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CONJUNTOS NUMRICOS Introduo
Praticamente todas as aplicaes da Matemtica envolvem
nmeros, como voc pde observar na aprendizagem progressiva dessa cincia ao longo de sua vida. Por isso, torna-se FUNDAMENTAL a necessidade de conhecer os CONJUNTOS NUMRICOS.
Os conjuntos numricos que estudaremos so: NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS, IRRACIONAIS e REAIS. CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS: IN
Os nmeros naturais sempre foram e ainda so usados nos processos de contagem e nas operaes.
O conjunto dos nmeros naturais pode ser assim representado:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}
O smbolo IN ser usado para indicar o CONJUNTO dos nmeros naturais e a letra n, para indicar um ELEMENTO QUALQUER desse conjunto. As reticncias indicam que IN um conjunto INFINITO.
O conjunto dos nmeros naturais diferentes de zero representado pro IN*. Logo:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = IN {0}
Ou seja, o conjunto dos nmeros naturais sem o zero. Representando alguns elementos de N na reta numerada,
temos: 0 1 2 3 4 5 Operaes em IN
No conjunto IN definem-se as operaes fundamentais ADIO e MULTIPLICAO. Suas inversas so, respectivamente a SUBTRAO e a DIVISO EXATA. Observe o quadro abaixo:
Adio a + b = c a e b: parcelas c: soma ou total
Subtrao a b = c a: minuendo b: subtraendo c: resto
Multiplicao a b = c a e b: fatores c: produto
Diviso Exata a : b = c a: dividendo b: divisor c: quociente
Potenciao em IN
Seja a e n nmeros naturais. Definimos a POTENCIAO em IN da seguinte maneira: an = a a a a (n vezes) (n 2) a1 = a a0 = 1 Exemplos: 24 = 2 2 2 2 = 16 51 = 5 30 = 1
O nmero a denominado BASE, o nmero n o
EXPOENTE e o resultado b a POTNCIA. Observaes:
1) No se define 00. 2) As potncias a2 e a3 costumam ser chamadas QUADRADO de a e CUBO de a, respectivamente.
A potenciao possui algumas propriedades importantes, que apresentamos a seguir: am an = am + n
nmn
ma
aa , (a 0 e m n)
(am)n = am . n (a b)n = an bn
n
nn
ba
ba
, (b 0)
EXERCCIOS
1. Calcule o valor das expresses: a) 6 8 + 1 b) 10 : 2 + 3 c) 54 + 12 : 2 d) 30 : 10 + 5 e) 60 + 20 : 20 f) 4 6 + 10 : 2 g) 10 8 : 2 + 3 h) 32 : 4 : 2 : 2 2. Calcule o valor das expresses: a) 72 10 + (23 5) b) 15 + (15 6 + 4) : 5 c) 30 : (3 7 + 9) + 23 d) 23 + 235:100
e) 2 1651 f) 3626:8172 3. Calcule o valor das expresses: a) 30 + 10 : 10 b) 4 32 + 15 : 5 c) 7.800 : 100 2 + 4 d) 48 : 16 + 20 : 4 e) 32 (19 80 + 32) f) 25 + 22 3 2 3 + 1 Respostas: 1. a) 49 b) 8 c) 60 d) 8 e) 61 f) 29 g) 9 h) 2 2. a) 42 b) 17 c) 9 d) 1 e) 2 f) 2 3. a) 31 b) 39 c) 160 d) 8 e) 243 f) 32 Diviso com Resto
Sejam a e b nmeros naturais com b 0. Dividir a por b encontrar dois nmeros naturais q e r tais que:
a = b q + r (r < b)
O nmero a o DIVIDENDO, b o DIVISOR, q o
QUOCIENTE e r o RESTO da diviso. Obs.: O resto r deve sempre ser menor que o divisor b. Exemplo: Na diviso de 35 por 4, o quociente 8 e o resto 3. Veja:
35 4 3 8
Pois 35 = 4 8 + 3 e 3 < 4.
Se, na diviso de a por b (b 0) encontramos o resto igual a zero (r = 0), conclumos que a = b q. Dizemos, ento, que a diviso de a por b EXATA ou, ainda, que a DIVISVEL por b ou, ainda, que a MLTIPLO de b e que b DIVISOR de a.
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Um exemplo disso a diviso de 45 por 9:
45 9 0 5
Pois 45 = 9 5. Da, 45 mltiplo de 9, e 9 divisor de 45.
EXERCCIOS 1. (CAP-UERJ) O resultado da expresso (2.412 : 12 8) 13
+ (48 6 2) : a) 46 b) 98 c) 226 d) 228 2. (PUC-MG) Na diviso do nmero natural p pelo nmero
natural m, o quociente 13 e o resto, 5. O menor valor de p :
a) 18 b) 44 c) 57 d) 83 3. (UFMG) Na diviso de dois nmeros naturais, o quociente
16 e o resto o maior possvel. Se a soma do dividendo e do divisor 125, o resto :
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 Respostas: 1.d 2.d 3.c Critrios de Divisibilidade
O processo geral para determinar se um nmero natural a divisvel por um nmero natural b efetuar a diviso e verificar se o resto obtido zero.
Esse processo funcional, claro, para nmeros pequenos, mas pouco prtico para nmeros maiores.
Existem alguns critrios que permitem verificar, sem efetuar a diviso, se um determinado nmero divisvel por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 ou 11. Assim, um nmero natural divisvel por:
2 Se o algarismo das unidades par, ou seja, for 0, 2, 4, 6 ou 8.
3 Se a soma dos valores absolutos de seus algarismos divisvel por 3.
4 Se o nmero formado pelos dois ltimos algarismos da direita divisvel por 4. 5 Se o algarismo das unidades 0 ou 5. 6 Se ele divisvel por 2 e 3 ao mesmo tempo.
8 Se o nmero formado pelos trs ltimos algarismos da direita for divisvel por 8 ou quando estes forem 000.
9 Se a soma dos valores absolutos de seus algarismos divisvel por 9. 10 Se o algarismo das unidades 0.
11 Se a diferena absoluta entre a soma dos algarismos de ordem mpar e a soma dos algarismos de ordem par, contados da direita para a esquerda, divisvel por 11.
Exemplo: O nmero 379.650: divisvel por 2 porque o algarismo das unidades par; divisvel por 3 porque a soma dos seus algarismos 3 + 7 +
9 + 6 + 5 + 0 = 30 e 30 divisvel por 3; No divisvel por 4 porque os dois ltimos algarismos da
direita formam o nmero 50 que no divisvel por 4; divisvel por 5 porque o algarismo das unidades 0; divisvel por 6, pois divisvel por 2 e 3 ao mesmo tempo; No divisvel por 8 porque os trs ltimos algarismos da
direita formam o nmero 650 que no divisvel por 8; No divisvel por 9 porque a soma dos algarismos 30, e
30 no divisvel por 9;
divisvel por 10, pois o algarismo das unidades 0; No divisvel por 11. Veja por qu: a soma dos algarismos
de ordem mpar 0 + 6 + 7 = 13. A soma dos algarismos de ordem par 5 + 9 + 3 = 17. Mas a diferena absoluta 17 13 = 4, que no divisvel por 11.
EXERCCIOS
1. Sem efetuar divises, diga quais dos seguintes nmeros so
divisveis por 2. a) 117 b) 330 c) 777 d) 55.552 e) 88.885 f) 99.908
2. Sem efetuar divises, quais dos nmeros a seguir, quais
deles so divisveis por 3? a) 123 b) 331 c) 509 d) 681 e) 712 f) 888
3. Considere os nmeros: 540, 1.336, 4.775, 5.313, 6.308,
9.894 e 10.000. Diga quais deles so divisveis por: a) 4 b) 5
4. Considere os nmeros 3.456, 4.567, 5.678, 6.789 e 7.890.
Diga quais deles so divisveis por: a) 6 b) 8 c) 9 d) 10
5. (ESPCEX) Qual o menor nmero que se deve subtrair de
21.316 para se obter um nmero que seja simultaneamente divisvel por 5 e 9?
a) 1 b) 30 c) 42 d) 31 6. (ESPCEX) Determinar o menor nmero natural que se deve
intercalar entre os algarismos 4 e 6 do nmero 146, para que o nmero assim obtido seja divisvel por 4 e 6.
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 Respostas: 1. 55.552; 930; 99.908. 2. 123; 681; 888. 3. a) 540; 1.336; 6.308; 10.000 b) 540; 4.775; 10.000 4. a) 3.456 e 7.890 b) 3.456 c) 3.456 d) 7.890 5. d 6. a Mltiplos e Divisores
Dado um nmero natural n 0, convencionaremos representar por M(n) o conjunto dos MLTIPLOS de n e por D(n) o conjunto dos DIVISORES de n.
O conjunto M(n) formado por todos os nmeros naturais que so divisveis por n; e o conjunto D(n) formado por todos os nmeros naturais que dividem n com resto igual a zero.
Na prtica, para obtermos os mltiplos de um nmero n 0, basta multiplicarmos cada nmero natural por n. Exemplos: M(5) = {5 0, 5 1, 5 2, 5 3, 5 4, ...} = {0, 5, 10, 15,
20, ...} M(3) = {3 0, 3 1, 3 2, 3 3, 3 4, ...} = {0, 3, 6, 9,
12, ...}
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Obs.: Em particular, os mltiplos de 2 so chamados naturais PARES. Os naturais que no so mltiplos de 2 so os naturais MPARES.
A determinao de todos os divisores de um nmero natural no-nulo uma tarefa um pouco mais complexa, principalmente para nmeros maiores.
Por ora, vejamos alguns exemplos simples em que basta efetuar divises elementares. Exemplos: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}; D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}; D(9) = {1, 3, 9}; D(7) = {1, 7}. Nmeros Primos e Compostos
Seja n um nmero natural diferente de 0 e diferente de 1.
Dizemos que n um nmero: PRIMO se possui apenas dois divisores naturais: 1 e n (ele
mesmo); COMPOSTO se possui ao menos um outro divisor natural
alm de 1 e n. Exemplos: 17 um nmero primo, pois D(17) = {1, 17}; 12 um nmero composto, pois D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Seja P o conjunto dos NMEROS PRIMOS. Assim:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...} Obs.1: 2 o nico nmero primo par do conjunto dos nmeros primos. Obs.2: Lembre-se de que 1 NO primo, por definio.
O conjunto C dos NMEROS COMPOSTOS pode ser assim descrito:
C = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ...} Decomposio em Fatores Primos (Fatorao)
de grande importncia na teoria dos nmeros naturais o seguinte teorema: Todo nmero natural composto pode ser escrito, de forma nica, como um produto de fatores primos.
O processo a que se refere esse teorema chamado FATORAO ou DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS. Exemplo: Vamos decompor em fatores primos o nmero 2.520.
2.520 2 1.260 2 630 2 315 3 105 3 35 5 7 7 1
Portanto, 2.520 = = 2 2 2 3 3 5 7 =
= 23 32 7
Mximo Divisor Comum (MDC)
Consideremos, como exemplo, os conjuntos dos divisores de 54, 48 e 36: D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} D(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Os divisores comuns de 54, 48 e 36 so os elementos do conjunto:
D(54) D(48) D(36) = {1, 2, 3, 6} O maior desses divisores comuns (no caso, 6) chamado
MXIMO DIVISOR COMUM de 54, 48 e 36. Escrevemos:
MDC (54, 48, 36) = 6 Podemos, ento, definir:
Dados dois ou mais nmeros naturais, chama-se MXIMO DIVISOR COMUM desses nmeros o maior natural que divisor, ao mesmo tempo, de todos eles. Regra Prtica para Determinar MDC Exemplo: Vamos calcular o MDC (360, 816). 1) Identificamos algum nmero primo que dividir OBRIGATORIAMENTE todos os nmeros dados. Podemos iniciar com o 2:
360, 816 2 180, 408
2) Continuamos identificando nmeros primos que dividiro AO MESMO TEMPO OBRIGATORIAMENTE todos os nmeros que resultarem das divises anteriores. Faa isso sucessivamente at no ser mais possvel identificar um nmero primo que dividir ao mesmo tempo todos os nmeros resultantes. Observe:
360, 816 2 180, 408 2 90, 204 2 45, 102 3 15, 34
(no h nmero primo que divide 15 e 34 ao mesmo tempo)
3) O MDC(360, 816) o produto desses fatores, ou seja, MDC(360, 816) = 23 3 = 24. Obs.: Existe um outro processo prtico para determinao do MDC. o mtodo por DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS. Como exemplo, vamos determinar o MDC (360, 816) novamente, mas atravs deste mtodo: 1) Fatora-se completamente 360 e 816: 360 = 23 32 5 816 = 24 3 17 2) Tomemos os fatores comuns e de menor expoente dessa fatorao: 23 e 3. O MDC (360, 816) ser o produto desses fatores:
MDC (360, 816) = 23 3 = 24 Mnimo Mltiplo Comum (MMC)
Consideremos, como exemplo, os conjuntos dos mltiplos de 6, 9 e 12: M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...} M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, ...} M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...}
Os mltiplos comuns de 6, 9 e 12 so os elementos do conjunto:
M(6) M(9) M(12) = {0, 36, 72, 108, ...}
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O menor desses mltiplos comuns diferente de zero (no caso, 36) chamado MNIMO MLTIPLO COMUM de 6, 9 e 12. Escrevemos:
MMC (6, 9, 12) = 36
Podemos definir, portanto:
Dados dois ou mais nmeros naturais, chama-se MNIMO MLTIPLO COMUM desses nmeros o menor natural no-nulo que mltiplo ao mesmo tempo de todos eles. Regra Prtica para Determinar MMC Exemplo: Vamos calcular o MMC (360, 150, 45): 1) Identificamos algum nmero primo que divide pelo menos um dos nmeros dados. Podemos iniciar com o 2. Agora, efetuamos as divises (quando exatas) e repetimos o nmero (quando a diviso no exata).
360, 150, 45 2 180, 75, 45
2) Continuamos a diviso pelo mesmo nmero 2, enquanto houver pelo menos uma diviso exata.
360, 150, 45 2 180, 75, 45 2 90, 75, 45 2 45, 75, 45
3) No havendo agora, na ltima linha, nenhum nmero divisvel por 2, procuramos algum outro nmero primo que divide pelo menos um deles. Pode ser o 3. Continuamos com esse procedimento at que na ltima linha s aparea o nmero 1.
360, 150, 45 2 180, 75, 45 2 90, 75, 45 2 45, 75, 45 3 15, 25, 15 3 5, 25, 5 5 1, 5, 1 5 1, 1, 1
4) O produto dos nmeros primos direita do trao vertical o MMC dos trs nmeros. Portanto:
MMC(360, 150, 45) = 23 32 52 = 1.800
Obs.: Existe um outro processo prtico para determinao do MMC. o mtodo por DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS. Como exemplo, vamos determinar o MMC (360, 150, 45) novamente, mas atravs deste mtodo: 1) Fatora-se completamente 360, 150 e 45 : 360 = 23 32 5 150 = 2 3 52 45 = 32 5 2) Tomemos os fatores comuns de maior expoente dessa fatorao e tambm os no comuns de maior expoente: 32, 52 e 23. O MMC (360, 150, 45) ser o produto desses fatores:
MMC (360, 150, 45) = 23 32 52 = 1.800
Propriedade do MDC e MMC de dois nmeros naturais Dados dois nmeros naturais a e b, temos que:
MDC (a, b) MMC (a, b) = a b
Exemplo: Sejam os nmeros naturais 8 e 12. O MMC (8, 12) =24 e o MDC (8, 12) = 4. Observe que MDC (8, 12) MMC (8, 12) = 24 4 = 96 = 8 12 = a b. Problemas de Aplicao de MDC e MMC
Muitos problemas prticos podem ser resolvidos atravs dos conceitos de MDC e MMC. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 01: Trs cometas A, B e C passam prximos Terra em intervalos regulares de 12 anos, 15 anos e 35 anos, respectivamente. Se os trs passaram em 1930, em que ano ocorrer novamente a passagem dos trs? Resoluo: Vejamos quantos anos devem transcorrer, aps 1.930, para que cada um dos cometas passe prximo Terra: A 12, 24, 36, 48, ... B 15, 30, 45, 60, ... C 35, 70, 105, 140, ... Observe que, na verdade, estamos trabalhando com os MLTIPLOS no nulos de 12, 15 e 35. claro que o tempo a transcorrer (em anos) para a prxima passagem dos trs cometas o MENOR MLTIPLO COMUM (MMC) de 12, 15 e 35. Como MMC(12, 15, 35) = 22.3.5.7 = 420, logo, o fenmeno ocorrer novamente daqui h 420 anos, ou seja, no ano 2.350 (1.930 + 420). Resposta: ano 2.350. Exemplo 02: Possuo trs peas de tecido medindo 60m, 48m e 32m. Desejo recort-las em pedaos de mesmo comprimento, do maior tamanho possvel, sem que haja perda de tecido. Qual ser a medida de cada pedao e quantos sero os pedaos obtidos? Resoluo: Para que no haja perda de tecido, a medida de cada pedao dever ser, em metros, um DIVISOR COMUM de 60, 48 e 32. Para que o pedao seja do MAIOR tamanho possvel, basta tomar o MAIOR DIVISOR COMUM (MDC) daqueles trs nmeros. Como MDC(60, 48, 32) = 4, conclumos que cada pedao dever medir 4m. A primeira pea dar 60 4 = 15 pedaos A segunda pea dar 48 4 = 12 pedaos A terceira pea dar 32 4 = 8 pedaos Teremos, ento, no total, 35 pedaos. Resposta: 35 pedaos de 4m cada um.
EXERCCIOS 1. Verifique quais so nmeros primos: 103, 105, 107, 117,
147, 998. 2. Determine o MDC dos nmeros a seguir: a) mdc (35, 10) b) mdc (30, 18) c) mdc (15, 40) d) mdc (46, 22) e) mdc (85, 75) f) mdc (30, 42) 3. Determine o MDC dos nmeros a seguir:
a) mdc (48, 80, 72) b) mdc (28, 16, 12) c) mdc (84, 126, 210) d) mdc (520, 650, 720)
4. Determine:
a) mmc (50, 75) b) mmc (60, 24) c) mmc (21, 30) d) mmc (28, 48) e) mmc (5, 10, 15) f) mmc (10, 12, 45) g) mmc (6, 10, 30, 45) h) mmc (6, 8, 12, 15)
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5. Determine: a) mmc (12, 18, 24) b) mmc (21, 28, 36) c) mmc (48, 72, 100) d) mmc (18, 30, 72) e) mmc (11, 33, 44) f) mmc (32, 51, 63)
6. Sejam os nmeros A, B e C dados pelas suas fatoraes
completas: A = 53 7 112 B = 2 3 72 11 C = 2 52 7 13
Encontre os valores de: a) mdc (A, B) b) mdc (A, C) c) mdc (B, C) d) mdc (A, B, C)
7. Se:
A = 22 5 7 B = 23 32 11 C = 2 3 52 11
Determine: a) mmc (A, B) b) mmc (A, C) c) mmc (B, C) d) mmc (A, B, C)
8. (UFMG) De uma praa partem, s 6 horas da manh, dois
nibus A e B. Sabe-se que o nibus A volta ao ponto de partida a cada 50 minutos, e o nibus B, a cada 45 minutos. O primeiro horrio, aps as 6 horas, em que os nibus partiro juntos :
a) 7h 35min b) 11h 35min c) 11h 50min d) 13h 30min e) 13h 50min 9. (UFMG) As dimenses de uma caixa retangular so 18cm,
30cm e 48cm. O menor nmero possvel de cubos iguais que enchem totalmente essa caixa :
a) 18 b) 48 c) 120 d) 144 e) 240 10. (UFMG) O menor nmero inteiro positivo que, ao ser
dividido por qualquer um dos nmeros, 2, 3, 5 ou 7, deixa resto 1, :
a) 106 b) 210 c) 211 d) 420 e) 421 11. (CEFET-MG) Dois nmeros tm para mnimo mltiplo
comum 240, e para mximo divisor comum 20. Calcule a soma desses nmeros sabendo que um deles 60.
a) 260 b) 280 c) 140 d) 160 e) 120 Respostas: 1. 103 e 107. 2. a) 5 b) 6 c) 5 d) 2 e) 5 f) 2 3. a) 8 b) 4 c) 42 d) 10 4. a) 150 b) 120 c) 210 d) 336 e) 30 f) 60 g) 90 h) 120 5. a) 72 b) 252 c) 3.600 d) 360 e) 132 f)34272 6. a) 77 b) 175 c) 14 d) 7 7. a)23.32.5.7.11 b)22.52.3.7.11 c) 23.32.52.11 d)23.32.52.7.11 8.d 9.c 10.c 11.c
Problemas envolvendo Nmeros Naturais
Muitas questes de concursos envolvem problemas de envolvendo nmeros naturais. Neste tipo de problema, voc deve traduzi-lo da linguagem comum para a linguagem matemtica.
Vamos traduzir para a linguagem matemtica algumas frases da linguagem comum muito presentes em questes, utilizando a letra x para representar o valor desconhecido:
Linguagem comum Linguagem matemtica Um nmero natural x
O dobro de um nmero 2x O triplo de um nmero, mais quinze 3x + 15 O triplo de um nmero mais quinze 3(x + 15)
Um nmero mais o seu dobro e menos o seu triplo x + 2x 3x
A soma de dois nmeros consecutivos x + (x + 1) Na resoluo de problemas, voc deve: Representar com uma letra a incgnita do problema; Armar a equao do problema; Resolver a equao; Verificar se a soluo satisfaz as condies do problema.
Exemplo 01: Um pai tem 37 anos e seu filho 7. Daqui a quantos anos, a idade do pai ser o triplo da idade do filho? Resoluo: Idade do pai daqui a x anos: 37 + x idade do filho daqui a x anos: 7 + x Equao representando a idade do pai igual ao triplo da
idade do filho daqui a x anos: (37 + x) = 3 (7 + x)
Resoluo da equao: (37 + x) = 3 (7 + x) 37 + x = 21 + 3x 37 21 = 3x x 16 = 2x x = 16 : 2 = 8 Prova: Idade do meu pai: 37 + 8 = 45 anos; Idade do filho: 7 + 8 = 15 anos. Portanto, a idade do pai (45 anos) igual ao triplo da idade do filho (15 anos). Resposta: Daqui a 8 anos. Exemplo 02: Pensei em um nmero; multipliquei-o por 3; somei 12 ao resultado; dividi o resultado por 3 e obtive 19. Qual o nmero pensado? Resoluo: Basta fazer os passos do problema ao contrrio, assim: 1 passo: 19 3 = 57 2 passo: 57 12 = 45 3 passo: 45 : 3 = 15 Portanto, o nmero pensado o 15. Prova: (15 3 + 12) : 3 = 19 Resposta: 15.
EXERCCIOS
1. (PUC-RJ) Um escritor escreveu, em um certo dia, as 20
primeiras pginas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas pginas quantas havia escrito no dia anterior, mais 5 pginas. Se o escritor trabalhou 4 dias, ele escreveu: a) 80 pginas b) 85 pginas c) 95 pginas d) 110 pginas
2. (FGV-SP) Um vendedor de vinhos quer reduzir o preo de
seu vinho de R$ 5,00 para R$ 4,00 o litro, sem reduzir sua receita de vendas. Para isso, ele quer adicionar gua ao seu
6
vinho. Tendo um estoque de 320 litros, o vendedor dever adicionar: a) de 50 a 100 litros de gua. b) de 150 a 200 litros de gua. c) menos de 50 litros de gua. d) exatamente 50 litros de gua.
3. (UNIRIO) Trs dzias de ovos valem 4 dzias de mas; 5
dzias de mas valem 3 dzias de pras. Sabendo que uma dzias de pras custa R$ 6,00, podemos afirmar que uma dzia de ovos custar:
a) R$ 4,60 b) R$ 4,80 c) R$ 5,00 d) R$ 5,20 4. (CESGRANRIO) Csar tem 15 lpis a mais que Osmar, e
Jos tem 12 lpis a menos que Osmar. O total de lpis 63. Quantos lpis tem Osmar?
a) 21 b) 20 c) 19 d) 18 Respostas: 1.d 2.a 3.b 4. b CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS: Z
Os nmeros inteiros freqentemente so usados em situaes que envolvem uma certa SIMETRIA. Exemplos: Registro de temperaturas acima e abaixo de 0C, ou seja,
temperaturas positivas e negativas; Registro de saldos credores e saldos devedores, ou seja,
saldos positivos e negativos; O conjunto dos nmeros inteiros assim representado:
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Representando alguns elementos de Z na reta numerada,
temos: -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
Convm destacar os seguintes subconjuntos de Z: *Z = Z {0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} (inteiros sem o
zero, ou seja, apenas positivos e negativos). Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} (inteiros positivos e mais o zero, ou
seja, no-negativos). Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0} (inteiros negativos e mais o zero,
ou seja, no positivos). *Z = Z+ - {0} = {1, 2, 3, 4, ...} (inteiros positivos).
*Z = Z- - {0} = {..., -4, -3, -2, -1} (inteiros negativos).
No conjunto Z, sempre possvel efetuar a adio, a multiplicao e a subtrao; j a diviso entre dois nmeros inteiros nem sempre resulta num nmero inteiro. Nmeros Opostos ou Simtricos
Os NMEROS OPOSTOS so aqueles que se situam mesma distncia do zero, em lados opostos da reta dos inteiros.
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
Assim: O oposto de +3 3. O oposto de 3 +3 O oposto de 9 + 9 O oposto de 18 18 Obs.: O oposto de zero o prprio zero. Mdulo (ou Valor Absoluto)
Chamamos de MDULO ou VALOR ABSOLUTO de um nmero inteiro a distncia, em unidades, desse nmero at o zero, na reta dos inteiros. -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 3 unidades 3 unidades
Assim, por exemplo, o mdulo de 3 igual ao mdulo de 3, uma vez que ambos esto igual distncia do zero na reta dos inteiros.
Veja: O mdulo de +3 igual a 3 (indica-se | +3 | = 3); O mdulo de 3 igual a 3 (indica-se | - 3 | = 3). Vejamos estes outros exemplos: | +6 | = 6 | -15 | = 15 | -78 | = 78 Obs.: O mdulo de zero o prprio zero. Operaes em Z
Sem entrar em detalhes tericos, vamos relembrar com
exemplos prticos as operaes elementares em Z. Adio e Subtrao Exemplos: 3 7 2 + 6 4 9 + 5 = 3 + 6 + 5 7 2 4 9 = 14
22 = - 8 (-5) 7 (-13) 2 = - 5 7 + 13 2 = 13 5 7 2 = 13
14 = - 1 Multiplicao e Diviso Exata
importante relembrar as seguintes regras de sinais:
a > 0 e b > 0 a.b > 0 e a : b > 0 a > 0 e b < 0 a . b < 0 e a : b < 0 a < 0 e b < 0 a . b > 0 e a : b > 0
Exemplos: (-3) (-6) (+5) = (+18) (+5) = +90
112
222275
)2()27()5(
)2()9()3()5(
Potenciao com Expoente Natural
A partir das regras de sinais da multiplicao, podemos deduzir as regras de sinais para a potenciao com expoente natural. Exemplos: (-5)2 = (-5) (-5) = 25 (-2)3 = (-2) (-2) (-2) = -8 (-7)1 = -7 (-3)0 = 1 Obs.: importante estar atento para a diferena entre as potncias 24 e (-2)4, veja:
Oposto
7
-24 = -2 2 2 2 = -16 (-2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = 16 Portanto:
se a < 0 e n par, ento an > 0; se a < 0 e n mpar, ento an < 0.
Representao dos Nmeros Inteiros no diagrama de Venn
O diagrama de Venn uma figura plana qualquer que
representa um determinado conjunto. Abaixo, o conjunto dos nmeros inteiros est representado por esse tipo de diagrama. Observe que o conjunto dos nmeros naturais est contido no conjunto dos inteiros. Z N (N Z)
EXERCCIOS 1. Calcule: a) 15 7 + 3 b) 4 2 1 c) 9 + 6 2 d) 8 + 14 23 e) 10 53 19 f) 70 28 + 50 g) 152 436 + 109 h) 65 + 55 + 45 35 2. Calcule o valor das expresses: a) (- 5 + 9) + [ - 4 + (5 2 + 6) 9 ] (1 7) b) 20 + { - 5 + [ (- 12 + 30) + (- 4 7)]} c) - 4 + (5 6) + 5 [ 3 (2 3) + 4 ] + 8 9 d) 18 + { - 2 [ 10 4 + (- 1 5) + 11 ]} 6 e) 13 [ - 1 (5 6 7) - 2 + [ - 3 (4 6) + 2] f) {7 + 11 [ (- 5 + 11) 8 ]} + [- 10 (2 17)] 3. Calcule o valor das expresses: a) 4 3 20 b) 15 6 8 c) 12 5 100 d) 40 + 8 5 e) 28 6 7 f) 35 + (- 9) (- 2) g) 18 (- 6) (- 1) h) (- 4) (- 7) + 50 i) 20 + (- 6) (+ 9) j) (+ 8) (- 2) + 10 4. Calcule o valor das expresses: a) (- 12) : 3 + 7 b) 50 : (- 2) + 9 c) 16 + 48 : 3 d) (- 54) : (- 6) + 1 e) 7 : (- 7) + 9 2 f) 36 : (- 4) + 5 6 g) (- 1.350) : (- 50) 10 h) 42 : 6 + (- 1.056) : (- 33) 5. Calcule o valor das expresses: a) 45 + (- 7)2 b) 26 (+ 5)2 c) 10 (- 2)3 d) 32 + (- 3)3 e) (- 10)3 700 f) (- 2)4 + (- 4)2 g) (- 3)2 + 50 h) (- 2)3 + (- 1)9 i) (- 8)2 2 (- 1) j) (- 1)7 (- 1)6 (- 1)5 6. (CESGRANRIO) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, ento
(abc)12 vale: a) 9912 b) 9921/2 c) 9928 d) 9988 e) 9999 7. (CORREIOS/2007) O valor numrico da expresso
31812
12533.271
:
a) 5.333 b) 29336 c) 512330 d) 236339
8. (CORREIOS/2007) Qual o resultado do produto de
213 pelo simtrico da diferena entre 9 e o cubo de 3 ?
a) 2 b) 1 c) 181
d) 0
Respostas: 1. a) 11 b) 7 c) 5 d) 1 e) 62 f) 48 g) 175 h) 0 2. a) 6 b) 18 c) 9 d) 37 e) 7 f) 25 3. a) 8 b) 33 c) 40 d) 0 e) 70 f) 53 g) 12 h) 78 i) 74 j) 6 4. a) 3 b) 16 c) 0 d) 10 e) 17 f) 21 g) 17 h) 39 5. a) 94 b) 1 c) 8 d) 59 e) 1.700 f) 32 g) 10 h) 9 i) 63 j) 1 6. d 7. b 8. a CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS: Q
A diviso nem sempre possvel no conjunto Z. Observe:
Z65
30
, mas Z
213
Introduzindo-se os conceitos de frao e nmero racional
que passa a ter sentido a segunda diviso apresentada acima. Chamamos NMERO RACIONAL todo nmero obtido da
diviso (razo) entre dois inteiros, com o divisor no nulo. So racionais: OS INTEIROS, OS DECIMAIS EXATOS E
AS DZIMAS PERIDICAS. Exemplos:
43
12312
(inteiro)
25,34
134
13
(decimal exato)
...666,238
38
(dzima peridica)
Todo nmero racional pode ser escrito na forma de nmero
inteiro ou decimal exato ou dzima peridica, conforme se observa nos exemplos acima.
Podemos definir, portanto, o CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS da seguinte forma:
*Zb,Za,bax|xQ
Representando alguns elementos de Q na reta numrica,
temos:
-1 32
0 21 +1
35
+2
Observe que o conjunto Q uma ampliao de Z, pois os
racionais incluem os inteiros, acrescidos dos decimais exatos e peridicos.
8
O conjunto Q* constitudo, claro, pelos nmeros racionais diferentes de zero.
A forma ba (com b 0) usada para representar um racional
denominada FRAO. O inteiro a o NUMERADOR e o inteiro b o DENOMINADOR da frao. Equivalncia de Racionais
No conjunto Q dos racionais define-se a relao de EQUIVALNCIA da seguinte forma:
cbdadc
ba
Exemplo:
86
43
porque 3 8 = (-4) (-6) = 24
Como conseqncia importante desta definio, podemos
dizer que uma frao no se altera se multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo inteiro no-nulo. Em smbolos:
bpap
ba (p 0)
Exemplo:
2012
5:1005:60
10060
1010106
106
2523
53
Reduzindo Fraes ao Mesmo Denominador
til, especialmente na adio e subtrao, reduzir fraes ao mnimo denominador comum. Para isso, tomamos o mnimo mltiplo comum dos denominadores como denominador comum e utilizamos a igualdade de fraes.
Exemplo: Vamos reduzir 32 e
43
ao mnimo denominador
comum. Como MMC (3, 4) = 12, temos:
128
4342
32
129
3433
43
Operando com Fraes Adio e Subtrao de Fraes
Para adicionar (ou subtrair) fraes de mesmo denominador,
conservamos o denominador e adicionamos (ou subtramos) os numeradores. Exemplo:
52
52
5673
56
57
53
Se as fraes tm denominadores diferentes, basta reduzi-los
ao mesmo denominador e proceder como no caso anterior. Exemplos:
81
243
241649
2416
244
249
32
61
83
1019
105620
105
106
1020
21
532
Multiplicao de Fraes
Para multiplicarmos fraes, multiplicamos entre si os numeradores e, em seguida, multiplicamos entre si os denominadores. A frao resultante pode ser simplificada, se possvel. Exemplo:
21
12060
85356)2(
85
56
32
Na prtica, podemos efetuar simplificaes de numeradores
com denominadores (ainda que de fraes diferentes) antes de multiplicar. Exemplo:
143
7.2.11.1.3
74.
85.
53
1
2
1
1
Inverso de um Nmero Racional
Chama-se INVERSO de um nmero racional 0ba o
nmero racional 0ab , obtido do primeiro invertendo-se
numerador e denominador. Exemplos:
O inverso de 53
35 O inverso de
78
87
O inverso de 5 51 O inverso de 10
101
Observaes: 1) No se define o inverso de zero; 2) O produto de um racional pelo seu inverso igual a 1. De
fato: 1baba
ab
ba
.
Diviso de Fraes
Para dividir duas fraes, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. Exemplos:
43
86
12
83
21:
83
52
156
31
56
356
O inverso de um nmero racional m pode ser indicado por
m1 (m 0).
Exemplo:
O inverso de 137
713
713.1
1371
Potenciao de Fraes Expoente Natural
Para se elevar uma frao a um expoente natural, elevam-se numerador e denominador a esse expoente. Exemplos:
259
53
53
2
22
278
278
3)2(
32
3
33
9
2113
2113 1
11831 0
Potenciao de Fraes Expoente Inteiro Negativo
Sendo 0ba um nmero racional, definimos a potenciao
com expoente inteiro negativo da seguinte forma:
nn
ab
ba
(n IN)
Observe que basta tomar o inverso da base e elevar ao
expoente natural simtrico. Exemplos:
827
2)3(
23
32
3
333
161
21
212 4
444
Obs.: 0-5 no se define, pois no existe o inverso de 0.
A partir dessa definio, o inverso de um nmero racional x
0 pode ser indicado por x1 ou x-1.
EXERCCIOS
1. Calcule:
a)
31
32
35 b)
81
212
c)
72
61
31 d)
43
31
52
e)
61
41
125 f)
32
21
41
2. Efetue as multiplicaes:
a)
31)7( b)
34
85
c)
95
31)2( d)
52.
213
e)
432.
211 f)
5
23.
31
211
3. Efetue as divises:
a)
52:
31 b)
37:6
c)
23413
d)
213:
211
e)
23
31
711
f) 129:
32:
43
4. Calcule o valor de cada expresso:
a) 2
23
b)
3
32
c) 5
101
d)
2
31
32
e) 421
23 2
f) 2
23
21
g) 2
85
h) 2
61
i) 4-2 j) (- 2)-4 Respostas: 1. a) 2 b) -13/8 c) -19/42 d) -1/12 e) 0 f) 5/12 2. a) 7/3 b) -5/6 c) 10/27 d) 7/5 e) 11/8 f) 91/12 3. a) -5/6 b) -18/7 c) -11/6 d) 3/5 e) 36/49 f) 3/2 4. a) 9/4 b) -8/27 c) -1/105 d) 7/9 e) -9/4 f) -35/4 g) 64/25 h) 36 i) 1/16 j) 1/16 Forma Decimal dos Nmeros Racionais
Conforme j vimos, todo racional resulta da diviso de dois inteiros. Essa razo ou um nmero inteiro ou pode ser escrita na forma de NMERO DECIMAL.
Para isso, basta efetuar a diviso do numerador pelo denominador da frao. Caso a diviso no resulte em inteiro, podemos obter, ento: I) Um NMERO DECIMAL EXATO, ou seja, com nmero finito de casas decimais. Exemplos:
75,043
3125,0165
II) Uma DZIMA PERIDICA, ou seja, com infinitas casas decimais. Exemplos:
...666,032 ...10666,1
7583
Fraes Decimais
Chamamos de FRAES DECIMAIS as fraes de denominador uma potncia de 10 (10, 100, 1.000, 10.000, etc). Exemplos:
103
10021
100037
Transformando Nmero Decimal em Frao
A transformao de um nmero decimal em frao feita aplicando-se algumas regras prticas que apresentamos a seguir. Veremos como proceder para o caso dos decimais exatos e, posteriormente, para as dzimas peridicas. Transformando Decimal Exato em Frao Inteira
Escrevemos o nmero sem a vrgula e colocamos, no
denominador, uma potncia de base 10 com expoente igual ao nmero de casas decimais do nmero dado.
10
Exemplos:
5
171034
10344,3 1 1000
310
3003,0 3
Leitura de um Nmero Decimal
No nmero decimal exato, temos a PARTE INTEIRA e a PARTE DECIMAL. A parte inteira o numeral esquerda da vrgula; e a parte decimal o numeral direita da vrgula.
Exemplo: No decimal exato 3,52: 3 a parte inteira; 52 a parte decimal.
Para se ler um nmero decimal, procede-se do seguinte modo: 1) Lem-se os inteiros; 2) L-se a parte decimal, seguida da palavra: dcimos se houver apenas uma casa decimal; centsimos se houver apenas duas casas decimais; milsimos se houver apenas trs casas decimais; dcimos de milsimos se houver apenas quatro casas
decimais; centsimos de milsimos se houver apenas cinco casas
decimais; E assim por diante. Exemplos: 1,7 um inteiro e sete dcimos; 5,23 cinco inteiros e vinte e trs centsimos; 12,006 doze inteiros e seis milsimos. Obs.: Quando a parte inteira for zero, l-se apenas a parte decimal. Exemplos: 0,34 trinta e quatro centsimos; 0,089 oitenta e nove milsimos 0,1 um dcimo. Operando com Nmeros Decimais
As operaes elementares com nmeros decimais obedecem a regras simples, conforme veremos a seguir. Adio e Subtrao de Decimais
Colocamos vrgula embaixo de vrgula e efetuamos a operao normalmente. Na subtrao, importante que o minuendo tenha no mnimo o mesmo nmero de casas decimais que o subtraendo; caso, contrrio, completamos o minuendo com zeros. Exemplo 01: Some 31,45 com 2,137.
31,45 + 2,137
31,450 - 2,137 33,587
Exemplo 02: Subtraia 3,158 de 6,4.
6,4 3,158
6,400 - 3,158 3,242
Multiplicao de Decimais
Efetuamos normalmente a multiplicao dos dois fatores sem as vrgulas. Posteriormente, retorne (para esquerda) do resultado final um nmero de casas decimais igual soma dos nmeros de casas decimais dos dois fatores.
Exemplo: Multiplique 2,3 por 0,138.
2,3 0,138
138 23 3174
Uma casa decimal do 2,3 mais trs casas decimais de 0,138 igual a 4 casas decimais que dever ter o resultado 3174. Logo: 2,3 0,138 = 0,3174 Diviso de Decimais
Do dividendo e do divisor, observe qual deles possui maior nmero de casas decimais. Avance (para a direita) esse mesmo nmero de casas decimais nos dois nmeros. Assim voc estar transformando-os em inteiros. Da s realizar a diviso normalmente. Se dividendo e divisor possurem mesmo nmero de casas decimais, apenas elimine a vrgula e faa a diviso. Exemplo 01: Dividir 32,4 por 0,008. Como 0,008 possui o maior nmero de casas decimais (3), avanaremos 3 casas no 0,008 e tambm no 32,4. Da: 32,4 : 0,008 = 32400 : 8 = 4050 Exemplo 02: Dividir 0,32 por 0,04. Como 0,32 e 0,04 possuem mesmo nmero de casas decimais, basta eliminar a vrgula e fazer a diviso. Da: 0,32 : 0,04 = 32 : 4 = 8 Potenciao de Nmeros Decimais Exatos
A potenciao uma multiplicao de fatores iguais. Exemplos: (1,3)2 = 1,3 1,3 = 1,69 (0,4)3 = 0,4 0,4 0,4 = 0,064
Vale observar que so vlidas as convenes para os expoentes um e zero. (8,72)1 = 8,72 (6,49)0 = 1 A Radiciao no Conjunto dos Racionais
Sendo a um nmero racional e n um nmero natural no-nulo, definimos RAIZ ENSIMA de a n a da seguinte forma:
abba nn
Exemplos: 392 porque 32 = 9
2325 porque 25 = 32
23
1681
4 porque 1681
23 4
51
1251
3 porque 125
151 3
Na igualdade ban , n o NDICE, a o RADICANDO e b a RAIZ ENSIMA de a. Observaes: 1) O ndice 2 pode ser omitido. Assim: aa2 .
2) No se define a raiz ensima de a n a quando n for par e a for negativo ( 9 , por exemplo, no existe). 3) importante lembra que so verdadeiras as igualdades
416 e 416 ; mas FALSA a igualdade 416 .
11
Potenciao de racionais Expoente Racional
Sendo p um nmero racional, definimos a potenciao com expoente racional da seguinte forma:
nm
n m aa
(Com m Z, n N* - {1}) Exemplos:
23
2 3 228
2222 2 121
5,0
2222512512 199
91
991
...111,0
EXERCCIOS 1. Escreva por extenso os nmeros: a) 0,8 b) 0,27 c) 0,003 d) 1,9 e) 2,63 f) 10,245 2. Represente os decimais com algarismos: a) sete centsimos b) nove milsimos c) dois inteiros e quatro dcimos d) seis inteiros e vinte e um centsimos e) quinze milsimos f) cinco dcimos de milsimos g) nove inteiros e dois centsimos h) oito inteiros e vinte e oito milsimos 3. Transforme as fraes decimais em nmeros decimais:
a) 103 b)
1027 c)
10519 d)
10127.3
e) 10087 f)
100249 g)
100364.1 h)
1000698
i) 000.10762.4 j)
000.1051
4. Calcule: a) 4 1,8 + 2,1 b) 3,2 1,5 + 0,18 c) 18,3 + 0,16 9 d) 10,9 + 7,1 6,22 e) 10 + (18 12,56) f) 1,703 (1,35 1,04) g) (5,8 2,6) (7,2 5,2) h) (4 + 3,75) (0,23 + 1,04) 5. Calcule o valor das expresses:
a) 3 1,5 2,5 b) 8 + 2 1,6 c) 6,5 4 0,9 d) 0,6 3 + 1,4 e) 3,9 5 12,01 f) 1,6 1,6 2,56
6. Calcule o valor das expresses:
a) 3 (0,1)2 b) 15,2 (1,3)2 c) (6,5)0 + (0,2)3 d) (0,6)2 + (0,8)2 e) 4 (0,5)2 0,83 f) 5 + (1,2)2 (0,7)2
Respostas: 1. a) Oito dcimos. b) Vinte e sete centsimos. c) Trs milsimos. d) Um inteiro e nove dcimos. e) Dois inteiros e sessenta e trs centsimos. f) Dez inteiros e duzentos e quarenta e cinco milsimos.
2. a) 0,07 b) 0,009 c) 2,4 d) 7,21 e) 0,015 f) 0,0005 g) 9,02 h) 8,028 3. a) 0,3 b) 0,27 c) 51,9 d) 312,7 e) 0,87 f) 2,49 g) 13,64 h) 0,698 i) 4,762 j) 0,0051 4. a) 4,3 b) 1,88 c) 9,46 d) 11,78 e) 15,44 f) 1,393 g) 1,2 h) 6,48 5. a) 2 b) 11,2 c) 25,1 d) 3,2 e) 7,49 f) 0 6. a) 2,99 b)13,51 c)1,008 d) 1 e) 0,17 f) 5,95 Dzimas Peridicas
Dzimas peridicas so racionais que, na sua forma decimal, possuem INFINITAS e PERIDICAS CASAS DECIMAIS. Exemplos:
...666,032 ...1666,0
61
Numa dzima peridica, existe um numeral que se repete,
logo aps a vrgula. A esse numeral chamamos PERODO da dzima.
Ao numeral esquerda da vrgula, chamamos PARTE INTEIRA (ou simplesmente INTEIRO) da dzima.
H ainda algumas dzimas peridicas que possuem, alm da parte inteira e do perodo, um outro numeral que tambm se situa aps a vrgula mas antes do perodo no qual chamamos ANTEPERODO. Exemplos: Na dzima 0,666... , 0 (zero) a parte inteira e 6 o perodo; Na dzima 0,1666... , 0 (zero) a parte inteira, 6 o perodo
e 1 o anteperodo. Classificao das Dzimas Peridicas
As dzimas peridicas se classificam em DZIMAS
PERIDICAS SIMPLES e DZIMAS PERIDICAS COMPOSTAS.
Uma dzima peridica simples quando possui apenas
PARTE INTEIRA e PERODO. Exemplos: 2,888... 5,242424... 0,123123...
Uma dzima peridica COMPOSTA quando possui PARTE INTEIRA, PERODO e ANTEPERODO. Exemplos: 2,4888... 5,71222... 3,0232323... Transformando Dzimas Peridicas em Frao Inteira Dzimas Simples
Para transformarmos uma dzima peridica simples numa frao inteira, adicionamos parte inteira uma frao cujo numerador o perodo da dzima e cujo denominador um nmero formado por tantos noves quantos so os algarismos do perodo.
12
Exemplos:
9931
99310...313131,0
37
932...333,2
Dzima Peridica Composta
No caso da dzima peridica composta, avance a vrgula (para direita) tantas casas decimais quanto o nmero de algarismos do anteperodo e coloque no denominador da dzima uma potncia de base 10 com expoente igual ao nmero de algarismos do anteperodo. Exemplos:
90308
109
308
109234
10...222,34...4222,3
45
154
900113
1009512
10...555,12...12555,0 2
EXERCCIOS
1. Escreva sob forma de fraes: a) 0,555... b) 0,373737... c) 0,888... d) 1,212121... e) 0,050505... f) 2,010101... g) 0,5666... h) 1,4333... 2. Calcule:
a) 0,777... + 21 b)
34 0,555...
c) 0,222... 2
31
d) 5 ...444,0
e) 2 + ...666,03
1
f) 0,555... + 32 -
61
g) 100 0,111... + 121 h)
32:
31...222,0
Respostas: 1. a) 5/9 b) 37/99 c) -8/9 d) 40/33 e) 5/99 f) 199/99 g) 17/30 h) 43/30 2. a) 23/18 b) 7/9 c) 1/9 d) 13/3 e) 25/11 f) 19/18 g) 35/36 h) 5/6 Nmeros inteiros e decimais exatos como fatores de potncias de base 10 Caso 01: Nmeros Inteiros
Alguns nmeros inteiros muito extensos podem ser escritos
como potncias de 10. Observe: Exemplo 01: Escrever o nmero 23.000.000.000 como um fator de uma potncia de base 10. Soluo: Conte a quantidade de zero do nmero. Neste caso: 9. Tome o nmero original sem esses zeros, ou seja, 23, multiplicado por uma potncia de 10 com expoente igual ao nmero de zeros (109). Ou seja: 23.000.000.000 = 23.109 Portanto, 23.000.000.000 = 23.109.
Caso 02: Nmeros Decimais Exatos
Todo nmero decimal exato pode ser escrito como um fator de uma potncia de 10. Observe: Exemplo 02: Escrever o nmero 0,000032 como um fator de uma potncia de base 10. Soluo: Elimine a vrgula do nmero decimal; com o novo nmero (32, sem vrgula nem casas decimais), divida-o por uma potncia de 10 com expoente igual ao nmero de casas decimais do nmero original. Leve para o numerador a potncia de 10 com expoente negativo. Ou seja:
0,000032 = 66 10.321032
Portanto, 0,000032 = 32.10-6
EXERCCIOS 1. Escreva os seguintes nmeros como fatores de potncia de
108: a) 52.000.000.000 b) 12.500.000.000 c) 4.581.000.000 d) 100.000 2. Escreva os seguintes nmeros como fatores de 10-5: a) 0,00006 b) 0,00000125 c) 0,000854 d) 0,00007218 Respostas: 1. a) 520.108 b) 125.108 c) 45,81.108 d) 0,001.108 2. a) 6.10-5 b) 0,125.10-5 c) 85,4.10-5 d) 7,218.10-5 Representao dos Nmeros Racionais no diagrama de Venn
No diagrama de Venn, o Conjunto dos Nmeros Racionais pode ser representado da maneira a seguir: Q Z N (N Z N)
EXERCCIOS
1. (UNB-DF) A expresso
511
31
511
11
equivalente a:
a) 3/2 b) 2/3 c) 1/3 d) 1/2
2. (CESGRANRIO) O resultado de
2:
32
21...333,0
: a) 1/3 b) 1/2 c) 7/6 d) 3/2
13
3. (UECE) O valor de 22121
22)2()2(2
:
a) -15/17 b) -15/16 c) -16/17 d) -17/16 4. (Medicina/ABC SP) Calcular a expresso numrica:
11,053
...111,021
51
a) 5/27 b) 10/27 c) 1150/297 d) 100/27 5. (PUC-MG) Sejam x = 0,222... e y = 1,4666... dzimas
peridicas. O quociente y : x, em forma de frao, : a) 6/5 b) 7/3 c) 33/5 d) 34/5 e) 46/9
6. (UFMG) A expresso 2
2
23/19/1
a1:
aaa
com a
0, equivalente a: a) a5/9 b) a5/9 c) a-7/9 d) a-7/9 e) a7/9 7. (UFMG) Simplificando a expresso:
36 10.5,2.0049,0.10.9 Obtm-se: a) 105 b) 10,5 c) 1,05 d) 0,105 e) 0,0105 8. (CORREIOS/2007) Os astrnomos costumam utilizar duas
unidades para representar distncias: a unidade astronmica (UA) e o ano-luz (AL). A UA corresponde distncia entre o Sol e Terra que de 150 milhes de quilmetros e o AL, distncia que a luz percorre em um ano: 9,5 trilhes de quilmetros. Uma distncia de 30 AL corresponde a uma distncia de:
a) 1.900.000 UA b) 2.400.000 UA c) 2.800.000 UA d) 3.320.000 UA Respostas: 1.a 2.b 3.c 4.c 5.c 6.c 7.e 8.a Problemas com Nmeros Racionais
Como j vimos, num desses tipos de problemas voc deve traduzi-lo da linguagem comum para a linguagem matemtica.
Vamos traduzir para a linguagem matemtica algumas frases da linguagem comum muito presentes em problemas, utilizando a letra x para representar o valor desconhecido:
Linguagem comum Linguagem matemtica
A metade de um nmero 2x ou x
21
A tera parte de um nmero, mais dois 2x31
A tera parte de um nmero mais dois 3
2x
A diferena entre dois quintos de um nmero e sua quarta parte 4
xx52
EXERCCIOS 1. Dois quintos de meu salrio so reservados para o aluguel e
a metade gasta com a alimentao, restando ainda R$ 90,00 para gastos diversos. Qual o meu salrio?
2. Numa sala, 1/3 dos alunos tm 10 anos, 1/6 tm 11 anos e
15 alunos tm 9 anos. Qual o nmero de alunos da sala? 3. Lia comprou um objeto que foi pago em 3 prestaes. Na 1
prestao ela pagou a tera parte do valor do objeto, na 2 prestao a quinta parte e na ltima R$ 35,00. Quanto ela pagou pelo objeto?
4. Douglas tem uma caixa de tomates. No domingo, 1/8 dos
tomates da caixa estragaram; na segunda-feira estragou 1/3 do que sobrou de domingo. Sobraram 70 tomates em boas condies. Calcule o total de tomates na caixa.
5. Um fazendeiro repartiu 240 bois entre seus trs herdeiros da
seguinte forma: o primeiro recebeu 32 do segundo e o
terceiro tanto quanto o primeiro e o segundo juntos. Quanto recebeu o primeiro herdeiro?
6. A soma de dois nmeros 40. Se o valor menor 3/5 do
maior, calcule o nmero maior. 7. Numa indstria, uma torneira despeja 6 litros por minuto e
outra despeja 10 litros por minuto. Em quanto tempo as duas torneiras enchero um reservatrio com 832 litros?
8. A idade atual de um pai de 60 anos. Seus trs filhos tm,
respectivamente, 7 anos, 11 anos e 16 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai ser igual a soma das idades dos filhos?
9. Paulo tem 38 anos e Daniel tem 12 anos. Daqui a quantos
anos Paulo ter o dobro da idade de Daniel? 10. Eduardo tem R$ 1.325,00 e Alberto, R$ 932,00. Eduardo
economiza R$ 32,90 por ms e Alberto, R$ 111,50. Depois de quanto tempo tero quantias iguais?
Respostas: 1. R$900 2. 30 3. R$75 4. 120 5. 48 6. 25 7. 52min 8. 13 9. 14 10. 5 CONJUNTO DOS NMEROS IRRACIONAIS: R Q Introduo
A radiciao nem sempre possvel no conjunto Q dos nmeros racionais. Observe que, por exemplo:
Q283 56
2536
Q
Pode-se provar, no entanto, que razes do tipo 2 , 3 5 ,
543 , etc, no so racionais, ou seja:
2 Q 3 5 Q 543 Q
Isso quer dizer que, por exemplo, no existe nmero racional
cujo quadrado 2; no existe nmero racional cujo cubo 5, e assim por diante.
14
Nmeros como esses so chamados NMEROS IRRACIONAIS e formam o CONJUNTO R Q DOS NMEROS IRRACIONAIS.
Portanto:
*Qb,Qa,bax|xQR
Escritos na forma decimal, os nmeros irracionais NO SO
EXATOS NEM PERIDICOS. So, na verdade, DECIMAIS INFINITOS e APERIDICOS. De fato, usando uma simples calculadora, encontramos:
...24142131356,12
...709975947,153
...944087511,043
5
Os nmeros irracionais no provm necessariamente da
radiciao. So tambm irracionais, por exemplo, os nmeros: = 3,141592654... (pi) e = 2,71828182... (nmero de Euler) log 2 = 0,301029995... (logaritmo de 2 na base 10)
EXERCCIOS
1. Quais dos seguintes nmeros so racionais e quais so
irracionais? a) 0,444... b) 7,8282... c) 6,1317... d) 0,123456... e) 3,414587... f) 7,2121... 2. O nmero 4,735862... : a) inteiro negativo b) racional negativo c) irracional negativo d) irracional positivo 3. (PUC-SP) Sabe-se que o produto de dois nmeros
irracionais pode ser um nmero racional. Um exemplo : a) 1. 3 = 3
b) 2 . 3 = 6
c) 4 . 3 = 9
d) 3 . 12 = 36 4. Seja x um nmero irracional, 9x4 . Ento x
igual a: a) 25 b) 36 c) 50 d) 64 Respostas: 1. a) Racional b) Racional c) Irracional d) Irracional e) Irracional f) Racional 2. c 3. d 4. c CONJUNTO DOS NMEROS REAIS: R
A unio dos conjuntos dos nmeros RACIONAIS com os IRRACIONAIS resulta no CONJUNTO R dos NMEROS REAIS.
Logo: R = Q (R Q)
Exemplos:
3 um nmero racional. tambm um nmero REAL; - 5 um nmero racional. tambm um nmero REAL; 1,75 um nmero racional. tambm um nmero REAL; 0 um nmero racional. tambm um nmero REAL; 1,252525... um nmero racional. tambm um nmero
REAL; 10 um nmero irracional. tambm um nmero REAL. Representao dos Nmeros Reais no diagrama de Venn No diagrama de Venn, o Conjunto dos Nmeros Reais pode ser representado da maneira a seguir: R Q Z N
R Q Observe que N Z Q R; (R Q) R e Q (R Q) = Observaes: 1) A raiz quadrada, quarta, sexta, oitava,... de um nmero negativo NO representa um nmero real. Exemplos: 39 porque ( 3)2 = 9, e no 9.
39 porque 32 = 9, e no 9.
Ento, R9 , ou seja, 9 no um nmero real. Portanto:
Ran a: um nmero racional n: par
2) A raiz cbica, quinta, stima, nona,... de um nmero negativo EXISTE e representa um nmero real. Exemplos: 283 ...709,153
EXERCCIOS 1. Responda: a) Todo nmero natural real? b) Todo nmero inteiro real? c) Todo nmero racional inteiro? d) Todo nmero real racional? e) Todo nmero rracional real? f) Todo nmero irracional real? 2. Sendo 41,12 e 73,13 , calcule um valor
aproximado de: a) 1 + 2 b) 5 3
c) 3 - 2 d) 2 - 3
e) 2 + 3 2 f) 4 3 - 1
g) 3 + 2 - 1 h) 32.5.2
3. (UNIP-SP) Qual o valor de 32
03
2722189
?
15
4. (PUC-GO) Calcule:
65:2
313
5.321
212
3
.
Respostas: 1. a) sim b) sim c) no d) no e) sim f) sim 2. a) 2,41 b) 3,27 c) 0,32 d) 0,32 e) 6,23 f) 5,92 g) 2,14 h) 12,37 3) 6 4) 54.925/1.728
TESTES 1. (CESGRANRIO/PREF-MA/2004) Identifique cada
afirmao abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F). ( ) (7 + 13)2 = 72 + 132 ( ) 42 = 16 ( ) 210 + 210 = 220
A seqncia correta : a) F F V b) F V F c) V F F d) V V F e) V V V 2. (CESGRANRIO/PREF-MA/2004) Num armazm estavam
guardadas 25 caixas cheias, com 12 latas de leo cada uma, alm de 7 latas de leo fora da caixa. Foram retiradas do armazm 13 caixas completas, mais 10 latas. Quantas latas de leo restaram no armazm?
a) 95 b) 131 c) 141 d) 156 e) 170 3. (CESGRANRIO/SEAD-AM/2005) Um restaurante
popular oferece dois tipos de refeio: a comum e a especial. Certo dia, foram servidas 35 refeies comuns e 14 especiais, e o restaurante arrecadou R$ 238,00. Se a refeio comum custa R$ 4,00, qual o preo, em reais, da especial?
a) 7,00 b) 8,00 c) 9,00 d) 10,00 e) 11,00 4. (PUC-MG) Trs despertadores so graduados da seguinte
maneira: o primeiro dever despertar de 3 em 3 horas; o segundo de 2 em 2 horas, e o terceiro de 5 em 5 horas. Se despertarem juntos s 8 horas da manh, devero despertar novamente juntos s: a) 2 horas da madrugada seguinte b) 8 horas da manh do dia seguinte c) 12 horas do mesmo dia d) 14 horas do dia seguinte e) 20 horas do mesmo dia
5. (FUVEST) No alto de uma torre de uma emissora de
televiso, duas luzes piscam com freqncias diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, aps quantos segundos elas voltaro a piscar simultaneamente?
a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30 6. (PUC-SP) Um enxadrista quer decorar uma parede
retangular, dividindo-a em quadrados, como se fosse um tabuleiro de xadrez. A parede mede 4,40m por 2,75m. Qual o menor nmero de quadrados que ele pode colocar na parede?
a) 40 b) 55 c) 30 d) 88 e) 16
7. (UEMG) Um jardineiro plantar coqueiros ao redor de um campo retangular de 465m de comprimento por 375m de largura, do modo que sejam iguais as distncias entre eles e seja a maior possvel. Sendo a distncia entre eles igual a um nmero inteiro de metros, o nmero de coqueiros necessrios :
a) 100 b) 112 c) 96 d) 85 e) 80 8. (UFMG) Seja m um nmero inteiro entre 38 e 104.
Dividindo-se m por 12 ou 18 ou 24, obtm-se o mesmo resto 5. Ento m pertence ao intervalo:
a) [38, 44] b) [45, 56] c) [57, 70] d) [71, 80] e) [81, 104]
Utilize as informaes do texto abaixo para responder s questes 9 e 10.
Com a produo de petrleo da plataforma P-50, que est deixando as guas da Baa de Guanabara rumo ao norte da Bacia de Campos, Rio de Janeiro, a Petrobras atinge a auto-suficincia na produo de petrleo para o Brasil. (...) Com
capacidade para 180 mil barris dirios de petrleo, ou 253 do
volume dirio produzido no Pas, a P-50 tem capacidade para comprimir 6 milhes de metros cbicos de gs natural e de estocar 1,6 milho de barris de petrleo em seus 22 tanques.
Disponvel em http://www.icarobrasil.com.br (adaptado) 9. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2006) De acordo com as
informaes do texto acima, o volume dirio de petrleo produzido no Pas, em milhares de barris, de:
a) 1.500 b) 1.850 c) 2.160 d) 3.600 e) 5.000 10. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2006) Considere que,
dos 22 tanques citados na reportagem, 10 sejam do tipo A e os restantes, do tipo B. Se os tanques do tipo B podem armazenar, cada um, 5 mil barris a mais do que os do tipo A, a capacidade de armazenamento de cada tanque do tipo B, em milhares de barris, :
a) 26 b) 31 c) 70 d) 75 e) 86 11. (PUC-MG) Trs pessoas formaram uma sociedade. A
primeira entrou com 3/7 do capital, a segunda entrou com 1/3 , e a terceira entrou com 1,75 milhes de reais. O capital, em milhes de reais, investido pelos dois primeiros scios, de:
a) 3,5 b) 4,8 c) 5,6 d) 6,7 e) 7,9 12. (PUC-MG) Um vendedor, para expor mas venda,
colocou-a em caixas de 4 dzias cada uma. Se as tivesse colocado em caixas de 3 dzias cada uma, teria gasto mais 56 caixas. A quantidade de mas que estavam venda era:
a) 4.806 b) 6.048 c) 8.064 d) 6.804 e) 4.608 13. (PUC-MG) Retira-se de um barril de seu volume e, em
seguida, 21 litros. Se o que restou corresponde a 2/5 de sua capacidade, o seu volume total, em litros, :
a) 25 b) 28 c) 30 d) 45 e) 60
16
14. (C.NAVAL) Numa cesta havia laranjas. Deu-se 2/5 a uma pessoa, a tera parte do resto a outra e ainda restaram 10 laranjas. Quantas laranjas havia na cesta?
a) 15 b) 12 c) 30 d) 25 e) 50 15. (FCC/TRE/RN) Para montar um kit bsico de higiene
bucal, um tcnico selecionou cinco produtos: M, N, P, Q e R; e do estoque inicial de cada um deles, retirou uma frao para a composio dos kits. A tabela abaixo indica a quantidade inicial do estoque e a quantidade de cada produto utilizada em uma unidade do kit.
Produto M N P Q R
Estoque inicial 2,5kg 0,8kg 450ml 600ml 750ml
Frao retirada 52
43
92
157
31
Quantidade do produto em um kit 0,25kg 0,1kg 10ml 70ml 25ml
Quantos kits de cada produto M, N, P, Q e R sero produzidos, respectivamente?
a) 4, 6, 10, 4, 10 b) 2, 2, 5, 1, 10 c) 4, 6, 100, 14, 25 d) 25, 10, 202, 18, 90 e) 40, 60, 100, 40, 100
16. (CESGRANRIO/CMB/2005) Jos viaja 350 quilmetros
para ir de carro de sua casa cidade onde moram seus pais. Numa dessas viagens, aps alguns quilmetros, ele parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da quantidade de quilmetros que havia percorrido antes de parar. Quantos quilmetros ele percorreu aps o caf?
a) 87,5 b) 125,6 c) 262,5 d) 267,5 e) 272,0 17. (CESGRANRIO/FENIG/2005) Considere as seguintes
afirmativas: I - o inverso do nmero racional 0,5 2; II - o produto de 4 nmeros negativos positivo; III - se y (- 60) = -12, ento y = 72; IV - dividir um nmero diferente de zero por 0,25 equivale a multiplic-lo por 4.
Atribuindo V s afirmaes verdadeiras e F s falsas, tem-se a seguinte seqncia: a) V V F V b) V F V V c) V F F V d) F V V F e) F V F F 18. (FCC/TRE/PB/2001) A expresso numrica
...666,05,032
41
51
tem como valor:
a) 1/3 b) 1/5 c) 0,3 d) 0,9 e) 1 19. (FCC/TRT/22R/2004) Dos X reais que foram divididos
entre trs pessoas, sabe-se que: a primeira recebeu 2/3 de X, diminudos de R$ 600,00; a segunda, de X; e a terceira, a metade de X , diminuda de R$ 4.000,00. Nessas condies, o valor de X :
a) 10.080 b) 11.000 c) 11.040 d) 11.160 e) 11.200
20. (CESGRANRIO/FENIG/2005)
B x A x + 3 12
52x
Na figura acima, x representa uma medida em centmetros. Qual o menor valor inteiro de x para que o caminho traado, de A a B tenha medida maior do que 112 centmetros? a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) 43 21. (FCC/TRT/4R) Um armrio tem quatro prateleiras. Do
total de processos que um auxiliar judicirio deveria arquivar nesse armrio, sabe-se que: 1/5 foi colocado na primeira prateleira, 1/6 na segunda, 3/8 na terceira e os 62 processos restantes, na quarta. Assim sendo, o total de processos arquivados era:
a) 240 b) 210 c) 204 d) 120 e) 105 22. (FCC/TRE/PI/2002) Um lote de processos deve ser
dividido entre os funcionrios de uma seo para serem arquivados. Se cada funcionrio arquivar 16 processos, restaro 8 a serem arquivados. Entretanto, se cada um arquivar 14 processos, sobraro 32. O nmero de processos do lote :
a) 186 b) 190 c) 192 d) 194 e) 200 23. (CESGRANRIO/FENIG/2005) Certo comerciante
comprou 25 vasos de cermica a R$7,20 a unidade. Sabendo que, no transporte, um dos vasos se quebrou e que o comerciante deseja lucrar R$120,00 na venda dos vasos, por quantos reais dever vender cada um dos 24 vasos restantes?
a) 12,50 b) 12,00 c) 11,80 d) 11,50 e) 11,00 24. (CESGRANRIO/FENIG/2005) Um prmio de
R$12.000,00 foi oferecido aos 3 primeiros colocados num concurso de contos. O segundo colocado recebeu R$1.000,00 a mais que o terceiro e Pedro, primeiro colocado, recebeu o dobro do prmio do segundo. O prmio de Pedro, em reais, foi:
a) 6.500,00 b) 5.250,00 c) 4.500,00 d) 3.250,00 e) 2.250,00 25. (USP) Comparando-se os nmeros reais racionais: a = 10-49
e b = 2.10-50: a) a excede b em 8.10-1 b) a excede b em 2.10-1 c) a excede b em 8.10-49 d) a excede b em 5 e) a igual a 5 vezes b
26. (MACK)
21
51
3
32
3)5(
2
022
igual a:
a) 17
3150 b) 90 c) 73
1530
d) 315017 e) 90
17
27. (UFMG) Na representao dos nmeros reais por pontos da linha reta, a unidade de comprimento est dividida em trs partes iguais, como na figura.
B A 2 1 0 1 2 3
O valor de BABA
:
a) 91 b)
31 c) 1 d) 3 e) 9
28. (UECE) A expresso 011
51
324,0
53
61
31
: a) 8 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2 29. (PUC-RJ) O valor de ...444,0 : a) 0,222... b) 0,333... c) 0,444... d) 0,555... e) 0,666...
30. (USP) Seja ba a frao geratriz da dzima 0,1222... com a e
b primos entre si. Nestas condies, temos: a) ab = 990 b) ab = 900 c) a b = 80 d) a + b = 110 e) b a = 79
31. (FUVEST) 04,0:036,01413,0
5
igual a:
a) 8,95 b) 0,95 c) 0,85 d) 0,04 e) 8,85 32. (FUVEST) Os nmeros x e y so tais que 10x5 e
30y20 . O maior valor possvel de yx :
a) 61 b)
41 c)
31 d)
21 e) 1
33. (FUVEST) Na figura esto representados geometricamente
os nmeros reais 0, x, y e 1. Qual a posio do nmero xy?
0 x y 1
a) esquerda de 0. b) Entre 0 e x. c) Entre x e y. d) Entre y e 1. e) direita de 1.
34. (UFMG) Um veculo percorre uma certa distncia
trafegando com velocidade constante durante 3 horas.
Quanto tempo ele gastaria para percorrer 32 daquela
distncia numa velocidade constante que fosse 53 da
anterior? a) 1h 12min b) 2h 42min c) 3h 20min d) 4h 15min e) 4h 40min
35. (Unb-DF) Sabendo-se que 87 do vencimento de Jos
equivalem a R$ 322,35, pergunta-se: quanto valem 65 do
vencimento de Jos? a) R$ 307,00 b) R$ 310,40 c) R$ 300,70 d) R$ 314,00 e) R$ 315,40 36. (CESGRANRIO/FENIG/2005) Certa mercadoria foi
comprada por R$4,00 o quilograma e vendida por R$0,10 cada 20g. Qual foi o lucro, em reais, obtido pelo comerciante na venda de 5kg desta mercadoria?
a) 1,00 b) 2,00 c) 3,00 d) 4,00 e) 5,00
37. (UFMG) De um recipiente cheio de gua tiram-se 32 do seu
contedo. Recolocando-se 30 litros de gua, o contedo passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente :
a) 75 litros b) 120 litros c) 150 litros d) 180 litros e) 200 litros 38. (CESGRANRIO/PREF-MA/2004) Observe os seguintes
nmeros:
2 2,3 0,003434... 52 0
Quais os que representam nmeros racionais?
a) O primeiro apenas. b) O quarto, apenas. c) O segundo e o quarto, apenas. d) O segundo, o terceiro e o quarto, apenas. e) Todos.
39. (CESGRANRIO/PREF-MA/2004) Dona Joana vende
potes de gelia por R$3,30. Desse valor, R$1,80 correspondem ao que ela gasta e o restante, ao lucro de Dona Joana. Para ter R$18,00 de lucro, quantos potes de gelia Dona Joana precisa vender?
a) 5 b) 7 c) 10 d) 12 e) 15 40. (CESGRANRIO/PREF-MA/2004) Um prmio de
R$4.200,00 ser dividido entre trs pessoas: A, B e C. Como
resultado da diviso, A receber 32 do total e C, R$320,00
a menos que B. Quanto receber C, em reais? a) 540,00 b) 860,00 c) 1.400,00 d) 2.480,00 e) 2.800,00 41. (CESGRANRIO/PREF-MA/2004) Uma fbrica produz
cadernos de dois tipos diferentes: com 100 e com 200 folhas. A fbrica recebeu uma encomenda de 150 cadernos de 100 folhas e 220 cadernos de 200 folhas, mas, no momento, s possui 50.000 folhas em seu estoque. Quantas folhas sero necessrias para que a fbrica possa completar a encomenda?
a) 2.000 b) 4.000 c) 7.000 d) 9.000 e) 11.000
18
42. (CESGRANRIO/PREF-MA/2004) Se multiplicarmos um
nmero N por e dividirmos o resultado por 3/5, podemos afirmar que N foi: a) dividido por 4/3 b) dividido por 5/4 c) dividido por 9/20 d) multiplicado por 5/4 e) multiplicado por 9/20
43. (CESGRANRIO/REFAP/2007)
Se 1.024 megabytes correspondem a 1 gigabyte, quantos kilobytes correspondem a 2 gigabytes? a) 210 b) 211 c) 216 d) 220 e) 221 44. (CESGRANRIO/TO/2004) Na poca das cheias, os
ribeirinhos que criam gado utilizam os sistema de "maromba" (currais elevados construdos sobre palafitas) para abrigar sua criao. Para dar de comer a 10 animais, o criador precisa cortar 120 kg de capim por dia. Quantos quilos de capim devero ser cortados para alimentar 45 animais durante uma semana?
a) 3.780 b) 4.240 c) 4.800 d) 5.280 e) 5.400 45. (FCC/TRT/21R/2003) Um funcionrio recebeu R$ 300,00
para comprar sacos plsticos de um certo tipo. Pesquisando os preos, encontrou na loja x e na loja y os seguintes resultados:
LOJA PACOTES CONTENDO PREO POR PACOTE
x 500 sacos R$ 20,00 y 1000 sacos R$ 30,00
verdade que:
a) na compra de 5 000 sacos, economizar exatamente R$ 20,00 se o fizer na loja y.
b) na compra de 3 000 sacos, economizar exatamente R$ 30,00 se o fizer na loja y.
c) na compra de 7 000 sacos, economizar exatamente R$ 50,00 se o fizer na loja y.
d) ele tem dinheiro suficiente para comprar 8 200 sacos na loja x.
e) ele tem dinheiro suficiente para comprar 12 500 sacos na loja y.
Respostas: 1.b 2.c 3.a 4.d 5.a 6.a 7.b 8.d 9.a 10.d 11.c 12.c 13.e 14.d 15.a 16.c 17.a 18.d 19.c 20.c 21.a 22.e 23.a 24.a 25.e 26.c 27.a 28.a 29.e 30.e 31.c 32.d 33.b 34.a 35.a 36.e 37.d 38.e 39.d 40.a 41.d 42.d 43.e 44.a 45.b
RAZO Introduo
Um dos assuntos da Matemtica mais utilizados na vida diria a comparao de quantidades. E uma das maneiras mais simples de comparar quantidades realizar uma diviso.
Esta comparao, por meio de uma diviso, muito usada conforme voc pode observar nas seguintes situaes: Quando queremos determinar a velocidade mdia de um
carro, dividimos a distncia percorrida pelo tempo que ele gastou em percorr-la;
Quando queremos saber o consumo de combustvel de um veculo, dividimos a distncia que o veculo percorreu pela quantidade de litros que o veculo gastou, etc.
So, portanto, inmeras aplicaes da comparao entre duas
quantidades obtidas por uma DIVISO (ou QUOCIENTE), cujo resultado denominado RAZO. Exemplo: Numa sala de pr-concurso existem 20 homens e 50 mulheres. Podemos comparar o nmero de homens e o de mulheres com o total de alunos com o uso de divises. Comparando o nmero de homens primeiramente:
72
7020
alunosdetotalnenshomdetotaln
Chegamos a uma frao irredutvel 72 que significa que,
PARA CADA 7 ALUNOS DA SALA, 2 SO HOMENS ou A RAZO ENTRE O NMERO DE HOMENS E O NMERO TOTAL DE ALUNOS de 2 para 7. Podemos usar o mesmo raciocnio para comparar o nmero de mulheres:
75
7050
alunosdetotalnmulheresdetotaln
Chegamos a outra frao, 75 , que significa que, A CADA 7
ALUNOS DA SALA, 5 SO MULHERES ou A RAZO ENTRE O NMERO DE MULHERES E O TOTAL DE ALUNOS DE 5 PARA 7. Definio
Dados dois nmeros racionais a e b (com b diferente de
zero), denomina-se RAZO de a para b o quociente ba ou a : b
(l-se a est para b). H trs maneiras de indicar uma razo. Observe:
A razo de 6 para 5 6 : 5 ou 56 ou 1,2.
Na razo ba , o nmero a chama-se ANTECEDENTE e o
nmero b chama-se CONSEQENTE.
EXERCCIOS 1. Determine qual a razo de: a) 3 para 7 b) 9 para 2 c) 6 para 18 d) 18 para 6 2. Numa prova de 20 questes, um aluno acertou 12. D a
razo do: a) nmero de questes que acertou para o nmero total de
questes.
19
a . d = b . c
b) nmero de questes que errou para o nmero total de questes.
c) nmero de questes que errou para o nmero total de questes que acertou.
d) nmero de questes que acertou para o nmero total de questes que errou.
3. Num concurso pblico, constatou-se que a razo entre o
nmero de homens e o nmero de mulheres era 3/5. Se o total de inscritos era 1.600 pessoas, determine: a) o nmero de mulheres que fizeram o concurso. b) a razo entre o nmero de aprovados e o nmero total de
inscritos, sabendo que 5/12 dos homens foram aprovados e 17/25 das mulheres no conseguiram aprovao.
4. At pouco tempo, de cada 5 crianas que nasciam no mundo
uma era chinesa e, entre as chinesas, de cada 5 crianas 3 eram meninas. Sabendo-se que para as outras nacionalidades havia equilbrio entre o nmero de meninas e o de meninos, pergunta-se: a) nascidas 250 crianas, quantas meninas chinesas
seriam esperadas? b) Qual era a razo entre o nmero de meninos recm-
nascidos chineses e o das recm-nascidas de outras nacionalidades?
Respostas:
1. a) 73 ou 3:7; b)
29 ou 9:2; c)
31 ou 1:3; d) 3
2. a) 53 ; b)
52 ; c)
32 ; d)
23
3. a) 1.000; b) 16057
4. a) 30; b) 51
PROPORO
Equivalncia de Fraes
No estudo do Conjunto dos Nmeros Racionais, vimos que
uma frao ba (com b 0) no se altera se multiplicarmos o
numerador e o denominador pelo mesmo nmero inteiro p (p 0). Em smbolos:
bpap
ba (p 0)
Exemplo:
2012
5:1005:60
10060
10.1010.6
106
2.52.3
53
Assim, no Conjunto dos Racionais, define-se relao de
equivalncia como uma igualdade de razes:
dc
ba
Definio
A qualquer equivalncia (igualdade) de razes denominamos
proporo. Em smbolos, se ba equivalente a
dc , dizemos que
dc
ba uma proporo.
Portanto: PROPORO uma equivalncia (igualdade) entre duas ou mais razes.
A proporo dc
ba pode ser lida como a est para b assim
como c est para d e tambm representada como:
a : b :: c : d
Nesta proporo, os nmeros a e d so os EXTREMOS e os nmeros b e c so os MEIOS.
de grande importncia o seguinte teorema: Em toda proporo, o PRODUTO DOS EXTREMOS IGUAL AO PRODUTO DOS MEIOS.
Ou seja, numa proporo dc
ba sempre vlido que:
Exemplo: Mostrar que as razes 43 e
86 formam uma
proporo. Soluo: Veja que o produto dos extremos igual ao produto dos meios:
3 . 8 = 4 . 6 = 24.
Portanto, a proporo 86
43 vlida.
Obs.: O teorema anterior ser muito til para resolver problemas como veremos mais adiante. Propriedade Fundamental das Propores
Seja uma proporo n
n
2
2
1
1ba...
ba
ba
; sempre vlida
a seguinte propriedade:
n
n
2
2
1
1
n21
n21ba
ba
ba
b...bba...aa
Exemplo: Sabendo que x + y + z = 18 e que 4z
3y
2x
,
calcule os valores de x, y e z. Soluo:
4z
3y
2x
432zyx
4z
3y
2x
Como x + y + z = 18, vem que:
4x2x
918
6x3y
918
8z4z
918
Portanto, x = 4, y = 6 e z = 8.
EXERCCIOS 1. Utilize a propriedade fundamental e verifique se os pares de
razes formam ou no uma proporo:
a) 43 e
86 b)
76 e
67 c)
54 e
2520
20
d) 25 e
615 e)
96 e
43 f)
37 e
1228
2. Humberto, Aline e Junior possuem uma livraria cujo o
investimento foi de 9 mil reais. Humberto entrou com 2 mil reais, Aline com 3 mil reais e Nilson com 4 mil reais. O lucro da livraria dividido em partes proporcionais ao investimento de cada um deles. O lucro do ms de maio foi de 1800 reais, calcule quanto cada um vai receber neste ms.
3. Dois scios entram num negcio com um capital de
R$5.000,00 e R$3.000,00. No final, obtm um lucro de R$24.000,00. Quanto caber a cada um?
4. Uma mistura est formada por 4 partes de lcool e 3 partes
de gua. Quantos litros de lcool h em 140 litros dessa mistura?
5. Na proporo mltipla 6z
5y
3x
, determine os valores de
x, y e z sabendo que x + y + z = 112. 6. Sabendo que a est para b assim como 8 est para 5 e que 3a
2b = 140, calcular a e b. 7. Dois nmeros esto entre si na proporo de 3 para 4.
Determine-os sabendo que a soma dos seus quadrados igual a 100.
Respostas: 1. a) sim; b) no; c) sim; d) sim; e) no; f) sim 2. R$ 400,00, R$ 600,00 e R$ 800,00 3. R$ 15.000,00 e R$ 9.000,00 4. 80 litros. 5. x = 24, y = 40 e z = 48 6. a = 80 e b = 50 7. 36 e 64 DIVISO PROPORCIONAL Valores Diretamente Proporcionais
Dada a seqncia de valores a1, a2, a3, ..., dizemos que estes valores so DIRETAMENTE PROPORCIONAIS aos valores de uma outra seqncia b1, b2, b3, ... quando forem iguais as razes entre cada valor de uma seqncia e o valor correspondente da outra seqncia. Em smbolos:
c...ba
ba
ba
3
3
2
2
1
1
O resultado constante c das razes obtidas das duas
seqncias de nmeros diretamente proporcionais chamado CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE. Exemplo: Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, so diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30 respectivamente, pois
as razes 126 ,
147 ,
2010 e
3015 so todas iguais, sendo a constante
de proporcionalidade igual a 21 .
Valores Inversamente Proporcionais
Dada a seqncia de valores a1, a2, a3, ..., dizemos que estes valores so INVERSAMENTE PROPORCIONAIS aos valores de uma outra seqncia b1, b2, b3, ... quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma seqncia e o valor correspondente da outra seqncia. Em smbolos:
...b.ab.ab.a 332211
Exemplo: Os valores 2, 3, 5 e 12 so inversamente proporcionais ao valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos 230, 320, 512 e 125 so todos iguais. Relao entre Proporo Inversa e Proporo Direta
Sejam duas seqncias de nmeros, todos diferentes de zero. Se os nmeros de uma so INVERSAMENTE PROPORCIONAIS aos nmeros da outra, ento os nmeros de uma delas sero DIRETAMENTE PROPORCIONAIS AOS INVERSOS dos nmeros da outra.
Exemplo: Vimos que os valores 2, 3, 5 e 12 so inversamente proporcionais aos valores 30, 20, 12 e 5, pois 230 = 320 = 512 = 125 = 60. Podemos reescrever as igualdades acima como:
60
51
12
1215
2013
3012
Assim, os nmeros 2, 3, 5 e 12 so diretamente proporcionais aos
nmeros 301 ,
201 ,
121 e
51 , nesta ordem.
Ou seja, os nmeros 2, 3, 5 e 12 so inversamente proporcionais aos nmeros 30, 20, 12 e 5 e diretamente proporcionais aos seus
respectivos inversos 301 ,
201 ,
121 e
51 , respectivamente.
Obs.: Esta relao nos permite trabalhar com seqncias de nmeros inversamente proporcionais como se fossem diretamente proporcionais. DIVISO EM PARTES PROPORCIONAIS Diviso em Partes Diretamente Proporcionais Dividir um nmero n em partes diretamente proporcionais aos nmeros a, b, c, ... significa encontrar os nmeros A, B, C, ... tais que:
...cC
bB
aA
n...CBA
Exemplo: Dividir 48 em partes diretamente proporcionais aos nmeros 3, 4 e 5. Soluo: Divida 48 pela soma dos nmeros dados:
41248
54348
= c constante de proporcionalidade
Multiplique a constante c pelos nmeros dados para encontrar as partes:
4.3 = 12 4.4 = 16 4.5 = 20 Portanto, as partes procuradas so 12, 16 e 20.
21
Diviso em Partes Inversamente Proporcionais
Dividir um nmero n em partes inversamente proporcionais aos nmeros a, b, c, ... significa encontrar os nmeros A, B, C, ... tais que:
...c.Cb.Ba.A n...CBA Exemplo: Dividir 130 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4. Soluo: Divida 130 pela soma dos inversos dos nmeros dados:
1201312.130
12346
130
41
31
21
130
Multiplique o resultado encontrado por cada inverso dos nmeros:
6021.120 40
31.120 30
41.120
Portanto, as partes so: 60, 40 e 30. Diviso Composta Direta
Chamamos de DIVISO COMPOSTA DIRETA diviso de um nmero em partes que devem ser diretamente proporcionais a duas ou mais seqncias de nmeros dados, cada uma. Para efetuarmos a diviso composta direta, devemos: 1) Encontrar uma nova seqncia onde cada valor ser o produto dos valore correspondentes das seqncias dadas; 2) Efetuar a diviso do nmero em partes diretamente proporcionais aos valores da nova seqncia encontrada. Exemplo: Dividir o nmero 480 em partes diretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 5 e tambm diretamente proporcionais aos nmeros 3, 4 e 6, respectivamente. Soluo: Divida 480 pela soma dos produtos dos termos de mesma posio das duas seqncias:
1048480
30126480
6.54.33.2480
Multiplique cada produto pelo resultado encontrado: (2.3).10 = 60 (3.4).10 = 120 (5.6).10 = 300
Portanto, as partes so: 60, 120 e 300. Diviso Composta Mista
Chamamos de DIVISO COMPOSTA MISTA diviso de
um nmero em partes que devem ser diretamente proporcionais aos valores de uma seqncia dada e inversamente proporcionais aos valores de uma outra seqncia dada. Para efetuarmos uma diviso composta mista, devemos: 1) Inverter os valores da sucesso que indica proporo inversa, recaindo assim num caso de diviso composta direta; 2) Aplicar o procedimento explicado anteriormente para as divises compostas diretas. Exemplo: Dividir o nmero 290 em partes que devem ser diretamente proporcionais aos nmeros 2, 1 e 5 e inversamente proporcionais aos nmeros 3, 2 e 4, respectivamente. Soluo:
Inverta os nmeros da seqncia de proporo inversa. Portanto:
31 ,
21 ,
41 .
Multiplique cada nmero acima com o nmero de mesma posio da outra seqncia. Portanto:
231 , 1
21 , 5
41
32 ,
21 ,
45
Divida o nmero 290 pela soma dos resultados acima:
1202912.290
1229290
121568
290
45
21
32
290
Multiplique cada nmero da soma acima (do denominador) pelo resultado encontrado:
80120.32
60120.21
150120.45
Portanto, as partes so: 80, 60 e 150.
EXERCCIO 1. Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 13. 2. Dividir 1.200 em partes diretamente proporcionais a 26, 34
e 40.
3. Dividir 96 em partes diretamente proporcionais a 1,2; 52 e
8. 4. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4. 5. Dividir 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6.
6. Dividir 1.090 em partes inversamente proporcionais a 32 ,
54 e
87 .
7. Dividir 108 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e
inversamente proporcionais a 5 e 6. 8. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 e
inversamente proporcionais a 5, 4 e 2. 9. Repartir uma herana de R$ 460.000,00 entre trs pessoas
na razo direta do nmero de filhos de cada uma e na razo inversa das idades delas. As trs pessoas tm, respectivamente, 2, 4 e 5 filhos e as idades respectivas de 24, 32 e 45 anos.
10. Dois irmos repartiram uma herana em partes diretamente
proporcionais s suas idades. Sabendo que cada um deles ganhou, respectivamente, R$ 3.800,00 e R$ 2.200,00, e que as suas idades somam 60 anos, qual a idade de cada um deles?
11. Certa quantia foi dividida entre duas pessoas em partes
proporcionais a 2 e 3. Sabendo que a segunda recebeu a mais que a primeira R$ 1.000,00 determinar qual o valor total da quantia distribuda.
Respostas: 1. 125, 175 e 325 2. 312, 408 e 480 3. 12, 4 e 80 4. 9 e 12 5. 180, 144 e 120
22
6. 420, 350 e 320 7. 48 e 60 8. 60, 150 e 350 9. R$ 120 mil, R$ 180 mil e R$ 160 mil 10. 38 anos e 22 anos 11. R$ 5.000,00
TESTES 1. (CESGRANRIO) Sessenta dos 520 pssaros de um avirio
no foram vacinados; morreram 92 pssaros vacinados. Para os pssaros vacinados, a razo entre o nmero de mortos e de vivos :
a) 4/5 b) 1/4 c) 3/4 d) 4 e) 5/4 Ateno: O enunciado abaixo refere-se s questes 2 e 3. Na tabela abaixo tm-se as idades e tempos de servio de trs soldados na corporao, que devem dividir entre si um certo nmero de fichas cadastrais para verificao.
Soldado Idade,em anos Tempo de servio, em anos Abel 20 3
Daniel 24 4 Manoel 30 5
2. (FCC/Agente Penit.-AP/2002) Se o nmero de fichas for
518 e a diviso for feita em partes diretamente proporcionais s suas respectivas idades, o nmero de fichas que caber a Abel :
a) 140 b) 148 c) 154 d) 182 e) 210 3. (FCC/Agente Penit.-AP/2002) Se o nmero de fichas for
504 e a diviso for feita em partes diretamente proporcionais s suas respectivas idades, mas inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de servio na corporao, o nmero de fichas que caber a: a) Daniel 180. b) Manoel 176. c) Daniel 170. d) Manoel 160. e) Daniel 162.
4. (Covest-PE) Uma pessoa, em repouso, respira 17 vezes por
minuto e, a cada vez, inala 0,6 litro de ar. Do ar respirado, 1/5 de oxignio, que ser absorvido pelo organismo. Do total de oxignio absorvido, somente 1/5 chega corrente sangunea. Quantos litros de oxignio entram na corrente sangunea em 1 (uma) hora?
a) 24,28 b) 24,18 c) 24,08 d) 24,48 e) 24,38 5. (FUVEST) Na maquete de um prdio, feita na escala 1 :
1000, a piscina com a forma de um cilindro circular reto, tem a capacidade de 0,6cm3. O volume, em litros, dessa piscina ser: a) 600 b) 6.000 c) 60.000 d) 600.000 e) 6.000.000
6. (FUVEST) Na tabela, y inversamente proporcional ao
quadrado de x (x > 0). Calcule os valores de p e m.
x 1 2 m y 2 p 8
a) 81p e
41m b)
21p e
21m
c) 21p e
41m d)
41p e
81m
e) 41p e
41m
7. (FCC) p inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que
p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1? a) -2 b) 2 c) 0 d) 0,5 e) 1,5 8. (FUMEC) 30% do lucro de uma firma foram destinados ao
aumento de seu capital. O restante foi distribudo entre os dois scios, proporcionalmente ao capital por eles empregado na construo da firma. Sabendo-se que o capital correspondente ao scio A foi de R$ 20.000,00, que o capital empregado pelo scio B foi de R$ 50.000,00 e que o scio A recebeu, na distribuio dos lucros, R$ 60.000,00, qual o lucro total da firma?
a) R$ 210.000,00 b) R$ 240.000,00 c) R$ 300.000,00 d) R$ 280.000,00 e) R$ 320.000,00 9. (FCC/TRT/4R) Uma certa mistura contm lcool e
gasolina na razo de 1 para 5, respectivamente. Quantos centmetros cbicos de gasolina h em 162 litros dessa mistura? a) 135.000 b) 32.400 c) 1.350 d) 324 e) 135
10. (FCC/TRT/4R) Dois analistas judicirios devem emitir
pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento de processos. Eles decidiram dividir os pedidos entre si, em quantidades que so, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais s suas respectivas idades e inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de servio no Tribunal Regional do Trabalho. Se um deles tem 32 anos e trabalha h 4 anos no Tribunal, enquanto que o outro tem 48 anos e l trabalha h 16 anos, o nmero de pareceres que o mais jovem dever emitir :
a) 18 b) 24 c) 32 d) 36 e) 48 11. (FCC/TRT/22R/2004) Das pessoas atendidas em um
ambulatrio certo dia, sabe-se que 12 foram encaminhadas a um clnico geral e as demais para tratamento odontolgico. Se a razo entre o nmero de pessoas encaminhadas ao clnico e o nmero das restantes, nessa ordem, 3/5, o total de pessoas atendidas foi:
a) 44 b) 40 c) 38 d) 36 e) 32 12. (FCC/TRT/22R/2004) Certo ms, o dono de uma empresa
concedeu a dois de seus funcionrios uma gratificao no valor de R$ 500,00. Essa quantia foi dividida em partes que eram diretamente proporcionais aos respectivos nmeros de horas de plantes que cumpriram no ms e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais s suas respectivas idades. Se um funcionrio tinha 36 anos e cumpriu 24 horas de plantes e, o outro, de 45 anos, cumpriu 18 horas, coube ao mais jovem receber:
a) R$ 302,50 b) R$ 310,00 c) R$ 312,50 d) R$ 325,00 e) R$ 342,50
13. (FCC/TRE/CE/Tc.Judicirio/2002) Ao fazer a
manuteno dos 63 microcomputadores de certa empresa, um funcionrio observou que a razo entre o nmero de aparelhos que necessitavam de reparos e o nmero dos que no apresentavam defeitos era, nessa ordem, 2/7. Nessas condies, verdade que o nmero de aparelhos com defeitos era:
a) 3 b) 7 c) 14 d) 17 e) 21
23
14. (FCC/TRE/CE/Tc.Judicirio/2002) Dois tcnicos judicirios foram incumbidos de catalogar alguns documentos, que dividiram entre si em partes inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de servio no cartrio da seo onde trabalham. Se o que trabalha h 12 anos dever catalogar 36 documentos e o outro trabalha h 9 anos, ento o total de documentos que ambos devero catalogar :
a) 76 b) 84 c) 88 d) 94 e) 96 15. (FCC/TRT/4R) Trs auxiliares receberam a tarefa de
organizar 675 pastas em armrios. Decidiram dividir o total de pastas entre eles, em partes diretamente proporcionais ao nmero de horas dirias que dedicariam a esse trabalho. Se o primeiro dedicou 2 horas dirias, o segundo, 3 horas e o terceiro, 4 horas, o nmero de pastas que o primeiro recebeu foi:
a) 150 b) 200 c) 225 d) 280 e) 300 16. (FCC/TRE/PI/Tc.Jud./2002) Se a razo entre dois
nmeros 4/5 e sua soma 27, o menor deles : a) primo. b) divisvel por 5. c) mltiplo de 7. d) divisvel por 6. e) mltiplo de 9.
17. (FCC/TRE/PI/Tc.Jud./2002) Dois scios constituram
uma empresa com capitais iguais, sendo que o primeiro fundou a empresa e o segundo foi admitido 4 meses depois. No fim de um ano de atividades, a empresa apresentou um lucro de R$ 20.000,00, eles receberam, respectivamente: a) R$ 10.500,00 e R$ 9.500,00 b) R$ 12.000,00 e R$ 8.000,00 c) R$ 13.800,00 e R$ 6.200,00 d) R$ 15.000,00 e R$ 5.000,00 e) R$ 16.000,00 e R$ 4.000,00
18. (FCC/TRT/22R/2004) Uma empresa gerou um lucro de R$
420.000,00, que foi dividido entre seus trs scios, da seguinte maneira: a parte recebida pelo primeiro est para a do segundo assim como 2 est para 3; a parte do segundo est a do terceiro assim como 4 est para 5. Nessa diviso, a menor das partes igual a:
a) R$ 80.000,00 b) R$ 96.000,00 c) R$ 120.000,00 d) R$ 124.000,00 e) R$ 144.000,00 19. (FCC/TRT/17R/2004) Dos funcionrios de certa empresa,
sabe-se que: I O nmero de homens excede o de mulheres em 16 homens; II A razo entre a tera parte do nmero de homens e o dobro do nmero de mulheres, nessa ordem, 3/16. Nessas condies, o total de funcionrios dessa empresa :
a) 272 b) 268 c) 256 d) 252 e) 248 20. (FCC/TRT/22R/2004) Na liquidao de uma falncia,
apura-se um ativo de 2,4 milhes de reais e um passivo constitudo pelas seguintes dvidas: ao credor X, 1,6 milhes de reais; ao Y, 2,4 milhes de reais; e ao Z, 2 milhes de reais. CORRETO afirmar que Z dever receber: a) R$ 150.000,00 a mais que X b) R$ 150.000,00 a menos que Y c) 5/8 do que caber a X d) 5/8 do que caber a Y e) a metade do que X e Y recebero juntos
21. (CESGRANRIO/TO/2004) Os ndios Baniwa fazem parte do complexo cultural de 22 povos indgenas da Amaznia brasileira. Somam cerca de 12 mil pessoas, das quais 4 mil vivem no Brasil e o restante, na Colmbia e na Venezuela. A razo entre o nmero de ndios Baniwa que vivem no Brasil e que vivem no exterior :
a) 21 b)
31 c)
41 d)
32 e)
43
22. (CESGRANRIO/EPE/2006) Na figura abaixo, as duas
balanas esto equilibradas.
A razo entre as massas das caixas identificadas pelas letras A e B, nessa ordem, expressa pela frao:
a) 21 b)
32 c)
43 d)
54 e)
65
23. (CESGRANRIO/PREF-MA/2004) H dez anos, a razo
entre as idades de Maria e Rita era 4/3. Daqui a dois anos, ser 10/9. O nmero de anos correspondente soma das duas idades :
a) 26 b) 28 c) 34 d) 36 e) 38 24. (CESGRANRIO/INSS/2005) A razo entre o nmero de
homens e mulheres, funcionrios da firma W, 53 . Sendo
N o nmero total de funcionrios (nmero de homens mais o nmero de mulheres), um possvel valor para N :
a) 46 b) 49 c) 50 d) 54 e) 56 25. (CESGRANRIO/BNDES/2006) Para um determinado
bem, o relativo de preos de maro em relao a fevereiro foi igual a 1,25. Portanto, o relativo de preos de fevereiro desse bem, em relao a maro, vale:
a) 0,75 b) 0,80 c) 1,00 d) 1,20 e) 1,25 26. (CESGRANRIO/SEAD-AM/2005) Em um bazar
trabalham dois funcionrios, um h 4 anos e outro h 6 anos. O don