I.E.P. JOSÉ GALVÉZ EGÚSQUIZA

ASIGNATURA: MATEMÁTICA

TEMA: M.C.D. – M.C.M.

AÑO: 2DO DE SECUNDARIA

PROFESOR: JULIO BALTAZAR ROMERO

2014

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.

Dado un conjunto de números enteros positivos del MCD de dichos

números está dado por el mayor por el mayor de los divisores comunes

positivos que comparten dichos números

EJEMPLO:

Divisores de 24 : 1; 2; 3: 4; 6; 8; 12; 24.

Divisores de 26 : 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36.

Divisores de 60 : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 12; 15; 20; 30; 60.

Se observa q el mayor de los divisores comunes de 24 ; 36 y 60 es 12,

entonces:

MCD(24; 36; 60) = 12

⇒ Divisores comunes: 1; 2; 3; 4; 6; 12.

POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Dados dos o mas números descompuestos canónicamente, el MCD de dichas

cantidades es numéricamente igual al producto de sus divisores primos

comunes, elevados cada uno a su menor exponente.

⇒ MCD(360; 675)=3² .5=45

EJEMPLO:

360= 2³ .3² .5

675= 3³ .5²

POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTANEA

Se extrae de manera simultánea los factores comunes (únicamente) de los

números dados para luego multiplicarlos.

PESÍ

⇒ MCD(60; 72; 48)= 2. 2 .3= 12

EJEMPLO:

60 – 72 – 48 2

30 – 36 – 24 2

15 – 18 – 12 3

5 - 6 - 4

POR ALGORITMO DE EUCLIDES O

DIVISIONES SUCESIVAS

Dados dos números entre positivos, se divide el mayor de los números

entre el menor; luego, el menor de los números iniciales entre el residuo

obtenido, después, el residuo anterior entre el ultimo residuo obtenido y

así sucesivamente hasta que la división resulte exacta; entonces, el ultimo

divisor será el MCD de dichos números. Para remplazar este procedimiento

usamos el siguiente esquema:

División

exacta

Cocientes q₁ q₂ q₃ q₄ q₅A B r₁ r₂ r₃ r₄

Residuos r₁ r₂ r₃ r₄ 0

Donde A > B; entonces:

MCD(A; B)= r₄

EJEMPLO:

Halla el MCD y 128 mediante el algoritmo de Euclides.

Resolución:

1 1 2 5

216 126 88 40 8

88 40 8 0

∴ MCD(216; 128)=8

Dado un conjunto de números positivos, el MCM de dichos números esta dado

por el menor dado por el menor múltiplo común positivo que los tiene

exactamente.

EJEMPLOS:

Múltiplos positivos de 6;6;12;18;24;30;36;42;48;54;…

Múltiplos positivos de 9;9;18;27;36;45;54;64…

Múltiplos positivos de 18;18;36;54;90…

De todos lo múltiplos comunes positivos de 6;9 y 18;el menor es 18,por lo tanto:

⇒Múltiplos comunes: 18;36;54;…

MCM(6;9;18)=18

POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Dados dos o mas números descompuestos canónicamente, el MCM de dichas

cantidades es numéricamente igual al producto de sus divisores primos

comunes y no comunes, elevados cada uno a su mayor exponente.

Ejemplo:

4500= 2² .3² .5²

7425= 3² .5² .11

1470= 2 .3 .5 .7²

⇒MCM(4500;7425;1470)=2².3³.5³.7².11

POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTANEA

Se extrae de manera simultanea lo factores comunes y no comunes de los números dados, para luego multiplicarlos.

Ejemplo: 60 - 90 - 150 230 - 45 - 75 2 15 - 45 - 75 3

5 - 15 - 25 35 - 5 - 25 51 - 1 - 5 51 - 1 - 1

MCM(60;90;150)= 2 .2 .3 .3 .5 .5=900

1. Si A y B son PESÍ, entonces:

MCD(A;B)=1

MCM(A;B)=A .B

2. Si A=˚B, entonces:

MCD(A;B)= B

MCM(A;B)= A

3. Si MCD(A;B;C)=d y MCM(A;B;C)=m, entonces:

𝐴

𝑑= P1

𝐵

𝑑=P2 Números enteros positivos PESÍ

𝐶

𝑑= P3

𝑚

𝐴= k1

𝑚

𝐵= k2 Números enteros positivos PESÍ

𝑚

𝐶= k3

MCD(Ka;Kb;kC)=kd

MCM(Ka;Kb;kC)=km

MDC(𝐴𝑛; 𝐵𝑛; 𝐶𝑛)=d/n

MCM(𝐴𝑛; 𝐵𝑛; 𝐶𝑛)=m/n

Edición echa por los alumnos:

- Albert Allende

- Víctor Amanso

- Ken Hamada

-Alessandra Tejada

GRACIAS POR SU ATENCIÓN