Post on 19-Aug-2020
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EDUARDO PAESPREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
CLAUDIA COSTINSECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO
REGINA HELENA DINIZ BOMENYSUBSECRETARIA DE ENSINO
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOSCOORDENADORIA DE EDUCAÇÃO
ELISABETE GOMES BARBOSA ALVES MARIA DE FÁTIMA CUNHA COORDENADORIA TÉCNICA
SÍLVIA MARIA SOARES COUTOORGANIZAÇÃO E ELABORAÇÃO
FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRAGIBRAN CASTRO DA SILVASIMONE CARDOZO VITAL DA SILVAREVISÃO
FÁBIO DA SILVA MARCELO ALVES COELHO JÚNIORDESIGN GRÁFICO
EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA.EDITORAÇÃO E IMPRESSÃO
O que temos neste Caderno Pedagógico: Racionalização de denominadores
Relação entre potência e raiz
Equações
Equação de 2º.grau
● Introdução
● Raízes
● Coeficientes
● Equações incompletas
● Equações completas – Fórmula de Bhaskara
● Discriminante
● Soma e produto das raízes
Irracionais na reta numérica
Semelhança de polígonos
Triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras
Tratamento da informação
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 4
Ginástica de cérebroExercitar os neurônios pode ser um bom modo de solucionar problemas de memória ou dificuldades para aprender. E existe até academia para isso...Texto: Rachel Tôrres - Adaptado
A fila do caixa está grande? O dentista atrasou a consulta? Sem problemas. Uma estudante tem sempre à mão
um recurso para as horas vazias. Desde a infância, a jovem é viciada em jogos de raciocínio: coleciona quebra-cabeças e não
abre mão do tabuleiro de campo minado. Só sai de casa acompanhada por um jogo de cálculo sudoku, o cubo mágico ou uma
palavra cruzada. Quem a vê com essas companhias, porém, nem sempre entende. “O sudoku, então, é o mais rejeitado!”,
brinca. É aí que, armada de paciência professoral, ela se oferece para explicar como pode ser interessante preencher os
quadradinhos com números.
Para a menina, os exercícios de lógica são pura diversão. E há quem leve ainda mais a sério que ela, a “malhação” de
neurônios oferecida por essas atividades. Há pessoas que até frequentam uma academia para exercitar as ideias – uma rede
de escolas de ginástica cerebral criada por um engenheiro do ITA (o Instituto Tecnológico de Aeronáutica, referência no país
em ciências exatas). Para aperfeiçoar a concentração e o raciocínio, o método usa alguns desses jogos, como o sudoku e as
cruzadas, e opções clássicas como o ábaco, a primeira calculadora criada pelo homem.
jujubamld.blogspot.com
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
___________
5
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
É incrível como a Matemática pode ser vista como diversão!
Observe!Racionalizar o
denominador em pode ser fácil! 2
3
Basta encontrar uma fração equivalente
a com denominador racional.23
Para obter uma fração equivalente,basta multiplicar o numerador e odenominador pelo mesmo número.
Qual é o número que multiplicado por
torna o denominador igual a 2?
2
Agora, multiplique numerador e
denominador por esse número.
Legal! equivale à metade de .2323
Racionalize os denominadores de
312)
36)
52)
c
b
a
AGORA,É COM VOCÊ!!!
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 6
RELAÇÃO ENTRE POTÊNCIA E RAIZ
Você sabe calcular ? É uma potência com expoente fracionário.
As propriedades do expoente inteiro
aplicam-se ao expoente fracionário.
AGORA,É COM VOCÊ!!!
23
4
Comparando...
2 3232
2
23
323
23
444
82²24
xxx
xxxx
8244 3322 3
!!!FIQUE LIGADO
n mnm
aa
86442 3
ou
1) Calcule:
41
31
23
21
00010 )27 )
9 )25 )
dc
ba
2) Indique se as igualdades são falsas ou verdadeiras:
21
33
3 223
31
3
33 )1111 )
55 )77 )
dc
ba
3) Calcule:
21
031
1
32
31
4238)
10100100)
b
a
ou
→
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 7
A - Movendo 2 palitos, tire o lixo de dentro da pá.
B - Mova somente 3 palitos para formar apenas 3 quadrados.
Não poderá sobrar palito algum. Todos os quadrados têm o mesmo tamanho.
guiagratisbrasil.com
guia
grat
isbr
asil.
com
D - Observe a sequência, complete a igualdade de cada figura abaixo e responda à pergunta final.
Veja mais jogos com palitos clicando aqui
1=1² 1 + 3 =___= __² 1 + 3 + 5 = ___ = __² 1 + 3 + 5 + 7 = ___ = __² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ___ = __²
Se n representa um número natural qualquer, quanto vale a soma: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2n 1) ? _____
http://www.youtube.com/watch?v=abHXg156AvU
1 7 5 9 4 3 6 8 2
9 6 3 7 8 2 1 5 4
2 4 8 6 1 5 3 7 9
4 5 1 2 3 6 7 9 8
7 2 6 8 9 4 5 3 1
3 8 9 5 7 1 2 4 6
5 3 4 1 2 8 9 6 7
8 1 7 3 6 9 4 2 5
6 9 2 4 5 7 8 1 3
C - SUDOKU
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÕES
8
A Matemática possui muitas curiosidades.
Você sabia que 1,5 + 3 é igual
ao triplo de 1,5?
Verificando...
1 , 5 1 , 5+ 3 , 0 x 3
4 , 5 4 , 5
Interessante, não?
Será que existe um número que
somado a 5 seja igual ao
seu quíntuplo?
Equacionando...
Consideremos esse número como x:x + 5 = 5xResolvendo...4x = 5 25,1x
Verifique se esse número é, realmente, 1,25.
AGORA,É COM VOCÊ!!!
!!!FIQUE LIGADOLembrando...Equacionar uma situação é escrever, matematicamente, asituação, através de uma igualdade algébrica.
1) Qual é o número y para que 6 + y = 6 . y?
2) Qual é a fração que, somada com ou multiplicada por ,
dá, nos dois casos, o mesmo resultado?53
53
3) Na expressão abaixo, existem dois números reais que
podem ser colocados no lugar de . Quais são eles?
( + 3)² = 64
4) Na expressão abaixo, existem dois números reais que
podem ser colocados no lugar de . Quais são eles?
( 2)² = 81
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INTRODUÇÃO
9
2) Arrume a equação da forma mais simples e determine seu
grau.
Dividi 4 por um número e encontrei um resultado igual a 4 menos esse
número.
Equacionando a situação, temos:
044²²4444 xxxxx
x
Esta é uma equação de 2.º grau?
!!!FIQUE LIGADO
Equação de 2º grau de incógnita x é toda equação do tipo:
ax² + bx + c = 0
onde a, b, c são números reais e a 0.
Verifique se os números 2 e 4 atendem à situação acima,
substituindo x, na igualdade, por esses números.
AGORA,É COM VOCÊ!!!
Numa equação de 2.º grau, o maior expoente da incógnita (letra) é 2.
1) O grau de um polinômio é determinado pelo maior
expoente da variável.
Sendo assim,
3x² - 5x + 4 é um polinômio do _______ grau, pois o maior
expoente da variável é ______.
Logo, 3x² - 5x + 4 = 0 é uma equação de _______ grau.
Observe as equações abaixo e determine seu grau.
a) 2x³ + x² + 5x – 3 = 0 _______
b) 5x – 7 = 0 ___________
c) x² - 5x + 2 = 0 ___________
a)(x + 3)(x – 5) = 7 _______________ = 0 ____ grau
b) 3x – 5 = 2x – 2 _____________ = 0 ______ grau
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 10
AGORA,É COM VOCÊ!!!
O quadrado de um número, somado a 9, é
igual a 25. Que número é esse?
1)
2) Considere a equação do 2.º grau: x² + 3x 10 = 0.a) 2 é solução dessa equação?
b) 2 é solução dessa equação?
c) 5 é solução dessa equação?
d) 5 é solução dessa equação?
3) Verifique se 3 e 3 são soluções da equação z² 3z = 0.
Fiquei intrigada! Como pode haver dois
valores diferentes que servem para a mesma
equação?
Uma equação de 2.º grau tem, no máximo, 2 resultados, que são chamadas de raízes da
equação. Esses valores podem ser iguais ou diferentes.
!!!FIQUE LIGADORaiz de uma equação é o valor que a incógnita assume,
tornando a igualdade verdadeira.
4) Substitua os valores de x pelos dados abaixo, na equação
x² 3x 10 = 0, e determine quais deles são raízes dessa
equação.
x = 5 _____________________________
x = 2 _____________________________
x = 0 _____________________________
x = 2 _____________________________
x = 5 _____________________________
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - RAÍZES
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 11
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - COEFICIENTESAlgumas equações
aparecem escritas em ordem decrescente do expoente da incógnita, como x² - 5x + 6 = 0.
Essas equações se apresentam
na forma normalou reduzida.
Há equações com menos termos em que não aparecem todas as
potências da incógnita.
É que essas equações são incompletas. Por exemplo, 6x³ 3x² – 4x + 2 = 0 é uma equação do 3º grau completa pois todos os coeficientes são diferentes de zero. Já
x4 – 10 =0 é uma equação do 4º grau incompleta, pois os coeficientes de x³, x²
e x são nulos.
O que são coeficientes?
São as constantes que acompanham a incógnita (letra).
Observe!
clipart
Entendi! Quando o coeficiente é
zero, a incógnita não aparece e a
equação é considerada
incompleta. Legal!
Glossário: termo independente – é o valor que aparece sem a incógnita (letra), na equação.
Introdução à equação de 2.º grau
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 12
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU
1) Determine os coeficientes nas equações abaixo:
AGORA,É COM VOCÊ!!!
a) 7x² + 5x + 8 = 0 a = _____ b = ____ c = ____
b) y² ─ y ─ 1 = 0 a = _____ b = ____ c = ____
c) z² + 3z = 0 a = _____ b = ____ c = ____
d) 3x² ─ 4 = 0 a = _____ b = ____ c = ____
e) 5x² = 0 a = _____ b = ____ c = ____
2) Numa equação do tipo ax² + bx + c = 0, o que acontece se
a = 0, porém b ≠ 0 e/ou c ≠ 0?
___________________________________________
3) Coloque as equações na forma reduzida e coloque, nos
parênteses, I se a equação for incompleta e C se a equação
for completa .
( ) 3x(x 7) = x² 5 ______________
( ) 5x + 4x² = 3x(x + 2) x 3 _________
( ) (x + 2)² = x + 4 _________________
4) Verifique se 2 é raiz das equações abaixo:
a) x² - 2x = 1
b) 3x² 1 = 11
c) x³ = 2
d) ( x 1) ( x 3) ( x 4) = 2
5) Podemos afirmar que 2 e 3 são raízes da equação
3x² + 2x 21 = 0?
6) Classifique as afirmações em V (verdadeiras) ou F (falsas):
a) O número 9 é raiz da equação x² 9x + 9 = 0.
b) As raízes da equação 6x² 5x + 1 = 0 são .31
21 e
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
EQUAÇÃO DE 2º GRAU - INCOMPLETA
Precisamos cercar essa
área.
A área de lazer
continua quadrada?
Não. Ampliaram 1 m no comprimento e reduziram 1 m na
largura.
Sabendo que a nova área mede 8 m² e considerando a medida
do lado do terreno inicial como x,
x + 1
x 1
13
A Escola de Dona Mercedes está sendo reformada.
( x + 1 ) . ( x 1 ) = 8 x² 1 = 8 x² = 9
Essa é uma equação de 2º grau.
Isso mesmo! Observe!
(+3)² = 9 ou (3 )² = 9.
x² = 9 x = 3 ou x = 3
Como x + 1 e x 1 representam medidas, x só pode ser 3.
Medidas dos lados: x + 1 = 4 e x 1 = 2
Para cercar essa área, serão necessários 2.(4 + 2) = 12 m de cerca.
equacionamos a situação:
E se a nova área medisse 15 m², quantos metros de cerca
seriam necessários.
AGORA,É COM VOCÊ!!!
Sabendo que
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 14
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA
Augusto e Beto precisam cercar um terreno.
O terreno era quadrado, mas
ampliaram para12 metros no comprimento.
A superfície do terreno ficou 5 vezes maior que a
área do terreno quadrado.
x
x + 12
Equacionando...
x ( x + 12 ) = 5x² x² + 12x = 5x²Reduzindo a equação...
4x² 12x = 0
Fatorando o polinômio 4x² 12x, temos
4x ( x 3 ) = 0
Área do terreno quadrado x²
O que acontece quando dois fatores geram um produto igual a zero?
Temos um produto de dois fatores ( 4x e x 3 ) igual a
zero.
4x = 0 x = 0 x 3 = 0 x = 3
a) Qual é o valor de x que serve para essa situação?b) Determine a medida de cada lado do terreno.
c) Quantos metros de cerca serão necessários para
cercar todo o terreno? ________
AGORA,É COM VOCÊ!!!1) O produto de um número pela soma desse número mais
3, é igual ao quádruplo do quadrado desse número.
Determine quais os números que podem atender a essa
igualdade.
_________________
_____
__________
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014
e) x (x + 2) = 2x + 25 ____________________________________________________
c) 9x² = 54x ___________________________________
____________________________________
15
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1) Determine as raízes das equações abaixo:a) x² - 49 = 0
b) 2x² - 32 = 0
c) 5x² - 50 = 0
d) 2x² + 18 = 0
2) Fatore as expressões algébricas a seguir:
a) x² + 7x = __________ b) 3y² 12y = ___________
c) 12z + 9z² = ____________
3) Resolva as equações a seguir:
a) 3x ( x + 2) = 0 _________________________
b) x (2x + 5) = 2x _____________________________
4) Agora, resolva essas equações:
a) 5x² 10x = 0 ____________________________________________________________
b) 3x² 7x = x(2x – 4) _________________________
_________________________
_________________________
d) (x – 5)(x – 6) = 30 _____________________________________________________
5) Observe, na atividade 4, as equações incompletas e suas
raízes.
a) O que acontece quando a equação é incompleta porque
b = 0? _____________________________________
b) O que acontece quando a equação é incompleta porque
c = 0? _______________________
6) A área do retângulo abaixo é de 75 cm². Determine o seu
perímetro.
y + 5
y 5
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 16
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU!!!FIQUE LIGADO
Forma geral da equação de 2.º grau:
ax² + bx + c = 0
• em que x é a incógnita que pode ser representada por
qualquer letra ( y, z, w... );
• a, b e c são valores constantes, chamados de ____________.
As equações de 2.º grau podem ser completas ou incompletas.
a) Em ax² + bx + c = 0, se a 0, b 0 e c 0, podemos afirmar
que é uma equação de 2.º grau ___________.
b) Porém, se a 0, b = 0 e < 0, a equação será ___________,
do tipo ax² + c = 0, e suas raízes serão __________________.
c) Se a ≠ 0, b = 0 e > 0, as raízes ______________________.
d) Quando a 0, b 0 e c = 0, a equação será também
_____________, do tipo ax² + bx = 0, e uma de suas raízes
será _____________.
e) Quando a = 0, temos uma equação do tipo bx + c = 0. Esta é
uma equação do ____ grau.
ac
ac
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1) Escreva a equação de 2.º grau do tipo ax² + bx + c = 0,
em que os coeficientes sejam a = 3, b = -2 e c = 7.
__________________
2) Na equação py² + 3y – 2 = 0, quais devem ser os
valores de p para que ela seja de 2.º grau?
_______________________________________________
3) Em ( m – 3 )w² - 5w + 4 = 0, quais devem ser os valores
de m para que a equação seja de 2.º grau?
4) Na equação do exercício 3, o valor de m pode ser 2?
5) Em 2z² - 3z + ( n – 2 ) = 0, determine n de modo que
uma de suas raízes seja zero.
6) Em 2z² - 3z + ( k + 1 ) = 0, determine k de modo que uma de suas raízes seja zero.
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 17
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU
7) A equação ( 2m − 6 )x² + 6x + 3 = 0 é do 1.º grau. Sendo
assim, podemos afirmar que o valor de m é _____.
8) Na equação x² + ( 2p + 6)x p = 0, o valor de p pode ser 3,
para que as raízes sejam reais, opostas ou simétricas?____
Por quê? ____________________________.
9) A equação (n 3)x² + 5x + (n² 9) = 0 é do 2.º grau e uma de
suas raízes é zero. Determine o valor de n.
Preciso que o senhor aumente em 1m o
comprimento e a largura do mural quadrado do pátio e coloque uma
moldura.A superfície do mural
terá 9 m² de área.
Quantos metros de
moldura vou precisar?
y + 1
y + 1
( y + 1)² = 9
O cálculo da área do
quadrado é lado ao
quadrado.
y + 1 = 3 y + 1 = 3 y = 2
y + 1 = 3 y = 4
y = 4 y + 1 = 4 + 1 = 3 não pode ser a medida do
lado do mural.
y = 2 y + 1 = 2 + 1 = 3 o lado do mural mede 3 m.
Logo, ele vai precisar de 4 . 3 = 12 m de moldura.
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 18
1) Fatore o trinômio e resolva as equações:
AGORA,É COM VOCÊ!!!
EQUAÇÃO DE 2º GRAU
a) x² - 2x + 1 = 4
b) x² + 6x + 9 = 49
c) 4y² - 4y + 1 = 25
d) 9z² + 12z + 4= 64
2) Determine um número cujo quadrado de sua soma
com 3 resulte em 36.
3) Sabendo que a área do retângulo mede 4 cm, equacione
sua área, na forma reduzida.x
x 3
Essa equação é completa. O trinômio não é um quadrado perfeito.
Acho que terei que usar a Fórmula de Bhaskara para resolvê-la.
Bhaskara foi matemático, professor,astrólogo e astrônomo indiano, o maisimportante matemático do século XII eúltimo matemático medieval importanteda Índia.
Adaptado - http://www.xtimeline.com
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 19
EQUAÇÃO DE 2º GRAU – FÓRMULA DE BHASKARA
Vamos descobrir juntos a fórmula de Bhaskara?
A ideia é genial: tentar escrever ax² + bx + c como um produto.
Vamos lá!
Considerando a equação de 2.º grau como
ax² + bx + c = 0, onde a 0.
a) Subtraímos c de ambos os membros da equação:
ax² + bx + c - c = 0 – c, tem-se ax² + bx = c.
b) Multiplicamos os dois membros da equação por 4a:
( ax² + bx ) . 4a = – c . 4a, tem-se 4a²x² + 4abx = 4ac.
c) Adicionamos b² a ambos os membros:
4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b², tem-se 4a²x² + 4abx + b² = b² 4ac.
Que legal!!!Com esse processo, transformamos o 1.º
membro da equação em um trinômio quadrado perfeito!
4a²x² + 4abx + b²
↓ ↓ ↓
2ax 2 . 2ax . b b
Logo, 4a²x² + 4abx + b² = ( 2ax + b )²
d) Temos, então, a igualdade: (2ax + b )² = b² - 4ac
e) Extraindo a raiz quadrada dos dois membros,
encontramos 2ax + b = acb 4²
Agora, é só isolar o x!
f) Subtraímos b de ambos os membros:2ax + b – b = b, isto é, 2ax = b ac4²b ac4²b
g) Dividindo ambos os membros por 2a, tem-se
x =a2
ac4²bb
Esta é a Fórmula de Bhaskara!
Para achar os valores de x,basta substituir os valores de a, b e c da equação na
fórmula.
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 20
EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA
Vamos resolver a equação x² 3x 4 = 0,
utilizando a fórmula de Bhaskara.
Sendo a equação geral de 2.º grau ax² + bx + c = 0, então em
x² 3x 4 = 0
a = 1, b = 3 e c = 4.
Substituindo, na fórmula,
12
414332
4² 2
xa
acbbx
2253
21693
xx
122
428
253
2253
x
x
xx
São as raízes da equação 1 e 4.
EQUAÇÕES DE 2.º GRAU
O quadrado de um número, diminuído do seu triplo, é igual a 40.
Equacionando x² 3x = 40 → x² − 3x − 40 = 0.
Os coeficientes são : a = 1, b = −3 e c = −40.
Calculando ∆,
Aplicando à fórmula de Bhaskara:
As raízes são 8 ou 5.
169401434² 2 acb
5
82133
121693
2
xx
xxa
bx
Vamos calcular o radicando primeiro?
Verifique se esses valores estão corretos, substituindo cada
um na equação.
O radicando b² 4ac é chamado de discriminante da equação e é
representado pela letra grega delta (∆).
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 21
AGORA,É COM VOCÊ!!!
2) O quadrado de um número, acrescido de 4, é igual a
seu quíntuplo. Determine esse número.
1) Determine as raízes das equações a seguir:a) x² 5x + 6 = 0
b) 2y² + 3y 14 = 0
c) (2x + 3) (x 1) = 3
3) A área do retângulo é igual à área do quadrado.
Observe as figuras abaixo e determine suas dimensões:
x 3
2x 2
x 1
x 1
EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 22
EQUAÇÃO DE 2º GRAU - DISCRIMINANTE
Agora, serão propostas três equações de 2.º grau para que você as resolva.
Use a fórmula de Bhaskara.Preste atenção a cada ∆ e relacione com
as raízes encontradas. Você fará uma incrível descoberta!
I) Determine as raízes de x² – 4x + 4 = 0.
Que valor encontrou para ? ______Como são as raízes? _________
II) Resolva a equação: x² + x – 12 = 0
O valor que você encontrou para é positivo ou negativo? __________________As raízes são iguais ou diferentes? ____________
III) Quais são as raízes de x² – 2x + 10 = 0?
O valor de é positivo ou negativo? __________Por que as raízes não são reais?
_______________________________________________
_______________________________________________
!!!FIQUE LIGADODiscriminante da equação de 2.º grau
Se ∆ = 0, suas raízes são reais e iguais.
Se ∆ > 0 (positivo), suas raízes são reais e diferentes.
Se ∆ < 0 (negativo), suas raízes não são reais.
Vou sempre calcular o ∆ antes de resolver a equação. Assim, já
sei que tipo de raízes vou encontrar.
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 23
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - DISCRIMINANTEAgora, eu sei porque ∆ se chama
discriminante. Ele indica se as raízes de uma equação de 2.º grau são reais e
iguais, reais e diferentes ou se não são reais.
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1) Complete a sentença abaixo, determinando o tipo de raízes.
A equação 2y² – y – 8 = 0 possui raízes _________________ ,
porque o discriminante () é ____________________.
2) De que tipo são as raízes da equação: w² + 10w + 25 = 0?
Justifique sua resposta.
3) Sabendo que a equação x² – 2x + (m – 3) = 0 tem raízes
reais e iguais, qual é o valor de m?
4) O valor de k, para que a equação 2w² – 2w – k = 0
tenha raízes reais e diferentes, pode ser zero?
5) Podemos afirmar que a equação 3 x ² – 4 x + 1 = 0 possui
raízes reais e diferentes? _____ Por quê?
6) Na equação 4 x ² – (p + 1) x + (p – 2) = 0, determine os
valores de p, para que a equação tenha raízes reais e
iguais.
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 24
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA DE RAÍZES
clipart
Fiz uma experiência e descobri algo
incrível.
Mostre para nós o que você
descobriu.
Sabemos que a equação geral de 2.º grau é
a x ² + b x + c = 0.
Através da fórmula de Bhaskara, as raízes podem ser assim
encontradas:
aacbbx
24²
1
a
acbbxe2
4²2
Se somarmos as raízes, temos:
x1 + x2 =a2
ac4²bba2
ac4²bb
Como os denominadores são iguais, podemos colocar a soma
toda sobre o mesmo denominador.
x1 + x2 =a2
ac4²bbac4²bb ab
ab
22
Vamos testar?
Determine as raízes de z² − 7z – 30 = 0.
Verificando...
a) z1 + z2 = _____________
b) Utilizando a regra que encontramos... 7
17
ab
ab
Não é que deu certo?z² − 7z – 30 = 0.
AGORA,É COM VOCÊ!!!Determine a soma das raízes das equações:
a) 9x² 9x + 2 = 0 b) 4y² + 4y 3 = 0
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 25
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – PRODUTO DE RAÍZES
clip
art
Descobriu mais alguma coisa?
Agora, vamos multiplicar as raízes:
aa
acbbacbbxx
aacbb
aacbbxx
224²4²
24²
24²
21
21
Como, no numerador, há um produto da soma pela diferença,
temos:
21
22
21 ²44² xx
aacbbxx
²a4ac4²bb2
Retirando os parênteses:
a²acbbxx
4422
21
Simplificando:ac
aacxx
²44
21
Sim! Veja que interessante! clipart
Vamos testar com a mesma equação?z² − 7z – 30 = 0
Verificando...
a) z1 . z2 = ___________
b) Utilizando a regra encontrada...
As suas raízes são 3 e 10.
AGORA,É COM VOCÊ!!!1) Determine o produto das raízes nas equações:
a) 9x² 9x + 2 = 0 b) 4y² + 4y 3 = 0
2) Determine a soma e o produto das raízes em2y² 3y + 1 = 0
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 26
AGORA,É COM VOCÊ!!!
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA E PRODUTO DE RAÍZES
Uma equação do 2.º grau é da forma
ax² + bx + c =0, com a 0.
1) Assinale o par de números que são raízes de uma equação
de 2.º grau, cuja soma dessas raízes é – 7, o produto é 12 e
onde o coeficiente de x² é um (a = 1).
( ) 2 e 6 ( ) – 8 e 1 ( ) – 3 e – 4
2) Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes dasequações:
a) x² – 6x – 7 = 0 (S) = ______ (P) = ______
b) 3y² + 4y + 1 = 0 (S) = ______ (P) = ______
3) Se a soma das raízes da equação x² – ( 2k – 3)x – 12 = 0 é
igual a 7, determine o valor de k:
4) Na equação 4y² – 8y + 4p = 0, o produto de suas raízes é 1.
Determine o valor de p.
5) Em uma equação de 2.º grau, a soma de suas raízes é 5 e o
produto dessas raízes é – 14. Sabendo que o coeficiente do
termo em x² é 1, então essa equação é ______________
6) Determine a soma e o produto das raízes das equações do tipo ax² + bx + c = 0 a seguir.
a) z² − 7z – 30 = 0 b) 4x² 12x + 9 = 0
7) Descubra o produto das raízes da equação
x² 3mx + 4m = 0, sabendo que a soma de suas raízes é 6.
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 27
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – COMPOSIÇÃONossa! Na atividade 5 da página anterior,
montamos uma equação!
Será que podemos compor equações a partir das raízes?
Escreva uma equação de 2.º grau (ax² + bx + c = 0) que tenha
raízes 3 e -4.
Consideremos o coeficiente a = 1.
A soma das raízes é 3 + (4) = 1.
Como a soma das raízes é =
O produto das raízes é 12.
Como o produto das raízes é =
A equação é x² + x 12 = 0.
Pensando...x - 3 = 0 x = 3 e x + 4 = 0 x = 4
Então: (x 3) (x + 4) = 0 x² + x 12 = 0
Resolva a equação e verifique se as raízes são 3 e 4.
111
, bbab
.12121
, ccac
Veja como pensei!
Descobri!Se considerarmos a = 1, podemos compor
uma equação de 2º grau usando a fórmula:
x² Sx + P = 0, sendo S a soma das raízes e P o produto delas.
Utilizando o produto de binômios, formados com os simétricos das raízes, também encontramos a
equação.
Componha a equação ax² + bx + c = 0, em que a = 1 e suas
raízes são 5 e 3.
AGORA,É COM VOCÊ!!!
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 28
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO
A minha última descoberta foi a mais incrível!
Através da soma e do produto, é bastante simples achar as raízes das equações de 2.º grau, se as raízes
forem números inteiros. clip
art
Vamos brincar um pouco?Diga 2 números que, somados, deem
7 e cujo produto seja 10.
Soma 7: 0 e 7, 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4.O par, cujo produto é 10, é 2 e 5.
Montando o produto, temos:
(x – 2 ) (x – 5 ) = 0 x² 2x 5x + 10 = 0
x² 7x + 10 = 0
Resolva a equação e verifique se as raízes são 2 e 5.
AGORA,É COM VOCÊ!!!
Descubra os dois números inteiros que atendam às condições propostas a seguir:
a) se somados dão 6 e se multiplicados resultam em 5? ______.
b) cujo produto é 15 e cuja soma é 8. São eles: ____ e _____ .
c) cujo produto é 30 e cuja soma é -1. São eles: _______.
!!!FIQUE LIGADOSe o produto de 2 números for
positivo, os números têm sinais iguais.
negativo, os números têm sinais diferentes.
Se os 2 números possuem
sinais iguais, a soma é o resultado da adição de seusmódulos com o mesmo sinal desses números.
sinais diferentes, a soma é o resultado da subtração deseus módulos com o sinal do número com maior módulo.
Lembre-se de que
• o módulo ou valor absoluto de um número real é o próprionúmero, se ele for positivo.
• o módulo ou valor absoluto de um número real será o seusimétrico, se ele for negativo.
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 29
clipart
Mas como podemos utilizar a soma e o produto para descobrir as raízes de uma
equação de 2.º grau?
clip
art
Sabemos que uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, em que a =
1 pode ser determinada porx² Sx + P = 0, onde S é a soma
e P o produto das raízes.
1) Utilizando a soma e o produto das raízes, determine as
raízes das seguintes equações:
a) x² 9x + 18 = 0.
AGORA,É COM VOCÊ!!!
b) 2z² + 4z 30 = 0.
2) Determine as raízes da equação x² + 3x 28 = 0,
utilizando a soma e o produto das raízes.
3) Agora que você está craque, resolva, mentalmente, as
equações a seguir.
a) x² 9x + 14 = 0
b) y² + 6y + 8 = 0
c) z² z 12 = 0
d) w² + 5w 6 = 0
e) x² + 4x + 4 = 0
EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 30
Agora, resolva a equação y² 2 = 0.Localize, aproximadamente, suas raízes
na reta numérica.
clip
art
LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS IRRACIONAIS NA RETA NUMÉRICA
Observe as setas. Quais delas apontam para os valores mais próximos das
raízes dessa equação?
clip
art
Entre que inteiros está
?2
2411
Eu utilizei a calculadora.
É um pouco mais de 1,4.
Sendo a equação , determine suas raízes e
assinale, na reta, a localização mais próxima dessas raízes.
03² yy
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 31
SEMELHANÇA DE POLÍGONOS
Essas duas fotos são semelhantes.
Essas duas fotos não são semelhantes.
Em Matemática, para que a redução de uma figura sejasemelhante à figura original é necessário que semantenham as devidas proporções.
Observe os trapézios ACFD e BCFE.
Trace, num papel quadriculado, uma figura similar à figura abaixo.
Meça os ângulos de cada trapézio.Os ângulos correspondentes têm a mesma medida? _____
Determine a razão ___________________________
Verifique se a razão é a mesma em
ACBC
.CFBEe
DFEF
Podemos concluir que os trapéziosACFD e BCFE são semelhantes.
!!!FIQUE LIGADODescobrimos que dois trapézios são semelhantes quandoseus ângulos correspondentes são congruentes (têm amesma medida) e seus lados correspondentes sãoproporcionais.
clipart
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 32
SEMELHANÇA DE POLÍGONOSAGORA,
É COM VOCÊ!!!
1) As figuras abaixo são semelhantes. Sendo assim, determine
as medidas x e y.
6 cm
4 cm
x
y
15 cm20 cm
2) Sabendo que a razão de semelhança entre dois quadrados é
e que o lado do maior desses quadrados mede 16 cm,
podemos afirmar que o lado do menor quadrado mede ___cm.43
3) Verifique se os trapézios abaixo são semelhantes.
Justifique sua resposta.
6cm
3cm
8cm
6cm
10cm
10cm
4) Um quadrado cujo lado mede 7 cm e um losango cujo
lado também mede 7 cm são semelhantes?
Encontramos a razão de semelhança, observando as duas figuras:
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 33
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Trace, em uma folha de papel quadriculado, dois triângulos retângulos
como o modelo abaixo.
Meça seus lados e ângulos e verifique se são semelhantes.
A B D E 3cm 5cm
60° 60°
C
Trace, em uma folha de papel quadriculado, um triângulo cujos lados
meçam 3 cm, 4 cm e 5 cm.
Observe abaixo.
Multiplique por 2 as medidas dos lados do triângulo traçado e
construa, na folha de papel quadriculado, o novo triângulo.
Recorte os triângulos e sobreponha seus ângulos correspondentes.O que descobriu?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
É possível desenhar quadriláteros,pentágonos, hexágonos e outros polígonoscom lados proporcionais e ângulosdiferentes. Porém, com os triângulos não épossível desenhá-los desta maneira.
F
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 34
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1) Determine as medidas dos lados dos triângulos ABC e
CDE, sabendo que são semelhantes numa razão de
AGORA,É COM VOCÊ!!!
.31
A 4 B
_____
CEAC
2) De acordo com a figura abaixo, responda:
6cm
3cm
10cm
A
B
D
C 4cm E
a) Os triângulos ABE e DCE são semelhantes?
b) Qual é a razão de semelhança entre os triângulos ABE
e DCE?
c) Qual é a medida de
d) Qual é a medida de
?DE
?BE
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 35
TRIÂNGULO RETÂNGULO
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teto!
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O triângulo ABC é retângulo em Â. é a altura relativa à
hipotenusa.AH
C
AB
H
B C H
Um triângulo é chamado de retângulo quando um de seusângulos é reto, isto é, mede 90º. Seus lados possuemnomes especiais. A hipotenusa é o lado oposto ao ânguloreto. Os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º.
Analisando o triângulo retângulo ABC...a) Qual é o nome dado ao lado
b) Qual é o cateto maior?
c) Qual é o cateto menor?
d) O triângulo HBA é semelhante ao triângulo ABC?
e) O triângulo HAC é semelhante ao triângulo ABC?
f) Os triângulos HBA e HAC são semelhantes?
?BC
H
B A
H
A C
A
B CH
A
________________
________________
Qual será a medida da viga
de sustentação?________________
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 36
TRIÂNGULO RETÂNGULOAGORA,
É COM VOCÊ!!!Observe o triângulo retângulo ABC, de ângulo reto em B e
determine o que se pede.
A
B
CD
4
6
a) Podemos afirmar que a medida do ângulo é igual à medida
de ? _____ Por quê?
___________________________________________________
___________________________________________________
b) Podemos afirmar que o triângulo ABD é semelhante ao
triângulo BCD? _____ Por quê?
___________________________________________________
___________________________________________________
c) O lado AB, do triângulo ABD, corresponde ao lado ________
do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos ao
ângulo reto.
d) O lado BD, do triângulo ABD, corresponde ao lado
________ do triângulo BCD, porque ambos os lados são
opostos ao ângulo .
.e) O lado AD, do triângulo ABD, corresponde ao lado _____
do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos aos
ângulos e , sabendo que = .
f) Se o lado BD mede 6 cm e o lado CD mede 4 cm, então
o lado AD mede ______.
____x______x_________
______
BD___
CDBD
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 37
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Nomeando as medidas dos segmentos que compõem o
triângulo retângulo...
São elas:
a → a medida da hipotenusa
b → a medida de um cateto
c → a medida do outro cateto
h → a medida da altura
A altura divide a hipotenusa em dois segmentos (m e n), que
são as projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
m → é a medida da projeção ortogonal de b.
n→ é a medida da projeção ortogonal de c.
Já sei que, ao traçar a altura relativa à hipotenusa, num triângulo retângulo, obtenho
três triângulos retângulos semelhantes.Agora, vou verificar as relações que posso
obter com as medidas de seus lados.
A 1.ª relação eu descobri. Se eu somar as medidas das projeções dos catetos, obtenho
a hipotenusa.• Então, a = ____+ _____ (1.ª relação)
Comparando os dois triângulos maiores.
Como os triângulos ABC e HAC são semelhantes, percebo a
igualdade com os lados correspondentes.
ba
mb
ACBC
HCAC
Multiplicando meios e extremos...
b . b = a . ___ → _________
A 2.ª relação mostra que o quadrado do cateto b é igual ao produto da hipotenusa
pela projeção desse cateto.• Então, b² = am (2.ª relação)
bb
A A
B
c
C C
h
am
H
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 38
RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULOComparando o triângulo maior com o menor.
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes, percebo a
igualdade com os lados correspondentes.
ca
nc
ABBC
HBAB
Multiplicando meios e extremos...
c . c = a . ___ → _________
A 3.ª relação mostra que o quadrado do cateto c é igual ao produto da hipotenusa
pela projeção desse cateto.• Então, c² = a.n (3.ª relação)
Comparando os triângulos menores...
Como os triângulos HBA e HAC são semelhantes, percebo a
igualdade com os lados correspondentes.
hn
mh
HABH
HCHA
Multiplicando meios e extremos...
h . h = m . n→ _____________
A 4.ª relação mostra que o quadrado da medida da altura é igual ao produto das
projeções dos catetos.• Então, h² = mn (4.ª relação)
b
A
B
c
Ca
h
A
B
c
Hn
h
A
B
c
Hn
b
A
C
h
mH
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 39
RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Comparando os dois triângulos maiores novamente...
hc
ba
AHAB
ACBC
Multiplicando meios e extremos...
a . ___= ____ . c → ____________
Na 5.ª relação, descobri que o produto da medida da hipotenusa, pela medida da
altura relativa a ela, é igual ao produto das medidas dos catetos.
Então, ah = bc (5.ª relação)
A 5.ª relação é que irá nos ajudar a resolver o projeto da viga no telhado que precisa ser
reforçado.
Retomando o projeto (página 34) ...
De acordo com as medidas da figura acima, complete e
calcule a medida do comprimento da viga de sustentação.
H
a) Considerando as representações das medidas dos elementos de um triângulo retângulo...
a = ____ b = ___ c = ___ h = ____
b) Utilizando a 5.ª relação...
ah = bc _______________________________
c) A viga de sustentação deve medir ________ m.
B
A
C
3 m
5 m
4 mb
A
B
c
Ca
b
A
C
h
mH
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 40
TEOREMA DE PITÁGORAS
que Pitágoras é conhecido pelo famosoteorema que leva seu nome? Era filósofo eastrônomo, além de matemático?
que Pitágoras foi o fundador de uma escolade pensamento grega denominada, em suahomenagem, de Pitagórica, cujos princípiosforam determinantes para a evolução geralda Matemática e da Filosofia Ocidental?
Imagem retirada de http://www.suapesquisa.com/pesquisa/pitagoras.htm
Existem mais de 350 demonstrações do Teorema de Pitágoras.
A próxima atividade utilizará um processo com base em umadessas demonstrações.
Nesta figura, vemos dois quadrados:
Um claro de lado a.
Um escuro de lado (b + c).
A área do quadrado claro é a².
Para achar a área do quadrado claro,podemos calcular a área do quadrado
grande e tirar a área desses 4 triângulos retângulos escuros.
Vamos calcular a área do quadrado escuro:
a) Se o lado do quadrado grande é b + c, a área da figura
toda é (b + c)².
b) Desenvolvendo esse quadrado:
(b + c)² = b² + 2bc + c²
c) A área de cada triângulo retângulo é a metade da área de
um retângulo de lados b e c. Veja!
b
c
Um triângulo
Quatro triângulos 2bc
bc22bc4
d) Retirando, da superfície do quadrado escuro, a área dos
quatro triângulos retângulos, temos:
b² + 2bc + c² - 2bc = b² + c²
e) Igualando as áreas do quadrado claro, temos a fórmula de
Pitágoras a² = b² + c²
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 41
TEOREMA DE PITÁGORASTambém podemos demonstrar o Teorema de
Pitágoras usando as relações que encontramos. Observe.
Na soma b² + c², substituímos o b e o c pelas expressões
que deduzimos.
b² = am e c² = an.
Então, b² + c² = __________
Colocando a em evidência, temos : b² + c² = _____
Como m + n = a, encontramos: b² + c² = a . _____
Logo, b² + c² = a²
!!!FIQUE LIGADORELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
a = m + n
b² = am
c² = an
h² = mn
ah = bc
a² = b² + c²
Oi, amigos! Sou treinador de um time de futebol da minha comunidade.
Gosto de mostrar diversas jogadas para que os jogadores conheçam boas
estratégias de jogo. Esta jogada é uma delas. Observe.
Imag
em a
dapt
ada
de: h
ttp://
ww
w.g
oogl
e.co
m.b
r/em
4/6
/10
Determinando as distâncias dos jogadores 1, 2 e 3, nesse
momento, é possível ver que suas posições formam um triângulo
retângulo e que a distância entre o jogador 1 e a bola é a altura relativa à hipotenusa desse
triângulo.
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 42
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULOAGORA,
É COM VOCÊ!!!
1. De acordo com as representações das medidas de um
triângulo retângulo e pensando no triângulo maior, podemos
dizer que
a distância entre os jogadores 2 e 3 é a __________________.
a distância entre os jogadores 1 e 2 é o _______________.
a distância entre os jogadores 1 e 3 é o _________________.
a distância entre o jogador 1 e a bola é a _____________.
a distância entre o jogador 2 e a bola é _______________
_______________________________.
a distância entre o jogador 3 e a bola é__________________________________.
A distância do► jogador 2 até a bola é de 3,2 m.► jogador 3 até a bola é de 1,8 m.
2. Qual é a distância entre os jogadores 2 e 3?
3. Qual é a distância, em metros, entre os jogadores 1 e 2?
4. Determine a distância entre os jogadores 1 e 3.
5. Escolha uma fórmula adequada e determine a distância
entre o jogador 1 e a bola.
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 43
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. Um cabo de aço ligará 2 prédios (veja o desenho
abaixo). Determine a medida x do cabo de aço.
40 m
20 m
x
25 m
A medida x é de ________________.
2. Determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:
3. Determine o valor de x, y, z e w no triângulo retângulo abaixo:
B
A
CH
a
4 5
B
A
CH
w
50
18
y z
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 44
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
4. Jorge quer cercar seu terreno. Sua forma e algumas de
suas dimensões estão representadas na figura abaixo.
12 m13 m
32 m
18 m
a) Trace uma paralela à altura pelo outro vértice superior
da figura.
b) As medidas que você deverá encontrar estão
assinaladas como x, y e z na figura a seguir.
12 m13 m
32 m
18 m
x y
z
c) Calcule, primeiro, x, depois, y e, por último, o valor de z.Assim, ficará mais fácil.
Resolução da questão:
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 45
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
5. Um quadro será restaurado. Para tal, sua moldura foi
retirada. Para que a moldura se mantenha intacta, foi
colocada uma tira de madeira na diagonal. Veja o modelo.
Sabendo que a moldura é quadrada e seu lado mede
1 metro, qual deve ser a medida da tira de madeira?
Dos valores assinalados na reta numérica abaixo, o mais
próximo de é o ____ .2
6. Determine a medida de x nos quadrados abaixo:
x
5
a)
x
b)24
7. Determine a medida da altura do triângulo equilátero abaixo:
6h
1
1
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 46
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
Paula faz tortas para cobrir seus gastos pessoais. Assim, não
compromete o orçamento doméstico.
Controlo direitinho todo dinheiro que recebo com as tortas.
Observe a tabela que fiz para controlar a quantia que sobra ao final do mês.
CONTROLE DE 2014
JaneiroR$
FevereiroR$
MarçoR$
AbrilR$
MaioR$
Recebi pelas tortas
480 320 600 280 640
Gastos pessoais
250 150 420 300 400
Sobra 230 180 ̶ 20
De acordo com a tabela acima, determine o que se pede.
a) O mês em que Paula teve a maior sobra foi __________,no valor de R$ _________.
b) Ela teve que usar parte do orçamento doméstico paracobrir seus gastos em __________, no valor de R$ _______.
c) O maior gasto pessoal foi em ________, no valor de R$_____________.
d) Observando a tabela, podemos garantir que ela vendeu
mais tortas em _______ e menos tortas em _______.
A quantia que sobra, em cada mês, coloco na Caderneta de Poupança.
De acordo com a afirmação de Paula, desde o início deste ano,
ela colocou R$ _________na Caderneta de Poupança.
Sabendo que Paula cobra, por torta, R$ 40,00, complete oquadro abaixo.
TORTAS VENDIDAS
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio
Nº de tortas
12
Monte um gráfico de colunas, utilizando a tabela acima.
Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 47
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃOO gráfico de colunas mostra as notas, de 0 a 5, dos alunos
de uma turma, em um teste de Geografia.
a) Quantos alunos tiraram nota 3? ____ E nota um? _____ b) Complete a tabela com os dados do gráfico:
c) Sabendo que todos os alunos da turma fizeram o teste,
quantos alunos há nessa turma? ______
d) Qual foi a média da turma? _______
e) Quantos alunos ficaram abaixo da média da turma?______
0 1 2 3 4 5
Notas 0 1 2 3 4 5
Nº de alunos 2
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) fez
uma análise sobre a taxa de desemprego no Brasil, dos
anos de 2002 a 2008, que gerou o gráfico abaixo.
De acordo com esse gráfico, podemos afirmar que
a) o ano de _________ teve a maior taxa de desempregodesse período.
b) O maior número de habitantes empregados, nesse período,foi em ___________.
c) A maior queda, na taxa de desemprego, desse período, foinos anos de _________ e ________.
Fonte IBGE