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Autor: Antonio Aguiar 19/11/2015 Cap. 2.1
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CAPÍTULO 2
ELETROMAGNETISMO BÁSICO
2.1 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DO ELETROMAGNETISMO
2.1.1 Equações de Maxwell no regime dinâmico
Forma diferencial ou local
lei de Ampèret
DH J (2.1a)
lei de Faradayt
BE (2.1b)
0 B (2.1c)
(lei de Gauss) D (2.1d)
Forma integral ou larga escala
M MC S
d dt
DH l J s (2.2a)
E EC S
d dd d
dt dt
E l B s (2.2b)
0d B s (2.2c)
d q D s (2.2d)
2.1.2 Equações de Maxwell no regime estático
Forma diferencial ou local
H J (2.3a)
0 B (2.3b)
0 E (2.3c)
D (2.3d)
Forma integral ou larga escala
M MC S
d d H l J s (2.4a)
0d B s (2.4b)
0EC
d E l (2.4c)
d Q D s (2.4d)
2.1.3 Equações de Maxwell no regime quase-estático
Forma diferencial ou local
H J (2.5a)
t
DH J (em dielétricos) (2.6a')
t
BE (2.6b)
0 B (2.6c)
D (2.6d)
Forma integral ou larga escala
M MC S
d d H l J s (2.7a)
E EC S
d dd d
dt dt
E l B s (2.7b)
0d B s (2.7c)
d q D s (2.7d)
2.1.4 Relações constitutivas
Considerando materiais lineares, homogêneos e
isotrópicos (LHI)
B H (2.8a)
D E (2.8b)
J E (2.8c)
2.2 A INTENSIDADE DE CAMPO MAGNÉTICO
No regime estático ou quase-estático o termo
/ 0t D e as fontes de campo magnético são as correntes e
os corpos magnetizados1. Nessas condições, a lei de Ampère,
na sua forma diferencial, pode ser escrita
0 ( )l lig B J J (2.9)
onde lJ é a densidade de corrente livre no ponto do espaço
devido às correntes livres (correntes em condutores, ) e ligJ é
a densidade de corrente ligada devido à presença de um
material magnetizado no ponto. Para um material magnetizado
com uma magnetização M , podemos mostrar que
lig M J e assim reescrever (9) como
0
l
BM J (2.10)
Definimos então o vetor intensidade de campo H
0
B
H M (2.11)
e reescrevemos a lei de Ampère na seguinte forma
l H J (2.12)
onde à intensidade de campo magnético está relacionada às
densidades de correntes livres. Esta forma é bastante
conveniente, pois são as correntes livres que podemos
controlar diretamente.
Integrando a última equação sobre a área S e usando o
teorema de Stokes obtemos a lei de Ampère ma forma integral
para o regime estático.
É conveniente notar que apenas em casos especiais que
apresentem simetria, a equação (32) pode ser utilizada para a
determinação de H . Nos outros casos, outros procedimentos
devem ser adotados.
1 No regime quase-éstático existe corrente de
deslocamento no interior dos capacitores. Porém, em baixas
frequências, o acoplamento entre as equações dinâmicas é
pequeno e a radiação é normalmente desprezada.
Autor: Antonio Aguiar 19/11/2015 Cap. 2.2
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Observemos também que 0F não significa
necessáriamente 0H , e sim que a circulação de H sobre o
contorno é nula. Este é o caso de imãs permanentes sem
correntes elétricas de excitação, em que a circulação de H é
nula ao longo de um caminho fechado qualquer, porém H
existe ao longo do caminho, dentro e fora do material.
2.3 CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS
2.3.1 Campos e força
O fenômeno eletromagnético manifesta-se
fundamentalmente através da força eletromagnética. Os
campos eletromagnéticos são essencialmente campos de força.
eE
eF
q
Bv
mF
(a) (b)
Fig.2.1. Forças e campos (a) elétricos; (b) magnéticos.
Os campos fundamentais eletromagnéticos
fundamentais nas relações da seção anterior são o campo
elétrico E e o campo magnético B . O campo elétrico é uma
intensidade de campo elétrico e sua unidade no sistema SI é o
volt/metro (V/m). O campo magnético B é uma densidade de
fluxo magnético (A unidade SI do campo magnético é o tesla,
mas usa-se também weber/m2).
Consideremos uma carga pontual q em um dado ponto
do espaço, sujeita a um campo elétrostático eE e a um campo
magnético B , movimentando-se com velocidade v em
relação a B2. A força eletromagnética total que atua sobre a
carga é dada pela lei da força de Lorentz
em e e mq q F E v B F F (2.13)
A força que atua sobre a carga q tem um componente
de força elétrica e eqF E devido às cargas estáticas, Fig.1(a),
e um componente de forca magnética m q F v B que
decorre do movimento de q em relação a B , Fig.1(b). A
relação entre os vetores da força magnética, do campo
magnético e da velocidade é dada de acordo com a regra da
mão direita.
É importante observar que, como a força magnética é
ortogonal à velocidade, ela não realiza trabalho! Entretanto,
como veremos mais adiante, o campo magnético pode servir
de meio através do qual a energia pode ser transferida da parte
elétrica para a parte mecânica de um sistema e vice-versa.
O campo elétrico pode ser definido pela relação
2 Os campos elétrico e magnético são relacionados entre si e
dependem do sistema de coordenadas de referência. Neste texto,
sempre será considerado o sistema de referência fixo no laboratório.
Para mais detalhes, ver Jefimenko, Electricity and Magnetism, Cap.
12, 1966.
ee
q
FE (2.14)
e o campo magnético pela relação
mm
q
FE v B (2.15)
Consequentemente, o campo elétrico total
* eme e m
q
FE E E (2.16)
2.3.2 Elementos de corrente
A lei de Lorentz pode ser estendida para incluir
correntes filamentares e densidades de corrente através do
conceito de elementos de corrente. Consideremos um
elemento de volume retangular de comprimento dl e área
transversal da dw dh , com volume dv da dl ,
conduzindo uma corrente i em um dado ponto de um
condutor, Fig.2.2(a). O elemento de corrente filamentar
vetorial é representado pelo vetor id l de magnitude idl que
tem a direção da corrente, Fig.2.2(b), e tem como unidade
(A·m). Um elemento de corrente, obviamente, não existe
isoladamente, sendo sempre parte de um circuito com
corrente.
(a) (b) (c) (d)
dl
dh
dw
da
ds
i
id l
dvJ dsK
ds
dvd l
Fig.2.2. Elementos de corrente.
Das relações
i idl
Jda dv
dq
idl J dv dl dq vdt
(2.17)
i
dldw K dsdw
(2.18)
vemos que o elemento de corrente vetorial pode também ser
representado considerando-se uma densidade de corrente J
em um elemento de volume dv , ou uma densidade de corrente
de superfície K em um elemento de área ds (não confundir
com a área transversal elementar da). Consequentemente,
podemos escrever a equivalência de elementos de corrente
vetorialmente,
id ds dv ld l K J i (2.19)
onde J é o vetor densidade de corrente no ponto considerado,
com a mesma direção da corrente i. Daí as representações da
Fig.2.2(c) e (d).
2.3.3 Força magnética em um elemento de corrente
Da equivalência dos elementos de corrente (19), e de
acordo com a lei de Lorentz, a força magnética em um
elemento, é
m Id ds dv F l B K B J B (2.20)
A relação vetorial entre a força magnética, o campo
magnético e o elemento de corrente é ilustrada na Fig.2.3 de
acordo com a regra da mão direita.
Autor: Antonio Aguiar 19/11/2015 Cap. 2.3
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id l
dvJ dsKB
mF
dv
B
mF
ds
B
mF
(a) (b) (c)
Fig.2.3. Força magnética em elementos de corrente.
Convém ressaltar que a força em um dado elemento de
corrente é condicionada ao campo magnético produzido pelo
conjunto de todos os elementos de corrente do sistema
excluindo o elemento de corrente ele mesmo.
2.4 LINHAS DE FORÇA
Uma linha de força ou linha de campo é uma curva
tangente ao campo em cada ponto. Na Fig.2.4a é ilustrada uma
linha de força e os vetores representativos do campo em
alguns pontos desta linha. A linha de força indica a direção do
campo em cada ponto mas não a sua magnitude. Por outro
lado, podemos associar a densidade das linhas de força à
magnitude do campo: linhas mais densas em uma região
significam campo mais intenso naquela região.
A lei de Gauss D indica que existem fontes ou
sumidouros de campos elétricos, e que portanto as linhas de
campo elétrico originam-se nas cargas elétricas estáticas. As
linhas de força de um campo elétrico são orientadas no sentido
de uma carga positiva para outra carga negativa, ou vêm ou
vão entre uma carga e o infinito. Existem infinitas linhas de
força partindo de uma carga pontual ou de um corpo
carregado. Já para o campo magnético, 0 B (o que
significa que não existem fontes ou sumidouros de campo
magnético) e as linhas de força do campo magnético são
fechadas sobre si mesmas, passando inclusive dentro de
materiais. Existem também infinitas linhas de força
magnéticas. As linhas de força tanto elétricas quanto
magnéticas não se cruzam, porque nesse caso teria que haver
mais de uma direção para o campo no ponto de cruzamento, o
que não é compatível com a definição do campo; entretanto,
as linhas de campo podem convergir para pontos de
singularidades ou singulares onde o campo é nulo. Exemplos
de pontos singulares são mostrados na Fig.4b-e.
(a)
(b) (c)
(d) (e)
Fig.2.4. (a) Linhas de força ou linhas de fluxo. (b), (c) Linhas de
força de campos elétricos devido a cargas pontuais desiguais com
pontos singulares; (c),(d) Linhas de força de campos magnéticos
devido a correntes desiguais em condutores retos, paralelos com
pontos singulares.
Experimentalmente, uma linha de força pode ser
visualizada como uma linha no espaço cuja orientação em
cada ponto é aquela indicada por uma agulha imantada
suficientemente pequena colocada naquele ponto.
Convencionalmente, as linhas de força fluem de um pólo
magnético norte para um polo magnético sul, externamente a
um material ou corpo magnético, e uma agulha imantada
aponta para um pólo sul. Assim, o Pólo Norte geográfico
terrestre é na verdade um pólo sul magnético, Fig.5b.
Pólo Norte geográfico
(a) (b)
Fig.2.5. (a) Linha de força determinada através de uma pequena
bússola; (b) Linhas de força do campo magnético terrestre.
Um conjunto de linhas de força forma um padrão de
campo. Uma experiência comum e bastante conhecida torna
visível as linhas de força de um imã, por exemplo,
distribuindo-se limalhas de ferro em uma superfície lisa, como
uma folha de cartão: as limalhas tendem a se alinhar ao longo
das linhas de força geradas pelo imã. Alguns padrões são
ilustrados (sem muito rigor) na Fig.6. Na Fig.6a, é mostrado o
Autor: Antonio Aguiar 19/11/2015 Cap. 2.4
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padrão de campo de um condutor longo, reto, conduzindo
corrente para fora da página. As linhas de força estão em um
plano normal ao condutor. A Fig.6b ilustra o padrão do
campo resultante produzido por dois condutores longos, retos,
paralelos, conduzindo correntes em sentidos opostos. As
linhas de força estão em um plano normal aos dois condutores.
Na Fig.6c, é representado o padrão de campo entre um polo
norte e um polo sul magnético. E na Fig.6d, é mostrado o
padrão resultante dos campos produzidos nas figuras (a) e (c),
i.e com o condutor portando corrente colocado entre os dois
polos.
Os antigos investigadores do eletromagnetismo usavam
um conceito interessante para visualizar a produção da força
eletromagnética, imaginando as linhas de força como uma
espécie de elástico capaz de gerar forças do tipo
comprime/estica, sendo as forças do tipo repulsão entre os
corpos onde as linhas de força forem mais densas e de atração
onde as linhas de força forem mais esparsas. Assim, é fácil
visualizar que na Fig.6b haverá uma força de repulsão entre os
dois condutores, enquanto que no caso da Fig.6d haverá uma
força para a direita atuando no condutor. Entre os dois polos
magnéticos da Fig.6c,d haverá uma força de atração.
Fig.2.6. Padrões de campo devido a: (a) um condutor portando
corrente reto, isolado (b) condutores paralelos portando
correntes opostas (c) um par de pólos magnéticos, (d) um
condutor portando corrente entre pólos magnéticos.
Mnemônico para o sentido da força de interação entre um
condutor portando corrente e um campo magnético:
Sentido linear
Sentido rotacional
Sentido linear
Sentido rotacional
(a) (b) (c)
Sentido linear
Sentido rotacional
Fig.2.7 (a) Polaridades entre um sentido linear e um sentido
rotacional. (b) Regra da mão direita. (c) Regra do saca-rolha.
2.5 POLARIDADE RELATIVA ENTRE UM SENTIDO LINEAR E UM SENTIDO ROTACIONAL
Vamos considerar a orientação de dois caminhos
fechados, enlaçados como em uma corrente de cadeado, sendo
que tomaremos um dos caminhos pequeno e de forma circular
e o outro será considerado apenas em uma parte, que
consideraremos retilínea, para facilitar, como mostra a Fig.7a.
Ao caminho circular associaremos um sentido rotacional e ao
caminho retilíneo um sentido linear cujas polaridades
positivas são, por convenção, as indicadas na Fig.7a. Assim,
para um observador que se desloca para dentro da página, no
sentido linear positivo, o sentido rotacional positivo é o
horário.
As polaridades positivas da Fig.7a podem ser
determinadas por duas regras equivalentes:
a) A regra da mão direita: Considere um fio seguro pela
mão direita, com o polegar apontando para o sentido
linear positivo; então, os dedos curvam-se no sentido
rotacional positivo, conforme a Fig.7b.
b) A regra do saca-rolha: um saca-rolha destro que avança
linearmente para longe do observador quando é girado no
sentido horário pelo observador, conforme indicado na
Fig.7c.
Estas regras serão úteis em diversos casos para a
determinação das polaridades (sentidos ou sinais) de várias
grandezas.
2.6 FLUXO DE B E DE J
Em eletromagnetismo, tratamos do fluxo através de
uma superfície para diferentes grandezas vetoriais como a
densidade de campo elétrico D , a densidade de fluxo
magnético B , a densidade de corrente elétrica J , etc. Os
conceitos serão desenvolvidos inicialmente para o campo B e
depois para J . O conceito de fluxo de B através de uma
superfície aberta pode ser visualizado através da Fig.8(a) que
ilustra as linhas de força do campo vetorial atravessando a dita
superfície.
(a)
(b)
Fluxo de B
ds
nB
d d B s
vetor normal à superfícien
d ds n
s
nB
Fig.2.8. Fluxo de um vetor. (a) Fluxo de linhas de força através
de uma superfície aberta S. (b) Fluxo diferencial d de um vetor
através de uma superfície diferencial ds aberta S .
Fluxo magnético
Considere um elemento diferencial de superfície ds
em torno de um ponto no qual existe uma densidade de fluxo
B , Fig.8(b). O fluxo magnético diferencial d de B através
do elemento de superfície ds é
Autor: Antonio Aguiar 19/11/2015 Cap. 2.5
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d d B s (2.21)
O vetor ds é definido em termos de n , que é o vetor
unitário normal à superfície naquele ponto, sendo d dss n ,
conforme a Fig.8(b). Podemos também escrever
nd d ds B ds B s B n (2.22)
onde nB B n é o componente de B normal ao elemento de
superfície, Fig.9a.
O fluxo diferencial é representado por uma linha
orientada atravessando o elemento de superfície ds no sentido
de n , para um fluxo positivo, que é o caso quando o
componente normal de B tem o mesmo sentido de n , como é
visto na Fig.9b. Na Fig.9c, o componente normal de B tem
sentido contrário ao de n e o fluxo diferencial terá um valor
negativo, signficando que o fluxo passa através da superfície
no sentido contrário ao de n ; note que na figura mantivemos
a mesma orientação do fluxo para manter a definição do
diferencial de fluxo de acordo com (24).
O fluxo magnético é, portanto uma grandeza escalar,
tendo magnitude e sinal (polaridade), porém sem direção. Sua
unidade no sistema SI é o weber (Wb), mas costuma-se
também usar volts-segundo (V s ).
(a) (b) (c)
BnB
d
ds
ds
n
nBds
nB
d
Fig.2.9. Fluxo diferencial: (a) componente normal à superfície de
B . (b) Polaridade (sentido positivo) de d . (c) Fluxo diferencial
negativo.
Para determinar o fluxo magnético total através de
uma dada superfície S faz-se a integração do fluxo diferencial
sobre toda a superfície
n
S S S
d d B ds B s (2.23)
No caso de uma densidade de fluxo uniforme - i.e com
um componente normal bn igual em todos os pontos da
superfície, o fluxo correspondente
nB S (2.24)
O fluxo magnético total através de uma superfície
fechada é nulo
0
S
d B s (2.25)
Esta é uma das leis de Maxwell na forma integral, que é às
vezes denominada lei de Gauss para o campo magnético. Dela
decorre que o fluxo de B através de qualquer superfície aberta
delimitada por um dado contorno C será sempre o mesmo.
(a) (b)
Fig.2.10. Enlaces (a) Enlace de fluxo magnético. (b) Enlace de
corrente (corrente total).
Fluxo de corrente
De forma análoga ao fluxo magnético, o fluxo da
densidade de corrente J através de uma superfície S aberta é
S
i d J s (2.26)
O fluxo de J é a corrente total i que atravessa a
superfície. De acordo com a lei da continuidade da corrente
0 J no regime estático (e no regime quase-estático
exceto em placas e no interior de capacitores, etc onde há
acúmulo e variação de cargas), o fluxo de J através de uma
superfície fechada é nulo
0
S
i d J s (2.27)
2.6.4 Tubos de fluxo
Linhas de força
Tubo de fluxo
Linha de fluxo
representando um
tubo de fluxo
(a) (b) (c)
Fig.2.11. Tubo de fluxo.
Um tubo de fluxo é um tubo no espaço cuja superfície
lateral é formada por linhas de campo.
Consideremos uma porção de um tubo de fluxo como
mostra a Fig.11(a). Uma vez que a parede lateral do tubo de
fluxo é formada por linhas de campo, não passa fluxo através
dela, e tendo em conta que a integral do campo (de B e J )
através de uma superfície fechada é nula, o fluxo que entra por
uma extremidade terminal do tubo é igual ao fluxo que sai
pela outra extremidade. Isto é o princípio da continuidade do
fluxo magnético e da corrente. Os tubos de fluxo magnético e
de corrente são portanto tubos fechados, Fig.11(b), assim
como as linhas de fluxo magnético e de corrente.
Para simplificar os desenhos, é comum usarmos apenas
uma única linha de fluxo para representar um tubo de fluxo,
como mostrado na Fig.11(c).
Autor: Antonio Aguiar 19/11/2015 Cap. 2.6
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2.7 CIRCULAÇÃO DE UM VETOR
Fig.2.12. Circulação de um vetor Y sobre um contorno C.
A Circulação de um vetor Y sobre o contorno C
(integral de linha de Y ) é definida por
C
d YY l (2.28)
2.8 ENLACES DE FLUXO E DE CORRENTE
Duas das equações de Maxwell, na forma integral e
em regime quase-estacionário (i.e, onde as frequências
envolvidas são suficientemente baixas para que a corrente de
deslocamento seja negligenciada e a radiação seja
desprezível), relacionam a circulação de um campo com o
fluxo do outro.
a) A circulação do campo elétrico E sobre o contorno
elétrico EC é relacionada com o fluxo do campo
magnético B através da superfície ES delimitada por
EC por
Fluxo de
(Lei de Faraday)E EC S
dd d
dt
B
E l B s (2.29)
b) A circulação da intensidade de campo H no contorno
magnético CM relaciona-se com o fluxo da densidade de
corrente J através da superfície SM delimitada por
CM através de
Fluxo de
(Lei de Ampère)C S
d d J
H l J sM M
(2.30)
Para relacionar o fluxo de um vetor através de uma
superfície aberta e a circulação através de um contorno que
delimita a superfície é necessário definir as polaridades
(sentidos) relativos para os vetores unitários na e d l . A
convenção comumente adotada segue a regra da mão direita,
conforme pode ser visto na Fig.13.
na
d l
Fig.2.13. Sentidos convencionais de na e d l determinados pela
regra da mão direita.
Enlace de fluxo e enlace de corrente
À integral do fluxo magnético d d B s sobre a
superfície ES , delimitada pelo contorno EC , que aparece na
lei de Faraday (29) denominamos enlace de fluxo magnético
ou fluxo concatenado com o contorno EC . O enlace de fluxo
é representado pelo símbolo . O enlace de fluxo magnético é
portanto o fluxo magnético total que passa pela superfície ES ,
como ilustrado na Fig.14a.
E ES S
d d B s (2.31)
(a) (b)
Fig.2.14. Enlaces (a) Enlace de fluxo magnético. (b) Enlace de
corrente (corrente total).
Similarmente, denominamos enlace de corrente à
integral da densidade de corrente livre lJ através da
superfície aberta MS delimitada pelo contorno magnético MC
, Fig.14b.
Fluxo de
M
l
tot lS
i d J
J s (2.32)
Este enlace de corrente toti é portanto igual à corrente
total que passa através da superfície MS . Dizemos que esta
corrente total está enlaçada ou concatenada com o contorno
MC .
A Fig.xx ilustra um núcleo toroidal com algumas
espiras enroladas sobre ele conduzindo uma corrente I.
Podemos ver da Fig.xx que a corrente total que atravessa a
área MS é igual a 3I.
Autor: Antonio Aguiar 19/11/2015 Cap. 2.7
Eletromag P1 2015 v6a.docx
Fig.2.15. Enlaces de fluxo e de corrente em uma bobina com
núcleo.
O enlace de corrente ou corrente total é também
denominado força magnetomotriz ou fmm
totif (2.33)
A fmm é um conceito muito importante na teoria de
dispositivos eletromagnéticos e máquinas elétricas. A fmm f
é vista como a “força magnética” que produz H , e
consequentemente, B e o fluxo magnético. Nos modelos de
circuito magnético a fmm é usualmente considerada como
sendo o potencial magnético que produz o fluxo magnético
em analogia com a tensão elétrica que produz a corrente
elétrica em um circuito elétrico.
2.9 ENLACE ELETROMAGNÉTICO
(a) (b)
Tubo de fluxo
magnético
Tubo de
fluxo de
corrente
Linha de fluxo
magnético
Linha de corrente
Fig.2.16. Enlace eletromagnético. (a) Um tubo de fluxo
magnético concatenado a um tubo de corrente, como dois elos de
uma corrente. (b) Representação simplificada através de linhas
fechadas.
Dispositivos eletromagnéticos, que são em grande parte
constituídos por bobinas e núcleos magnéticos, podem ser
analisados considerando-se tubos de fluxo de corrente e de
fluxo magnético que são concatenados entre si, como dois elos
adjacentes de uma corrente. Denominamos a isto enlace
eletromagnético.
A Fig.16a ilustra um exemplo simplificado de enlace
eletromagnético onde um tubo de fluxo magnético e um tubo
de corrente são representados um envolvendo o outro. Não
estamos interessados aqui em mostrar o dispositivo físico e
sim apenas os tubos.
Basicamente, o enlace eletromagnético sempre envolve
dois tubos de fluxo que correspondem a dois circuitos
fechados, sendo um magnético e o outro elétrico. Nos enlaces
eletromagnéticos que consideramos aqui os tubos não se
interceptam. Se representarmos cada tubo por uma linha
fechada, como indicado na Fig.16b, além de simplificar os
desenhos, podemos estabelecer propriedades interessantes
para os enlaces eletromagnéticos. Denominaremos essas
linhas de linhas de circuitos ou simplesmente circuitos e
admitiremos que elas podem ser distorcidas à vontade sem
modificar as propriedades essenciais do enlace
eletromagnético. Além disso, podemos associar as linhas de
circuito aos contornos elétrico e magnético, com suas
respectivas áreas, como na Fig.17a de modo a fazer uma
conexão com a lei de Faraday (xx) e a de Ampère (xx).
A
Circuito 2
Circuito 1
Circuito 2
AM
CM
EA
EC
i
(a)
(b) (c)
Fig.2.17. Enlace eletromagnético. (a) Sentidos convencionais
determinados pela regra da mão direita. (b) (c) Determinando o a
polaridade do enlace através do corte fictício.
Dizemos que dois circuitos estão enlaçados ou
concatenados quando eles só podem ser separados cortando-se
um deles, de forma que o outro tenha que passar pelo corte
para separá-los. Um enlace eletromagnético é caracterizado
pelo número de enlaces ou de espiras N , definido como
sendo o número efetivo de vezes que um circuito tem que ser
cortado para que seja completamente separado do outro.
Vamos chamar simplesmente de enlace a cada um
desses cortes e atribuir a cada um deles uma polaridade, que
poderá ser positiva ou negativa. Para isso, definimos, em
primeiro lugar, as polaridades das circulações nos dois
circuitos, como na Fig.17b, por exemplo. Agora, imaginando
um corte no ponto A do circuito 1, e passando o circuito 2
através do corte, os dois circuitos ficam totalmente separados,
como mostra a Fig.17c. No ponto do corte os sentidos das
circulações estão de acordo com a regra da mão direita, então
o enlace é considerado positivo, com 1N .
Para um número maior de enlaces, somamos o número
de vezes que o circuito não cortado passa por cada corte do
outro circuito, considerando as suas polaridades, e
determinamos o número de enlaces N . Por exemplo, no caso
da Fig.18, passando o circuito 2 através dos pontos A, B, C e
D do circuito 1, os dois circuitos seriam separados, e como as
polaridades dos dois circuitos atendem à regra da mão direita
em cada ponto, 4N .
Autor: Antonio Aguiar 19/11/2015 Cap. 2.8
Eletromag P1 2015 v6a.docx
Circuito 1
AB
C D
Circuito 2
Fig.2.18.
Exemplo 2.1.
Determinar o número de enlaces para o enlace
eletromagnético da Fig.19a.
Aplicando-se a definição do número de enlaces
acima, o circuito 2 poderia ser desenlaçado pelos
pontos A e B do circuito 1, com polaridades 1 e -1,
respectivamente, dando 0N .
A
B
(a)
12
1
2
21
(b)
(d)
C
C
21
(c)
C
A
B
Fig.2.19.
Vamos analisar este enlace agora através da
manipulação dos circuitos, redesenhando o circuito 1
primeiro como mostrado na Fig.19b, depois como na
Fig.19c. O circuito 2 pode ser separado de 1 através
dos mesmo pontos A e B, como anteriormente.
Entretanto, podemos observar que se passarmos o
circuito 1 através dele mesmo pelo ponto C, obtemos
a configuração da Fig.19d, com os dois circuitos
completamente separados. Assim, verificamos a
propriedade do enlace eletromagnético de que cortar e
passar um circuito através de si próprio não afeta o
número de enlaces com o outro circuito.
Para o desenvolvimento de modelos de circuitos de
sistemas eletromagnéticos, é conveniente considerar um
circuito elétrico E e um circuito magnético M , com N enlaces
entre eles, sendo acoplados por uma bobina acopladora (que é
na realidade um elemento acoplador de circuito que será visto
mais adiante no Capítulo xx), como representado na Fig.20.
A fmm (que é o enlace de corrente) é representada no
circuito magnético, enquanto o enlace de fluxo lambda é
representado no circuito elétrico.
A fmm é considerada como uma fonte de potencial
magnético e, tomando if N , sua polaridade nos circuitos
magnéticos será no sentido que gera o fluxo. Em um modelo
de visualização em que fazemos uma mistura da representação
física com o modelo de circuito, a fmm pode ser representada
no núcleo, assim como o fluxo.
i
Bobina acopladora
f
Fig.2.20. Bobina acopladora: Acoplamento e enlaces em um
sistema eletromagnético.
Entre os dois circuitos estão definidos os dois tipos de
enlaces eletromagnéticos, o enlace de corrente, i.e, a força
magnetomotriz (fmm) f , que é o enlace do circuito magnético
pela corrente elétrica e o enlace de fluxo que é o enlace do
circuito elétrico pelo fluxo magnético.
if N (2.34)
N (2.35)
A fmm f é um potencial do lado magnético, com
polaridade tal que tende a fazer circular um fluxo no
circuito magnético externo de acordo com a regra do saca-
rolhas, Fig.21a, tomando a corrente como referência de
deslocamento linear. Na modelagem de sistemas
eletromagnéticos utilizando o elemento bobina acopladora, a
fmm é representada como um potencial entre os terminais de
saída da bobina. Observe-se que, do lado magnético, as
polaridades da fmm e do fluxo magnético seguem a
convenção gerador enquanto as polaridades do enlace e da
corrente seguem a convenção receptor.
i
fi
Fig.2.21. Enlace eletromagnético em uma bobina acopladora.
Considerando as polaridades indicadas para os
circuitos da Fig.21, podemos determinar o número de espiras
N passando o circuito magnético através do elétrico nos
pontos indicados; encontramos
(1 1 1 1) 2 N (2.36)
Autor: Antonio Aguiar 19/11/2015 Cap. 2.9
Eletromag P1 2015 v6a.docx
i1
2
Fig.2.22. Enlace de fluxo.
Exemplo 2.2.
Determinar o enlace de fluxo do enlace
eletromagnético da Fig.22.
O enlace do circuito elétrico com o tubo de
fluxo 1 é 1 14 e com o tubo 2 é
2 21 . Aplicando-se a regra do saca-
rolhas, verifica-se que os dois enlaces têm
polaridades positivas. Logo, o enlace total é
1 2 1 24
Exemplo 2.3.
Calcular o enlace de fluxo total do circuito
elétrico da Fig.23, sendo as densidades de
fluxo b1 e b2 uniformes nas áreas a1 e a2,
respectivamente.
Fig.2.23 Exemplo 3. Enlace de fluxo
Os fluxos 1e 2 com suas respectivas
polaridades como indicado na Fig.23 são
1 = b1a1 e 2 = b2 a2. As polaridades
do enlace com respeito a 1e 2 são
positiva e negativa, respectivamente. O
fluxo 1 é enlaçado duas vezes pelo circuito
elétrico e 2 uma vez. Daí 1 1 12b a e
2 2 21b a , donde o enlace total
1 2 1 1 2 22b a b a
2.9.5. Bobinas físicas
A bobina acopladora é um elemento conceitual de
redes, e portanto não deve ser confundida com uma bobina
física, que é um componente físico de um sistema
eletromagnético, constituída de condutores enrolados em
espiras, que podem ser enroladas ou não em torno de um
núcleo de material ferromagnético. Uma bobina é dita
concentrada, quando todos os tubos de fluxo enlaçam todas as
espiras da bobina, como indicado na Fig.24a. Contudo, na
prática existirá sempre uma parte do fluxo magnético que
enlaça apenas uma parte e não a totalidade das espiras da
bobina, como indicado na Fig.24b.
Uma bobina na qual todo o fluxo não enlaça todas as
espiras é denominada bobina distribuída. Na bobina
distribuída da Fig.24b o tubo de fluxo d1 é enlaçado 3 vezes
porém d2 é enlaçado apenas uma vez. Na realidade, todas as
bobinas físicas são, em um maior ou menor grau, distribuídas.
O enlace de fluxo total de uma bobina distribuída é o
somatório ou integral dos enlaces diferenciais d
onde d d d (2.37)
Ainda assim, como será visto mais tarde, o conceito de
bobina concentrada mostra-se bastante útil no
desenvolvimento teórico dos modelos de circuito de sistemas
eletromagnéticos. Na bobina concentrada, o número de
enlaces é igual ao número de espiras da bobina. Com as
polaridades relativas do fluxo e do enlace como indicadas
na Fig.24a, o enlace de uma bobina concentrada de N
espiras é
ba N N (2.38)
onde b é a densidade de fluxo média sobre a área a.
Fig.2.24. Bobinas (a) concentrada, (b) distribuída.
As bobinas concentradas normalmente são constituídas
por um condutor elétrico enrolado em um núcleo
ferromagnético.