Mecânica Quântica

• Postulados da Mecânica Quântica.• Equação de Schrondiger.• Bandas de Energia.

Ciência dos Materiais - CEUNES 2

Postulado de de Broglie

E h

hp

Para de Broglie a matéria está associada a uma freqüência :

Relação de de Broglie:

este é o comprimento de onda de de Broglie de uma onda de matéria associada ao movimento de uma partícula material com

momento p.

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Dualidade Onda-ParticulaNiels Henrik David Bohr enunciou o

princípio da complementaridade .

Dualidade Onda-Partícula

• Niels Bohr enunciou o princípio da complementaridade . Radiação e matéria não são apenas ondas ou partículas.

• Einstein unificou as teorias corpuscular e ondulatória para radiação e Max Born para a matéria.

• Funções de onda de matéria :

tx2senA)t,x(

Análogo ao campo elétrico de uma onda eletromagnética

vtx2senA)t,x(E

(leis da probabilidade)

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Dualidade Onda-Particula

, i wt kr i wt krr t Ae Be

Análogo ao campo elétrico de uma onda eletromagnética

leis da probabilidade

Niels Henrik David Bohr enunciou o princípio da complementaridade .

Einstein unificou as teorias corpuscular e ondulatória para radiação e Max Born para a matéria.

Funções de onda de matéria de Max Born:

.

0, i wt k rE r t E e

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Dualidade Onda-Particula

, , ,P r t r t r t

Esta grandeza especifica a probabilidade, por unidade de comprimento, de encontrar a partícula próxima da coordenada x em um instante t.

Max Born postulou esta relação:

A função de onda proposta por Max Born não tem significado físico.

A ligação básica entre as propriedades da função de onda (x,t) e o comportamento da partícula associada é expressa em termos da densidade de

probabilidade P(x,t):

( , ) , , 1P x t dx x t x t dx

Onde temos:

Primeiro Postulado

O estado de um sistema físico é definido por uma função de onda r, t).

Any system can be described by a wave function  , where t is a parameter representing the time and r represents the coordinates of the system. Function must be continuous, single valued and square integrable.

P(x,t) * (x,t) (x,t)

P(x,t) dx * (x,t) (x,t) dx 1

5) A Interpretação da função de onda

( , )x t

2( , ) ( , )P x t x t (Interpretação probabilística)

Dualidade onda-partícula: Todos os portadores de energia e momento se propagam como onda e trocam energia como partícula.

Princípio da incerteza:

2 1dx

2xx p

(Werner Heisenberg)

Segundo PostuladoTo every observable in classical mechanics there corresponds a linear, Hermitian operator in quantum mechanics. http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node20.htmlhttp://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node16.html#subsub:HermitOps

Every measurable physical quantity A is described by an operator A acting in E; this operator is an observable.

Com a função de onda podemos calcular a probabilidade de “localização” de uma partícula em qualquer instante. Entretanto, para calcular outras grandezas relativas ao seu movimento é preciso introduzir o conceito de operador. A cada grandeza física corresponde um operador matemático que opera na função de onda.

Table 1: Physical observables and their corresponding quantum operators (single particle)

Observable Observable Operator OperatorName Symbol Symbol OperationPosition     Multiply by  

Momentum                                   Kinetic energy                                   Potential energy               Multiply by       

Total energy                                             Angular momentum                           

                                                       

Operadores.A função de onda de um elétron livre é dada por:

0ik x iwt(x,t) Ae O operador energia é dado por:

opE it

Aplicado a função de onda do elétron livre isto leva a:

0ik x iwtopE (x,t) i Ae w (x,t)

tE w

Operadores

)],([)],([

:,

),(21

),(2

2

2

txt

itxH

tiHe

xip

ondeoperadoresdefunçãoumaéEstat

itxVx

im

txVm

pH

Any observable (i.e., any measurable property of the system) can be described by an operator. The operator must be linear and hermitian. http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vvv/node2.html

Terceiro PostuladoThe only possible experimental results of a measurement of an observable are the eigenvalues of the operator that corresponds to such observable.

Note que se o espectro de A é discreto os resultados obtidos ao medir A´ são quantizados.

Postulado 3Uma vez definidos os operadores, pode-se obter o valor das respectivas propriedades de uma função de onda empregando-se: a) a equação de autovalores ou b) o teorema do valor médio. Uma equação de autovalores corresponde a seguinte expressão:

Se Ψ corresponde a uma função de onda bem-comportada e  é o operador de uma propriedade física qualquer, diz-se que Ψ é uma autofunção do operador  quando a acima é obedecida. Em outras palavras, a aplicação do operador  sobre a função de onda Ψ, produz a mesma função de onda multiplicado por uma constante λ. O valor da propriedade desejada corresponde ao da constante λ. Esta constante λ também é chamada de autovalor do operador Â. Sendo o operador  hermitiano, pode-se garantir que λ será sempre um número real e, conseqüentemente compatível com grandezas mensuráveis fisicamente.

A

ExpansãoThe eigenfunctions of a linear and hermitian operator form a complete basis set. Therefore, any function that is continuous, single valued, and square integrable can be expanded as a linear combination of eigenfunctions fj of a linear and hermitian operator   as follows,

j jj

(x) C (x) f

j j jA (x) (x)f f

http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node20.html

Valor MédioEntretanto, é comum o fato de termos várias funções de onda que são autofunções de um determinado operador (ou melhor, uma função de onda que é composta por diversas). Neste caso, para determinar-se o valor dessa propriedade lança-se mão da seguinte expressão:

onde   corresponde ao valor médio da propriedade representada pelo operador  em um sistema caracterizado por uma função de onda Ψ. A barra sobre o símbolo λ é utilizada para caracterizar o valor médio. Entretanto, é comum encontrarmos o valor médio representado como <λ>.

Quarto Postulado - Pula

Quinto PostuladoA evolução no tempo do estado de um sistema não perturbado é dada pela equação de Schroedinger dependente do tempo

http://www.mloos.eti.br/oldqt1/ccm/ccm1/tempo1.html

Se possível, ver págs 60 ... do livro texto.

Equação de Schroedinger• A equação de Schroedinger é a equação

diferencial que satisfaz a todas as hipóteses relativas à equação de onda da mecânica quântica.

dx)t,x().t,x(*

dx)t,x(.x).t,x(*xe1dx)t,x().t,x(*

)t,x().t,x(*)t,x(Pt

)t,x(i)t,x()t,x(Vx

)t,x(m2

_

2

22

• P(x,t) é a probabilidade de uma partícula ser encontrada em uma coordenada entre x e x+dx no instante t.

Ciência dos Materiais - CEUNES 22

Equação de SchrödingerZurique, 1926: Peter Debye pede ao jovem físico

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger para discutir as idéias de de Broglie em um

seminário

Schrödinger procura a “equação de onda“ que deveser satisfeita pela função de onda de Max Born,

sabendo que:

E h w hp k

Ciência dos Materiais - CEUNES 23

Equação de SchrödingerTomando a função de onda proposta por de Broglie

E iwE iwt t

pik ik i

, i wt krr t Ae e utilizando a mesma seqüencia feita para as ondas eletromagnéticas

. .E ik E ik

Operador Momentoi pr

Eiw iw it t

i Et

Operador Energia

Ciência dos Materiais - CEUNES 24

Equação de Schrödinger

2 2

2i ( , )2

U r tt m r

212

E mv U

Sabendo que a energia pode ser escrita como:i p

r

i Et

212

p Um

Substituindo na equação de energia, temos:

Operador Hamiltoniano

A aplicação deste operador na função de onda de Max Born, nos fornece a Energia do sistema e seu momento e qual a relação de

dispersão.

Ciência dos Materiais - CEUNES 25

Equação de Schrödinger

22

2

, ,i ( , ) ,

2r t r t

U r t r tt m r

Esta é a equação de Schrödinger

Solução Para Partícula Livre)]wtkx(isen)wtkx[cos(C)t,x(

A função de onda é complexa.

Equação Independente do Tempo

ikxxmE2i

2

22

/iEt

AeAe)x(,0)x(VPara

)x(E)x()x(Vdx

)x(dm2

e)t(e)t()x()x(

)x(V)t,x(VSe