Mec^anica Geral (MEG) - joinville.udesc.br · Pref acio Apresentamos nesta apostila, um resumo da...

Mecanica Geral (MEG)

Luciano Camargo Martins

Departamento de Fısica

Grupo de Dinamica N~ao Linear e Sistemas Dinamicos N~ao Lineares

UDESC-Joinville-SC, Brasil

dfi2lcm@joinville.udesc.br

http://www.lccmmm.hpg.com.br

Revisao 0.0.3 de 25 de janeiro de 2005

Prefacio

Apresentamos nesta apostila, um resumo da teoria e alguyns exercıcios resolvidos especialmenteselecionados para o curso de Mecanica Geral da UDESC-Joinville. A apostila segue a mesmaestrutura do livro texto Mecanica, de K. R. Symon, porem o texto foi enriquecido com exemplosretirados de outras referencias bibliograficas1.

Alguns exemplos resolvidos foram bastante detalhados e ilustrados, a fim de demosntrar ao alunoa abordagem mais refinada que se da no estudo da Mecanica Geral, mesmo a problemas simplese elementares.

Tendo-se a paciencia de ler os exercıcios resolvidos, o aluno tera melhor visao do que se esperade uma “solucao”de um problema de fısica no ambito da Mecanica Classica, e por extensao, dequalquer outra area da Fısica.

Ao final do texto, nos apendices, estao tabelas de formulas e expressoes especıficas para cada umdos sistemas de coordenadas mais usados neste curso, sao eles: o sistema cartesiano, o esferico eo cilındrico.

Bom estudo e divirtam-se!

Professor Luciano Camargo MartinsJoinville, 25 de janeiro de 2005

1Veja-se as referencias bibliograficas.

Sumario

1 Elementos de Mecanica Newtoniana 1

1.1 Mecanica, uma ciencia exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Cinematica, a descricao do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Dinamica, massa e forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 As leis do movimento, de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4.1 Alguns comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Gravitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5.1 Uma Forca Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Unidades e dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6.1 Notacao vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Alguns problemas elementares de Mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Movimento Unidimensional de uma Partıcula 14

A Sistemas de Coordenadas 28

A.1 Coordenadas Cartesianas (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A.1.1 Posicao, Velocidade, Aceleracao, etc... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A.1.2 Gradiente e Laplaciano de uma funcao escalar ϕ = ϕ(x, y, z) . . . . . . . . 29

A.1.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Ax i + Ay j + Az k . . 29

A.1.4 A Regra da Mao Direita para o produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . 29

A.2 Coordenadas Cilındricas (ρ, ϕ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

A.2.2 Gradiente e Laplaciano de uma funcao escalar f = f(ρ, ϕ, z) . . . . . . . . 31

A.2.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Aρ uρ + Aϕ uϕ + Az k 31

A.3 Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

A.3.2 Gradiente e Laplaciano de uma funcao escalar f = f(r, θ, ϕ) . . . . . . . . 33

A.3.3 Divergente e Rotacional e um vetor A = Ar ur + Aθ uθ + Aϕ uϕ . . . . . . 33

Capıtulo 1

Elementos de Mecanica Newtoniana

1.1 Mecanica, uma ciencia exata

A Mecanica e a parte da Fısica que descreve e prediz as condicoes de repouso ou movimento decorpos sob a acao de forcas.

O problema geral da mecanica. Dadas as condicoes iniciais (posicoes e velocidades) dos corposde interesse (sistema mecanico em estudo), as forcas que atuam sobre estes corpos e as equacoesbasicas que devem ser satisfeitas (leis de Newton) em geral quer-se encontrar, em qualquer instantefuturo, as novas posicoes e velocidades destes corpos.

Neste sentido, diz-se que a Mecanica e determinıstica pois as equacoes admitem em geral apenasuma solucao, e em condicoes ideais, seria entao possıvel se predizer o futuro de um sistemamecanico, desde fosse possıvel resolver analiticamente as equacoes de Newton do sistema, o queem geral e impossıvel. Apenas para alguns poucos sistemas muito simplificados sera possıvel umadescricao exata, sendo em geral, baseados em modelos muito irreais. Por exemplo, uma partıculaem queda livre pode ser idealizada, modelada e seu movimento completamente determinado, emcondicoes ideais onde muitas simplificacoes sao feitas. A pergunta e a seguinte, poderemos observaresse tipo de sistema no mundo real e o seu comportamento mecanico sera o mesmo?

1.2 Cinematica, a descricao do movimento

Repouso e movimento sao conceitos relativos, isto e, dependem da escolha de um referencial ondeesta o observador. Assim, para descrever um dado movimento, um observador deve definir umsistema de referencia, ou referencial, a partir do qual ele fara as medicoes necessarias para a oestudo do movimento de interesse.

Num dado refencial O, um observador pode medir a passagem de uma partıcula num ponto decoordenadas (x, y, z) num dado instante t. Um outro observador num outro referencial O ′, observao mesmo fenomeno e determina que a partıcula estava no ponto (x′, y′, z′) no instante t′, marcadono seu relogio local. Ambos observaram a mesma partıcula, mas podem chegar a conclusoesdiferentes. Por exemplo, um deles pode concluir, apos uma segunda medicao, que a partıcula estaem repouso, e o outro que ela esta em movimento. Ambos podem estar certos, e descrevem omovimento relativo da partıcula visto de cada um dos dois referenciais O e O ′ simultanamente.

A Mecanica Classica baseia-se nessa ideia de Galileu, de que o espaco e relativo, ou seja, dependedo referencial adotado, porem o tempo e absoluto e universal e nao depende do referencial usado.Para os observadores da partıcula no caso exposto acima, mesmo que ambos tivessem leiturasdiferentes em seus relogios, estaria determinando o mesmo instante universal, se seus relogios

CAPITULO 1. ELEMENTOS DE MECANICA NEWTONIANA 2

estivessem sincronizados.

Mesmo com medicoes diferentes no espaco e no tempo, Galileu imaginou que as leis da naturezadeveriam ser invariantes, ou seja, ter a mesma foema matematica em qualquer referencial que semovam com velocidade constante, uns em relacao aos outros, os ditos referenciais inerciais.

Considerando-se que as coordenadas (x, y, z, t) de uma partıcula podem assumir qualquer valorreal, ou seja, sao variaveis contınuas, podemos usar o calculo diferencial e definir as velocidades

vx =dx

dt, vy =

dte vz =

dt(1.1)

e acelacoes

ax =dvxdt

dt2, ay =

dt2e az =

dt2(1.2)

ao longo dos eixos X, Y e Z do referencial O usado.

Ou seja, as funcoes x(t), y(t) e z(t) descrevem completamente o movimento da partıcula aolongo dos respectivos eixos espaciais, e portanto, o seu movimento no espaco fica completamentedeterminado, e pode ser descrito pelo vetor de posicao

v(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (1.3)

numa base cartesiana ortonormal {i, j,k}. Como sera visto nos capıtulos seguintes, existem outrasbases vetoriais possıveis para representar o vetor r(t), e as mas usadas alem da cartesiana, sao abase cilındrica e a base esferica.

1.3 Dinamica, massa e forca

Os conceitos de massa, inercia e forca sao fundamentais na Mecanica de Newton, sao conceitosprimitivos, ou seja nao derivados. Tais conceitos provem intuitivamente da experimentacao cui-dadosa feita em laboratorio, usando-se diferentes corpos e medindo-se os efeitos causados nos seusmovimentos durante colisoes, por exemplo.

Dessa experimentacao meticulosa e exaustiva, pode-se concluir que, para dois corpos de massasmA e mB, por exemplo, as aceleracoes sofridas estao na razao inversa de suas massas, ou seja:

ou ainda, podemos dizer que mA aA = mB aB = constante. A essa constante chamamos de “forca”.

1.4 As leis do movimento, de Newton

Revisao das leis de Newton, desenvolvidas em 1687, para corpos de massa constante:

Primeira lei de Newton. Um corpo permanece em repouso ou com velocidade constante (aceleracaozero) quando abandonado a si mesmo, isto e, quando forcas externas nao atuam sobre ele.

a = 0⇐⇒ F = 0 (1.5)

Esta e a chamada lei da inercia, pois o estado de movimento (velocidade) de um corpo so seraalterado se alguma forca externa nao nula atuar sobre o corpo. Observe que, a partir desta lei,podemos concluir que um corpo pode se mover indefinidamente (por inercia) mesmo que nenhuma

forca atue sobre ele, ou seja, nao e necessario a presenca de uma forca para manter um corpo emmovimento, ou em repouso, num caso particular de movimento.

Segunda lei de Newton. A forca total (ou resultante) s0bre um corpo e o produto da massa m docorpo vezes a sua aceleracao a:

F = ma (1.6)

Esta lei tambem e conhecida como princıpio funcamental da Mecanica, pois, no caso de haver umaforca resultante sobre um corpo, ela permite se determinar qual a aceleracao que este corpo tera,ou seja, com que taxa temporal o seu estado de movimento sera alterado.

Observe tambem que a aceleracao sofrida pelo corpo de massa m, para uma dada forca resultanteF, sera inversamente proporcional a sua massa. Neste sentido, dizemos que a massa de um corpoe uma mediade de sua inercia.

m(1.7)

Ou seja, quanto maior a massa de um corpo (maior sua inercia) menor o efeito causado pelaforca sobre ela (aceleracao). Observe tambem que a aceleracao a sofrida pelo corpo sera sempreproporcional a forca resultante F, e portanto estes vetores terao sempre a mesma direcao e omesmo sentido, uma vez que a massa m sera sermpre positiva.

Mas cuidado, nao se pode descrever o movimento de uma partıcula de massa nula, sob a acao deuma forca resultante nao nula, pois terıamos uma aceleracao infinita, o que nao tem sentido fısico.

Terceira lei de Newton. Sempre que dois corpos 1 e 2 interagem, a forca F12, que o corpo 1 exercesobre o corpo 2, e igual e oposta a forca F21, que o corpo 2 exerce sobre o copor 1:

F12 = −F21 (1.8)

Essa lei e chamada de lei de acao e reacao, e segundo ela, as forcas de contato que ocorrem emcolisoes, por exemplo, aparecem sempre aos pares. Desta forma nao e possıvel se produzir umaforca sem que uma reacao contraria tambem surja. Observe que esse par de forca em geral naotuam no mesmo corpo, nao se anulando, portanto. E claro que as forcas sao indistiguıveis, ouseja, nao faz diferenca qual das forcas chamamos de acao, ou reacao.

1.4.1 Alguns comentarios

Existem limitacoes para a validade da terceira lei, pois ela pressupoe que as forcas sejam medidasinstantaneamente, ou seja, que as partıculas nao se movam muito durante o tempo da colisao.Esta aproximacao e muito boa para uma colisao de dois automoveis, pois o intervalo de tempoda colisao e muito maior do que o tempo que um raio de luz leva para atravessar um automovelamassado de tamanho L:

∆t ≈ L

c≈ 3, 0 m

3, 0× 108 m/s≈ 10−8 s (1.9)

Essa aproximacao nao funciona bem para colisoes de partıculas atomicas de alta energia, porexemplo.

As duas primeiras leis valem somente quando se observa o corpo em sistemas de referencia naoacelerados, como mostra a nossa experiencia diaria. Para um corpo permanecer em equilıbrionum sistema acelerado, num onibus freando, por exemplo, e necessario que atue sobre ele umaforca. Nao havendo essa forca, o corpo nao ira frear junto com o onibus, mentendo sua velocidadeconstante, para um observador fora do onibus, ou seja, o corpo sera lancado para a frente, podendomesmo sair pelo parabrisa do onibus.

1.5 Gravitacao

A lei da gravitacao universal, proposta por Newton em 1685, e um modelo matematico paradescrever a interacao entre massas de pequenas dimensoes (partıculas), e pode ser usada paraexplicar desde o mais simples fenomeno, como a queda de um corpo proximo a superfıcie daTerra, ate, o mais complexo, como as forcas entre corpos celestes, traduzindo com fidelidade suasorbitas e os diferentes movimentos.

Segundo a lenda, ao observar a queda de uma maca, Newton ficou intrigado ao ver a Lua no ceue teria se perguntado porque a Lua nao cai, como a maca. Ele investigou a hipotese de que elaambas, Lua e maca, deveriam ser atraıdas pela Terra, segundo uma mesma lei simples, e chegouna famosa lei de gravitacao. A natureza desta forca atrativa e a mesma que deve existir entre aTerra e a Lua ou entre o Sol e os planetas; portanto, a atracao entre as massas e um fenomenouniversal.

1.5.1 Uma Forca Elementar

Sejam duas partıculas de massas m1 e m2, separadas por uma distancia r. Segundo Newton, aintensidade da forca F de atracao entre as massas e dada por

F = Gm1m2

r2(1.10)

onde G e uma constante, a constante da gravitacao universal, sendo seu valor expresso, no SistemaInternacional, por

G = 6, 67× 10−11 N ·m2/kg2 (1.11)

��

��F

Figura 1.1: Duas partıculas se massas m1 e m2 sempre se atraem mutuamente, dando origem aum par de forcas F12 e F21.

As forcas F12 e F21 e a da reta que une as partıculas, e o sentido tal que as massas sempre seatraem mutuamente, com mesma intensidade de forca, ou seja

F12 = F21 (1.12)

Podemos, ainda, enunciar a lei da gravitacao universal do seguinte modo:

Dois corpos se atraem gravitacionalmente com forca cuja intensidade e diretamenteproporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado dadistancia entre seus centros de massa.

Apos a formulacao da lei da Gravitacao, com o desenvolvimento do calculo integral, Newtontambem mostrou que a forca gravitacional entre esferas homogeneas tambem segue a mesmaforma estabelecida para as partıculas. E tambem vale a mesma forca para uma partıcula e uma

esfera homogenea. Esse resultado foi tao surpreendente para o prooprio Newton, que inicialmentenem ele acreditou no que havia provado matematicamente!

Aplicando-se a lei de gravitacao para um corpo de massa m na superfıcie da Terra, temos entao

F = GMTm

m = mg = P

onde RT e MT sao o raio e a massa da Terra, respectivamente, e a forca obtida chamamos peso.

Medidas atuais mostram que MT = 5, 98×1024 kg e RT = 6, 37×106 m. A constante g que apareceacima e justamente a aceleracao da gravidade na superfıcie da Terra. Experimente calcular g comos dados fornecidos!

Observacoes importantes

1. A forca gravitacional e sempre atrativa;

2. A forca gravitacional nao depende do meio onde os corpos se encontram imersos;

3. A constante da gravitacao universal G teve seu valor determinado experimentalmente porHenry Cavendish, em 1798, por meio de um instrumento denominado balanca de torcao eesferas de chumbo.

Pense e Responda!

• Qual a direcao e o sentido da forca de atracao gravitacional exercida pela Terra sobre oscorpos que estao proximos a superfıcie?

• A aceleracao da gravidade na Lua e 6 vezes menor do que a aceleracao da gravidade proximaa superfıcie da Terra. O que acontece com o peso e a massa de um astronauta na Lua?

• O valor da aceleracao da garvidade e relevante para os esportes?

1.6 Unidades e dimensoes

Neste curso usaremos preferencialmente o Sistema Internacional de Unidades (SI) para representaras medidas numericas das grandezas fundamentais da Mecanica:

grandeza dimensao unidade SI sımbolocomprimento L metro mmassa M kilograma kgtempo T segundo svelocidade LT−1 metro por segundo m/saceleracao LT−2 metro por segundo, por segundo m/s2

forca MLT−2 newton N = kg ·m/s2

momento linear MLT−1 newton vezes segundo N · s = kg ·m/s

Sempre que um problema envolva calculos numericos, usaremos a notacao cientıfica para repre-sentar as medidas (intensidades) das grandezas envolvidas.

Muitos dos exercıcios e problemas do final de cada capıtulo do livro texto do curso [1], sao bastantesimilares, de modo que o aluno deve escolher apenas um de cada tipo para atividade de casa.

Sugerimos ao aluno, ler sempre a parte teorica e os exemplos feitos no livro texto, antes de tentarresolver os problemas escolhidos, relativos a uma determinada secao do livro texto, ou capıtulo.A discussao e estudo em grupo de alunos pode ser feita, porem cada aluno deve finalmente sercapaz de responder por escrito a cada um dos problemas estudados, com suas proprias palavras.

Para a completa e correta solucao dos problemas propostos, o aluno devera formular as hipotesesnecessarias e suficientes para desenvolver seus calculos a partir de primeiros princıpios, ou seja,dos princıpios fundamentais e das leis fısicas basicas envolvidas em cada tipo de problema.

Neste processo de desenvolvimento e solucao de problemas, e imprescindıvel que o aluno observe asunidades das medidas e grandezas a serem determinadas/utilizadas, a sua correta representacao emum sistema de medidas, preferencialmente o Sistema Internacional de medidas (SI), as dimensoesdestas grandezas e a sua representacao com o numero correto de algarismos significativos, istoquando tratar-se de problemas com resultados numericos a serem obtidos. A fim de minimizara propagacao de erros numericos sugerimos que o aluno use, sempre que possıvel, pelo menostres algarismos significativos para as grandezas medidas e resultados obtidos nos problemas queenvolvam calculos numericos.

Nos problemas cuja solucao e puramente algebrica analıtica, o aluno deve fazer uso da analisedimensional para verificar a homogeneidade dimensional das expressoes e resultados obtidos, tes-tando sempre que possıvel os limites conhecidos destas expressoes, e comparando seus resultadoscom outros resultados gerais ja estudados.

1.6.1 Notacao vetorial

Os livros de Fısica, em geral, fazem o uso de letras em negrito para representar grandezas vetorias.Por exemplo, a segunda lei de Newton e escrita na forma F = ma, que e completamente equivalentea forma classica ~F = m~a, preferida por alguns autores. Quando alguma formula vetorial formanuscrita, devemos fazer uso da segunda forma, para que fique claro o carater vetorial ou escalarde cada grandeza, ja que normalmente nao escrevemos em negrito.

1.7 Alguns problemas elementares de Mecanica

1) Calcule a forca de atracao gravitacional entre um eletron e um proton separados por umadistancia de 0, 5 A (1 A = 10−8 cm). Compare com a forca de atracao eletrostatica cuja distanciade separacao seja a mesma.

Considerando-se o proton e o eletron como partıculas de massas mp e me, respectivamente, a forcagravitacional (atrativa) entre eles tera a seguinte intensidade (modulo), dada pela lei de gravitacaode Newton

FG =Gmpme

(6, 67× 10−11 N ·m2/kg2)(1, 67× 10−27 kg)(9, 11× 10−31 kg)

(0, 5× 10−10 m)2

FG = 4× 10−47 N . (1.13)

A forca eletrica entre estas partıculas, tambem atrativa, segundo a lei de Coulomb

FE =k qp qer2

=(8, 99× 109 N ·m2/C2)(1, 60× 10−19 C)2

(0, 5× 10−10 m)2= 9× 10−8 N . (1.14)

Dividindo-se os modulos das forcas, obtemos a razao

=9× 10−8 N

4× 10−47 N≈ 2× 1039 (1.15)

ou seja, a forca eletrica e muito maior (≈ 1039 vezes) do que a forca gravitacional. J

2) Dois carros1 , A e B, movem-se no mesmo sentido. Quando t = 0, suas respectivas velocidadessao 1 m/s e 3 m/s, e suas respectivas aceleracoes sao 2 m/s2 e 1 m/s2. Se no instante t = 0 ocarro A esta a 1, 5 m a frente do carro B, determinar o instante em que eles estarao lado a lado.

Analise inicial. Vamos investigar inicialmente qual tipo de problema que esta sendo proposto.Como o problema envolve apenas o movimento de dois carros, cujas massas sao desconhecidas enenhuma forca e dada, concluimos que se trata de um problema de cinematica.

Modelo. Vamos supor que os carros se movam numa pista reta e horizontal, da esquerda para adireita (sobre o eixo X, no sentido crescente do eixo, por exemplo).

Nosso “sistema mecanico”de interesse inclui os dois carros e o referencial do chao, a pista:

xB xAXO

3 m/s 1 m/s

Figura 1.2: O nosso modelo simplificado para o sistema de dois carros A e B, no instante inicialt = 0.

Equacoes de movimento. Vamos supor tambem que os carros possam ser tratados comopartıculas uniformemente aceleradas, ou seja, estao em MRUV, e portanto, suas posicoes emfuncao do tempo seguem a forma geral

x(t) = x0 + v0(t− t0) +1

2a(t− t0)2 (1.16)

Como o carro A inicia o seu movimento adiante do carro B, em 1, 5 m, entao temos que xA0 =xB0 + 1, 5 m, e a sua posicao inicial, em funcao da posicao inicial xB0 do carro B, que nao e dada.Sera que esse dado e relevante?

A equacao de movimento para o carro A sera entao

xA(t) = xA0 + vA0(t− t0) +1

2aA(t− t0)2 = xB0 + 1, 5 m+ (1 m/s)t+

2(2 m/s2)t2 (1.17)

onde consideramos t0 = 0.

A posicao do carro B sera dada por

xB(t) = xB0 + vB0(t− t0) +1

2aB(t− t0)2 = xB0 + (3 m/s)t+

2(1 m/s2)t2 (1.18)

Solucoes. Vamos procurar o instante onde os carros ficam lado a lado, ou seja, ocupam a mesmaposicao sobre o eixo horizontal sem que haja colisao, resolvendo-se a equacao xA(t) = xB(t), ou deforma equivalente, vamos escrever xA(t)− xB(t) = 0, subtraindo as equacoes anteriores, de ondeobtemos:

(1, 5 m)− (2 m/s) t+ (1

2m/s2) t2 = 0 (1.19)

e multiplicando-se por 2 s2/m e reescrevendo

t2 + (−4 s) t+ (3 s2) = 0 (1.20)

1Referencia [2], problema 5.12, pagina 108.

e resolvendo para t, temos

t =−(−4 s)±

√(−4 s)2 − 4 · 1 · (3 s2)

2 · 1 (1.21)

t =4 s± 2 s

2(1.22)

e concluimos finalmente que os carros estarao lado a lado em dois instantes futuros: t− = 1 s et+ = 3 s.

Analise grafica. A partir do grafico da Fig. 1.3, confirmamos visualmente que as posicoes deambos coincidem nos instantes t− = 1 s e t+ = 3 s, e que suas posicoes nesses instantes sao,respectivamente, xA = xB = 4, 5 m e xA = xB = 13, 5 m, o que pode ser obtido analiticamentesubstituindo-se os instantes t− e t+, nas equacoes horarias xA(t) e xB(t). A concordancia dessesvalores obtidos, para ambos os carros, confirma o resultado esperado, que ambos estejam lado alado nesses instantes.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

carro B: velocidade inicial

carro A: velocidade inicial

carro A: x_A(t)carro B: x_B(t)

Figura 1.3: Os graficos da posicao versus tempo para os carros.

Analise geral. Para analise final do movimento, marcamos sobre o grafico as inclinacoes iniciais(tangentes) das curvas xA(t) e xB(t), donde se pode ver que o carro B, inicialmente mais lento,ultrapassa o carro A no instante t− = 1, 0 s e depois, no instante t+ = 3, 0 s, e ultrapassadopelo o carro A, que no inıcio era mais lento, porem possui aceleracao maior do que a do carroB. Observe dos graficos que a “curvatura”parabola (linha) de xA(t) e maior do que a de xB(t).Em geral, neste tipo de grafico, a curvatura e proporcional a segunda derivada da funcao, no casod2x(t)/dt2, que e a aceleracao do movel.

Contextualizacao. Este tipo de movimento ocorre frequentemente nas corridas (de Formula1, por exemplo) quando um carro B tenta ultrapassar outro A numa curva. Neste caso real o

movimento nao e retilıneo, mas as suas outras caracterısticas sao semelhantes as do problemaestudado. Para executar a tentativa de ultrapassagem, o piloto do carro B, que vem logo atrasdo carro A retarda a freada e entra na curva com maior velocidade, saindo do tracado ideal (demenor tempo).

Carro ACarro B

CHRTMRDUALALM

Figura 1.4: O piloto do carro B tenta ultrapassar o carro A e leva um “X”.

Desta forma o carro B consegue ultrapassar o carro A, mais lento, porem na retomada da velo-cidade, o carro A conseguira acelerar mais do que o carro B que fora do tracado ideal, nao terao mesmo rendimento (pista suja e maior percurso), sendo que o carro A ira, a seguir, retomar asua posicao a frente do carro B. Essa manobra e o famoso “X”, e diz-se que o piloto do carro Btomou um “X”do piloto do carro A, o que e considerado bastante “humilhante”para o piloto B,pois suas intencoes de ultrapassar o carro A foram frustadas. Veja-se a Fig. 1.4. J

3) Um carro 2 de massa M , transportando quatro pessoas, cada uma com massa m, viaja em umaestrada de terra coberta de pequenas ondulacoes (costeletas), com saliencias separadas de umadistancia λ. O carro balanca com amplitude maxima quando sua velocidade e v. O carro parae os quatro passageiros desembarcam. De quanto sobe a carroceria do carro em sua suspensao,devido ao decrescimo de peso?

Como primeira hipotese, vamos supor por simplicidade que o carro seja um sistema massa-molaamortecido, ja que sua carroceria esta apoiada sobre a sua suspensao, baseada em quatro molas(em paralelo), amortecedores, rodas e pneus. Como a maior parte da massa do carro esta nasua carroceria, e nos quatro passageiros embarcados, vamos considerar que o carro e um osciladormassa-mola amortecido de massa total mt = M + 4m, ligado a uma mola de constante elasticaefetiva k, que inclui o efeito de todas as molas de sua suspensao.

2Veja ref. [4]

��

Figura 1.5: Um automovel andando com velocidade v sobre uma estrada com ondulacoes (costele-tas), igualmente espacadas de uma distancia λ, fica sujeito a impulsos verticais periodicos.

A medida que o carro se desloca na estrada com velocidade constante v, as saliencias produzemforcas verticais (impulsos) periodicos, ja que estao igualmente espacadas de uma distancia λ. Operıodo T desta forca externa que atua sobre o carro sera exatamente o tempo que o carro levapara se deslocar de uma saliencia ate a outra, ou seja, como

v = λ/T (1.23)

entao temos queT = λ/v (1.24)

Podemos dizer entao que essa forca externa produzida pelas ondulacoes da estrada possuem umafrequencia angular

ω = 2π/T = 2πv/λ . (1.25)

Como o motorista do carro observou que a amplitude das oscilacoes verticais feitas pelo carroe maxima quando ele se desloca com uma dada velocidade v, podemnos supor que o carro, ouo sistema massa-mola equivalente, entra em ressonancia nessa velocidade, devido aos impulsosexternos periodicos de frequencia ω.

Sabendo-se que um sistema massa-mola possui frequencia natural de oscilacao dada por

m(1.26)

onde m e sua massa e k o valor da constante elastica da mola a qual a massa esta conectada,podemos supor que, para o nosso carro

M + 4m. (1.27)

Como o carro entrou em ressonancia na velocidade v, supomos entao que foi atingida a condicaode ressonancia, ou seja

ω ' ω0 (1.28)

2πv/λ '√

M + 4m(1.29)

de onde podemos obter a constante elastica k efetiva do carro:

k ' (2πv/λ)2 (M + 4m) . (1.30)

Finalmente, como a suspensao do carro segue a lei de Hooke, ao se acrescentar a massa dos quatropassageiros (que entraram no carro), a deformacao da carroceria (suspensao) pode ser calculadada lei de Hooke:

F = −k∆x (1.31)

onde k e a constante elastica efetiva da suspensao do carro e F e a forca peso (4mg) acrescentadaao sistema. Em modulo, a deformacao ∆x sera entao

∆x =F

k. (1.32)

E importante se observar que a constante elastica k de uma mola mede a sua “rigidez”, ou seja,quanto maior o seu valor mais “dura” ela e, e mais difıcil e a sua deformacao. Porem, dentrode uma faixa de deformacao elastica, a rigidez de uma mola que segue a lei de Hooke e semprea mesma, fazendo juz ao nome de “constante”. Sendo assim, nao e relevante o fato das molasdo carro ja estarem comprimidas, pelo seu proprio peso (Mg), antes dos passageiros tomaremassento.

Ao deixarem o carro, o excesso de peso 4mg e removido do sistema e a carroceria do carro entaosobe a mesma quantidade que ela baixou quando os passageiros entraram no carro.

Portanto, a partir das equacoes (1.30) e (1.32), podemos concluir que, a carroceira devera subiraproximadamente

∆x ' 4mg

(2πv/λ)2(M + 4m). (1.33)

quando os passageiros saırem do carro.

Numericamente, se utilizarmos dados razoaveis como M = 1.000 kg, m = 75, 0 kg, g = 9, 81 m/s2,v = 10, 0 m/s e λ = 15, 0 m, teremos

∆x ' 4(75, 0 kg)(9, 81 m/s2)

{(2π)(10, 0 m/s)/(15, 0 m)}2(1.000 kg + 4(75, 0 kg))= 0, 129 m . (1.34)

Comentarios

Na solucao simples proposta para esse problema, e notavel a quantidade de hipoteses, consi-deracoes, aproximacoes, fenomenos e leis fısicas envolvidas e necessarias ao seu desenvolvimento.

Apos um longo e encadeado raciocınio, baseado num modelo simples — o sistema massa mola,chegamos a solucao dada pela equacao (1.33), que dificilmente poderia ter sido obtida por ummetodo muito mais simples do que este apresentado acima. Porem, esta e somente uma solucaoproposta, e esperamos que um aluno de Fısica consiga, com suas proprias palavras e metodos,chegar a uma solucao propria do mesmo problema, quem sabe mais simples ainda.

Na Fısica, consideramos que a beleza esta na simplicidade, na generalidade e na clareza, tantoem se tratando da formulacao de um problema, quanto na sua solucao. Como preenche esses tresrequisitos basicos, considero que este e um belo problema de Fısica, francamente, o mais belo detodos que ja vi. J

4) Uma forca horizontal F e feita sobre um bloco de massa m que esta em repouso sobre um planosem atrito, inclinado de um angulo θ com a horizontal.

A) Determine a intensidade da forca F para o equilıbrio do bloco.

Para o sistema de eixos XY usual, temos que ter, para o equilıbrio do bloco:∑

Fx = F −N sin θ = 0 (1.35)∑

Fy = P −N cos θ = 0 (1.36)

ja que a normal N faz um angulo θ com o eixo Y .

Dividindo-se as equacoes de equilıbrio temos:

F/P = tan θ (1.37)

donde, finalmente

F = P tan θ = mg tan θ (1.38)

B) Determine a posicao x(t) do bloco, se a forca horizontal for removida.

Definindo-se um sistema de eixos X ′Y ′, sendo o eixo X ′ paralelo ao plano inclinado teremos,depois da remocao da forca F: ∑

Fx′ = −mg sin θ = ma (1.39)

e cancelando-se a massa m do blocoa = −g sin θ (1.40)

que e a aceleracao constante do bloco, na descida do plano.

Como a = dv/dt, para o caso de aceleracao constante, temos:

∫ v(t)

a dt′ = a

dt′ = a t (1.41)

entaov(t) = v0 + a t (1.42)

e como v0 = 0, temos que v(t) = at.

E como v = dx/dt, temos:

∫ x(t)

v(t′) dt′ =

(v0 + at′)dt′ (1.43)

x(t)− x0 = v0t+1

2at2 (1.44)

e se fizermos x0 = 0 e v0 = 0, teremos

x(t) =1

2at2 (1.45)

Para o bloco solto em repouso na origem do sistema X ′Y ′, finalmente teremos:

x(t) =1

2g sin θ t2 . (1.46)

5) Um projetil de massa m e lancado verticalmente com velocidade inicial v0 da superfıcie de umaplaneta de massa M e raio R, sem atmosfera, e observa-se que ele atinge uma altura maxima h,acima de sua superfıcie. A) Escreva uma expressao particular para a massa desse planeta.

Como a forca gravitacional e conservativa, e o planeta nao tem atmosfera, pode-se usar o teoremado trabalho-energia, para as posicoes inicial e de altura maxima do projetil, obtendo-se:

0 −GMm

R= 0− GMm

R + h(1.47)

onde R e o raio do planeta, M sua massa e h a altura maxima (v = 0) do projetil de massa m.

Dividindo-se a ultima equacao por GM e reagrupando-se os termos, temos:

R + h− 1

R=−v2

2GM(1.48)

e finalmente

(R + h

). (1.49)

B) Determine a velocidade de escape para esse planeta?

Tomando-se o limite h→∞ na expressao final da massa M do item A), pode-se obter o valor veda velocidade de escape, que e justamente o valor de v0 nesse limite:

M =v2eR

2Glimh→∞

)=v2eR

2G(1.50)

√2GM

R. (1.51)

Capıtulo 2

Movimento Unidimensional de umaPartıcula

PROBLEMAS

9) Um cabo-de-guerra e seguro por dois grupos de cinco homens, cada um. Cada homem “pesa”70 kg e pode puxar o caboinicialmente com uma forca de 100 N . Inicialmente os dois grupos estaocompensados, mas quando os homens cansam, a forca com que cada um puxa o cabo decresce deacordo com a relacao

F (t) = (100 N) e−t/τ (2.1)

onde o tempo medio τ para atingir o cansaco e de 10 s para um grupo e 20 s para o outro.Suponha que nenhum dos homens solte o cabo e use g = 9, 8 m/s2.

a) Determine o movimento.

Vamos supor que inicialmente o cabo-de-guerra esta parado, e o centro da corda esta na origemO do eixo orizontal X, e vamos chamar a equipe da esquerda de equipe 1, e a da direita de equipedois. Sendo assim, o tempo medio para atingir o cansaco, sera, τ1 = 10 s, para a equipe 1 eτ2 = 20 s para a equipe 2.

Consideremos como nosso sistema o conjunto todo, incluindo a corda. Cada homem faz a forcaF (t) sobre o chao, e sofre a reacao desta forca, que age sobre o conjunto (sistema). A resultantedestas forcas sera: ∑

Fx = −5F1(t) + 5F2(t) = (10m)a (2.2)

onde 10m e a massa total do sistema, e a = dv/dt a sua aceleracao.

Reescrevendo temos

5{−F0 e−t/τ1 + F0 e

−t/τ2} = 10mdv

dt(2.3)

CAPITULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE UMA PARTICULA 15

onde F0 = 100 N e m e a massa de cada homem.

Simplificando e separando as variaveis, temos

(e−t′/τ2 − e−t′/τ1) dt′ =

∫ v(t)

dv (2.4)

ja que no instante inicial t = 0 o sistema esta em repouso.

Integrando temos a velocidade do conjunto

v(t) =

(e−t

′/τ2

−1/τ2

− e−t′/τ1

−1/τ1

t′=0

substituindo nos limites

v(t) = − F0

{τ2(e−t/τ2 − 1)− τ1(e−t/τ1 − 1)

}(2.6)

e reescrevendo temos

v(t) =F0

{τ2(1− e−t/τ2)− τ1(1− e−t/τ1)

}(2.7)

Integrando-se mais uma vez, termos a posicao do conjunto (centro da corda)

t′=0

dx = x(t)− x(0) =F0

t′=0

{τ2(1− e−t′/τ2)− τ1(1− e−t′/τ1)

}dt′ (2.8)

ou seja, como x(0) = 0 temos

x(t) =F0

(t′ − e−t

′/τ2

−1/τ2

)− τ1

(t′ − e−t

′/τ1

−1/τ1

t′=0

e substituindo os limites

x(t) =F0

[τ2{t+ τ2(e−t/τ2 − 1)} − τ1{t+ τ1(e−t/τ1 − 1)}

](2.10)

e reescrevendo

x(t) =F0

[τ2{t− τ2(1− e−t/τ2)} − τ1{t− τ1(1− e−t/τ1)}

](2.11)

Desse resultados, podemos ver que se τ1 = τ2, a corda nunca se movera para lado nenhum ja queas equipes farao sempre a mesma forca, num mesmo instante t, apesar de fazerem cada vez menosforca.

b) Qual a velocidade final dos dois times?

Tomando-se o limite t −→∞ em (2.7) temos a velocidade final vF do sistema

vF = limt→∞

v(t) =F0

2m(τ2 − τ1) (2.12)

e como a equipe 2 cansa mais devagar do que a equipe 1, pois τ2 > τ1, a vencedora sera a equipe2, e a velocidade final sera

vF =100 N

2 · 70 kg(20 s− 10 s) = 7, 1 m/s (2.13)

c) Qual das suposicoes e responsavel por este resultado nao razoavel?

O modelo da forca, decaindo exponencialmente a zero, e irreal para o limite feito acima, pois asequipes nao manterao a forca por um tempo muito longo, de forma que depois de alguns segundost >> τ as forcas ja serao pequenas e a disputa tera acabado.

Como a equipe 2 cansa mais devagar, consegue realizar um impulso maior sobre o sistema, quedepois de um longo tempo sera arrastado para a direita, desequilibrando as forcas e ganhando ocabo-de-guerra. J

11) Um barco cuja velocidade inicial e v0 e desacelerado por uma forca de atrito

F = −beαv (2.14)

a) Determine o seu movimento.

Supondo que o barco inicie o seu movimento para a direita (v0 > 0) no instante t0 = 0, na origemx0 = 0, temos:

F (v) = −beαv = mdv

dt(2.15)

e separando as variaveis e integrando

t′=0

dt′ =

∫ v(t)

v′=v0

eαv′(2.16)

[e−αv

v′=v0

(2.17)

mt = e−αv(t) − e−αv0 (2.18)

e isolando-se v(t) temos

e−αv(t) = e−αv0 +αb

mt (2.19)

e tomando-se o logaritmo desta expressao

−αv(t) = ln

(e−αv0 +

)(2.20)

e finalmente

v(t) = − 1

(e−αv0 +

)(2.21)

Observe que o barco se move inicialmente para a direita e a expressao encontrada da a suavelocidade ate que ele pare, e esta deve ser positiva. Na verdade, o termo e−αv0 < 1 e seulogaritmo e negativo, resultando que v(t) > 0, desde t = 0 ate o instante em que o barco para.

Integrando-se a velocidade v(t) = dx/dt, temos

∫ x(t)

dx′ = − 1

∫ v(t)

v′=v0

(e−αv0 +

mt′)dt′ (2.22)

e integrando-se por substituicao direta (u = e−αv0 + αbt′/m; du = (αb/m)dt′), temos:

x(t) = − m

∫lnu du (2.23)

e como ∫lnu du = u(lnu− 1) (2.24)

Figura 2.1: A velocidade do barco v(t)× t, valida ate v = 0.

x(t) = − m

[(e−αv0 +

mt′){

(e−αv0 +

mt′)− 1

t′=0

(2.25)

e substituindo nos limites de integracao

x(t) = − m

[(e−αv0 +

(e−αv0 +

)− 1

}−(e−αv0

) {ln(e−αv0)− 1

}](2.26)

e finalmente

x(t) = − m

[(e−αv0 +

(e−αv0 +

)− 1

}+ e−αv0(αv0 + 1)

](2.27)

b) Determine o tempo e a distancia necessaria para parar o barco.

Podemos determinar o instante tF em que o barco para atraves da expressao (2.21), resolvendov(tF ) = 0, ou seja,

(e−αv0 +

)= 0 (2.28)

e essa equacao sera satisfeita quando o argumento da funcao ln for igual a 1, pois ln(1) = 0. Entaotemos que ter (

e−αv0 +αb

)= 1 (2.29)

de ondeαb

mtF = 1− e−αv0 (2.30)

e finalmentetF =

αb(1− e−αv0) (2.31)

sera o instante em que o barco tera velocidade nula.

A posicao do barco nesse instante sera

x(tF ) = − m

[(e−αv0 +

m· mαb

(1− e−αv0)

(e−αv0 +

m· mαb

(1− e−αv0)

)− 1

+e−αv0(αv0 + 1)]

(2.32)

e simplificando

x(tF ) =m

{1− e−αv0(αv0 + 1)

}(2.33)

Observe que se v0 = 0 entao terıamos tF = 0. Como o barco partiu da posicao x(0) = 0, podemosdizer que o seu deslocamento total (maximo) sera entao x(tF )− x(0) = x(tF ). J18) Uma partıcula de massa m esta sujeita a acao de uma forca

F = −kx+kx3

a2(2.34)

onde k e a sao consatantes.

a) Determine V (x) e discuta os possıveis tipos de movimentos que possam ocorrer.

b) Mostre que se E = 14ka2, a intergral na Eq. (2.46) poder ser resolvida por metodos elementares.

Determine x(t) para este caso, escolhento x0 e t0 de maneira conveniente. Mostre que os seusresultados concordam com a discussao qualitativa do item (a) para essa energia.

19) Uma partıcula de massa m e repelida da origem por uma forca inversamente proporcional aocubo de sua distancia a origem. Escreva e resolva a equacao do movimento, considerando que apartıcula esta inicialmente em repouso a uma distancia x0 da origem.

Apendice A

Sistemas de Coordenadas

A.1 Coordenadas Cartesianas (x, y, z)

� � � ��

� ��

� � �� Z

(x,y,z)

Figura A.1: O sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z)

A.1.1 Posicao, Velocidade, Aceleracao, etc...

r = x i + y j + z k (A.1)

v = x i + y j + z k (A.2)

a = x i + y j + z k (A.3)

dV = dx dy dz (A.4)

r = (x2 + y2 + z2)1/2 (A.5)

APENDICE A. SISTEMAS DE COORDENADAS 29

A.1.2 Gradiente e Laplaciano de uma funcao escalar ϕ = ϕ(x, y, z)

∇ϕ(x, y, z) =∂ϕ

∂xi +

∂yj +

∂zk (A.6)

∇2ϕ(x, y, z) =∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2+∂2ϕ

∂z2(A.7)

A.1.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Ax i +Ay j +Az k

∇ ·A =∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

∇×A =

(∂Az∂y− ∂Ay

(∂Ax∂z− ∂Az

(∂Ay∂x− ∂Ax

)k (A.9)

i +dAydt

j +dAzdt

k (A.10)

A.1.4 A Regra da Mao Direita para o produto vetorial

médio

indicador

polegar

��

Figura A.2: A regra da mao direita para o produto vetorial. O produto vetorial a × b e normalao plano definido pelos vetores a e b.

A.2 Coordenadas Cilındricas (ρ, ϕ, z)

� ��

� � � � ��

Figura A.3: O sistema de coordenadas cilındricas (ρ, ϕ, z)

r = ρuρ + z k (A.11)

v = ρuρ + ρϕuϕ + z k (A.12)

a = (ρ− ρϕ2) uρ + (ρϕ+ 2ρϕ) uϕ + z k (A.13)

uρ = cosϕ i + sinϕ j (A.14)

uϕ = − sinϕ i + cosϕ j (A.15)

duρdϕ

= uϕ (A.16)

duϕdϕ

= −uρ (A.17)

(x, y, z) = (ρ cosϕ, ρ sinϕ, z) (A.18)

(ρ, ϕ, z) = ((x2 + y2)1/2, arctan(y/x), z) (A.19)

r = (ρ2 + z2)1/2 (A.20)

dV = ρ dρ dϕ dz (A.21)

A.2.2 Gradiente e Laplaciano de uma funcao escalar f = f(ρ, ϕ, z)

∇f =∂f

∂ρuρ +

∂ϕuϕ +

∂zk (A.22)

∇2f =1

(ρ∂f

∂ϕ2+∂2f

∂z2(A.23)

A.2.3 Divergente, Rotacional e Derivada de um vetor A = Aρ uρ +Aϕ uϕ + Az k

∇ ·A =1

∂ρ(ρAρ) +

∂Aϕ∂ϕ

+∂Az∂z

(A.24)

∇×A =

∂Az∂ϕ− ∂Aϕ

)uρ +

(∂Aρ∂z− ∂Az

)uϕ +

∂ρ(ρAϕ)− ∂Aρ

)k (A.25)

(dAρdt− Aϕ

)uρ +

(dAϕdt

+ Aρdϕ

)uϕ +

k (A.26)

A.3 Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ)

!"!!"!!"!!"!!"!!"!

#"##"##"##"##"##"# $"$$"$

$"$$"$$"$%"%%"%%"%%"%%"%

&"&"&"&"&&"&"&"&"&'"'"'"''"'"'"' x

Figura A.4: O sistema de coordenadas esfericas (r, θ, ϕ)

r = r ur (A.27)

v = r ur + rθ uθ + r sin θ ϕuϕ (A.28)

a = (r − rθ2 − r sin2 θ ϕ2) ur + (rθ + 2rθ − rϕ2 sin θ cos θ) uθ + (A.29)

(rϕ sin θ + 2rϕ sin θ + 2rθϕ cos θ) uϕ

(x, y, z) = (r sin θ cosϕ, r sin θ sinϕ, r cos θ) (A.30)

(r, θ, ϕ) = ((x2 + y2 + z2)1/2, arctan((x2 + y2)/z), arctan(y/x)) (A.31)

ur = sin θ uρ + cos θ k = sin θ cosϕ i + sin θ sinϕ j + cos θ k (A.32)

onde: sin θ = ρ/(ρ2 + z2)1/2 e cos θ = z/(ρ2 + z2)1/2

uθ = − sin θ k + cos θ uρ = cos θ cosϕ i + cos θ sinϕ j− sin θ k (A.33)

dV = r2 sin θ dr dθ dϕ (A.34)

A.3.2 Gradiente e Laplaciano de uma funcao escalar f = f(r, θ, ϕ)

∇f =∂f

∂rur +

∂θuθ +

r sin θ

∂ϕuϕ (A.35)

∇2f =1

(r2∂f

r2 sin θ

(sin θ

r2 sin2 θ

(∂2f

∂ϕ2

)(A.36)

A.3.3 Divergente e Rotacional e um vetor A = Ar ur + Aθ uθ + Aϕ uϕ

∇ ·A =1

∂r(r2Ar) +

r sin θ

∂θ(sin θ Aθ) +

r sin θ

∂Aϕ∂ϕ

(A.37)

∇×A =1

r sin θ

∂θ(sin θ Aϕ)− ∂Aθ

]ur + (A.38)

r sin θ

∂Ar∂ϕ− 1

∂r(rAϕ)

)uθ +

∂r(rAθ)−

∂Ar∂θ

(dArdt− Aθ

dt− Aϕ sin θ

(dAθdt

+ Ardθ

dt− Aϕ cos θ

)uθ +

(dAϕdt

+ Ar sin θdϕ

dt+ Aθ cos θ

)uϕ (A.39)

(VETOR31.TEX Revisao 3.1 de 25 de janeiro de 2005)

Referencias Bibliograficas

[1] SYMON, K. R. Mecanica . 2 ed., Rio de Janeiro: Campus, 1986.

[2] ALONSO, M.; FINN, E. J. Fısica: um curso universitario: mecanica. vol. 1, Sao Paulo:Edgard Blucher, 1972.

[3] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Fısica: Mecanica. vol. 1,ed. 4, Rio de Janeiro: LTC, 1996.

[4] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Fısica: Mecanica. vol. 2,ed. 4, Rio de Janeiro: LTC, 1996.

[5] KITTEL, C.; KNIGHT, W.; RUDERMAN, M. A. Curso de Fısica de Berckeley: mecanica.vol. 1, Sao Paulo: Edgard Blucher, 1973.

[6] KIBLE, T. W. B. Mecanica Classica. Sao Paulo: Polıgono, 1970.

[7] MARION, J. B.; THORNTON, S. T. Classical Dynamics of Particles and Systems. 4 ed.,Harcourt Brace Jovanovich College Publishers, 1995.

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