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Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA II
Exame (época normal) – 17/01/2003
NOME: ____________________________________________________________________________
Não esqueça de escrever o
nome
1) (4 VAL.) a) Uma partícula descreve um movimento no espaço definido pelas seguintes trajectória e lei
horária:
⋅==−+
=−+
tsyxyz
2001
012 ( ... e
000
≥=⇒=
yyt
)
Caracterize-o indicando se se trata de um movimento plano ou não plano, rectilíneo ou curvilíneo, uniformemente variado ou não uniformemente variado. Justifique devidamente a resposta.
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A partícula descreve um movimento definido pela intersecção de uma superfície plana ( 01=−+ yz ) com
uma superfície curva cuja projecção no plano oxy representa a equação da parábole ( 012 =−+ yx ). Logo,
a trajectória é plana, i.e. situa-se no plano 01=−+ yz , e curvilínea, dado que a intersecção das duas
equações representa uma linha curva. Quanto à aceleração, como a velocidade linear é constante,
20==dtdsv , a aceleração tangencial é nula; a aceleração normal é diferente de zero e variável no tempo de
modo inverso ao raio de curvatura, que num movimento parabólico não é constante. Logo, o movimento é
não uniformemente variado, i.e. o vector aceleração total não tem norma constante.
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b) Seja ( )tHor
o momento cinético de uma partícula de massa m em relação a um ponto O a descrever uma trajectória no espaço coincidente com a trajectória do centro de gravidade G de um corpo rígido de igual massa m. Nesta hipótese, poderão os momentos cinéticos do corpo rígido e da partícula em relação ao ponto O ser coincidentes? Se sim, diga em que condições. Justifique a resposta.
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O momento cinético da partícula em relação a um ponto O qualquer do espaço é dado por
( ) ( ) ( )tvtrmtH GGorrr⋅⋅= , sendo ( )trG
r o vector posição da partícula em relação ao ponto O e ( )tvG
r a
velocidade da partícula. Tratando-se do corpo rígido o mesmo momento cinético é calculado através da
expressão ( ) ( ) ( ) ( )tvtrmtHtH GGGorrrr⋅⋅+= , sendo ( )tHG
r o valor do momento cinético do corpo em relação
ao seu centro de massa, ( )trGr
o vector posição do centro de massa do corpo em relação ao ponto O e ( )tvGr
a velocidade do centro de massa do corpo. Se, tal como se indica no enunciado, as quantidades ( )trGr
e
( )tvGr
forem iguais para a partícula e para o corpo, então os dois momentos cinéticos poderão ser iguais se
( ) 0=tHGr
, o que se verifica se o corpo possuir apenas movimento de translação, i.e. rotação nula.
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c) Mostre o que acontece no choque central frontal elástico entre duas partículas A e B de igual massa que deslizam sobre uma superfície horizontal sem atrito.
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Se o choque é central os centros das duas massas que
colidem encontram-se na linha de choque; se é
frontal as velocidades das duas partículas têm a
direcção da linha de choque (ver a figura). Nestas
condições, e porque o choque é elástico e ocorre
numa superfície plana sem atrito, existe conservação da quantidade de movimento e da energia cinética do
sistema, i.e. ( ) ( )DepoisBBAAAntesBBAA vmvmvmvm ⋅+⋅=⋅+⋅ e ( )( ) 1==
−
−e
vvvv
AntesBA
DepoisAB , arbitrando para
sentido positivo para as velocidades o indicado na figura. Resolvendo as duas equações conclui-se que se as
massa das duas partículas forem iguais que ( ) ( )AntesADepoisB vv = e ( ) ( )AntesBDepoisA vv = .
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d) Considere o corpo rígido de massa m=10kg indicado, ligado a uma estrutura de rigidez k=100kN/m (constituída por dois pilares de massa desprezável), em vibração livre horizontal imposta por um deslocamento inicial uo. Indique qual o deslocamento máximo que esperaria encontrar na estrutura (=, > ou < a uo) e esboce a variação do deslocamento no tempo para as hipóteses de amortecimento superior (ξ=1.5) ou inferior (ξ=0.1) ao valor crítico ccr. Diga em que condições a estrutura poderia entrar em regime de ressonância para deslocamentos horizontais.
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O deslocamento máximo ocorre no momento inicial de imposição do deslocamento de partida, decrescendo
no tempo, tal como se apresenta na figura anexa. A estrutura entraria em regime de ressonância se fosse
actuada por uma força de variação sinusoidal ( ( ) ( )tptp o ⋅⋅= ωsin ) com uma frequência angular ω
próxima da frequência angular ω natural do sistema, ξ , sendo ξωω −⋅= 1 o amortecimento relativo do
sistema.
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u
m
So l u ção d a E q u a ção d e M o v i me n t o
- 1
- 0 , 5
0
0 , 5
1
1, 5
0 5 10 15 2 0 2 5
t [ s ]
ξ = 0,10
So l u ção d a E q u a ção d e M o v i me n t o
0
0 , 0 2
0 , 0 4
0 , 0 6
0 , 0 8
0 , 1
0 , 12
0 2 4 6 8 10 12
t [ s ]
ξ = 1,50
Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA II
Exame (época normal) – 17/01/2003
NOME: ____________________________________________________________________________
Não esqueça de escrever o
nome
Assinale nas quadrículas verdadeiro V ou falso F .
Nota: Poderão existir mais do que uma ou nenhuma respostas verdadeiras.
COTAÇÕES: i. As respostas têm todas a mesma cotação.
ii. As respostas erradas descontam um terço das respectivas cotações.
iii. As respostas com quadrículas em branco não descontam.
5) (3 VAL.)
a) F De acordo com o teorema da composição das velocidades da cinemática do movimento
relativo, a velocidade de Coriólis num corpo móvel resulta da consideração de um referencial móvel em movimento relativamente a um referencial fixo.
V Sabendo que o vector rotação terrestre é dirigido do Pólo Sul para o Pólo Norte ao longo do eixo de rotação, se um veículo se deslocar, no hemisfério norte, ao longo da superfície terrestre a grande velocidade no sentido Norte para Sul sofrerá uma aceleração de Coriólis com uma direcção perpendicular à da trajectória e com um sentido da direita para a esquerda.
F Quando as velocidades em dois pontos quaisquer A e B de um corpo rígido são paralelas, com grandezas diferentes e a direcção AB é perpendicular à direcção comum das velocidades, então esse corpo encontra-se em movimento de translação.
F Se um corpo rígido se encontra em movimento de translação relativamente a um referencial fixo S1, então a aceleração medida em relação ao referencial S1 é igual à aceleração que é medida no referencial móvel S com origem no centro de massa do corpo.
b)
V Num choque central oblíquo entre dois corpos, se esses corpos se encontravam em movimento de translação antes do choque, então permanecem em movimento de translação após o choque.
F Num choque directo e frontal, as velocidades dos centros de massa dos corpos que colidem têm a direcção da linha de choque mas com sentidos contrários após o choque.
F No estudo do choque entre corpos rígidos aplica-se sempre o princípio da conservação da energia mecânica.
F Se o choque entre dois corpos não for elástico (coeficiente de restituição diferente de 1), então a quantidade de movimento dos corpos após o choque é diferente da quantidade de movimento antes do choque.
c)
F Se um corpo rígido estiver em equilíbrio então o momento cinético em qualquer ponto e em qualquer instante é nulo.
F O momento cinético de um corpo rígido num ponto fixo qualquer é igual ao momento cinético em relação a esse ponto de uma partícula de massa igual à massa total do corpo, localizada no centro de massa e movendo-se com uma velocidade igual à velocidade do centro de massa.
V O momento de inércia I∆ de um corpo rígido é uma medida de inércia de rotação desse corpo.
V Se um corpo rígido roda em torno de um eixo fixo ∆ que passa pelo ponto O, então a projecção do vector momento cinético, oH
r, na direcção do eixo de rotação tem a grandeza
∆∆ ⋅= IH ω , onde ω é a velocidade angular e I∆ é o momento de inércia de massa em relação ao eixo ∆.
d) A figura ilustra uma plataforma mecânica de 4000kg de massa apoiada num sistema de molas, que se destina a suportar veículos pesados. O veículo-tipo pesado possui uma massa de 40000kg e a plataforma só se pode deslocar na direcção vertical:
F A equação u(t)=A·cos(ωt)+B·sen(ωt) é a solução geral do movimento oscilatório do sistema (plataforma+veículo) quando o veículo se encontra a funcionar e, por isso, induz movimento vibratório na plataforma.
V Se a rigidez total das molas for inferior a 1700kN então a frequência natural do sistema carregado pelo veículo-tipo não excede 1 ciclo por segundo.
F Se a frequência de vibração induzida pelo veículo em funcionamento é aproximadamente igual à frequência do sistema carregado e se o coeficiente de amortecimento é inferior a 20%, então o deslocamento vertical que se obtém na plataforma quando o veículo está em funcionamento é idêntico àquele que se obtém quando o veículo está desligado.
V Tendo em conta que o sistema tem amortecimento, a variação (diminuição) da amplitude do movimento oscilatório é menor quando o veículo sai da plataforma do que quando o veículo fica parado e desligado sobre a plataforma.