Post on 26-Sep-2018
MATEMÁTICA II
Aula 8Equações Trigonométricas
Professor Luciano Nóbrega
2º Bimestre
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2Professor Luciano Nóbrega
RESUMO DA AULA 7
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
tg (a + b) = tg a + tg b
1 – tg a . tg b
tg (a – b) = tg a – tg b
1 + tg a . tg b
sen 2a = 2.sen a.cos a
cos 2a = cos2a – sen2a
cos 2a = 2 . cos2a – 1
cos 2a = 1 – 2 . sen2a
tg 2a = 2tg a
1 – tg2a
3Professor Luciano Nóbrega
TESTANDO OS CONHECIMENTOS1 – Verifique a veracidade das igualdades a seguir.
a)
(1 + cos a).sen a
sen2 a + (1 + cos a)2
(1 + cos a).sen a
sen2a + 1 + 2.cos a + cos2a
(1 + cos a).sen a
2 + 2.cos a
(1 + cos a).sen a
2.(1 + cos a)
sen a
22cossec a
4Professor Luciano Nóbrega
TESTANDO OS CONHECIMENTOS1 – Verifique a veracidade das igualdades a seguir.
b) 2 – sen2b – sen2b
cos2b cos2b
2 – 2sen2b
cos2b
2.(1 – sen2b)
cos2b
2.(cos2b)
cos2b 2
5Professor Luciano Nóbrega
TESTANDO OS CONHECIMENTOS1 – Verifique a veracidade das igualdades a seguir.
f) 1º) sec2x – 2.sec x + 1
1 – 2 + 1
cos2x cos x1 – 2.cos x + cos2x
cos2x
2º) tg2x – 2.tg x.sen x + sen2x + 1 – 2.cos x + cos2x
sen2x – 2.sen x.sen x + sen2x + 1 – 2.cos x + cos2x
cos2x cos x
sen2x – 2.sen2x.cos x + 2.cos2x – 2.cos3x
cos2x
1 – cos2x –2.(1–cos2x).cos x+2.cos2x – 2.cos3x
cos2x
1 – cos2x –2.cos x+2cos3x+2.cos2x – 2.cos3x
cos2x
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS2 – Prove que 2tg(x)/1 + tg
2(x) é idêntica a sen 2x
3 – Calcule seno, cosseno e tangente de:
a) 15º
b) 75º
c) 105º
d) 165º
e) 195º
f) 255º
g) 285º
h) 345º
7Professor Luciano Nóbrega
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
4 – Prove que cos (3x) = 4.cos³x – 3.cos x
cos (3x) = cos (2x + x) = cos (2x).cos x – sen (2x).sen x
OBS:
cos 2a = cos2a – sen2a cos 2a = 2 . cos2a – 1
cos 2a = 1 – 2 . sen2a
= (2.cos2x – 1).cos x – (2.sen x.cos x).sen x
= 2.cos3x – cos x – 2.sen2x.cos x
= 2.cos3x – cos x – 2.(1 – cos2x).cos x
= 2.cos3x – cos x – 2.cos x + 2.cos3x
= 4.cos3x – 3.cos x
5 – Analogamente, prove que sen (3x) = –4.sen³x + 3.sen x
8Professor Luciano Nóbrega
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As Equações Trigonométricas são equações nas quais a incógnita aparece nos ângulos (ou arcos) das funções trigonométricas.
EXEMPLOS:
São exemplos de equações trigonométricas:
sen x = 1 2.cos x = √3 1 + tg(2x) = 0
NÃO são exemplos de equações trigonométricas:
3x + sen π = 1 2.cos 45º = x/3 x2 + tg π/3 = 0
Para resolvermos Equações Trigonométricas, devemos simplificar as expressões até que obtenhamos uma das três equações básicas:
sen x = sen a cos x = cos a tg x = tg a
9Professor Luciano Nóbrega
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
EXEMPLO:
Dada a equação sen x = sen Π/5 e o intervalo [ 0, 2Π [,determine os valores que x pode assumir:
SOLUÇÃO: Retirando a função seno nos dois membros
da equação, temos x = Π/5 , esse é um dos valores de x.Mas, lembre-se o valor do seno no 1º quadrante é
igual ao valor do seno no 2º quadrante.
LEMBRE-SE:
sen α = sen (Π – α)
sen x = sen (Π – Π/5 ) sen x = sen 4Π/5 x = 4Π/5
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EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICASEXEMPLO: Seja a equação sen x = –1/2 , com x pertencente ao
intervalo [0,2Π [, determine o valor de x:
Perceba a idéia fundamental:
→ Precisamos descobrir “os”ângulos cujos senos resultam -1/2.
sen
++__
sen 30º = 1/2sen (180º -30º ) = sen 150º = 1/2
sen (180º +30º ) = sen 210º = -1/2
sen (360º -30º ) = sen 330º = -1/2
Então, se sen x = -1/2 sen x = sen 210º = sen 330º
Em radianos, temos: sen x = sen 7Π/6 = sen 11Π/6
E portanto, S = { 7Π/6 . 11Π/6 }
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EXEMPLO: Resolva a equação cos x = cos 5Π/3.Retirando a função cosseno nos dois membros da equação, temos x = 5Π/3 , esse é um dos valores de x. Mas, lembre-se que:
→ O valor do cosseno no 4º quadrante é igual ao valor do cosseno no 1º quadrante.
cos
+
+
_
_
cos 300º = cos 60º = 1/2
→ 5 Π/3 = 5 . (180º)/3 = 5 . (60º) = 300º → 4º quadrante
cos 60º = 1/2
Sendo assim a solução é: S = {x Є R / x = ± 60º + 2kΠ }
Com k Є N
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EXEMPLO: Estude a equação –1 + cos 3x = 0 , com U = [ 0, 2Π [
Podemos escrever a equação assim:
cos 3x = 1Perceba a idéia fundamental: 1 = cos 0º
Então, cos 3x = cos 0º
Do enunciado, vemos que x Є [0, 2Π [ 3x = 0 + 2.k.ΠAnalisando os casos :
3x = 0 3x = 2Π 3x = 4Π
X = 0 X = 2 Π/3 X = 4 Π/3
S = {0, 2Π/3, 4Π/3 }
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EXEMPLO: Resolva a equação 2.sen x.cos x + cos x = 0
Colocando “cos x” em evidência, temos:cos x .( 2 sen x + 1) = 0
Podemos concluir que: ou(i) cos x = 0 (ii) 2 . sen x + 1 = 0
cos x = cos Π/2 = cos 3Π/2
x = Π/2 ou x = 3Π/2
2 . sen x = 1 sen x = -1/2
sen x = sen 210º = sen 330ºsen x = sen 7Π/6 = sen 11Π/6
x = 7Π/6 ou sen 11Π/6
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EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
EXEMPLOS:
Resolva as seguintes equações de seu livro:
P. 269_13 e 14
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