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Estruturas Hiperestáticas
Método das Forçasge = 2 e ge = 3
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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
O8/02/13
Prof.: Larissa Camporez Araújo
E-mail: larissa@ucl.br
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 2)
• Teoria- Viga engastada com dois apoios▫ A Figura 1 apresenta um exemplo de estrutura duas
vezes hiperestática. Esta estrutura apresenta cincoreações externas: 3 reações verticais, 1 reação horizontal
e um momento (Figura 2)
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Fig. 01: Viga engastada com 2 apoios
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 2)
• Teoria - Viga engastada com dois apoios▫ A Figura 1 apresenta um exemplo de estrutura duas
vezes hiperestática. Esta estrutura apresenta cincoreações externas: 3 reações verticais, 1 reação horizontal
e um momento (Figura 2)
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Fig. 02: Reações na viga
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 2)
• Teoria - Viga engastada com dois apoios▫ A viga mostrada na Figura 1 apresenta diversos sistemas
principais possíveis como ilustra a Figura 3.
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Fig 03: Sistemasprincipais possíveisda viga mostrada na
Figura 1
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 2)
• Teoria - Viga engastada com dois apoios▫ O sistema principal mostrado na Figura 3d costuma ser
conveniente, especialmente quando o carregamento ou arigidez são diferentes nos dois vãos. Este sistema
apresenta condições de compatibilidade de rotaçãosimilar ao Método dos Três Momentos.
▫ O sistema principal mostrado na Figura 3a apresenta a visualização mais fácil dos efeitos do carregamento e dos
hiperestáticos (Figura 4)
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• Teoria - Viga engastada com dois apoios
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Figura 4: Deformação do carregamento e dos hiperestáticos
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• Teoria - Viga engastada com dois apoios▫ As condições de compatibilidade de deslocamentos
fornecem um sistema de duas equações e duasincógnitas:
▫ O sistema de equações pode ser reescrito como
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• Teoria - Viga engastada com dois apoios
▫ onde δ é a matriz de flexibilidade, X é o vetor deesforços ou forças (incógnitas) e 0 δ é o vetor dedeslocamento devido à ação do carregamento.
▫ Para se obter o vetor de incógnitas é necessário invertera matriz de flexibilidade da estrutura:
sendo δ-1
= K a matriz de rigidez da estrutura
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 2)
• Teoria - Viga engastada com dois apoios▫ Em geral, para vigas contínuas, é mais conveniente
adotar o sistema principal mostrado na Figura 4d,conforme será visto no próximo exemplo. Os coeficientes
δij podem ser obtidos por diversos métodos, neste cursoserá usado o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV).
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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Seja a viga contínua com 3 vãos, com dois graus
hiperestáticos e rigidez a flexão (EI) constante (fig. 5).
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Figura 5: Viga contínua com 3 vãos
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 2)
• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ O sistema principal adotado para a resolução do problema é
representado pela figura 6. O sistema apresenta as rotaçõesrelativas entre as barras ligadas pelas 1 e 2 como sendo nula.
Destas condições resultam as equações de copatibilidadeexpressas por:
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Figura 6: Sistema principal da viga contínua mostrada na Figura 5
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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ A Figura 7 apresenta os diagramas de esforços da
situação 0 (M0) para o sistema principal da Figura 6.
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Figura 7: Momentos fletores do sistema principal causados pelo carregamento
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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ A Figura 8 apresenta os diagramas de momentos devidos
à um momento unitário aplicado na direção doshiperestáticos X1
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Figura 8: Momentos fletores devido a um momento unitário aplicado na direção dohiperestático X1
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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ A Figura 9 apresenta os diagramas de momentos devidos
à um momento unitário aplicado na direção doshiperestáticos X2
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Figura 9: Momentos fletores devido a um momento unitário aplicado na direção dohiperestático X2
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 2)
• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Para se obter a rotação relativa na rótula 1, aplicam-se os
binários unitários. Faz-se o mesmo para a rótula 2.Portanto, para obter-se rotação relativa na rótula 1
devido ao carregamento 0, ou seja δ10, utilizando PVT, basta fazer:
visto que o esforço axial é nulo neste exemplo. Procede-se
analogamente para determinar os demais coeficientes δij .
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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Para a determinação de δ10 procede-se a combinação
mostrada na Tabela, resultando:
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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Para a determinação de δ20 procede-se a combinação
mostrada na Tabela, resultando:
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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Para a determinação de δ11 procede-se a combinação
mostrada na Tabela, resultando:
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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Para a determinação de δ21 procede-se a combinação
mostrada na Tabela, resultando:
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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Para a determinação de δ22 procede-se a combinação
mostrada na Tabela, resultando:
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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Substituindo os deslocamentos generalizados naequação, obtém-se:
▫ Os esforços podem ser obtidos a partir do sistemaprincipal, isostático, empregando o princípio dasuperposição dos efeitos: M = M0 + X1
⋅ M1 + X2
⋅ M2 .
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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Os valores máximos (e mínimos) do momento fletor
correspondem aos pontos onde o esforço cortante mudade sinal. Portanto, é necessário conhecer as reações e, a
partir delas, traçar o diagrama de esforço cortante da viga. As reações podem ser calculadas a partir dostrechos da viga contínua (Figura 10), cujos momentosfletores internos foram determinas a partir dos
hiperestáticos.
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 2)
• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Como atividade, devem ser calculadas as reações nos
apoios e concluídos os diagramas de esforços cortantes emomentos fletores.
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Figura 10: Trecho da viga contínua
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• Exemplo 1 – Viga contínua com 3 vãos▫ Resultado:
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• Teoria– Pórtico plano bi engastado▫ Seja o pórtico plano bi-engastado mostrado na Figura 11,
do qual deseja-se determinar os esforços internos etraçar os respectivos diagramas. Este pórtico apresenta 6
reações devidas aos engastamentos em A e B, portanto oseu grau de hiperestaticidade (gh) é igual a 3.
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Figura 11: Pórtico plano bi engastado
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 3)
• Teoria – Pórtico plano bi engastado▫ Um dos sistemas principais possíveis para o pórtico
mostrado na Figura 11 é aquele mostrado pela Figura 12.
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Figura 12: Sistema principal do pórtico mostrado na Figura 11
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 3)
• Teoria – Pórtico plano bi engastado▫ As condições de compatibilidade do sistema principal da
Figura 12 é deslocamentos horizontal e vertical e rotaçãonulos no ponto B, o que resulta δ1 = 0 , δ2 = 0 e δ3 = 0.
▫ Para determinar os esforços no ponto B, usar-se-á oprincípio da superposição dos efeitos das cargas sobre osistema principal (isostático), segundo o esquemamostrado na Figura 13. Superpondo a contribuição de
deslocamento dessas cargas e aplicando as condições decompatibilidade para o ponto B da estrutura real (Figura11), obtém- se o sistema de equações:
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• Teoria – Pórtico plano bi engastado
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• Teoria – Pórtico plano bi engastado▫ onde δ é a matriz de flexibilidade, X é o vetor das
forças (incógnitas) e 0 δ é vetor de deslocamentodevido ao carregamento (conhecidos).
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Figura 13: Efeitos devidos ao carregamento atuante na Figura 12
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 3)
• Teoria – Pórtico plano bi engastado▫ Conforme foi visto anteriormente, os coeficientes δij
podem ser obtidos pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais.Para o pórtico plano, desprezando esforço por
cisalhamento, tem-se:
sendo E o módulo de elasticidade do material; A a seçãotransversal das barras, I o momento de inércia da seção
transversal e l todas as barras da estrutura.▫ Como Mi.Mj = Mj.Mi, tem-se δij = δji , ou seja, a matriz
de flexibilidade é sempre simétrica, o que já foidemonstrado anteriormente (Teorema da Reciprocidade
de Betti- Maxwell, SUSSEKIND, 1994a).
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 3)
• Exemplo 3 – Pórtico plano bi engastado▫ Para uma estrutura com ge = 3, deve-se determinar 6
coeficientes da matriz δ (δ11, δ22, δ33, δ12, δ13, δ23) e 3coeficientes do vetor força δ0 (δ10, δ20, δ30). Resolvendo-se
o sistema de equações, obtém-se X.
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 3)
• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado▫ Determinar o diagrama de esforços especificando os
valores dos momentos máximos e os locais onde elesocorrem do pórtico bi-engastado mostrado no Figura 14,
desprezando a contribuição do esforço axial.
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Figura 14: Pórtico bi-engastado
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• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado▫ O sistema principal:
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Figura 15: Sistema principal para o Pórtico bi-engastado
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• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado▫ Fig 16: Reações e diagrama momentos internos dosistema 0.
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• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado▫ Fig 17: Reações e diagrama momentos internos dosistema 1.
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• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado▫ Fig 18: Reações e diagrama momentos internos dosistema 2.
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• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado▫ Fig 18: Reações e diagrama momentos internos dosistema 3.
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• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado▫ Desprezando-se o esforço axial, a expressão para osdeslocamentos generalizados é dada por
▫ O deslocamento generalizado δ10 é obtido pelacombinação apresentada pela Tabela:
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 3)• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado
▫ O deslocamento generalizado δ10 é obtido pela combinação apresentada:
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 3)• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado
▫ O deslocamento generalizado δ20 é obtido pela combinação apresentada:
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 3)• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado
▫ O deslocamento generalizado δ30 é obtido pela combinação apresentada:
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 3)• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado
▫ Efetuando os mesmos procedimentos, determinam-se os deslocamentosgeneralizados:
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 3)• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado
▫ De posse dos deslocamentos generalizados, é possívelobter o sistema de compatibilidade:
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Estruturas duas vezes hiperestáticas (ge = 3)• Exemplo 1 – Pórtico plano bi engastado
▫ Os esforços podem ser obtidos por
N = N0 + N1 X1 + N2 X2 + N3 X3 , V = V0 +V1 X1 +V2 X2 +V3 X3 e
M =M0 +M1 X1 +M2 X2 +M3 X3 .