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MECÂNICA - ESTÁTICA
Momentos de Inércia
Cap. 10
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Objetivos
Desenvolver um método para a determinação do momento de inércia de uma área.
Introduzir o produto de inércia e mostrar como determinar os momentos de inércia máximo e mínimo de uma área.
Discutir o momento de inércia de massa.
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10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas
O centróide de um corpo é obtido pelo cálculo do primeiro momento de área:
O momento de inércia é obtido pelo cálculo do segundo momento de área:
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Um exemplo onde o momento de inércia é utilizado:
A figura mostra a pressão p de um líquido atuando na
superfície de uma placa submersa.
10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas
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Para os momentos de inércia de uma área qualquer:
JO é o segundo momento de área em
torno do ponto O ou do eixo z,
chamado momento polar de inércia:
10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas
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Determine o momento de inércia da área triangular em torno dos eixos:
(a) x
(b) y
Problema 10.A
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dyx
y
Problema 10.A - Solução
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dx
x
y
Problema 10.A - Solução
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O momento de inércia de uma área em
relação a um eixo (x e y) é igual ao
momento de inércia desta área em
relação ao eixos paralelos passando pelo
centróide (C) da área (x´ e y´) mais o
produto da área (A) pelo quadrado da
distância entre os eixos (dx ou dy).
10.2 Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área
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10.2 Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área
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Determine o momento de inércia da área retangular mostrada com relação a:
(a) eixo centroidal x´
(b) eixo xb passando pela base do
retangulo
(c) polo ou eixo z´ ao plano x´- y´ passando pelo centróide C.
Exemplo 10.1
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Exemplo 10.1
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C
dx´x´
Exemplo 10.1
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As vezes o elemento infinitesimal de área não está
orientado paralelamente ao eixo para o qual se
calcula o momento de inércia.
Nesse caso pode ser usado o teorema dos eixos
paralelos (quando esta orientação é vertical) ou
simplesmente usar a expressão correta do diferencial
do momento de inércia e integrar.
10.4 Momentos de Inércia de uma Área por Integração
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Problema 10.8
Determine o momento de ínércia da área da figura em relação aos eixos:
(a) x
(b) y
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(x,y)
y=y/2
dx
y
Problema 10.8 - Solução
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(x,y)
y=y/2
dx
y
Problema 10.8 - Solução
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(x,y)
y=y/2
dx
y
Problema 10.8 - Solução
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O raio de giração de uma área plana possui a unidade do
comprimento sendo um valor muito usado para o projeto de
pilares
10.3 Raio de Giração de uma Área
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Determine o raio de giração da área mostrada em relação ao eixo y.
Problema 10.B
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dx
y
x
Problema 10.B - Solução
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dx
y
x
Problema 10.B - Solução
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• Um corpo composto consiste de um conjunto de corpos de
formas simples.
• Um corpo pode ser dividido em partes.
• O momento de inércia de um corpo composto é igual a
soma algébrica dos momentos de inércia de suas partes.
10.5 Momentos de Inércia de Área Compostas
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Determine o centro de gravidade e o
momento de inércia da área
mostrada em relação aos:
(a) eixo x
(b) eixo y
Problema 10.34
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I = I1 - I2 - I3
Ix = (Ix)1 – (Ix)2 – (Ix)3
Iy = (Iy)1 – (Iy)2 – (Iy)3
=
-
-
13
2
Problema 10.34 - Solução
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A = A1 - A2 - A3
xg = (A1xg1 – A2xg2 – A3xg3) / Ayg = (A1yg1 – A2yg2 – A3yg3) / A
=
-
-
13
2
Problema 10.34 - Solução
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1
x
y
10 in
6 in
5 in
3 in
Problema 10.34 - Solução
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2
x
y
6 in
3 in
8 in
5 in
Problema 10.34 - Solução
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3raio (r) = 2 in
4 in
3 in
x
y
Problema 10.34 - Solução
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Problema 10.34 - Solução