Post on 07-Apr-2016
MECÂNICA - DINÂMICA
Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido:
Força e AceleraçãoCap. 17
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Exemplo 17.13
A barra esbelta de massa m e comprimento l é liberada do repouso quando q=00. Determine as componentes horizontal e vertical da reação de apoio no pino no instante em que q=900.
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Exemplo 17.13 - Solução
Diagrama de corpo livre e cinético:
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Exemplo 17.13 - Solução
Equações de movimento:2 2
2
sin ( / 2) (1)
cos ( / 2) (2)
1cos ( / 2) ( ) (3)3
Para um dado ângulo existirão 4 incógnitasA quarta equação será:
(4)Substitui
n G n
t
n n
t
A
G tt
A
F ma
F ma
M I
d d
F m r A mg m
F m r A mg m
mg m
q
q
q
q
q
ll
l l
ndo da equação (3) em (4):(1.5 / )cosd g d
q q l
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Exemplo 17.13 - Solução
90
0 0
290 20
Desde que 0 em 0 :
(1.5 / ) cos
(1.5 / ) sin2
Substituindo na equação (1):sin 3 / ( / 2) 1.5
Isolando na equação (3)
3 /
modificada fica:
(90 ) 01.5 cos
Da equaç
n
d g d
g
A mg m g mg
g
g
q
q q
q
q
q
l
l
l
l
l
l
ão (2): Da equação (1): 0 2.5 t nA A mg
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Exemplo 17.13 - Solução
2
2
2
0 rad/s;
Valores par
7.5 ra
a conferência no W
d/s ; 0 N; 2.5 N
3.87 rad/s; 0 rad/s ; 25 N;
M:
Para 2 m; 1 kg, 10 m/s0 :
90
N
:
0
n t
n t
m g
A A
A A
q
q
l
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Exemplo 17.13 - Solução
Se quisermos calcular o tempo t do instante consideradotomamos a equação (3) modificada :
1.5 cos
Que se for reescrita substituindo por 90 - e alterado osinal do segundo termo para compatibilidad
g q
q q
l
2
2
e de eixos:1.5 sin
que é a equação do movimento do pêndulo já resolvida noExemplo 17.8b.
g td tdt
l
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Problema 17.B
Uma menina senta-se acomodada no interior de um pneu largo de forma que a menina e o pneu têm um peso total de 185 lb, um centro de massa em G e um raio de giração 1.65 ft em relação a G. Se o pneu rola livremente plano abaixo, determine as forças normal e de atrito que ele exerce sobre o plano quando passa pela posição mostrada com uma velocidade angular de 6 rad/s. Admita que o pneu não deslize enquanto rola.
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Problema 17.B - Solução
Diagrama do corpo livre e cinético
xGa )(
NatF
yGa )(
P20x
y
O
Arad/s 6
ft 65.1ft/s 2.32
lb 1852
ωkg
P
G
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16.5 Análise do Movimento Relativo: Velocidade
ABAB /rωvv
Velocidade
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Problema 17.B - Solução
Dados decorrentes
Como (Exemplo 16.4):2(6) 12.000 ft/s
No ponto G:12.000 6 0.75
7.5000 ft/sNas direções horizontal e vertical:
12.000cos 20 11.276 ft/s
12.000sin 20 4.1042 ft/s
7.5000co
O O
G O O/G G
G
Oh
Ov
Gh
v r v
v v ωr v
v
v
v
v
s 20 7.0477 ft/s
7.5000sin 20 2.5652 ft/sGvv
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Problema 17.B - Solução
2
2
2
Cálculo da massa do corpo:185 (32 2)
Cálculo do momento de inércia de massa:
5.7
5.7453 slug
15.642 slug.
453(1.65)
ftG
G G G
P mg m .
I mk I
m
I
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Problema 17.B - Solução
Aplicação das equações de movimento
( )
x G x
y G y
A k A
F m a
F m a
M M
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Problema 17.B - Solução
sin 20 5.7453( ) (1)
cos 20 5.7453 (2)
x G x
y G y
at G x
G y
P F a
F m a
F m a
P N a
Aplicação das equações de movimento
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Problema 17.B - Solução
Aplicação das equações de movimento
sin 20 1 25
15 642 5 7453 1 25 5 7453 0 (3)
A G G x G y
G
A
x
k A
G y
M
M I α m(a ) d m
(M
(a ) d
P .
. α . (a ) . . )
)
(a
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Problema 17.B - Solução
Aplicação das equações da cinemática
xGa )(
yGa )(
OGr
/
OaO
A
y
x
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16.7 Análise do Movimento Relativo: Aceleração
Aceleração
/
/
2/
acel. do ponto B acel. do ponto A
acel. angular do corpo veloc. angular do corpo
vetor posição relativo de A para B
B
B
A
A B B A
B A
A ω
ω
aaα
r
a a α r r
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Problema 17.B - Solução
2
2
2
Aplicação das equações da cinemática:Como não ocorre deslizamento,
2 0.75 6 0,75
1.2500 27.000
(4)
1.2500
27.000 f (t/ 5s
)
O
G O G/
G x
O G /O
G Gx y
G Gx
G y
y
a αr
ω
a i
a α
a j
α i α k j j
a i a j α i j
a
a a α r r
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Problema 17.B - Solução
Substituindo (4) em (3)
2
sin 20 1.25
15.642 5.7453 1.25 5.7453 0
79.0921 15
3
.642 5.7453 1.25 1.25
.2127 rad/s (6)
A G G Gx y
G x G
A A
y
k
M I α m a d m a d
P
α (a ) a
α
(M )
α
α
M
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Problema 17.B - Solução
Substituindo (6) em (4)
2
1.25
1.25 3.212
4.0159 f
7
s 7t/ ( )G x
G x
G x
(a ) α
a
(a )
( )
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Problema 17.B - Solução
40.2 l
Substituindo (7) em (1):
sin 20 5.7453 63.274 5.7453 4.0159
Sub
bstituindo (5) em (2):
cos 20 5.7453 173.84 5.7453 27
329 lb
x G x
y
at G x at
G
G
y
at
y
P F (a ) F
P N (a )
F
a
F a
N
F m
m
N
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Problema 17.C
O pêndulo mostrado na figura consiste em uma placa uniforme de 5 Kg e uma barra esbelta de 2 Kg. Determine as componentes horizontal e vertical da reação que o pino O exerce sobre a barra no instante q = 30º, quando sua velocidade angular é = 3 rad/s.
q
= 3 rad/s0,2 m
0,3 m0,5 m O
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Problema 17.C - Solução
Posição do centro de massa
0,5 m
0,3 m
0,15 m
0,25 mxCG
0.15-xCG 5 0.15 2 0.25
0.75 50.035714 m
2 0.57 0.25
CG CG
CG CG
CG CG
x x
x xx x
CG
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Problema 17.C - Solução
Momentos de Inércia
2
2
2 2
2
2 2
2
Barra:1 2 0.5
120.041667 kg.m
Placa:1 5 0.2 0.3
120.054167 kg.m
Conjunto:
2 0.25 5 0.65
0.041667 0.12500 0.054167 2.1125
2.3333 kg.m
B CG
B CG
P CG
P CG
O B PCG CG
O
O
I
I
I
I
I I I
I
I
0,5 m
0,3 mO
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Problema 17.C - Solução
Diagrama de corpo livre e cinético
q
0,53571 mO
7 Kg
At
An
q
G = 3 rad/s
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Problema 17.C - Solução
2 2
2
68.08
sen θ
7 9.81 sen 30 7 3 0.53571
cos
7 9.81 cos30 7 0.53571
cos
7 9.81 cos30 0.53571
5 N
3.7500 59.470
n
n G n G
n
t G t G
t
O o G o
o
t
F m r A mg m r
A
F m r A mg m r
A
M
A
mA
I g r I
I
q
q
Equações de Movimento
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Problema 17.C - Solução
2
68.085 N3.7500 59.470
7 9.81 cos30 0.53571
31.859 2.333 13.3 654 rad/s8.2673 N
n
t
o
t
AA
I
A
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Problema 17.C - Solução
68.085 N8.2673 N
cos30 sin 30
68.085 0.86603 8.2673 0.50000
sin 30 cos30
68.085 0.50000 8.2673 0.
54
8
.8 N
41.2 N
6603
n
t
x n t
x
y n t
y
x
y
AAA A A
A
A AA
A
A
A
Nos eixos x e y
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Problema 17.C - Solução
Placa3 0.65 1.9500 m/s
sin 30 1.9500 0.50000 0.97500 m/s
cos30 1.9500 0.86603 1.6887 m/s
Barra3 0.25 0.75000 m/s
sin 30 0.75000 0.50000 0.37500 m/s
cos30 0.7500 0.86604 0.
x x
y y
x x
y y
v r
v
v v v
v v v
v
v v v
v v v
64952 m/s
Velocidade inicial nos eixos x e y
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Problema 17.D
O bloco retangular de massa 100 kg, altura 6 m,largura 2 m e espessura 1 m possui uma velocidadeinicial de 8 m/s conforme mostra a figura. Assumindoque os coeficientes de atrito dinâmico e estático como solo são iguais a 0.4, estude o movimento do blocono momento inicial.
8 m/s
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Problema 17.D - Solução
Assumindo que o bloco se move sem girar (ver aulas 14 e 15 de Mec. Geral II).
Diagrama de corpo livre e cinético:
d <= 1 m
8 m/s
a
NFa
d
P
2 m
6 mG
m = 0.4
= 0 = 0
x
y
m
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8 m/s
a
NFa
d
P
2 m
6 mG
m = 0.4
= 0 = 0
x
y
m
Problema 17.D - Solução
d <= 1 m
6 0 (1)2
0.4
9
(2)
100 9.81
100
81.00 N
(3)
a G
a
G
a
a
G
x G x
a
M
Nd F I
F N
P mg
F ma F a
αI
F N
F m
P
a
m
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Problema 17.D - Solução
2 2
0
Substituindo em (2):0.4 981.00
Substituindo em (3):392.40100
981.00 N
392.40 N
3.924
981 N
392 N
3.92 m
Substituindo em (1)
0 m
:39
/s
2.40 3981.00
1.200
/
0 m
s
1
y
aa a
G y
NN P m N P N
F
a
F
a
F m a
F
d
a
d d
Como 1, então o bloco vai girar enquanto de
.20
sl
m
iza.d
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Problema 17.D - Solução
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Problema 17.D - Solução
Assumindo que o bloco se move enquanto gira em torno do ponto A (ver aulas 13 e 14 de Mec. Geral II).
Diagrama de corpo livre e cinético:
8 m/saGx
N
Fa
P
2 m
6 mG
m = 0.4
A
aGy
x
ym
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12.8 * Aceleração
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16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento do Ponto P
Aceleração:
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Problema 17.D - Solução
Movimento de rotação em torno de um eixo fixo:2 m
6 mG
A x
y
raGq
aGr
g
q
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Problema 17.D - Solução
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Problema 17.D - Solução
Movimento de rotação em torno de um eixo fixo:Transformação do sistema de coordenadas:
aGq
aGr
aGxR
aGyR
A
rq
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Problema 17.D - Solução
Movimento de rotação em torno de um eixo fixo:Transformação do sistema de coordenadas:
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Problema 17.D - Solução
Movimento geral plano:
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17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Equação do Movimento de Rotação escrita em função do momento de inércia em relação ao centro de massa G:
Diagrama cinéticoDiagrama de corpo livre
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Problema 17.D - Solução
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Problema 17.D - Solução
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Problema 17.D - Solução
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2015 Curotto, C.L. - UFPR 47
Problema 17.D - Solução
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Problema 17.D - Solução
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Problema 17.D - Solução
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Problema 17.D - Solução
Para estudar o movimento após o momento inicial as equações devem ser escritas em função do ângulo q:
aGq
aGr
aGxR
aGyR
A
rq
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Problema 17.D - Solução
Movimento geral plano:
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Problema 17.D - Solução
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Problema 17.D - Solução
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Problema 17.D - Solução