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Análise dos métodos de integração direta 1MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Objetivos:
• Discutir em detalhe o problema da seleção de um passo de tempo apropriado t para integração direta.
• Analisar os conceitos fundamentais de estabilidade e exatidão dos esquemas de integração.
ANÁLISE DOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA
Análise dos métodos de integração direta 2MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
IntroduçãoA seleção de um passo de tempo apropriado nos métodos de integração é vital para garantir estabilidade e exatidão.
A despeito da mudança de base no método de sobreposição modal, a solução é também obtida por integração numérica.
)()()()( 2 tttt T RXΩXX
Assumindo amortecimento proporcional, é matriz diagonal, =diag(2ii), e i é a ração de amortecimento no i-ésimo modo.
A eq. (a.1) envolve n equações desacopladas, a ser resolvida com a integral de Duhamel ou com um dos esquemas de integração numérica.
(a.1)
Como os períodos de vibração são conhecidos Ti=2/i (i=1,..,n), da para escolher na integração numérica de (1) um passo apropriado que garanta exatidão.
Se as n equações são integradas com o mesmo passo do tempo t, a análise de sobreposição modal é equivalente à análise de integração direta onde o mesmo esquema de integração e passo é usado.
Para estudar a exatidão da integração direta, presta-se atenção na integração das eqs. (a.1) e não mais na eq. original, com um passo de tempo comum.
As variáveis na estabilidade e exatidão no método de integração direta são agora t, i e i (i=1,..,n).
Como as n equações são similares, estuda-se só a integração de uma fila (sistema 1GDL com período de vibração livre T, ração amortecimento e carga r) :
rxxx 22
Análise dos métodos de integração direta 3MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Aproximação de integração direta e operadores de carga
Para o método de integração considerado, existe a relação recursiva:
)(ˆˆ rLXAX tttt
carga de vetor operador :
integração da oaproximaçã matriz operador :
integração de mét. o segundo,,0
)( tempo no carga :
veloc. tos,deslocamen de vetor :ˆ,ˆ
L
A
XX
tt
trt
ttt
Obtém-se a solução em qualquer tempo t+nt de forma recursiva,
rr
rrtnttnt
ttntntntnt
12
21
...ˆˆ
LLA
LALAXAX
relação a ser usada para estabilidade e exatidão dos métodos de integração.
Método de diferença central
xxt
x
xxxt
x
rxxx
ttttt
tttttt
tttt
2
1
21
2
2
2
Resolvendo desde a primeira para t+tx
rt
tx
t
tx
t
tx tttttt
11
1
1
2 222
Escrevendo na forma recursiva:
01 ;
011
1
1
2 222
t
t
t
t
t
t
rx
x
x
x t
tt
t
t
tt
LA
LA
O método é bastante usado para =0.
Aproxima-se a acel. e vel. no tempo t; e escreve-se a eq. de equilíbrio no tempo t.
Análise dos métodos de integração direta 4MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.)
Método de Houbolt
xxxxt
x
xxxxt
x
rxxx
ttttttttt
ttttttttt
tttttttt
2
22
2
2918116
1
4521
2
Resolvendo desde a primeira para t+tx, da para escrever de forma recursiva:
ttt
ttt
r
x
x
x
x
x
xtt
tt
tt
t
tt
t
tt
;13
112
0
0 ;
010
0013
23
46
5
1
22
2222222
2
LA
LA
Aproxima-se a acel. e vel. no tempo t+t com fórmulas de dois passos para atrás; e escreve-se a eq. de equilíbrio para t+ t.
Análise dos métodos de integração direta 5MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.)
Método de Wilson
A aceleração varia linearmente no intervalo de tempo de t a t+ t, onde ≥1, usado para obter estabilidade e exatidão ótima.
Seja o incremento no tempo desde o tempo t, onde t≤ ≤ t, logo para o intervalo t a t+ t tem-se:
t
xxxxxx
txxxxx
txxxx
ttttttt
tttttt
ttttt
62
1
23
2
2
A equação de equilíbrio é considerada no tempo t+ t, com uma carga extrapolada:
rxxx tttttttt 22
Fazendo = t nas equações (b.1) e colocada em (b.3), uma equação é obtida para a aceleração no tempo t+t, que lsubstituida em (b.2), a seguinte relação é estabelecida:
(b.1)
No tempo t+t tem-se
6
2
22t
xxtxxx
txxxx
ttttttt
tttttt
(b.2)
(b.3)
ttt
t
t
tt
tt
tt
r
x
x
x
x
x
xtt
t
t
t
tt
tt
tt
;6
6
2
61
361
6186
1
2
1
2
1
21
262
11
12
11
31
132
22
2
2
22
22
2
2
2
L
A
LA
Análise dos métodos de integração direta 6MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.)
Método de Newmark
A equação de equilíbrio é considerada no tempo t+t:
rxxx tttttttt 22
A velocidade e deslocamento resultam de:
2
2
1
1
txxtxxx
txxxx
ttttttt
tttttt
onde e são parâmetros a serem escolhidos para obter estabilidade e exatidão ótima, sendo que para estabilidade incondicional =1/2 e =1/4.
(b.4)
(b.5)
Substituindo (b.5) em (b.4) obtém-se a aceleração no tempo t+t, que logo é colocada em (b.5) para obter a velocidade e descolamento no tempo t+t, resultando:
ttt
t
t
tt
tt
tt
r
x
x
x
x
x
xtt
t
t
t
tt
tt
tt
;21
121122
1
2
1
12112
2
11
12
112
2
1
12
22
2
2
22
2
2
L
A
LA
Análise dos métodos de integração direta 7MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Análise de estabilidade (cont.)
Sendo Tn o menor período estima-se que t ≤Tn/10.
A idealização de elementos finitos deve ser escolhida de forma que as p menores freqüências e modos sejam preditas exatamente, onde p é determinado pela distribuição e freqüência da carga.
Então t ≤Tp/10.
Percebe-se que na integração direta a resposta nos modos elevados é automaticamente integrada com esse t.
Como não se pode integrar exatamente a resposta nos modos para o qual t ≥T/2. Qué resposta é predita na integração numérica quando t/T é grande? (questão de estabilidade da integração numérica)
Estabilidade de um método de integração significa que as C.I. físicas para as equações com elevado t/T não pode ser amplificado artificialmente.
Estabilidade significa que as C.I. no tempo t causada por erros nos deslocamentos, velocidades e acelerações, devidos a erros de arredondamento no computador, não crescem na integração.
A estabilidade é assegurada se o passo do tempo é pequeno o suficiente para integrar exatamente a resposta nos componentes de altas freqüências.
A estabilidade de um método de integração é determinada examinando o comportamento da solução numérica para condições iniciais arbitrárias.
Análise dos métodos de integração direta 8MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Quando nenhuma carga é satisfeita, r=0, a solução para C.I. prescritas é:
XAX ˆˆ tntnt
Um método de integração é estável incondicionalmente se a solução para toda C.I. não cresce sem limite para qualquer t, em particular quando t/T é grande.
O método é condicionalmente estável se o dito é mantido previsto que t/T seja menor ou igual a um certo valor, denominado o limite da estabilidade.
Usando a decomposição espectral de A:1 PPJA nn
P: matriz de autovetores de AJ: forma canônica de Jordan de A, com
autovalores i de A na sua diagonal
J não é necessariamente uma matriz diagonal mas pode exibir elementos unitários na linha superdiagonal (correspondente a autovalores múltiplos)
Seja (A) o raio espectral A definido por:
ii
,...2,1
max
A
onde o sinal do valor absoluto precisa a avaliação de i no plano complexo.
O critério de estabilidade menciona que:1. Se os autovalores são distintos, (A) ≤12. Se A contem autovalores múltiplos, o
módulo desses autovalores será ≤1.
Se (A)<1, Jn→0 e An→0, e a diminuição em An é mais rápido se (A) é pequeno.
Análise de estabilidade (cont.)
Análise dos métodos de integração direta 9MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
O raio espectral e portanto a estabilidade do método depende da relação do tempo t/T, da relação de amortecimento e dos parâmetros de integração.
Para t/T e dados, é possível que nos métodos de Wilson e Newmark se varie os parâmetros e , para obter estabilidade e exatidão ótimas.
Exemplo
Análise de estabilidade do método de diferença central para =0,0.
O problema de autovalor a ser resolvido é:
uu
uAu
01
12 22 t
Os autovalores são as raízes do polinômio característico p():
4
12
2
2
1222222
2,1
22
tt
tp
Para estabilidade precisa-se que |1,2|≤1, ou seja (A) ≤1, e esta da a condição t/T≤1/.
Então, o método de diferença central é estável previsto que t≤ tcr, sendo que tcr=Tn/ .
Observa-se que o limite de estabilidade para o mesmo passo de tempo é também aplicável quando >0.
Análise de estabilidade (cont.)
Análise dos métodos de integração direta 10MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
A estabilidade dos métodos de integração é efetuada com os operadores de aproximação, onde o método de diferença central é condicionalmente estável.
Para avaliar um valor ótimo de para o método de Wilson, calcula-se a variação do raio espectral do operador de aproximação como função de , (estabilidade incondicional para ≥1,37).
No método de Newmark os parâmetros e podem ser modificados para obter estabilidade e exatidão ótima, estabilidade incondicional para ≥0,5 e ≥0,25(+0,5)2.
O analista deve escolher certo método, influenciado pelas características de exatidão do método para certo t.
Análise de estabilidade (cont.)
Raio espectral de operadores de aproximação, caso =0 Raio espectral (A) função de no método Wilson
Análise dos métodos de integração direta 11MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Como a integração direta das equações,
)()()()( tttt RUKUCUM
Análise de exatidão
é equivalente a integrar simultaneamente as n equações desacopladas da forma,
rxxx 22
da para estudar a exatidão da integração nestas como função de t/T, e r.
A solução destas equações é,
rr
rrtnttnt
ttntntntnt
12
21
...ˆˆ
LLA
LALAXAX
usada para avaliar os erros da integração.
Considera-se para uma análise de exatidão simples a solução do problema de valor inicial com solução exata x=cost:
2000
2
;00 ;01: C.I.
0
x,x,x
xx
No método de Houbolt as C.I. de deslocamento exato para tx e 2tx através da solução x=cost são empregadas.
O custo de usar um certo método de integração depende do número de passos.
Nos métodos explícitos o passo fica definido pelo tcr.. Nos métodos implícitos o passo deve gerar uma solução exata.
Os erros nas integrações são avaliados em termos do alongamento do período PE e do decremento da amplitude AD.
Análise dos métodos de integração direta 12MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Análise de exatidão (cont.)
Os desenhos mostram os percentuais de PE e AD como função de t/T obtidas ao comparar a solução numérica com a exata.
As integrações numéricas usando qualquer método são exatas quando t/T≤0,01. Para valores superiores o método de Wilson introduz menor PE e AD que o método de Houbolt, e Newmark introduz só PE.
As equações onde t/T é pequeno são integradas exatamente, mas quando t/T é grande a resposta é obtida sem precisão.
Nos métodos explícitos o passo deve ser escolhido de forma que t≤ tcr, mas só quando a carga ou as CI excitam as altas freqüências deve ser usado t≤ tcr..
Nos métodos implícitos o t pode ser muito maior mas pequeno o suficiente de forma que a resposta nos modos que contribuam significativamente à resposta seja calculada exatamente.
Alongamento do período e diminuição da amplitude percentual