Professor Domingos Cereja

Série de Pagamentos

MATEMÁTICAFINANCEIRA

Série de Pagamentos

São pagamentos efetuados em n períodos ao longo de um

determinado tempo.

Esses pagamento não necessariamente são de mesmos valores.

Série de Pagamentos

Série de Pagamentos

Renda Certa ou Anuidade

São sequências de pagamentos que ocorrem em datas

previamente estabelecidas.

As Rendas podem ser classificadas:

Série de Pagamentos

Quanto ao prazo de duração

1. Renda temporária: Quando o número de termos é definido.

2. Renda perpétua: Quando o número de termos é indefinido.

Série de Pagamentos

Quanto ao vencimento dos termos

1. Renda postecipada: quando o primeiro pagamento ocorre no

final do primeiro período, ou seja, quando o pagamento ocorre

no final dos sucessivos períodos.

Série de Pagamentos

Quanto ao vencimento dos termos

2. Renda antecipada: quando o primeiro pagamento ocorre no

momento da realização do negócio, ou seja, quando o

pagamento ocorre no início dos sucessivos períodos.

Série de Pagamentos

Quanto a carência

1. Renda imediata: Quando os pagamentos forem exigidos logo

no primeiro período.

Série de Pagamentos

Quanto a carência

2. Renda diferida: Quando existir um período para se efetuar o

primeiro pagamento.

Série de Pagamentos

Quanto ao valor

1. Renda constante: Quando os valores dos termos forem os

mesmos.

Série de Pagamentos

Quanto ao valor

2. Renda variável: Quando os valores dos termos forem

diferentes.

Professor Domingos Cereja

Série de Pagamentos – Parte 2

MATEMÁTICAFINANCEIRA

Série de Pagamentos

(FISCAL SEFAZ PI) José tem uma dívida a ser paga em três

prestações. A primeira prestação é de R$ 980,00 e deve ser paga ao

final do terceiro mês; a segunda é de R$ 320,00 e deve ser paga ao

término do sétimo mês; a terceira é de R$ 420,00 e deve ser paga ao

final do nono mês. O credor cobra juros compostos com taxa igual a 5%

ao mês. José, contudo, propõe ao credor saldar a dívida, em uma única

prestação ao final do décimo segundo mês e mantendo a mesma taxa

de juros contratada de 5%. Se o credor aceitar a proposta, então José

pagará nesta única prestação o valor de:

(A) R$ 1.214,91 (B) R$ 2.114,05 (C) R$ 2.252,05

(D) R$ 2.352,25 (E) R$ 2.414,91

Série de Pagamentos

P1 = 980; n = 3

(A) R$ 1.214,91 (B) R$ 2.114,05 (C) R$ 2.252,05 (D) R$ 2.352,25 (E) R$ 2.414,91

P2 = 320; n = 7

P3 = 420; n = 9

i = 5%

P = ? ; n = 12

Série de Pagamentos

(SEFAZ PI - ANALISTA DO TESOURO) Para quitar uma dívida

que apresenta na data de hoje o valor de R$ 77.000,00, um

empresário deverá efetuar um pagamento de P reais daqui a um

ano e outro de 2P reais daqui a 2 anos. Considerando o critério

do desconto racional composto a uma taxa de 8% ao ano, obtém-

se que P é igual a

(A) R$ 27.000,00

(B) R$ 29.160,00

(C) R$ 30.326,40

(D) R$ 31.492,80

(E) R$ 32.659,20

Série de Pagamentos

A = 77000

(A) 27.000,00 (B) 29.160,00 (C) 30.326,40 (D) 31.492,80 (E) 32.659,20

P1 = P; n = 1

P2 = 2P; n = 2

i = 8% aa

P = ?

Série de Pagamentos

(SEFAZ RJ - AUDITOR FISCAL) Uma dívida deverá ser quitada

por meio de 3 prestações anuais e consecutivas. O valor da

primeira prestação, que vence daqui a 1 ano, é igual a R$

9.240,00, o da segunda é R$ 12.705,00 e o da terceira é R$

16.770,60. Utilizando o critério do desconto racional composto, a

uma taxa de 10% ao ano, esta dívida poderá ser quitada por meio

de duas prestações de valores iguais, vencíveis a primeira daqui

a 1 ano e a segunda daqui a 2 anos. O valor de cada prestação,

nesta segunda opção, é

(A) R$ 15.750,00 (B) R$ 18.150,00 (C) R$ 17.325,00

(D) R$ 16.500,00 (E) R$ 16.125,00

Série de Pagamentos

P1 = 9240; n = 1

(A) 15.750,00 (B) 18.150,00 (C) 17.325,00 (D) 16.500,00 (E) 16.125,00

P2 = 12705; n = 2

P3 = 16770,60; n = 3

i = 10% aa

P = ?; n = 1 e 2

Professor Domingos Cereja

Parte I

Renda Certa

MATEMÁTICAFINANCEIRA

Renda Certa

1. Renda Postecipada

2. Renda Antecipada

3. Renda Diferida

Renda Certa

1. Renda Postecipada: É a série de pagamentos uniformes em

que o primeiro pagamento é efetuado no final do primeiro

período.

O valor atual de uma renda certa é definido como a soma dos

valores atuais de seus respectivos termos.

Renda Certa

Renda Certa

Renda Certa

fator de valor atual

O fator de valor atual é representado por an┐i

an┐i =

Renda Certa

Renda Certa

Outra forma de se representar o fator de valor atual

Professor Domingos Cereja

Parte II

Renda Certa

MATEMÁTICAFINANCEIRA

Renda Certa

Uma pessoa comprou uma mercadoria e financiou em quatro

prestações mensais e consecutivas de R$ 2.000,00, sendo a

primeira paga trinta dias após a compra, considerando a taxa de

juros de 4% a.m., qual o valor da mercadoria à vista?

Renda Certa

Renda Certa

OBS: em algumas questões poderá ser empregado o termo fator

de recuperação de capital (FRC), que obtido através do inverso

do fator de valor atual.

FRC = 1/ an┐i

P = A. FRC

Renda Certa

Caso queiramos calcular o total pago, imediatamente após o

último pagamente, teremos que encontrar o chamado valor futuro,

F, que será o montante.

Renda Certa

F = A.(1 + i)n

F = P. x

F = P.

Para se chegar ao valor futuro, basta capitalizar o valor atual por

n períodosF = A.(1 + i)n

Renda Certa

Na matemática financeira,o fator é representado por Sn┐i,

e é chamado de fator de valor futuro ou fator de acumulação de

capital.

Sn┐i =

logo, F = P. Sn┐i

Professor Domingos Cereja

Parte III

Renda Certa

MATEMÁTICAFINANCEIRA

Renda Certa

F = P. Sn┐i

Renda Certa

Com referência ao exercício, do exemplo anterior, calculemos o

montante pago imediatamente após o último pagamento.

P = 2000n = 4i = 4%am

Renda Certa

2. Renda Antecipada: É a série de pagamentos uniformes em

que o primeiro pagamento é efetuado no momento da

realização do negócio.

Renda Certa

Renda Certa

Calculemos o valor atual, no mesmo exemplo, sendo agora com

renda antecipada.

R = 2000 n = 4 i = 4%

Renda Certa

3. Renda Diferida: É a série de pagamentos uniformes em que o

primeiro pagamento é efetuado após um determinado período.

Esse período sem pagamento é chamado de carência.

Renda Certa

Renda Certa

Uma empresa receberá cinco prestações mensais de R$

10.000,00, sendo a primeira após quatro meses. considerando a

taxa de juros compostos de 2%a.m., qual o valor atual?

Renda Certa

Renda Certa

(CEF – TEC. BANCÁRIO) Na negociação de uma dívida no valor

de R$ 10.000,00, o credor ofereceu as seguintes opções para o

devedor.

I Pagar toda a dívida, no ato da negociação, com desconto de

1,8% sobre o valor da dívida.

II Pagar em 2 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem

desconto, com a primeira prestação vencendo depois de 2 meses

da negociação.

III Pagar em 3 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem

desconto, com a primeira prestação vencendo um mês após a

negociação.

Renda Certa

IV Pagar em 4 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem

desconto, com a primeira prestação vencendo no ato da

negociação.

Considerando 0,99, 0,98 e 0,97 como valores aproximados para

1,01-1, 1,01-2 e 1,01-3, respectivamente, e supondo que o devedor

poderá aplicar, no ato da negociação e a juros compostos de 1%

ao mês, quantias necessárias ao pagamento da dívida, assinale a

opção correta.

Renda Certa

(A) Para o devedor, a opção III é financeiramente mais vantajosa

que a II.

(B) Para ter quantias suficientes para pagar as prestações ao

escolher a opção III, o devedor deverá aplicar, no ato da

negociação, R$ 9.750,00.

(C) Se escolher a opção I, o devedor desembolsará R$ 9.800,00

no ato da negociação.

(D) A opção mais vantajosa financeiramente para o devedor é a I.

(E) A opção menos vantajosa financeiramente para o devedor é a

IV.

Renda Certa

Renda Certa

(A) Para o devedor, a opção III é financeiramente mais vantajosa

que a II.

(B) Para ter quantias suficientes para pagar as prestações ao

escolher a opção III, o devedor deverá aplicar, no ato da

negociação, R$ 9.750,00.

(C) Se escolher a opção I, o devedor desembolsará R$ 9.800,00

no ato da negociação.

(D) A opção mais vantajosa financeiramente para o devedor é a I.

(E) A opção menos vantajosa financeiramente para o devedor é a

IV.

Renda Certa

(PETROBRAS - TÉCNICO DE SUPRIMENTO) Um bem, cujo

preço à vista é R$ 10.100,00, é vendido em doze prestações

consecutivas, mensais e iguais, sendo a primeira prestação paga

no ato da compra. Se são cobrados juros compostos de 1% ao

mês, o valor das prestações, em reais, é aproximadamente

Dado: (1,01)−12 = 0,8874

(A) 842

(B) 888

(C) 897

(D) 914

(E) 948

Renda Certa

Renda Certa

(TCE PB – AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS) O valor presente

de um fluxo de 25 pagamentos iguais, mensais e postecipados,

rendendo 5% ao mês, é igual a R$ 10.000. Nessa situação, se,

em vez de postecipados, os pagamentos forem antecipados, o

valor presente do fluxo de pagamentos, em reais, será igual a

(A) 12.500.

(B) 9.523.

(C) 10.000.

(D) 10.020.

(E) 10.500.