MEDIDAS DE POSIÇÃOParte II - Moda e Mediana

Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE Disciplina: ELEMENTOS DE

ESTATÍSTICA ET-301

Curso: SECRETARIADO

MEDIDAS DE POSIÇÃO: são medidas cujo objetivo é estimar em torno de quais valores da amostra se concentram os dados.

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

MEDIDAS DE POSIÇÃO

SEPARATRIZES

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Estima se os dados estão agrupados em valores centrais.

MÉDIAMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTAL MODA

MEDIANA

Dentre elas destacamos três

Moda=5, pois aparece três vezes na amostra

MODA:

O valor que mais se repete na amostra

Exemplo: {2,3,4,5,5,5,8}

Dados Agrupados

Neste caso a Moda é o valor da amostra que tem maior frequência

EXEMPLO:

X f3 84 105 76 5

Total 30

Dados Agrupados

Neste caso a Moda é o valor da amostra que tem maior frequência

EXEMPLO:

X f3 84 105 76 5

Total 30

Moda=4

O número 4 tem a maior frequência, ele aparece 10 vezes na amostra.

Dados Agrupados em Classes

Quando os dados estão agrupados em classes temos três métodos para calcular a moda

BRUTAModa MÉTODO DE KING

MÉTODO DE CZUBER

Moda Bruta: é definida como o ponto médio da classe de maior frequência. Sem dúvida é a maneira mais simples para calcular a moda, porém a menos utilizada.

Classes fi

2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3

Toatal 25

Exemplo

Moda Bruta: é definida como o ponto médio da classe de maio frequência. Sem dúvida é a maneira mais simples para calcular a moda, porém a menos utilizada.

Classes fi Ponto Médio

2 |------ 4 3 3 4 |------ 6 6 5 6 |------ 8 9 7 8 |------ 10 4 910 |------ 12 3 11

Toatal 25

Exemplo

Classe Modal Maior Frequência

Moda Bruta

Método de King: este método leva em consideração a frequência das classes adjacentes e é dado pela fórmula abaixo.

hff

flMo

postant

postiking

modal classe dainferior limite o é il

menterespectiva modal, classe à

posterior eanterior sfrequência as são e postant ff

modal classe da comprimeto o é h

Classes fi

2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3

Toatal 25

Exemplo

Classes fi

2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3

Toatal 25

Exemplo

Frequência anteriorLimite inferior da classe modal Frequência posterior

8,62*4,06246

46

kingMo

Observe que a moda fica mais próxima da classe que é anterior à classe modal, pois esta classe tem frequência maior do que a da classe que é posterior à classe modal

Método de Czuber: este método leva em consideração a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência das classes adjacentes.Este método é dado pela fórmula abaixo.

hlMopostant

anticzuber

modal classe dainferior limite o é il

postalantalant ffff modpostmod e

modal classe da comprimeto o é h

Classes fi

2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3

Toatal 25

Exemplo

Classes fi

2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3

Toatal 25

Exemplo

Limite inferior da classe modal

75,62*375,06253

36

CzuberMo

Observe que podemos ter três valores diferente para a moda,

369 ant

549 post

75,6 e 8,6 ,7 czuberkingbruta MMoMo

Exemplo: {4,8,9,10,15}, n=5

MEDIANA:

Considere que os dados estão ordenados, então mediana é o valor que é maior ou igual a metade dos dados e menor ou igual a outra metade dos dados. Ou seja, é o valor que divide os dados ao meio

Considere os dados não agrupados

1) N é ímpar

21 nXMd

},...,,{ 21 nXXXDados

Exemplo: {4,8,9,10,15}, n=5

MEDIANA:

Considere que os dados estão ordenados, então mediana é o valor que é maior ou igual metade dos dados e menor ou igual a outra metade dos dados. Ou seja, é o valor que divide os dados ao meio

Considere os dados não agrupados

1) N é ímpar

21 nXMd

},...,,{ 21 nXXXDados

932

15 XXMd

MEDIANA:

2) N é par: a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais

22

22

nn XXMd

},...,,,...,,{2

22

21 nnn XXXXXDados

Exemplo: {4,8,9,10,15,20}, n=6

MEDIANA:

2) N é par: a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais

22

22

nn XXMd

},...,,,...,,{2

22

21 nnn XXXXXDados

Exemplo: {4,8,9,10,15,20}, n=6

5,92109

22432

22

XXXX

Mdnn

MEDIANA:

Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.

X fi

5 510 815 620 2

Total 21

1) N é ímpar

Exemplo

112

121 XXMd

21 nXMd

MEDIANA:

Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.

X fi Facum

5 5 510 8 1315 6 1920 2 21

Total 21

1) N é ímpar

Exemplo

112

121 XXMd

21 nXMd

MEDIANA:

Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.

X fi Facum

5 5 510 8 1315 6 1920 2 21

Total 21

1) N é ímpar

Exemplo

112

121 XXMd

10Md

21 nXMd

MEDIANA:

Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.

X fi

100 40200 55300 30400 25Total 150

2) N é par

Exemplo

2276752

21502

150 XXXX

Md

22

22

nn XXMd

MEDIANA:

Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.

X fi Facum

100 40 40200 55 95300 30 125400 25 150Total 150

2) N é par

Exemplo

2276752

21502

150 XXXX

Md

2002

200200

Md

22

22

nn XXMd

Exemplo

X fi

2 103 154 205 5

Total 50

2226252

2502

50 XXXX

Md

Exemplo

X fi F2 10 103 15 254 20 455 5 50

Total 50

2226252

2502

50 XXXX

Md

5,32

43

Md

MEDIANA:

Considere os dados agrupados em classes em uma distribuição de frequência. Então, a mediana é dada pela fórmula abaixo

hfFE

lMdMd

acumantMdi

_

mediana classe dainferior limite o é il

mediano elemento o é ,2nEMd

mediana classe à

anterior classe da acumulada frequência a é _ acumantF

mediana classe da frequência a é Mdf

mediana classe da ocompriment o é h

MEDIANA:

Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência

Classes fi

0 |------ 2 102 |------ 4 254 |------ 6 406 |------ 8 158|------ 10 10Total

MEDIANA:

Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência

Classes fi Facum

0 |------ 2 10 102 |------ 4 25 354 |------ 6 40 756 |------ 8 15 908|------ 10 10 100Total 100

75,4201542

4035504

Md

502

100MdE

Classe Mediana