Post on 03-Nov-2015
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3 Trabalho Laboratorial Anlise de um sistema de segunda ordem
Objetivos
O 3 Trabalho teve como principal objetivo o estudo terico de um circuito RLC,
e num sistema de segunda ordem puro observar experimentalmente as suas respostas
no tempo e em frequncia.
Introduo
O circuito RLC utilizado neste trabalho equivalente a um sistema massa mola
amortecedor. No planeamento deste trabalho foi feita a previso do seu
comportamento tendo em conta trs valores de resistncias diferentes
(correspondentes a um sistema subamortecido, criticamente amortecido e
sobreamortecido). Este circuito pode ser dado pelas seguintes equaes:
{
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
Das equaes anteriores podemos retirar:
( )
( )
( ) ( )
Para obter a respetiva funo de transferncia basta aplicar a transformao de
Laplace.
( )
( )
O comportamento dinmico deste sistema descrito essencialmente por dois
parmetros diferentes, o coeficiente de amortecimento () e a frequncia natural no
amortecida (n).
{
A partir as equaes anteriores possvel obter uma expresso que relaciona a
resistncia (R), com o coeficiente de amortecimento () e os valores da bobine (L) e do
condensador (C).
O valor do coeficiente varia entre os seguintes valores,
. Se o sistema for no amortecido, ; caso seja subamortecido,
; tem-se amortecimento critico quando ; e por fim sobreamortecido se .
Figura 1- Circuito RLC
Planeamento
Para os valores fixos de duas bobinas em serie (L=2*100mH) e do condensador
(C=100nF) determinou-se trs valores diferentes de R que correspondem a um sistema
criticamente amortecido, sistema subamortecido e sistema sobreamortecido.
A determinao da funo de transferncia e dos respetivos polos foi efetuada
no Matlab atraves das funes tf e step
A frequncia natural no amortecida ser:
Amortecimento critico
Funo de transferncia e respetivos polos:
Subamortecido
Para R=1500
Funo de transferncia e respetivos polos:
Sobreamortecido
Para R=3500
Funo de transferncia e respetivos polos:
Anlise do sistema no domnio do Tempo:
(Dados igualmente retirados do Matlab a partir da funo em anexo)
Amortecimento critico:
Sistema Subamortecido:
Sistema Sobreamortecido:
A partir da observao dos grficos anteriores podemos concluir que quando mais elevada for a resistncia escolhida, maior ser o coeficiente de amortecimento e
maior ser tambm o tempo de crescimento assim com o tempo estabelecido.
A taxa de crescimento bastante superior no intervalo 0
Anlise do sistema no domnio da frequncia:
(Dados igualmente retirados do Matlab a partir da funo em anexo)
Amortecimento critico
Sistema Subamortecido
Sistema Sobreamortecido
Da observao os grficos podemos retirar que a frequncia de ressonncia no
caso do sistema subamortecido substancialmente inferior aos restantes sistemas,
podemos tambm concluir que tambm para o sistema subamortecido temos uma
maior largura de banda.
Procedimentos
O primeiro passo a efectuar no trabalho foi medir a resistencia interna das
bobinas em serie, uma vez que nao so ideais. Para tal utlizamos o multimetro e o
valor que obtivemos foi de :
Foi montado na breadboard o circuito RLC apresentado anteriormente, e para o
testar recorremos seguinte montagem:
Figura 2- Montagem para teste do circuito RLC
A partir do gerador de sinais comemos por fornecer ao sistema um sinal com
uma onda quadrada com 5 V pp e 200Hz. Isto para observar a resposta do sistema a
uma entrada em degrau dada por ( ), onde H a funo de Heaviside.
Visualizando a entrada no cana A do osciloscpio e a sada no canal B, acertmos
a escala do tempo (no osciloscpio), de forma a ver unicamente um perodo completo,
por fim varimos o valor da resistncia.
Para os trs sistemas estudados, determinmos o valor da resistncia do
potencimetro e calculmos o valor do coeficiente de amortecimento, .
{
Amortecimento critico
Sistema Subamortecido
Sistema Sobreamortecido
Para o sistema subamortecido medimos na resposta observada no osciloscpio
os valores de mximo sobreimpulso Mp e de tempo de pico tp. Com os quais fizemos a
comparao com os valores obtidos a partir das seguintes equaes:
Valores medidos
0.2963
Valores calculados
De seguida, para achar a resposta em frequncia do sistema subamortecido do ponto anterior, alterou se o sinal de entrada no circuito para um sinal sinusoidal, fazendo variar a sua frequncia entre os 20Hz e os 20kHz. Para cada frequnci a de entrada foram registados os valores de amplitude e fase do sinal de sada na folha SSM_Bode.xls. Uma vez que se est a trabalhar com um sistema linear, a determinao experimental do ganho e da desfasagem foi assegurada atravs das curvas de Lissajous
Sinais e Sistemas Mecatrnicos
Turno
Grupo
Sobre= 2
Sub=
0,0117
Mp =
0,2963 tp =
0.00046
n =
7071,1
Resist. das bobinas
72,8
Freq 20 50 100 200 500
1000
2000
5000
10000
20000
2a 4,9 5,1 5,2 5,2 5,1 5 5,2 5,2 5,2 5,2
2b 5,35 5,35 5,35
5,35 6,1 7,4 2 0,26
0,062
0,0145
2c 1,55 0,8
0,62 0,8 2,3 7,3 0,9 0,05
0,006
0,0015
Amp
0,7632
0,4157
0,247
0,247
1,5552
3,4052
-8,299
-26,0
2
-38,47
-51,0
9
Fase
-16,8
4 -8,6
-6,655
-8,6
-22,1
5
-80,5
7
-26,74
-11,0
9
-5,553
-5,93
8 cor
r. -
180 -180 -
180 -180 f
corr
-16,8
4 -8,6
-6,655
-8,6
-22,1
5
-80,5
7
-153
,3
-168,
9
-174
,4
-174,
1
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
10 100 1000 10000 100000
Ganho
-180
-135
-90
-45
0
10 100 1000 10000 100000
Fase
Fa