}]VV{[E21

G

Assim, a função covariância apresentada corresponde à seguinte função variograma:

0|h| se ) a

|h|3exp1(CC0|h| se 0

)h(~10

G

Usando a função de covariância e assumindo um modelo isotrópico, a covariância entre os dados para qualquer localização dependerá apenas da distância entre eles e não das direções.

Para demonstrar como a krigagem ordinária funciona, usaremos os seguintes parâmetros para a função:

C0 = 0, a = 10, C1 = 10

Assim,

|h|3.0e10)h(C~

G

1C~C~C~C~C~C~C~

D

70

60

50

40

30

20

10

Tendo escolhido uma função de covariância a partir da qual calcularemos todas as covariâncias necessárias para nosso modelo de função randômica, nós podemos construir as matrizes C e D.

011111111C~C~C~C~C~C~C~1C~C~C~C~C~C~C~1C~C~C~C~C~C~C~1C~C~C~C~C~C~C~1C~C~C~C~C~C~C~1C~C~C~C~C~C~C~1C~C~C~C~C~C~C~

C

77767574737271

67666564636261

57565554535251

47464544434241

37363534333231

27262524232221

17161514131211

G

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.00 4.47 3.61 8.06 9.49 6.71 8.94 13.451 4.47 0.00 2.24 10.44 13.04 10.05 12.17 17.802 3.61 2.24 0.00 11.05 13.00 8.00 10.05 16.973 8.06 10.04 11.05 0.00 4.12 13.04 15.00 11.054 9.49 13.04 13.00 4.12 0.00 12.37 13.93 7.005 6.71 10.05 8.00 13.04 12.37 0.00 2.24 12.656 8.94 12.17 10.05 15.00 13.93 2.24 0.00 13.157 13.45 17.80 16.97 11.05 7.00 12.65 13.15 0.00

Localiz.

Distância

Para isso precisamos de uma tabela das distâncias entre todos os possíveis pares das sete localizações de dados.

G

00.000.100.100.100.100.100.100.100.100.1019.022.022.136.006.005.000.119.000.1011.515.011.049.026.000.122.011.500.1024.020.091.049.000.122.115.024.000.1090.220.020.000.136.011.020.090.200.1036.044.000.106.049.091.020.036.000.1011.500.105.026.049.020.044.011.500.10

C

00.118.068.034.158.089.039.361.2

D

G

180.2188.0141.0118.0139.0156.0121.0136.0188.0085.0013.0012.0024.0014.0011.0012.0141.0013.0126.0077.0009.0010.0008.0009.0118.0012.0077.0130.0009.0010.0015.0008.0139.0024.0009.0009.0102.0042.0008.0009.0156.0014.0010.0010.0042.0098.0010.0013.0121.0011.0008.0015.0008.0010.0129.0077.0136.0012.0009.0008.0009.0013.0077.0127.0

C 1

907.0086.0057.0151.0086.0129.0318.0173.0

D . C w 1

7

6

5

4

3

2

1

G

Pesos de krigagem ordinária para as sete amostras usando um modelo de covariância isotrópico exponencial. O valor da amostra é dado imediatamente à direita, enquanto os pesos são apresentados entre parênteses.

Assim, o valor estimado é obtido por:

ppm 592.7

)783)(086.0()791)(057.0()606)(151.0( )646)(086.0()227)(129.0()696)(318.0()477)(173.0(

vv̂n

1iii0

G

E a variância de estimativa é obtida por:

2

n

1i0ii

22OK

ppm 8.96

907.0)18.0)(086.0()68.0)(057.0()34.1)(151.0( )58.0)(086.0()89.0)(129.0()39.3)(318.0()61.2)(173.0(-10

C~~